4.4 y＝Asin(ωx＋φ)的图像与应用.docx

1、1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，xR振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A03.函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x) (A0，0)的图象的步骤如下：【知识拓展】1由ysin x到ysin(x)(0，0)的变换：向左平移个单位长度而非个单位长度2函数yAsin(x)的对称轴由xk，kZ确定；对称中心由xk，kZ确定其横坐标【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin的图象是由ysin的图象向右平移个单位得到的()(2)将函数ysin

2、x的图象向右平移(0)个单位长度，得到函数ysin(x)的图象()(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致()(4)函数yAsin(x)的最小正周期为T.()(5)把ysin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为ysin x.()(6)若函数yAcos(x)的最小正周期为T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()1(教材改编)y2sin(x)的振幅，频率和初相分别为()A2,4， B2，C2， D2,4，答案C解析由题意知A2，f，初相为.2(2015山东)要得到函数ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象

3、()A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位答案B解析ysinsin，要得到ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象向右平移个单位3(2017青岛质检)将函数ysin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()Aysin(2x) Bysin(2x)Cysin(x) Dysin(x)答案C解析ysin xysin(x)ysin(x)4若函数ysin(x) (0)的部分图象如图所示，则等于()A5 B4C3 D2答案B解析由函数图象知T2，4.5若将函数f(x)sin(2x)的图象向右平

4、移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是_答案解析函数f(x)sin(2x)的图象向右平移个单位得到g(x)sin2(x)sin(2x2)，又g(x)是偶函数，2k(kZ)，(kZ)当k1时，取得最小正值.题型一函数yAsin(x)的图象及变换例1(2015湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x02xAsin(x)0550(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2) 将yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到yg(x)的图象若yg(x)图象的一个对称中心为，求的最小值解(1)根

5、据表中已知数据，解得A5，2，.数据补全如下表：x02xAsin(x)05050且函数解析式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，得g(x)5sin.因为函数ysin x图象的对称中心为(k，0)，kZ.令2x2k，解得x，kZ.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称，所以令，解得，kZ.由0可知，当k1时，取得最小值.引申探究在本例(2)中，将f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)图象的对称中心解由(1)知f(x)5sin(2x)，因此g(x)5sin2(x)5sin(2x)因为ysin x的对称中心为(k，0)，kZ

6、.令2xk，kZ，解得x，kZ.即yg(x)图象的对称中心为(，0)，kZ.思维升华(1)五点法作简图：用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象(2)图象变换：由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”把函数ysin x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移个单位，得到的函数图象的解析式是()Aycos 2x Bysin 2xCysin(2x) Dysin(2x)答案A解析由ysin x图象

7、上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为ysin 2x，再向左平移个单位得ysin2(x)，即ycos 2x.题型二由图象确定yAsin(x)的解析式例2已知函数f(x)Asin(x) (A0，|0)的图象的一部分如图所示(1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)的对称轴方程解(1)观察图象可知A2且点(0,1)在图象上，12sin(0)，即sin .|0，0)解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A，B.(2)求，确定函数的周期T，则.(3)求，常用方法如下：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或

8、把图象的最高点或最低点代入五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0；“第二点”(即图象的“峰点”)为x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x；“第四点”(即图象的“谷点”)为x；“第五点”为x2.(2016太原模拟)已知函数f(x)sin(x) (0，|)的部分图象如图所示，则yf(x)取得最小值时x的集合为()Ax|xk，kZBx|xk，kZCx|x2k，kZDx|x2k，kZ答案B解析根据所给图象，周期T4()，故，2，因此f(x)sin(2x)，另外图象经过点(，0)，代入有2k(kZ)，再由|，得，f(x)s

9、in(2x)，当2x2k (kZ)，即xk(kZ)时，yf(x)取得最小值题型三三角函数图象性质的应用命题点1三角函数模型的应用例3(2015陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5 B6C8 D10答案C解析由题干图易得ymink32，则k5.ymaxk38.命题点2函数零点(方程根)问题例4已知关于x的方程2sin2xsin 2xm10在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是_答案(2，1)解析方程2sin2xsin 2xm10可转化为m12sin2xsin 2xcos 2xsin 2x2sin，x.

10、设2xt，则t，题目条件可转化为sin t，t有两个不同的实数根y和ysin t，t的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的范围为(1，)，故m的取值范围是(2，1)引申探究例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是_答案2,1)解析由例4知，的范围是，2m0，)的图象关于直线x对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)当x0，时，求函数yf(x)的最大值和最小值解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期T，从而2.又因为f(x)的图象关于直线x对称，所以2k，kZ，由0)，xR.在曲线yf(x)与直线y1的交点中

11、，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为()A. B.C D2答案C解析f(x)sin xcos x2sin(x)(0)由2sin(x)1，得sin(x)，x2k或x2k(kZ)令k0，得x1，x2，x10，x2.由|x1x2|，得，2.故f(x)的最小正周期T.4函数f(x)sin(x) (xR，0，|)的部分图象如图所示，如果x1，x2(，)且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)等于()A. B.C. D1答案B解析观察图象可知，A1，T，2，f(x)sin(2x)将(，0)代入上式得sin()0，由|0，0,00，0)的图象过点P(，0)，图象上与点P最近的一个最高点是Q(

12、，5)(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的递增区间解(1)依题意得A5，周期T4()，2.故y5sin(2x)，又图象过点P(，0)，5sin()0，由已知可得0，y5sin(2x)(2)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，故函数f(x)的递增区间为k，k (kZ)12已知函数f(x)cos2xsin xcos x.(1)求函数f(x)的最小正周期T和函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)的对称中心为(x,0)，求x0,2)的所有x的和解(1)由题意得f(x)sin(2x)，T，令2k2x2k，kZ.可得函数f(x)的单调递增区间为k，k，kZ.(2)令2xk，kZ，可得x，kZ.x0,2)，k可取1,2,3,4.所有满足条件的x的和为.*13.(2016潍坊模拟)函数f(x)Asin(x) (A0，0,0)的部分图象如图所示(1)求f(x)的解析式；(2)设g(x)f(x)2，求函数g(x)在x，上的最大值，并确定此时x的值解(1)由题图知A2，则4，.又f()2sin()2sin()0，sin()0，0，0，即，f(x)的解析式为f(x)2sin(x)(2)由(1)可得f(x)2sin(x)2sin(x)，g(x)f(x)2422cos(3x)，x，3x，当3x，即x时，g(x)max4.