《固体物理》第三章晶格振动与晶体热力学性质课件.ppt

1、第三章 晶格振动与晶体热力学性质第一节第一节 一维晶格的振动一维晶格的振动3.1.1 3.1.1 一维单原子链的振动一维单原子链的振动3.1.2 3.1.2 一维双原子链一维双原子链(复式格子复式格子)的振动的振动本节主要内容本节主要内容:3.1 一维晶格的振动3.1.1 一维单原子链的振动1.振动方程及其解 (1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量晶格常量)为为a，原子质量为，原子质量为m。第第n个原子个原子第第n-2个原子个原子第第n-1个原子个原子第第n+1个原子个原子第第n+2个原子个原子a Xn-2Xn-1 XnXn+1 Xn+2 用用

2、xn和和xk分别表示序号为分别表示序号为n和和k的原子在的原子在t时刻偏离平衡位置的时刻偏离平衡位置的位移，用位移，用xnk=xn-xk表示在表示在t时刻第时刻第n个和第个和第k个原子的相对位移。个原子的相对位移。第第n个原子个原子第第n-2个原子个原子第第n-1个原子个原子第第n+1个原子个原子第第n+2个原子个原子a Xn-2Xn-1 XnXn+1 Xn+2(2)振动方程和解振动方程和解平衡时，第平衡时，第k个原子与第个原子与第n个原子相距个原子相距akn 0r 为两个原子间的互作用势能，平衡时为为两个原子间的互作用势能，平衡时为 ，)(ru)(0ru)()(0rruru t时刻为时刻为

3、3332220)(dd61)(dd21dd)(000rrurrurrururrr nkx 333222000dd61dd21)()(nkrnkrxruxrururu 第第 n个与第个与第 k个原子间的相互作用力个原子间的相互作用力:)()(0rruru 2332200dd21ddddnkrnkrnkxruxruruf 2332200dd21ddddnkrnkrnkxruxruruf 振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（r r）二次方以上的二次方以上的高次项，只保留到高次项，只保留到(r r)2 2项项-简谐近似简谐近似。(忽略掉作用力中非线性项的近似-简谐近似。

4、)得得:nknknkrnkxxruf 022dd022ddrnkru 弹性恢复力系数弹性恢复力系数 knknknxxf 原子的振动方程原子的振动方程:knknknxxmx .akn 0r 令令只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：11.nnnnxxxxnmx 11.2 nnnxxxnmx 根据波恩根据波恩-卡门周期性边界条件给出试探解：卡门周期性边界条件给出试探解：naqtinAx e11eaq)n(tinAx 2sin2aqm 原子都以原子都以同一频率，同一振幅A振动，相邻原子间的位相振动，相邻原子间的位相差为差为aq。晶格中各个原子

5、间的振动相互间都存在着固定的位相晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关系，即原子的振动形成了波，这种波称为关系，即原子的振动形成了波，这种波称为格波格波。色散关系色散关系(晶格振动谱晶格振动谱)将试探解代入振将试探解代入振动方程得振动频率动方程得振动频率:如何推如何推导呢？导呢？aqntiaqntinaqwtinaqtiAAAmA112eee2e 给出试探解给出试探解:naqtinAx e 11.2 nnnxxxnmx)(miaqiaqee22 2sin4)cos22()sin(cos)sin(cos222aqaqaqiaqaqiaqm naqtin.Aix e naqtin.A)i

6、(x e2 naqtiA e22sin2aqm 由色散关系式可画图如下由色散关系式可画图如下:;2,maxmaq 当当0,0min q当当2.色散关系 是波矢是波矢q的周期性函数的周期性函数,且且(-q)=(q)。0 ma/a/a/2a/2 2sin2aqm )q(xAqxn)saq(natin 2e)(且且),2为为整整数数当当s(saqq,(q)q(oa a2 a2am 2sin2aqm 故取故取aqa 简约布里渊区简约布里渊区)q(x)q(xnn 且且),2为为整整数数当当s(saqq,)()(qq oa am 3.玻恩玻恩-卡门周期性边界条件及波矢卡门周期性边界条件及波矢q的取值的取值

7、 (1)玻恩玻恩-卡门周期性边界条件卡门周期性边界条件 设在实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接，设在实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。晶体中任一个原子，当其原胞下标数增加晶体中任一个原子，当其原胞下标数增加N（N为晶体中为晶体中原胞的个数原胞的个数）后，其振动情况复原。由）后，其振动情况复原。由N个原胞组成的单原个原胞组成的单原子链，由玻恩子链，由玻恩-卡门周期性边界条件卡门周期性边界条件:Nnnxx Nnnxx 1e iNaq对于一维布喇菲晶格对于一维布喇菲晶格(原胞下标数与原子下标数相同原

8、胞下标数与原子下标数相同):eeaq)Nn(tinaqtiAA sNaq 2sNaq2 整数(2)波矢波矢q的取值的取值aqa 22NsN 因为因为波矢波矢 也只能取也只能取N个不同的值。个不同的值。sNaq2 2,2,1,0,1,),32(),22(),12(NNNNs (共共N个值个值)晶格振动波矢只能取分离的值晶格振动波矢只能取分离的值波矢的数目波矢的数目(个数个数)=晶体原胞的数目晶体原胞的数目4.长波极限:02 qqmaaqmaqm 222sin2qVp mavp 所以所以因为因为所以所以oa a2 a2aqm 弹弹性性波波由连续介质波由连续介质波的传播速度：的传播速度：介介质质密密

9、度度弹弹性性模模量量 pvmavp qVp mavp 在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视为弹性波。例例1.求由求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原子质量为子质量为m，恢复力常数为，恢复力常数为(只考虑近邻原子间的相互作用只考虑近邻原子间的相互作用)。由玻恩由玻恩-卡门周期性边界条件卡门周期性边界条件:Nxx 111e iNaqsNaq 2 naqtinAx e解解:设最近邻原子间的恢复力系数为设最近邻原子间的恢复力系数为，则，则:将试探解代入振动方程得色散关系将试探解代入振动方程得色散关系:11.nnnnxxxxnmx 2si

10、n2aqm S为整数为整数saq52 2525 saqa 2525 s2,1,0,1,2 sa,a,a,aq545205254 1524321,0,5sin2,52sin2mm2sin2aqm 模型模型运动方程运动方程 试探解试探解色散关系色散关系波矢波矢q范围范围一维无限长原子链，一维无限长原子链，m，a，晶格振动波矢的数晶格振动波矢的数目目=晶体的原胞数晶体的原胞数B-K条件条件波矢波矢q取值取值 11.nnnnxxxxnmx naqtinAx e2sin2aqm aqa Nnnxx n-2nn+1n+2n-1ammoa a m2 3.1.2 一维双原子链(复式格)的振动1.运动方程和解

11、(1)(1)模型模型:一维无限长原子链，原子质量为一维无限长原子链，原子质量为m m和和M M，且，且m m M M。相邻原子间距均为相邻原子间距均为a，恢复力系数为，恢复力系数为。(晶格常量为晶格常量为2 2a)2 2n2 2n-1-12 2n+1+12 2n+2+22 2n n-2-2 mM质量为质量为M的原子编号为的原子编号为2n-2 、2n、2n+2、质量为质量为m的原子编号为的原子编号为2n-1 、2n+1、2n+3、x2nx2n-1x2n+1x2n+2x2n-2若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：1221222.nnnnnxxxxMx nnnxx

12、x212122 (2)方程和解方程和解 nnnnnxxxxmx212221212.122222 nnnxxx knkknnxxmx .aqntinAx1212e nxM2.nnnxxx212122 12.nxm 122222 nnnxxx naqtinBx22e 其他原子位移可按下列原则得出其他原子位移可按下列原则得出:(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。不同。(2)相隔一个晶格常数相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为的同种原子，相位差为2aq。)22(22eaqntinBx aqntinAx1212e 2.色

13、散关系e2eee)2()12()12()2(2naqtiaqntiaqntinaqtiBAABM e2eee)12()2()22()12(2aqntinaqtiaqntiaqntiABBAm BABMiaqiaq 2ee2 ABAmiaqiaq 2ee2 aqntinAx1212e nxM2.nnnxxx212122 12.nxm 122222 nnnxxx naqtinBx22e aqntinAx1212e )22(22eaqntinBx 0cos2202cos222 BaqAmBMAaq 上式看成是以上式看成是以A、B为未知数的线性齐次方程；为未知数的线性齐次方程；若若A，B不全为零，不全

14、为零，必须其系数行列式为零，即必须其系数行列式为零，即:0cos222cos222 aqmMaq 212222cos2aqmMMmMmmMA 212222cos2aqmMMmMmmMo 2cos2)(222aqmMMmMmmM 如何推导？如何推导？0(+)-光学支格波光学支格波，A(-)-声学支格波声学支格波 0cos222cos222 aqmMaq 04)(2cos422422 MmmMaq0)cos1(4)(22224 aqMmmM )cos1(44)(2)(2212222aqmMMmMmmM )cos1(4)(2)(22122aqmMMmMmmM cos42)(222aqmMmMMmMm

15、mM 2cos2)(22aqmMMmMmmM (1)色散曲线色散曲线)()(qq qaq )(aqa22 212222cos2aqmMMmMmmMA 212222cos2aqmMMmMmmMo :0时时 q 2)(2max mMMmo0min A:2时时aq mo 2min MA 2max 折合质量折合质量o qa2 a2 2O m 2A M 2由玻恩由玻恩-卡门边界条件，设晶体有卡门边界条件，设晶体有N个原胞，则：，则：,)(22Nnnxx ,Naqi1e2(2)波矢波矢q的取值的取值 aqNntinaqtiAA 22ee 22NsN aqa22 sNaq(共有共有N个值个值)一维双原子链，

16、每个原胞有两个原子，一维双原子链，每个原胞有两个原子，晶体的自由度数是2N。由由N个原胞组成的一维双原子链，波矢的数目为个原胞组成的一维双原子链，波矢的数目为N，频率的，频率的数目为数目为2N，格波，格波(振动模式振动模式)数目为数目为2N。sNqa22，s为整数为整数晶格振动波矢的数目晶格振动波矢的数目=晶体的原胞个数晶体的原胞个数晶格振动频率晶格振动频率(振动模式振动模式)的数目的数目=晶体中原子的自由度数晶体中原子的自由度数3.声学波和光学波 ,2211)2cos(2则则aqaq aMmvp 2,2aqMmA 212222cos2aqmMMmMmmMA 在长波近似的情况下，声学支格波与弹

17、性波的情况类似。在长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的情况类似。(1)当波矢当波矢q 0时时,如何推导？如何推导？212222cos2aqmMMmMmmMA 21222)(42aqmMmMMmMmmM 2122)(41aqMmmMMmMmmM 22)(21aqMmmMMmMmmM 2)(2aqMmmMmM aqMmA 2aMmvp 2qvp (2)相邻原子的振幅之比相邻原子的振幅之比对于声学支格波对于声学支格波:22)cos(2AAmaqBA ,02,2,0)cos(2 AAmMaq 所所以以aqa22 0 ABA 声学支格波，相邻原子都是沿着同一方向振动的。0cos2202cos222 B

18、aqAmBMAaq 0q0,1)cos(AaqBA 长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相同的振幅和位相作整体运动。因此，可以说，长声学波代表了同的振幅和位相作整体运动。因此，可以说，长声学波代表了原胞质心的运动。原胞质心的运动。对于光学波对于光学波:)cos(222aqMBAoo,20m ,0)cos(aq,0 oBA 光学支格波，相邻原子振动方向是相反的。,0qmM)Mm(;aqo 221)cos(2mMmmMMmMABO11)(222Mm,0 MBmA 长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说，长光长光学波，原胞的质心保持不

19、动。所以定性地说，长光学波代表原胞中两个原子的相对振动。学波代表原胞中两个原子的相对振动。光学支格波，相邻原光学支格波，相邻原子振动方向是相反的。子振动方向是相反的。声学支格波，相邻原子振声学支格波，相邻原子振动方向是相同的。动方向是相同的。光光学学波波声声学学波波声学波声学波光学波光学波0 q0 qaq2 声学波声学波aq2 光学波光学波 可以证明，可以证明，q=/2a时，在声学支格波上，质量为时，在声学支格波上，质量为m的的轻原子保持不动；在光学支格波上，质量为轻原子保持不动；在光学支格波上，质量为M的重原子保的重原子保持不动。持不动。例例2:一维一维无限无限长原子链，原子质量为长原子链，

20、原子质量为m和和M，且，且mM。靠靠的较近的两个原子构成一个分子。设一个分子内两原子平衡位的较近的两个原子构成一个分子。设一个分子内两原子平衡位置的距离为置的距离为b，恢复力系数为，恢复力系数为 1，分子间两原子间的，分子间两原子间的恢复力系数恢复力系数为为 2，晶格常量为晶格常量为a(如图所示如图所示)，求色散关系，求色散关系。a2n-22n2n+12n+22n-1Mmb 1 2解解:只考虑最近邻原子间的相互作用，只考虑最近邻原子间的相互作用，122212212.nnnnnxxxxMx nnnnnxxxxmx21212212212.q)ban(tinBx2212e aqntinAx222e

21、naqtiA e naqtiB e naqtinAx e22 aqntinAx)1(22e aqntinBx)1(12e naqtinBx e212 aqntin.Ax)1(222e aqntin.Bx)1(212e )e()(212iaqBABAAM )()e(122ABABBmiaq 将试探解代入方程得将试探解代入方程得:0e21221 BmAiaq 0e21221 BAMiaq 0ee2212121221 mMiaqiaq 02sin42212212 aqMmmM 2sin)(16)()(22221212212aqmMMmMmmM 2sin)(16)()(22221212212aqmMM

22、mMmmMo 2sin)(16)()(22221212212aqmMMmMmmMA 221212212max)(16)()(2 mMMmMmmMA 221212212omin)(16)()(2 mMMmMmmMmaxominA aqa 据玻恩据玻恩-卡门周期性边界条件，可以确定波矢卡门周期性边界条件，可以确定波矢q的取值。的取值。0(+)-光学支格波，光学支格波，A(-)-声学支格波声学支格波 ,)(22Nnnxx aq)Nn(tinaqtiAA ee1e iNaqsNaq2 22NsN nx2 naqtiA eaqa q可取可取N个值。个值。第二节第二节 三维晶格的振动三维晶格的振动本节主要

23、内容本节主要内容:3.2.1 3.2.1 色散关系色散关系3.2.2 3.2.2 波矢波矢q的取值和范围的取值和范围模型模型运动方程运动方程 试探解试探解色散关系色散关系波矢波矢q范围范围B-K条件条件波矢波矢q取值取值一维问题的处理步骤一维问题的处理步骤:2n-22n2n+12n+22n-1Mma aqntinAx1212e naqtinBx22e 2cos2)(222aqmMMmMmmM )(22Nnnxx aqa22 nxM2.nnnxxx212122 12.nxm 122222 nnnxxx 晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数晶体的原胞数N，格波振动频率数目格波振动频

24、率数目=晶体的自由度数，晶体的自由度数，格波的支数格波的支数=原胞内原子的自由度数。原胞内原子的自由度数。一维单原子链，设晶体有N个原胞。原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数=11支格波支格波晶体的自由度数晶体的自由度数=N频率数为频率数为N一维双原子链，设晶体有N个原胞。原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数=22支格波支格波晶体的自由度数晶体的自由度数=2N频率数为频率数为2N本节讨论三维晶格振动，得到晶格振动的基本特征和一些普本节讨论三维晶格振动，得到晶格振动的基本特征和一些普遍的结论。遍的结论。),.,(npmp21 一、运动方程及其解一、运动方程及其解设晶体原胞的基矢为设晶体原

25、胞的基矢为a1、a2、a3；沿基矢方向晶体各有沿基矢方向晶体各有N1、N2、N3个原胞，即晶体一共有个原胞，即晶体一共有NN1N2N3个原胞；个原胞；每个原胞内有每个原胞内有n n个原子，质量为个原子，质量为lplXRp 第第l个原胞第个原胞第p个原子的平衡点位置矢量为：个原子的平衡点位置矢量为：p 是是原胞顶点的位置矢量；原胞顶点的位置矢量；是原胞内第是原胞内第p p个原子的相对坐标。个原子的相对坐标。Rl332211alalalRzyxl ;,每个原胞中每个原胞中，n个不同原子平衡位置的相对坐标为个不同原子平衡位置的相对坐标为nrrr.,21该原子相对于平衡点的位移为该原子相对于平衡点的位

26、移为lup 它沿坐标轴的分量为它沿坐标轴的分量为lup lplXRp 第第p个原子在个原子在 方向的运动方程为方向的运动方程为.plump把一维晶格动力学方程的试解加以推广，设三维晶格行波把一维晶格动力学方程的试解加以推广，设三维晶格行波试解为：试解为：lpiRrqtpluAep piq rppAAe )(tRqipleA（）将试解代入运动方程，可得到将试解代入运动方程，可得到3n个线性齐次联立方程个线性齐次联立方程（由于晶格的平移对称性，使得由于晶格的平移对称性，使得3nN个联立方方程组减少到个联立方方程组减少到3n个个）：njqjj3,.,2,1),(.2ppAm使使 pA有非零解的条件是

27、系数行列式等于零。有非零解的条件是系数行列式等于零。由此可得到由此可得到3n个色散关系个色散关系每个色散关系代表一支格波，共有每个色散关系代表一支格波，共有3n支格波支格波。格波的色散关系中，有格波的色散关系中，有3支当支当0q另外，另外，3n-3支是描述原胞内各个原子之间的相对运动，称支是描述原胞内各个原子之间的相对运动，称为为光学支光学支。这三支称为声频波，它们是描述原胞与原胞之间的相对这三支称为声频波，它们是描述原胞与原胞之间的相对运动，其色散关系在长波近似下与弹性波类似，称为运动，其色散关系在长波近似下与弹性波类似，称为声学支声学支；0)(qqAiAi1231123lllllNlluu

28、uppp 二、周期性边界条件确定模式数目二、周期性边界条件确定模式数目根据波恩卡门边界条件的限制根据波恩卡门边界条件的限制1231223llllllNluuuppp 1231233(5),lllllllNuuuppp 或写成或写成llllllRuaNRuRuaNRuRuaNRu3322111 1()()lli q Rti q Rq N atee 由上式得由上式得边界条件表示，沿着边界条件表示，沿着ia方向，原胞的标数增加方向，原胞的标数增加iN振动情况相同。振动情况相同。33()()(7),lli q Rti q Rq N atee 22()()lli q Rti q Rq N atee 即即

29、1iiaNiqe也就是说也就是说因此，波矢因此，波矢q具有倒格矢的量纲，因此，容易得出：具有倒格矢的量纲，因此，容易得出：2222 haNq1112 haNq3332 haNqh1,h2,h3为整数为整数333222111bNhbNhbNhqb1,b2,b3是倒格基矢。三维格波的波矢也不是连续的，其中是倒格基矢。三维格波的波矢也不是连续的，其中b1/N1、b2/N2、b3/N3是波矢的基矢，波矢的点阵具有周期性。是波矢的基矢，波矢的点阵具有周期性。可以证明，若可以证明，若hK是倒格矢，则是倒格矢，则hqqqK lup 因此因此q的取值可限制在一个倒格原胞范围内，即第一布里渊区的取值可限制在一个

30、倒格原胞范围内，即第一布里渊区之内。之内。波矢点阵最小的重复单元的体积为波矢点阵最小的重复单元的体积为NNbNbNb)(332211一个重复单元对应一个波矢点，波矢空间单位体积内的波一个重复单元对应一个波矢点，波矢空间单位体积内的波矢数目，即波矢密度为矢数目，即波矢密度为N因此，在一个布里渊区内，波矢可取的数目为因此，在一个布里渊区内，波矢可取的数目为NN对每一个波矢对每一个波矢q，有，有3n个个)(qj 与之对应，每一组与之对应，每一组 q,表示表示晶格的一种振动模式，由此可知晶格的一种振动模式，由此可知三维晶体中振动模式数目为三维晶体中振动模式数目为3nN个。个。对于有对于有N个原胞的三维

31、晶体，每个原胞有个原胞的三维晶体，每个原胞有n个原子，每个原子有个原子，每个原子有3个自由个自由度，所以晶体的总自由度数也是度，所以晶体的总自由度数也是3nN。波矢波矢q增加一个倒格矢，原子的位移保持不变。增加一个倒格矢，原子的位移保持不变。第一布里渊区。第一布里渊区。晶格振动的波矢数目等于晶体的原胞数晶格振动的波矢数目等于晶体的原胞数N；格波振动模式数目等于晶体中所有原子的自由格波振动模式数目等于晶体中所有原子的自由度数之和度数之和3nN。概括起来，我们得到以下结论：概括起来，我们得到以下结论：例例2：金刚石结构有几支格波：金刚石结构有几支格波?几支声学波几支声学波?几支光学波几支光学波?设

32、晶设晶体有体有N个原胞，晶格振动模式数为多少个原胞，晶格振动模式数为多少?答答:金刚石结构为复式格子金刚石结构为复式格子,每个原胞有每个原胞有2个原子。个原子。,2,3 nm有有6支格波，支格波，3支声学波，支声学波，3支光学波。支光学波。振动模式数为振动模式数为6N。晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数晶体的原胞数N，格波振动频率数目格波振动频率数目=晶体的自由度数晶体的自由度数mNn，晶体中格波的支数晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数mn。第三节第三节 简正振动简正振动 声子声子本节主要内容本节主要内容:3.3.1 3.3.1 简正振动简正振动3.3

33、.2 3.3.2 声子声子理论考虑：理论考虑：前面我们根据牛顿定理用直接解运动方程的前面我们根据牛顿定理用直接解运动方程的方法，求解一维链的振动模，得出如下结论：方法，求解一维链的振动模，得出如下结论：晶体中原子的集体振动晶体中原子的集体振动-格波，可展开成格波，可展开成简谐平简谐平面波面波的线性迭加。的线性迭加。对微弱振动（简谐近似），每个格波就是一个简谐波，对微弱振动（简谐近似），每个格波就是一个简谐波，格波之间的相互作用可忽略，形成格波之间的相互作用可忽略，形成独立独立格波模式。格波模式。在玻恩在玻恩-卡门周期性边界条件下，得到卡门周期性边界条件下，得到分立分立的独立格的独立格波模式，可

34、用波模式，可用独立简谐振子独立简谐振子来表述。来表述。下面我们根据分析力学原理，引入简正坐标，直接过渡下面我们根据分析力学原理，引入简正坐标，直接过渡到量子理论，并引入到量子理论，并引入声子概念声子概念晶格振动中的简谐振晶格振动中的简谐振子的能量量子。子的能量量子。一、简谐近似和简正坐标一、简谐近似和简正坐标数学处理：数学处理：通过引入简正坐标，将晶格振动总能量（哈密通过引入简正坐标，将晶格振动总能量（哈密顿量）顿量）=动能动能 +势能（化成）势能（化成）=独立简谐振子能量之和独立简谐振子能量之和 从经典力学的观点，晶格振动是一个典型的小振动问题，从经典力学的观点，晶格振动是一个典型的小振动问

35、题，凡是力学体系自平衡位置发生微小偏移时，该力学体系的凡是力学体系自平衡位置发生微小偏移时，该力学体系的运动都是小振动。运动都是小振动。上一节关于晶格的运动方程之所以能够化成线性齐次上一节关于晶格的运动方程之所以能够化成线性齐次方程组，是简谐近似的结果，即忽略原子相互作用的非线方程组，是简谐近似的结果，即忽略原子相互作用的非线性项得到的。性项得到的。处理小振动问题的理论方法和主要结果处理小振动问题的理论方法和主要结果做为晶格做为晶格振动这部分内容的理论基础。振动这部分内容的理论基础。ijnijmijrBrAU021在第二章我们已经讨论过，当原子处于平衡位置时，在第二章我们已经讨论过，当原子处于

36、平衡位置时，原子间的相互作用势能原子间的相互作用势能),.,(321NuuuUU 取最小值。取最小值。相互作用势能是原子偏离平衡位置位移的函数。相互作用势能是原子偏离平衡位置位移的函数。N N个原个原子的位移矢量共有子的位移矢量共有3 3N N个分量，写成个分量，写成原子相互作用势能是这些位移分量的函数，即原子相互作用势能是这些位移分量的函数，即)3,.,2,1(Niui将将.,2131,023100NjijijiNiiiuuuuUuuUUU在平衡位置展开成泰勒级数在平衡位置展开成泰勒级数),.,(321NuuuUU 因在平衡位置势能取极小值，所以上式右端第二项为零，因在平衡位置势能取极小值，

37、所以上式右端第二项为零，若取若取U0为能量零点，并略去二次以上的高次项，得到为能量零点，并略去二次以上的高次项，得到23,1012NijijijUUu uuu 上式即为简谐近似下，势能的表示式，包含了位移交叉项。上式即为简谐近似下，势能的表示式，包含了位移交叉项。处理小振动问题一般都取简谐近似。处理小振动问题一般都取简谐近似。对于一个具体的物理问题是否可以采用简谐近似，要对于一个具体的物理问题是否可以采用简谐近似，要看在简谐近似条件下得到的理论结果是否与实验相一致。看在简谐近似条件下得到的理论结果是否与实验相一致。在有些物理问题中就需要考虑高阶项的作用，称为非谐作在有些物理问题中就需要考虑高阶

38、项的作用，称为非谐作用。用。NiiiumT31221为了消去势能中的交叉项，使问题简化，引入简正坐标为了消去势能中的交叉项，使问题简化，引入简正坐标N N个原子体系的动能函数为个原子体系的动能函数为NQQQ3,2,1.,简正坐标与原子的位移坐标之间的正交变换关系：简正坐标与原子的位移坐标之间的正交变换关系：NjjijiiQaum31在简正坐标中，势能和动能化成在简正坐标中，势能和动能化成NiiQT31221,213122NiiiQU由上式可得出由上式可得出正则动量正则动量iiiQQLP振动系统的振动系统的拉格朗日函数拉格朗日函数为：为：23123122121iNiiNiiQQUTL于是系统的于

39、是系统的哈密顿函数哈密顿函数化成化成NiiiiQPUTH3122221将上式代入将上式代入正则方程正则方程iiiQqQHPi)(2NiQQiii3,.,2,1,02.得到得到 这是这是3N个相互无关的个相互无关的谐振子的运动方程谐振子的运动方程，表明各简正，表明各简正坐标描述独立的简正振动。坐标描述独立的简正振动。sin()iiQAt 借助简正坐标，将借助简正坐标，将N个相互耦合关联的原子组成的晶格个相互耦合关联的原子组成的晶格的振动转化为的振动转化为3N个独立的谐振子的简谐振动。个独立的谐振子的简谐振动。其中，任意简正坐标的解为其中，任意简正坐标的解为i：振动的圆频率：振动的圆频率原子的位移

40、坐标和简正坐标间存在着正交变换关系：原子的位移坐标和简正坐标间存在着正交变换关系：NjjijiiQaum31上式表明，每一个原子都以相同的频率作振动。上式表明，每一个原子都以相同的频率作振动。NitAmaujiiji3,.,2,1),sin(当只考虑某一个当只考虑某一个Qj的振动时的振动时，位移坐标可表示为，位移坐标可表示为 一个简正振动与位移坐标不同，不再只和个别原子相一个简正振动与位移坐标不同，不再只和个别原子相联系，而是表示整个晶体所有原子都参与的振动，而且它联系，而是表示整个晶体所有原子都参与的振动，而且它们振动频率相同。们振动频率相同。二、一维简单晶格二、一维简单晶格说明二个问题：说

41、明二个问题：（1 1）简正坐标的引入）简正坐标的引入前面根据牛顿定理得到的原子运动方程的试解为前面根据牛顿定理得到的原子运动方程的试解为晶格振动等价于晶格振动等价于N个谐振子的振动，谐振子的振动频率就个谐振子的振动，谐振子的振动频率就是晶格的振动频率；是晶格的振动频率；根据牛顿定理用直接解运动方程的方法，求链的振动模，根据牛顿定理用直接解运动方程的方法，求链的振动模，与根据分析力学原理，引入简正坐标是等效的。与根据分析力学原理，引入简正坐标是等效的。)(tqnaiqnqqeAu 表示表示第第q个格波引起第个格波引起第n个原子的位移个原子的位移，而而第第n个原子的总位移应为所有格波引起的位移的叠

42、加个原子的总位移应为所有格波引起的位移的叠加在简谐近似和最近邻近似下在简谐近似和最近邻近似下，一维单原子晶格的振动总能，一维单原子晶格的振动总能量为量为2122121nnnnnuuumE势能项势能项 nnnnnnnnuuuuuuU12212122121 qqtqnaiqnnqqeAuu)(势能项势能项中出现了交叉项，为了消去势能中的交叉项，可以把原子总中出现了交叉项，为了消去势能中的交叉项，可以把原子总位移的表达式变换一下形式，令：位移的表达式变换一下形式，令：nnnnnnnnuuuuuuU12212122121 iqnaqneqQNmu )(1则则tiqqeANmqQ )(qqtqnaiqn

43、nqqeAuu)(代入代入将上式与简正坐标和原子位移坐标的定义关系式将上式与简正坐标和原子位移坐标的定义关系式 qiqnanqQeNum)(1进行比较可得：进行比较可得：如果如果Q(q)是简正坐标，那么它表示了格波是简正坐标，那么它表示了格波的振幅，而线性变换系数为的振幅，而线性变换系数为iqnanqeNa1 Q(q)是否就是简正坐标，需要证明经过上面的变换后，动是否就是简正坐标，需要证明经过上面的变换后，动能和势能都具有平方和的形式。能和势能都具有平方和的形式。NjjijiiQaum31为了证明这一点，需要利用以下两个关系式：为了证明这一点，需要利用以下两个关系式：10)(*1)()(qqN

44、nqqinaeNqQqQ 第一个关系式第一个关系式可以从原子位移为实数的条件得到可以从原子位移为实数的条件得到，因为，因为inaqqneqQNmu )(1inaqqneqQNmu )(1也可以写成也可以写成因为原子位移因为原子位移un为实数，所以为实数，所以*nnuu 比较上面两式，可得比较上面两式，可得)()(*qQqQ 把（把（1 1）式两端取共轭）式两端取共轭inaqqneqQNmu )(*1inaqqneqQNmu )(1（1）第二个关系式第二个关系式，实际就是实际就是线性变换系数的正交条件线性变换系数的正交条件当当q qqq时，时，llsNasqq ,2当当q=qq=q时，时，10)

45、(1qqNnqqinaeN 显然成立。显然成立。s为整数，故有为整数，故有211()0011NNin sin aqqNnneeNN 利用上述证明的两个关系式，我们可化简系统动能和势能的利用上述证明的两个关系式，我们可化简系统动能和势能的表达式。表达式。2101()NisnNneN 2/22/1101isNisisNeeNe 利用等比级数前利用等比级数前n项求和项求和公式公式晶格动能：晶格动能：nnumT221当当qq 时时11)(nqqinaeN qqinanqinaqeqQeqQNmm)()(121nqqinaqqeNqQqQ)(1)()(21有有qqqqQqQqQqQqQT2*)(21)(

46、)(21)()(21 22212121)(qQuuUqqnnn 同理可求出晶格势能同理可求出晶格势能：其中其中aqmqcos122是一维简单格子的色散关系。是一维简单格子的色散关系。这样可以写出晶格振动总能量如下：这样可以写出晶格振动总能量如下：NqqqQqQE)()(2122.2 至此，晶格的动能和势能都化成了平方和的形式，这说至此，晶格的动能和势能都化成了平方和的形式，这说明明Q(q)确实是系统的简正坐标。确实是系统的简正坐标。引入简正坐标以后：引入简正坐标以后：晶格振动的总能量可以表示为晶格振动的总能量可以表示为N个独立简谐振子的能量个独立简谐振子的能量之和。之和。这里所引入的线性变换可

47、与量子力学中的表象变换类比这里所引入的线性变换可与量子力学中的表象变换类比考虑考虑:实际坐标空间的实际坐标空间的N个相互作用的原子体系的微振动和个相互作用的原子体系的微振动和简正坐标所构成的态空间中简正坐标所构成的态空间中N个独立谐振子个独立谐振子等等效效三、声子三、声子根据量子力学对谐振子的处理，频率为根据量子力学对谐振子的处理，频率为q的谐振子的能的谐振子的能量本征值是量本征值是.2,1,0,)21(qqqqnnh所以晶格的总能量所以晶格的总能量qqqNqqnEh)21(nNiiinE3)21(h上述结论可直接推广到三维情况，三维晶格的振动总能上述结论可直接推广到三维情况，三维晶格的振动总

48、能量为量为引入声子的概念引入声子的概念：由于格波的能量是以为单位量子化的，通常把由于格波的能量是以为单位量子化的，通常把这个能量量子称为这个能量量子称为声子声子。qh声子是玻色子声子是玻色子：声子既具有能量又具有动量，即具有粒子的属性，所声子既具有能量又具有动量，即具有粒子的属性，所以我们可以把声子看成是一种以我们可以把声子看成是一种“准粒子准粒子”。由于同种声子。由于同种声子（和和q都相同的声子都相同的声子）之间不可区分而且自旋为零，）之间不可区分而且自旋为零，声子声子是玻色子是玻色子。平均声子数：平均声子数：由于对每个声子能级，声子的占据数没有限由于对每个声子能级，声子的占据数没有限制，声

49、子遵从玻色统计，对能级的平均占据数由制，声子遵从玻色统计，对能级的平均占据数由普朗克公式给出：普朗克公式给出：)(qih)(qih11 TkiBieqn)(声子的准动量声子的准动量声子不仅是一个能量子，它还具有声子不仅是一个能量子，它还具有“动量动量”。波矢波矢q的方向代表格波的传播方向，引入声子概念后它的方向代表格波的传播方向，引入声子概念后它就是声子的波矢，其方向代表声子的运动方向，类似光子，就是声子的波矢，其方向代表声子的运动方向，类似光子，称为声子的称为声子的准动量准动量。qh引入声子概念后，给处理有关晶格振动问题带来极大方便：引入声子概念后，给处理有关晶格振动问题带来极大方便：（1）

50、简谐近似下晶格振动的热力学问题就可简谐近似下晶格振动的热力学问题就可看做由看做由3nN种不种不同声子组成的理想气体系统同声子组成的理想气体系统处理，如果考虑非谐效应，可看成有处理，如果考虑非谐效应，可看成有相互作用的声子气体。相互作用的声子气体。（2）光子、电子、中子等与晶格振动相互作用，就可看成是光子、电子、中子等与晶格振动相互作用，就可看成是光子、电子、中子等与声子的碰撞作用，这样就使得问题的处理光子、电子、中子等与声子的碰撞作用，这样就使得问题的处理大大简化。大大简化。（3）元激发：声子反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元激发：声子反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元，固体中微观粒子