4.6 正弦定理、余弦定理.docx

1、1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin Asin Bsin C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C2.在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解

2、两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)【知识拓展】1三角形内角和定理在ABC中，ABC；变形：.2三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(3)sin cos ；(4)cos sin .3三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)在ABC中

3、，若sin Asin B，则AB.()(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素()(4)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形()(5)在ABC中，.()(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积()1(2016天津)在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC等于()A1 B2 C3 D4答案A解析由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C，即13AC292AC3cos 120，化简得AC23AC40，解得AC1或AC4(舍去)故选A.2(教材改编)在ABC中，A60，B75，a10，则c等于()A5 B10C. D5答案C解析由ABC180，知C45，

4、由正弦定理得，即，c.3在ABC中，若sin Bsin Ccos2，且sin2Bsin2Csin2A，则ABC是()A等边三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形答案D解析sin Bsin C，2sin Bsin C1cos A1cos(BC)，cos(BC)1，B、C为三角形的内角，BC，又sin2Bsin2Csin2A，b2c2a2，综上，ABC为等腰直角三角形4(2016辽宁五校联考)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若bc2a,3sin A5sin B，则角C .答案解析因为3sin A5sin B，所以由正弦定理可得3a5b.因为bc2a，所以c2aaa.

5、令a5，b3，c7，则由余弦定理c2a2b22abcos C，得49259235cos C，解得cos C，所以C.5(2016济南模拟)在ABC中，a3，b2，cos C，则ABC的面积为 答案4解析cos C，0C，sin C，SABCabsin C324.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(1)(2015广东)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b .答案1解析因为sin B且B(0，)，所以B或B.又C，BC0)，则aksin A，bksin B，cksin C，代入中，有，变形可得sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bs

6、in(AB)在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sin C所以sin Asin Bsin C.解由已知，b2c2a2bc，根据余弦定理，有cos A.所以sin A.由(1)知，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos Bsin B.故tan B4.思维升华应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a，b，c或其他相应变形公式求解(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A，sin B，sin C或其他相应变形公式求解(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2b2c2ab形式用

7、余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理(1)ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，则等于()A2 B2C. D.(2)在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2c2b，且sin(AC)2cos Asin C，则b等于()A6 B4C2 D1答案(1)D(2)C解析(1)(边化角)由asin Asin Bbcos2Aa及正弦定理，得sin Asin Asin Bsin Bcos2Asin A，即sin Bsin A，所以.故选D.(2)(角化边)由题意，得sin Acos Ccos Asin C2cos As

8、in C，即sin Acos C3cos Asin C，由正弦、余弦定理，得a3c，整理得2(a2c2)b2，又a2c2b，联立得b2，故选C.题型二和三角形面积有关的问题例2(2016浙江)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小(1)证明由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A

9、2B.(2)解由S，得absin C，故有sin Bsin Csin Asin 2Bsin Bcos B，由sin B0，得sin Ccos B.又B，C(0，)，所以CB.当BC时，A； 当CB时，A.综上，A或A.思维升华(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是()A3 B.C. D3答案C解析c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcos a2b2ab

10、.由得ab60，即ab6.SABCabsin C6.题型三正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1判断三角形的形状例3(1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A，则ABC为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定答案(1)A(2)B解析(1)由cos A，得cos A，所以sin Csin Bcos A，即sin(AB)sin Bcos A，所以sin Acos B0，所以cos B0，sin

11、A1，即A，ABC为直角三角形引申探究1例3(2)中，若将条件变为2sin Acos Bsin C，判断ABC的形状解2sin Acos Bsin Csin(AB)，2sin Acos Bsin Acos Bcos Bsin A，sin(AB)0，又A，B为ABC的内角AB，ABC为等腰三角形2例3(2)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，判断ABC的形状解a2b2c2ab，cos C，又0C，C，又由2cos Asin Bsin C得sin(BA)0，AB，故ABC为等边三角形命题点2求解几何计算问题例4(2015课标全国)如图，在ABC中，D是BC上的点，

12、AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长解(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD.因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得.(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理，知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，又由(1)知AB2AC，所以解得AC1.思维升华(1)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状化角：通过三角恒等变换，得

13、出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论(2)求解几何计算问题要注意根据已知的边角画出图形并在图中标示；选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理(1)在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若cacos B(2ab)cos A，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形(2)(2015课标全国)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是 答案(1)D(2)(，)解析(1)cacos B(2ab)cos A，C(AB)，由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos

14、 A，sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，cos A(sin Bsin A)0，cos A0或sin Bsin A，A或BA或BA(舍去)，ABC为等腰或直角三角形(2)如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CFAD交AB于点F，则BFABBE.在等腰三角形CBF中，FCB30，CFBC2，BF.在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BE.AB.二审结论会转换典例(12分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acb，sin Bsin C.(1)求cos A的值；(2)求cos

15、的值(1) (2)规范解答解(1)在ABC中，由及sin Bsin C，可得bc，2分又由acb，有a2c，4分所以cos A.7分(2)在ABC中，由cos A，可得sin A.8分于是，cos 2A2cos2A1，9分sin 2A2sin Acos A.10分所以，coscos 2Acos sin 2Asin .12分1在ABC中，C60，AB，BC，那么A等于()A135 B105C45 D75答案C解析由正弦定理知，即，所以sin A，又由题知，BC1.角B不存在，即满足条件的三角形不存在5已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则B等于()A. B. C. D.答案C解

16、析根据正弦定理2R，得，即a2c2b2ac，得cos B，故B，故选C.6ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为()A22 B.1C22 D.1答案B解析b2，B，C.由正弦定理，得c2，A()，sin Asin()sin cos cos sin .则SABCbcsin A221.7(2016全国甲卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b .答案解析在ABC中，由cos A，cos C，可得sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，由正弦定理得b.8在ABC中

17、，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为 答案或解析由余弦定理，得cos B，结合已知等式得cos Btan B，sin B，B或.9(2016昆明检测)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，若cos B，a10，ABC的面积为42，则b的值等于 答案16解析依题可得sin B，又SABCacsin B42，则c14.故b6，所以bb16.*10.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin Bbcos A若a4，则ABC周长的最大值为 答案12解析由正弦定理，可将asin Bbcos A转化为sin Asin Bs

18、in Bcos A.又在ABC中，sin B0，sin Acos A，即tan A.0A，A.由余弦定理得a216b2c22bccos A(bc)23bc(bc)23()2，则(bc)264，即bc8(当且仅当bc4时等号成立)，ABC周长abc4bc12，即最大值为12.11(2015湖南)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，abtan A.(1)证明：sin Bcos A；(2)若sin Csin Acos B，且B为钝角，求A，B，C.(1)证明由正弦定理知2R，a2Rsin A，b2Rsin B，代入abtan A得sin Asin B，又A(0，)，sin A0，1，即s

19、in Bcos A.(2)解由sin Csin Acos B知，sin(AB)sin Acos B，cos Asin B.由(1)知，sin Bcos A，cos2A，由于B是钝角，故A，cos A，A.sin B，B，C(AB).12(2015陕西)ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行(1)求A；(2)若a，b2，求ABC的面积解(1)因为mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，从而tan A，由于0A，所以A.(2)方法一由余弦定理，得a2b2c22bcc

20、os A，而由a，b2，A，得74c22c，即c22c30，因为c0，所以c3，故ABC的面积为Sbcsin A.方法二由正弦定理，得，从而sin B，又由ab，知AB，所以cos B，故sin Csin(AB)sinsin Bcos cos Bsin .所以ABC的面积为Sabsin C.*13.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2(bc)2(2)bc，sin Asin Bcos2，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求ABC的面积解(1)由a2(bc)2(2)bc，得a2b2c2bc，cos A，又0A，A.由sin Asin Bcos2 ，得sin B，即sin B1cos C，则cos C0，即C为钝角，B为锐角，且BC，则sin(C)1cos C，化简得cos(C)1，解得C，B.(2)由(1)知，ab，由余弦定理得AM2b2()22bcos Cb2()2，解得b2，故SABCabsin C22.