3.1 导数的概念及应用.docx
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1、1导数与导函数的概念(1)一般地,函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 ,我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数,记作,即f(x0) .(2)如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数,这个函数称为函数yf(x)在开区间内的导函数记作f(x)或y.2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率k,即kf(x0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x
2、)sin xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0,a1)f(x)axln af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0,a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x),g(x)存在,则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x);(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x);(3)(g(x)0)【知识拓展】1奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数2(f(x)0)3af(x)bg(x)af(x)bg(x)4函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f(x)|反映了变化的快慢,|f(x)|越大,曲线
3、在这点处的切线越“陡”【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(5)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x()1(教材改编)若f(x)xex,则f(1)等于()A0 Be C2e De2答案C解析f(x)exxex,f(1)2e.2如图所示为函数yf(x),yg(x)的导函数的图象,那么yf(x),yg(x)的图象可能是()答案D解析由yf(x)的图象知yf(x)
4、在(0,)上单调递减,说明函数yf(x)的切线的斜率在(0,)上也单调递减,故可排除A,C.又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交,说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.3(2016襄阳模拟)函数f(x)excos x的图象在点(0,f(0)处的切线的倾斜角为()A0 B. C1 D.答案B解析由f(x)excos x,得f(x)excos xexsin x.所以f(0)e0cos 0e0sin 01,即倾斜角满足tan 1.根据0,),得.4设函数f(x)在(0,)内可导,且f(ex)xex,则f(1) .答案2解析f(ex)xex,令
5、tex,则xln t(t0),f(t)ln tt(t0),得f(x)ln xx(x0)则f(x)1(x0),故f(1)2.5曲线y5ex3在点(0,2)处的切线方程是 答案5xy20解析因为y|x05e05,所以曲线在点(0,2)处的切线方程为y(2)5(x0),即5xy20.题型一导数的计算例1求下列函数的导数(1)yx2sin x;(2)yln x;(3)y.解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(ln x)(ln x)().(3)y().思维升华求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,
6、减少差错;遇到函数的商的形式时,如能化简则化简,这样可避免使用商的求导法则,减少运算量(1)f(x)x(2 016ln x),若f(x0)2 017,则x0等于()Ae2 B1 Cln 2 De(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2,则f(1)等于()A1 B2 C2 D0答案(1)B(2)B解析(1)f(x)2 016ln xx2 017ln x,故由f(x0)2 017,得2 017ln x02 017,则ln x00,解得x01.(2)f(x)4ax32bx,f(x)为奇函数且f(1)2,f(1)2.题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例2(1)(2016全国丙卷)已知f(x
7、)为偶函数,当x0时,f(x)ln(x)3x,则曲线yf(x)在点(1,3)处的切线方程是 (2)已知函数f(x)xln x,若直线l过点(0,1),并且与曲线yf(x)相切,则直线l的方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10答案(1)2xy10(2)B解析(1)设x0,则x0,f(x)ln x3x,又f(x)为偶函数,f(x)ln x3x,f(x)3,f(1)2,切线方程为y2x1,即2xy10.(2)点(0,1)不在曲线f(x)xln x上,设切点为(x0,y0)又f(x)1ln x,解得x01,y00.切点为(1,0),f(1)1ln 11.直线l的方程为yx1,即xy10
8、.故选B.命题点2求参数的值例3(1)(2016泉州模拟)函数yex的切线方程为ymx,则m .(2)已知f(x)ln x,g(x)x2mx(m0),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,与f(x)图象的切点为(1,f(1),则m等于()A1 B3 C4 D2答案(1)e(2)D解析(1)设切点坐标为P(x0,y0),由yex,得从而切线方程为又切线过定点(0,0),从而解得x01,则me.(2)f(x),直线l的斜率kf(1)1.又f(1)0,切线l的方程为yx1.g(x)xm,设直线l与g(x)的图象的切点为(x0,y0),则有x0m1,y0x01,y0xmx0,m0,于是解得m2.
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