7.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题.docx

1、1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线(2)由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的符号即可判断AxByC0表示的直线是AxByC0哪一侧的平面区域2线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件

2、由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证【知识拓展】1利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于AxByC0或AxBy

3、C0时，区域为直线AxByC0的上方；(2)当B(AxByC)0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线AxByC0同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.()(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0表示()(5)线性目标函数的最优解是唯一的()(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解()(7)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()1下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是()A(0,0) B(1,1)C(

4、1,3) D(2，3)答案C解析把各点的坐标代入可得(1,3)不适合，故选C.2(教材改编)不等式组表示的平面区域是()答案C解析用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为C.3(2016北京)若x，y满足则2xy的最大值为()A0 B3C4 D5答案C解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示令z2xy，则y2xz，作直线2xy0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，由得所以A点坐标为(1,2)，可得2xy的最大值为2124.4若点(2，t)在直线2x3y60的上方，则t的取值范围是_答案(，)解析由2(2)3t62，t.5(教材改编)投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200

5、万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为_(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)答案解析用表格列出各数据AB总数产品吨数xy资金200x300y1 400场地200x100y900所以不难看出，x0，y0,200x300y1 400,200x100y900.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1不含参数的平面区域问题例1(1)不等式(x2y1)(xy3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()(2)不等式

6、组所表示的平面区域的面积等于()A. B.C. D.答案(1)C(2)C解析(1)(x2y1)(xy3)0或画出平面区域后，只有C符合题意(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A(0，)，B(1,1)，C(0,4)，则ABC的面积为1.故选C.命题点2含参数的平面区域问题例2(1)(2015重庆)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()A3 B1 C. D3(2)若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，则k的值是_答案(1)B(2)解析(1)不等式组表示的平面区域如图，则图中A点纵坐标yA1m，B点纵坐标yB，C点横坐标xC2m，SABDS

7、ACDSBCD(22m)(1m)(22m)，m1或m3，又当m3时，不满足题意，应舍去，m1.(2)不等式组表示的平面区域如图所示由于直线ykx过定点.因此只有直线过AB中点时，直线ykx能平分平面区域因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D.当ykx过点时，所以k.思维升华(1)求平面区域的面积：首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可(2)利用几何意义求解的

8、平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解(1)不等式组表示的平面区域为，直线ykx1与区域有公共点，则实数k的取值范围为()A(0,3 B1,1C(，3 D3，)(2)已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为()A1 B1 C0 D2答案(1)D(2)A解析(1)直线ykx1过定点M(0，1)，由图可知，当直线ykx1经过直线yx1与直线xy3的交点C(1,2)时，k最小，此时kCM3，因此k3，即k3，)故选D.(2)由于x1与xy40不可能垂直，所以只可能xy40与kxy0垂直或x1与kxy0垂直当xy40与kxy0垂直时，k1，检验知三角形区域面积为1，即

9、符合要求当x1与kxy0垂直时，k0，检验不符合要求题型二求目标函数的最值问题命题点1求线性目标函数的最值例3(2016全国丙卷)若x，y满足约束条件 则zxy的最大值为_答案解析满足约束条件的可行域为以A(2，1)，B(0,1)，C为顶点的三角形内部及边界，则yxz过点C时z取得最大值.命题点2求非线性目标函数的最值例4实数x，y满足(1)若z，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；(2)若zx2y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围解由作出可行域，如图中阴影部分所示(1)z表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即z

10、max不存在)由得B(1,2)，kOB2，即zmin2，z的取值范围是2，)(2)zx2y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方因此x2y2的最小值为OA2，最大值为OB2.由得A(0,1)，OA2()21，OB2()25，z的取值范围是1,5引申探究1若z，求z的取值范围解z可以看作过点P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率z的取值范围是(，02若zx2y22x2y3.求z的最大值、最小值解zx2y22x2y3(x1)2(y1)21，而(x1)2(y1)2表示点P(1,1)与Q(x，y)的距离的平方PQ2，PQ(01)2(21)22，PQ()2，zmax213，zmin1.命题点

11、3求参数值或取值范围例5(1)已知实数x，y满足如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m_.(2)已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a_.答案(1)5(2)解析(1)显然，当m2，此时不等式组所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域，其顶点为A(1,1)，B(m1,1)，C(，)由图可知，当直线yxz经过点C时，z取得最小值，最小值为.由题意，得1，解得m5.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)易知直线z2xy过交点A时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.思维升华(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值(2)当目标函数是

12、非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件(1)(2016临沂检测)若x，y满足约束条件则zxy的最小值是()A3 B0 C. D3(2)当实数x，y满足时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_答案(1)A(2)1，解析(1)作出不等式组表示的可行域(如图所示的ABC的边界及内部)平移直线zxy，易知当直线zxy经过点C(0,3)时，目标函

13、数zxy取得最小值，即zmin3.(2)画可行域如图所示，设目标函数zaxy，即yaxz，要使1z4恒成立，则a0，数形结合知，满足即可，解得1a.所以a的取值范围是1，题型三线性规划的实际应用问题例6某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解(1)依题意每天生产的伞兵个数为10

14、0xy，所以利润5x6y3(100xy)2x3y300.(2)约束条件为整理得目标函数为2x3y300，作出可行域，如图所示，作初始直线l0：2x3y0，平移l0，当l0经过点A时，有最大值，由得最优解为A(50,50)，此时max550元故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元思维升华解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)(4)求

15、解：代入目标函数求解(最大值或最小值)(5)检验：根据结果，检验反馈(2016昆明质检)某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x等于()A10 B12 C13 D16答案C解析如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l：ba0，平移直线l，再由a，bN，可知当a6，b7时，xmaxab13.7含参数的线性规划问题典例(1)在直角坐标系xOy中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是_(2)已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a_.错解展示解析(1)如图，直线yk(x1)1过点(1，1)，作出直线y2

16、x，当k1或0k2时，不等式组表示一个三角形区域(2)由不等式组表示的可行域，可知zaxy在点A(1,1)处取到最大值4，a14，a3.答案(1)(，1)(0,2)(2，)(2)3现场纠错解析(1)直线yk(x1)1过定点(1，1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(，1)，只有此时可构成三角形区域(2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由得A(1,1)zaxy等价于yaxz，因为z的最大值为4，即直线yaxz的纵截距最大为4.若zaxy在A(1,1)处取得最大值，则纵截距必小于2，故只有直线yaxz过点(2,0)且a0时符合题意，4a20

17、，即a2.答案(1)(，1)(2)2纠错心得(1)含参数的平面区域问题，要结合直线的各种情况进行分析，不能凭直觉解答(2)目标函数含参的线性规划问题，要根据z的几何意义确定最优解，切忌搞错符号1已知点(3，1)和点(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围为()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，)D(，24)(7，)答案B解析由3(3)2(1)a342(6)a0，得(a7)(a24)0，7a24.2若函数ylog2x的图象上存在点(x，y)，满足约束条件则实数m的最大值为()A. B1 C. D2答案B解析如图，作出不等式组表示的可行域，当函数ylog2x的图象过点(2,1

18、)时，实数m有最大值1.3直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有()A0个 B1个C2个 D无数个答案B解析由不等式组画出可行域的平面区域如图(阴影部分)直线2xy100恰过点A(5,0)，且其斜率k20时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a2；当a0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是_答案解析画出x、y满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数zaxy仅在点(3,0)处取得最大值，则直线yaxz的斜率应小于直线x2y30的斜率，即a.12(2015课标全国)若x，y满足约束条件则的最大值为_答案3解析画出可行域如图阴影部分所示，表示过点(x，y)与原点(0,

19、0)的直线的斜率，点(x，y)在点A处时最大由得A(1,3)的最大值为3.*13.给定区域D：令点集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定_条不同的直线答案6解析作出图形可知，ABF所围成的区域即为区域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的点，B，C，D，E，F是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线14.已知D是以点A(4,1)，B(1，6)，C(3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)如图所示(1)写出表示区域D的不等式组；(2)设点B(1，6)，C(3,2)在直线4

20、x3ya0的异侧，求a的取值范围解(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x5y230，x7y110,4xy100.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为(2)根据题意有4(1)3(6)a4(3)32a0，即(14a)(18a)0，解得18a14.故a的取值范围是(18,14)15某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解设A型、B型车辆分别为x、y辆，相应营运成本为z元，则z1 600x2 400y.由题意，得x，y满足约束条件作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7,14)，R(15,6)由图可知，当直线z1 600x2 400y经过可行域的点P时，直线z1 600x2 400y在y轴上的截距最小，即z取得最小值故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小