9.8 第3课时定点、定值、探索性问题.docx

1、第3课时定点、定值、探索性问题题型一定点问题例1(2019长沙联考)已知椭圆1(a0，b0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足1，2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若123，试证明：直线l过定点并求此定点(1)解设椭圆的焦距为2c，由题意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，a23.椭圆的方程为y21.(2)证明由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l方程为xt(ym)，由1知(x1，y1m)1(x0x1，y1)，y1my11，

2、由题意y10，11.同理由2知21.123，y1y2m(y1y2)0，联立得(t23)y22mt2yt2m230，由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0，且有y1y2，y1y2，代入得t2m232m2t20，(mt)21，由题意mtb0)，焦点F(c,0)，因为，将点B(c，)的坐标代入方程得1.由结合a2b2c2，得a，b1.故所求椭圆方程为y21.(2)由得(2t2)y22ty220.因为l为切线，所以(2t)24(t22)(22)0，即t2220.设圆与x轴的交点为T(x0,0)，则(x0，y1)，(x0，y2)因为MN为圆的直径，故x2y1y20.当t0时，不符合题意，故t0.

3、因为y1，y2，所以y1y2，代入结合得，要使上式为零，当且仅当x1，解得x01.所以T为定点，故动圆过x轴上的定点(1,0)与(1,0)，即椭圆的两个焦点题型二定值问题例2(2016广西柳州铁路一中月考)如图，椭圆有两顶点A(1，0)，B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1)当|CD|时，求直线l的方程；(2)当点P异于A，B两点时，求证：为定值(1)解椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知得b1，c1，a，椭圆的方程为x21.当直线l的斜率不存在时，|CD|2，与题意不符；当直线l的斜率存在时

4、，设直线l的方程为ykx1，C(x1，y1)，D(x2，y2)联立化简得(k22)x22kx10, 则x1x2，x1x2.|CD|，解得k.直线l的方程为xy10或xy10.(2)证明当直线l的斜率不存在时，与题意不符当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx1(k0，k1)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，点P的坐标为(，0)由(1)知x1x2，x1x2，且直线AC的方程为y(x1)，直线BD的方程为y(x1)，将两直线方程联立，消去y，得.1x11，1x2b0)的离心率是，其左，右顶点分别为A1，A2，B为短轴的一个端点，A1BA2的面积为2.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：x2

5、与x轴交于D，P是椭圆C上异于A1，A2的动点，直线A1P，A2P分别交直线l于E，F两点，求证：|DE|DF|为定值(1)解由已知，可得解得a2，b.故所求椭圆方程为1.(2)证明由题意可得A1(2,0)，A2(2,0)设P(x0，y0)，由题意可得2x0时，SOPQ888；当0k2时，SOPQ88.因为0k2，则0b0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P

6、作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k20，证明为定值，并求出这个定值思想方法指导对题目涉及的变量巧妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值规范解答解(1)由于c2a2b2，将xc代入椭圆方程1，得y.由题意知1，即a2b2.又e，所以a2，b1.所以椭圆C的方程为y21.2分(2)设P(x0，y0)(y00)，又F1(，0)，F2(，0)，所以直线PF1，PF2的方程分别为：y0

7、x(x0)yy00，：y0x(x0)yy00.由题意知 .由于点P在椭圆上，所以y1.所以.4分因为m，2x02，可得，所以mx0，因此mb0)的离心率e，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论解(1)由短轴长为2，得b，由e，得a24，b22.所以椭圆C的标准方程为1.(2)以MN为直径的圆过定点F(，0)证明如下：设P(x0，y0)，则Q(x0，y0)，且1，即x2y4，因为A(2,0)，所以直线P

8、A方程为y(x2)，所以M(0，)，直线QA方程为y(x2)，所以N(0，)，以MN为直径的圆为(x0)(x0)(y)(y)0，即x2y2y0，因为x42y，所以x2y22y20，令y0，则x220，解得x.所以以MN为直径的圆过定点F(，0)2(2016安徽芜湖、马鞍山第一次质量检测)椭圆E：1(ab0)的离心率为，点(，)为椭圆上的一点(1)求椭圆E的标准方程；(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1)，且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值(1)解因为e，所以ca，a2b2(a)2.又椭圆过点(，)，所以1.由，解得a26，b24，

9、所以椭圆E的标准方程为1.(2)证明设直线l：ykx1，联立得(3k22)x26kx90.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，易知B(0，2)，故kBCkBDk2k23k(3k22)2.所以对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值3(2016赣州一模)已知椭圆C：1(ab0)与双曲线1(1v4)有公共焦点，过椭圆C的右顶点B任意作直线l，设直线l交抛物线y22x于P，Q两点，且.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点R(m，n)使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点M，N，且OMN的面积最大？若存在，求出点R的坐标及对应的OMN的面积；若不存在，请说明理由解(1)1vb0)，把点(2,0)，(，)代入得解得所以C1的标准方程为y21.(2)容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意当直线l的斜率存在时，设其方程为yk(x1)，与C1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y并整理得(14k2)x28k2x4(k21)0，于是x1x2，x1x2.所以y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1k21，由，即0，得x1x2y1y20.(*)将代入(*)式，得0，解得k2，所以存在直线l满足条件，且直线l的方程为2xy20或2xy20.