9.8 第2课时范围、最值问题.docx

1、第2课时范围、最值问题题型一范围问题例1(2015天津)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，|FM|.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围解(1)由已知，有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，F(c,0)，则直线FM的方程为yk(xc)由已知，有222，解得k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得xc或

2、xc.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.由|FM|.解得c1，所以椭圆的方程为1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t，即直线FP的方程为yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立，消去y，整理得2x23t2(x1)26，又由已知，得t，解得x1或1x0.设直线OP的斜率为m，得m，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得m2.当x时，有yt(x1)0，因此m0，于是m，得m.当x(1,0)时，有yt(x1)0.因此m0，于是m，得m.综上，直线OP的斜率的取值范围是.思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定

3、参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围(2016黄冈模拟)已知椭圆C：1(ab0)与双曲线y21的离心率互为倒数，且直线xy20经过椭圆的右顶点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求OMN面积的取值范围解(1)双曲线的离心率为，椭圆的离心率e

4、.又直线xy20经过椭圆的右顶点，右顶点为(2,0)，即a2，c，b1，椭圆方程为y21.(2)由题意可设直线的方程为ykxm(k0，m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立消去y，并整理得(14k2)x28kmx4(m21)0，则x1x2，x1x2，于是y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，故k2m20.由m0得k2，解得k.又由64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，得0m22，显然m21(否则x1x20，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)设原点O

5、到直线的距离为d，则SOMN|MN|d|x1x2|m|.故由m的取值范围可得OMN面积的取值范围为(0,1)题型二最值问题命题点1利用三角函数有界性求最值例2(2016锦州模拟)过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|BF|的最小值是()A2 B.C4 D2答案C解析设直线AB的倾斜角为，可得|AF|，|BF|，则|AF|BF|4.命题点2数形结合利用几何性质求最值例3(2015江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_答案解析双曲线x2y21的渐近线为xy0，直线xy1

6、0与渐近线xy0平行，故两平行线的距离d.由点P到直线xy10的距离大于c恒成立，得c，故c的最大值为.命题点3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例4(2016山东)如图，已知椭圆C：1(ab0)的长轴长为4，焦距为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过动点M(0，m)(m0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.设直线PM、QM的斜率分别为k、k，证明为定值；求直线AB的斜率的最小值(1)解设椭圆的半焦距为c.由题意知2a4,2c2.所以a2，b.所以椭圆C的方程为1.(2)证明设P(x0，y0)(x0

7、0，y00)由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，2m)所以直线PM的斜率k.直线QM的斜率k.此时3.所以为定值3.解设A(x1，y1)，B(x2，y2)直线PA的方程为ykxm.直线QB的方程为y3kxm.联立整理得(2k21)x24mkx2m240，由x0x1，可得x1，所以y1kx1mm.同理x2，y2m.所以x2x1，y2y1mm，所以kAB，由m0，x00，可知k0，所以6k2，当且仅当k时取“”因为P(x0,2m)在椭圆1上，所以x0，故此时，即m，符合题意所以直线AB的斜率的最小值为.思维升华处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但

8、总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解(2016沧州模拟)已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解(1)由题意，椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02

9、y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4)因为4(00，b0)的左，右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|28a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(2,3C(1,3 D(1,2答案C解析由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF2|2a|PF1|，所以|PF1|4a8a，所以|PF1|2a，|PF2|4a，在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，即2a4a2c，所以e3.又e1，所以10得m22，1，即e，而0e11，e10，b0)由已知得a，c2，又a2b2c2，得b21

10、，双曲线C的方程为y21.(2)联立整理得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，可得m23k21且k2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)，则x1x2，x0，y0kx0m.由题意，ABMN，kAB(k0，m0)整理得3k24m1，将代入，得m24m0，m4.又3k24m10(k0)，即m.m的取值范围是(4，)8已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于异于椭圆顶点的两点A，B，且2.(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围解(1)

11、由题意，知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为1(ab0)，由题意，知a2，bc，又a2b2c2，则b，所以椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知直线l的斜率存在，设其方程为ykxm，与椭圆方程联立，即消去y，得(2k2)x22mkxm240，(2mk)24(2k2)(m24)0，由根与系数的关系，知又2，即有(x1，my1)2(x2，y2m)，所以x12x2.则所以22.整理，得(9m24)k282m2，又9m240时等式不成立，所以k20，得m20.所以m的取值范围为.*9.已知椭圆1(ab0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e.(1)若e，求椭圆的方程；(2)设直线ykx与椭圆相交于A，B两点，若0，且e，求k的取值范围解(1)由右焦点F2(3,0)，知c3，又e，所以a2.又由a2b2c2，解得b23.所以椭圆的方程为1.(2)由得(b2a2k2)x2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可知，x1x20，x1x2.又(3x1，y1)，(3x2，y2)，所以(3x1)(3x2)y1y2(1k2)x1x290，即90，整理得k21.由e及c3，知2a3，12a218.所以a418a2(a29)28172,0)，所以k2，则k或k，因此实数k的取值范围为.