4.3 三角函数的图像与性质.docx

1、1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)余弦函数ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xR且xk，kZ值域1,11,1R单调性在2k，2k(kZ)上递增；在2k，2k(kZ)上递减在2k，2k(kZ)上递增；在2k，2k(kZ)上递减在(k，k)(kZ)上递增最值当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1当x2k(k

2、Z)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)(kZ)(k，0) (kZ)(，0)(kZ)对称轴方程xk(kZ)xk(kZ)周期22【知识拓展】1对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期2奇偶性若f(x)Asin(x)(A，0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin x在第一、第四象限是增函数

3、()(2)常数函数f(x)a是周期函数，它没有最小正周期()(3)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(4)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(5)ysin |x|是偶函数()(6)若sin x，则x.()1函数f(x)cos(2x)的最小正周期是()A. BC2 D4答案B解析最小正周期为T.故选B.2(教材改编)函数f(x)3sin(2x)在区间0，上的值域为()A， B，3C， D，3答案B解析当x0，时，2x，sin(2x)，1，故3sin(2x)，3，即f(x)的值域为，33函数ytan 2x的定义域是()A.B.C.D.答案D解析由2xk，kZ，得x，kZ，

4、ytan 2x的定义域为.4(2016开封模拟)已知函数f(x)4sin(2x)，x，0，则f(x)的单调递减区间是()A，B，C，0D，0答案C解析f(x)4sin(2x)4sin(2x)由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以函数f(x)的递减区间是k，k(kZ)因为x，0，所以函数f(x)的递减区间是，05ysin(x)的图象的对称中心是_答案(k，0)，kZ解析令xk(kZ)，xk (kZ)，ysin(x)的图象的对称中心是(k，0)，kZ.题型一三角函数的定义域和值域例1(1)函数f(x)2tan(2x)的定义域是_(2)(2017郑州月考)已知函数f(x)sin(x)，其中x，

5、a，若f(x)的值域是，1，则实数a的取值范围是_答案(1)x|x，kZ(2)，解析(1)由2xk，kZ，得x，kZ，所以f(x)的定义域为x|x，kZ(2)x，a，x，a，x，时，f(x)的值域为，1，由函数的图象知a，a.思维升华(1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)三角函数值域的不同求法利用sin x和cos x的值域直接求；把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域；通过换元，转换成二次函数求值域(1)函数ylg(sin x) 的定义域为.(2)函数y2sin() (0x9)的最大值与最小值的和

6、为_答案(1)(2)2解析(1)要使函数有意义必须有即解得2kx2k(kZ)，函数的定义域为.(2)0x9，sin()1，故2sin()2.即函数y2sin()(0x9)的最大值为2，最小值为.最大值与最小值的和为2.题型二三角函数的单调性例2(1)函数f(x)tan的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)(2)已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是_答案(1)B(2)解析(1)由k2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)tan的单调递增区间为(kZ)，故选B.(2)由x，0，得x，又ysin x的单调递减区间为2k，2k，kZ，所以kZ，解得

7、4k2k，kZ.又由4k(2k)0，kZ且2k0，kZ，得k0，所以，引申探究本例(2)中，若已知0，函数f(x)cos(x)在(，)上单调递增，则的取值范围是_答案，解析函数ycos x的单调递增区间为2k，2k，kZ，则kZ，解得4k2k，kZ，又由4k0，kZ且2k0，kZ，得k1，所以.思维升华(1)已知三角函数解析式求单调区间：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错(2)已知

8、三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解(1)函数f(x)sin的单调减区间为_(2)若函数f(x)sin x(0)在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减，则等于()A. B.C2 D3答案(1)，kZ(2)B解析(1)已知函数可化为f(x)sin，欲求函数的单调减区间，只需求f(x)sin的单调增区间由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所给函数的单调减区间为(kZ)(2)f(x)sin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由f(x)sin x(0)在上单调递增，在上单调递减，知，.题型三三角函数的周期性

9、、对称性命题点1周期性例3(1)(2016北京东城区模拟)函数ysin 2xcos2x的最小正周期等于()A B2 C. D.(2)若函数f(x)2tan(kx)的最小正周期T满足1T2，则自然数k的值为_答案(1)A(2)2或3解析(1)ysin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)，所以函数的最小正周期T，故选A.(2)由题意得，12，k2k，即k，又kZ，k2或3.命题点2对称性例4对于函数f(x)sin，下列说法正确的是()Af(x)的周期为，且在0,1上单调递增Bf(x)的周期为2，且在0,1上单调递减Cf(x)的周期为，且在1,0上单调递增Df(x)的周期为2，且在1,0上单

10、调递减答案B解析因为f(x)sincos x，则周期T2，在0,1上单调递减，故选B.命题点3对称性的应用例5(1)已知函数y2sin的图象关于点P(x0,0)对称，若x0，则x0_.(2)若函数ycos(x) (N*)图象的一个对称中心是(，0)，则的最小值为()A1 B2C4 D8答案(1)(2)B解析(1)由题意可知2x0k，kZ，故x0，kZ，又x0，k，kZ，k0，则x0.(2)由题意知k (kZ)，6k2(kZ)，又N*，min2.思维升华(1)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是不是函数的

11、对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断(2)求三角函数周期的方法：利用周期函数的定义利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.(1)(2016朝阳模拟)已知函数f(x)2sin(x)，若对任意的实数x，总有f(x1)f(x)f(x2)，则|x1x2|的最小值是()A2 B4C D2(2)如果函数y3cos(2x)的图象关于点(，0)中心对称，那么|的最小值为()A. B.C. D.答案(1)A(2)A解析(1)由题意可得|x1x2|的最小值为半个周期，即2.(2)由题意得3cos(2)3cos(2)3cos()0，k，kZ，k，kZ

12、，取k0，得|的最小值为.5三角函数的性质考点分析纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分典例(1)(2015课标全国)函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ(2)已知函数f(x)2cos(x)b对任意实数x有f(x)f(x)恒成立，且f()1，则实数b的值为()A1 B3C1或3 D3(3)已知函数f(x)2sin x(0)在区间上的最小值是2，则的最小值等于_解析(1)由图象知，周期T

13、22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，kZ，得2kx0)的最小正周期为，则f()等于()A1 B. C1 D答案A解析T，2，f()sin(2)sin 1.2若函数f(x)cos 2x，则f(x)的一个递增区间为()A(，0) B(0，)C(，) D(，)答案B解析由f(x)cos 2x知递增区间为k，k，kZ，故只有B项满足3关于函数ytan(2x)，下列说法正确的是()A是奇函数B在区间(0，)上单调递减C(，0)为其图象的一个对称中心D最小正周期为答案C解析函数ytan(2x)是非奇非偶函数，A错误；在区间(0，)上单调递增，B错误；最小正周期为，D错误当x时，

14、tan(2)0，(，0)为其图象的一个对称中心，故选C.4(2016潍坊模拟)已知函数f(x)2sin(x)1(xR)的图象的一条对称轴为x，其中为常数，且(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为()A. B.C. D.答案B解析由函数f(x)2sin(x)1 (xR)的图象的一条对称轴为x，可得k，kZ，k，从而得函数f(x)的最小正周期为.5已知函数f(x)2sin(2x)(|)，若f()2，则f(x)的一个单调递减区间是()A， B，C， D，答案C解析由f()2，得f()2sin(2)2sin()2，所以sin()1.因为|0且|)在区间，上是单调减函数，且函数值从1减少到1，则f()

15、等于()A. B.C. D1答案C解析由题意得函数f(x)的周期T2()，所以2，此时f(x)sin(2x)，将点(，1)代入上式得sin()1 (|0)在区间，上是增函数，则的取值范围是_答案(0，解析方法一由2kx2k，kZ，得f(x)的增区间是，kZ.因为f(x)在，上是增函数，所以，所以且，所以(0，方法二因为x，0.所以x，又f(x)在区间，上是增函数，所以，则又0，得0.11设函数f(x)sin(0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线x.(1)求；(2)求函数yf(x)的单调递增区间解(1)令2k，kZ，k，kZ，又0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的单调区间解(1)x，2x，sin，2asin2a，a，f(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)0，得g(x)1，4sin11，sin，2k2x2k，kZ，其中当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递增，即kxk，kZ，g(x)的单调增区间为，kZ.又当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递减，即kxk，kZ.g(x)的单调减区间为，kZ.