12.2直接证明与间接证明.docx

1、1直接证明(1)综合法定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法框图表示：(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)思维过程：由因导果(2)分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法框图表示：(其中Q表示要证明的结论)思维过程：执果索因2间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因

2、此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(6)证明不等式最合适的方法是分析法()1若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()Aac2abb2C.答案B解析a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb

3、2，由得a2abb2.2用反证法证明命题：“a，bN，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为()Aa，b都能被5整除Ba，b不都能被5整除Ca，b至少有一个能被5整除Da，b至多有一个能被5整除答案C解析“都不能”的否定为“至少有一个能”，故假设的内容应为“a，b至少有一个能被5整除”3要证a2b21a2b20，只要证明()A2ab1a2b20Ba2b210C.1a2b20D(a21)(b21)0答案D解析a2b21a2b20(a21)(b21)0.4如果abab，则a、b应满足的条件是_答案a0，b0且ab解析ab(ab)(ab)(ba)()(ab)()2()当a0，

4、b0且ab时，()2()0.abab成立的条件是a0，b0且ab.5(2016青岛模拟)如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，xn，有f()，已知函数ysin x在区间(0，)上是凸函数，则在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值为_答案解析f(x)sin x在区间(0，)上是凸函数，且A、B、C(0，)f()f()，即sin Asin Bsin C3sin ，sin Asin Bsin C的最大值为.题型一综合法的应用例1数列an满足an1，a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn，并证明.(1)证明an1，化简得2，即2，故数列

5、是以1为首项，2为公差的等差数列(2)解由(1)知2n1，Snn2.方法一(1)()()1.方法二1，又1，.思维升华(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.证明a，b，c(0，)， 0， 0， 0.由于a，b，c是不全相等的正数，上述三个不等式中等号不能同时成立，abc0成立上式两边同时取常用对数，得lg()lg abc，lglgl

6、glg alg blg c.题型二分析法的应用例2已知函数f(x)tan x，x，若x1，x2，且x1x2，求证：f(x1)f(x2)f.证明要证f(x1)f(x2)f，即证明(tan x1tan x2)tan ，只需证明tan ，只需证明.由于x1，x2，故x1x2(0，)所以cos x1cos x20，sin(x1x2)0,1cos(x1x2)0，故只需证明1cos(x1x2)2cos x1cos x2，即证1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2，即证cos(x1x2)f.引申探究若本例中f(x)变为f(x)3x2x，试证：对于任意的x1，x2R，均有

7、f.证明要证明f，即证明，因此只要证明(x1x2)，即证明，因此只要证明，由于x1，x2R时， 0, 0，由基本不等式知显然成立，故原结论成立思维升华(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证(2017重庆月考)设a0，b0,2cab，求证：(1)c2ab；(2)c a0，b0,2cab2，c，平方得c2ab.(2)要证c ac，只要证 ac，即证|ac|，即(ac)2c2a

8、b.(ac)2c2aba(ab2c)0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0x0.(1)证明：是函数f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明c.证明(1)f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等实根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0的根，又x1x2，x2(c)，是f(x)0的一个根即是函数f(x)的一个零点(2)假设0，由0x0，知f()0，与f()0矛盾，c，又c，c.23反证法在证明题中的应用典例(2分)直线ykxm(m0)与椭圆W：y21相交于A、C两点，O是坐标原点(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在

9、W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形思想方法指导在证明否定性问题，存在性问题，唯一性问题时常考虑用反证法证明，应用反证法需注意：(1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去规范解答(1)解因为四边形OABC为菱形，则AC与OB相互垂直平分由于O(0,0)，B(0,1)，所以设点A，代入椭圆方程得1，则t，故|AC|2.4分(2)证明假设四边形OABC为菱形

10、，因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0.由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.6分设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，km.所以AC的中点为M.8分因为M为AC和OB的交点，且m0，k0，所以直线OB的斜率为，因为k1，所以AC与OB不垂直10分所以OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形12分1(2017泰安质检)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x2axb0没有实根B方程x2axb0至多有一个实根C方程x2axb0至多有两个实根D方程x2axb0恰好有两个实根答案A解

11、析因为“方程x2axb0至少有一个实根”等价于“方程x2axb0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x2axb0没有实根”故选A.2若一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A(3,0) B3,0C3,0) D(3,0答案D解析2kx2kx0对一切实数x都成立，则必有或k0.解得30，则三个数，()A都大于2 B至少有一个大于2C至少有一个不小于2 D至少有一个不大于2答案C解析因为()()()()()()6，当且仅当xyz时等号成立所以三个数中至少有一个不小于2，故选C.4已知p3q32，证明：pq2.用反证法证明时，可假设pq2；若a，bR，|a|b

12、|2，故中的假设错误；对于，其假设正确，故选D.5设a，b，c(，0)，则a，b，c()A都不大于2 B都不小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2答案C解析因为abc6，所以三者不能都大于2.6用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2bxc0 (a0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数用反证法证明时，下列假设正确的是_假设a，b，c都是偶数；假设a，b，c都不是偶数；假设a，b，c至多有一个偶数；假设a，b，c至多有两个偶数答案解析“至少有一个”的否定为“都不是”，故正确7(2016全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙

13、的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_答案1和3解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”8若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1，在区间1,1内至少存在一点c，使f(c)0，则实数p的取值范围是_答案解析若二次函数f(x)0在区间1,1内恒成立，则解得p3或p， 故满足题干条件的p的取值范围为.9

14、已知m0，a，bR，求证：()2.证明因为m0，所以1m0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证10设f(x)ax2bxc(a0)，若函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f(x)为偶函数证明由函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，可知f(x1)f(x)将x换成x代入上式可得f(x1)f(x)，即f(x)f(x)，由偶函数的定义可知f(x)为偶函数11已知函数f(x)ax(a1)(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)0没有负数根

15、证明(1)任取x1，x2(1，)，不妨设x10.a1，1且0，0.又x110，x210，0.于是f(x2)f(x1)0，故函数f(x)在(1，)上为增函数(2)假设存在x01，01，01，即x02，与假设x00相矛盾，故方程f(x)0没有负数根12(2016浙江)设函数f(x)x3，x0,1，证明：(1)f(x)1xx2；(2)f(x).证明(1)因为1xx2x3，由于x0,1，有，即1xx2x3，所以f(x)1xx2.(2)由0x1得x3x，故f(x)x3xx，所以f(x).由(1)得f(x)1xx22，又因为f，所以f(x).综上，f(x).*13.(2015课标全国)设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd|的充要条件证明(1)因为()2ab2，()2cd2，由题设abcd，abcd得()2()2.因此 .(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2, 即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd，所以abcd.由(1)得 .若 ，则()2()2，即ab2 cd2.因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上， 是|ab|cd|的充要条件