高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题.docx

1、1(2015课标全国)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A. B2 C. D.答案D解析如图，设双曲线E的方程为1(a0，b0)，则|AB|2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MNx轴于点N(x1,0)，ABM为等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60，y1|MN|BM|sinMBN2asin 60a，x1|OB|BN|a2acos 602a.将点M(x1，y1)的坐标代入1，可得a2b2，e ，选D.2.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足

2、|OP|OF|，且|PF|4，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析设椭圆的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，右焦点为F，连接PF，如图所示，因为F(2，0)为C的左焦点，所以c2.由|OP|OF|OF|知，FPF90，即FPPF.在RtPFF中，由勾股定理，得|PF|8.由椭圆定义，得|PF|PF|2a4812，所以a6，a236，于是b2a2c236(2)216，所以椭圆的方程为1.3设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.答案D解析由已知得焦点坐标为F(，0)，因此直线AB的方

3、程为y(x)，即4x4y30.方法一联立直线方程与抛物线方程化简得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.方法二联立方程得x2x0，故xAxB.根据抛物线的定义有|AB|xAxBp12，同时原点到直线AB的距离为h，因此SOAB|AB|h.4(2016北京)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a_.答案2解析设B为双曲线的右焦点，如图所示四边形OABC为正方形且边长为2，c|OB|2，又AOB，tan1，即ab.又a2b2c28，a2.5已知双曲线1(a0，b0)和椭圆1有相同

4、的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_答案1解析由题意得，双曲线1(a0，b0)的焦点坐标为(，0)，(，0)，c且双曲线的离心率为2a2，b2c2a23，双曲线的方程为1.题型一求圆锥曲线的标准方程例1已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A、B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，所以运用点差法，所以直线AB的斜率为k，设直线方程为y(x3)，联立直线与椭圆的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，所以x1x22，又因为a2b29，解得b29，a2

5、18.思维升华求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程(2015天津)已知双曲线1(a0，b0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为()A.1 B.1 C.y21 Dx21答案D解析双曲线1的一个焦点为F(2,0)，则a2b24，双曲线的渐近线方程为yx，由题意得，联立解得b，a1，所求双曲线的方程为x21，选D.题型二圆锥曲线的几何性质例2(1)(2015湖南)若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.(2)(2016天津)设抛物线(

6、t为参数，p0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|2|AF|，且ACE的面积为3，则p的值为_答案(1)D(2)解析(1)由条件知yx过点(3，4)，4，即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e.故选D.(2)由(p0)消去t可得抛物线方程为y22px(p0)，F，|AB|AF|p，可得A(p，p)易知AEBFEC，故SACESACF3ppp23，p26，p0，p.思维升华圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间

7、的联系掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力已知椭圆1(ab0)与抛物线y22px(p0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆1(ab0)的离心率为_答案1解析因为抛物线y22px(p0)的焦点F为，设椭圆另一焦点为E.当x时，代入抛物线方程得yp，又因为PQ经过焦点F，所以P且PFOF.所以|PE| p，|PF|p，|EF|p.故2a pp,2cp，e1.题型三最值、范围问题例3若直线l：y过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行(1)求双曲线的方程；(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，M

8、N的垂直平分线为m，求直线m在y轴上的截距的取值范围解(1)由题意，可得c2，所以a23b2，且a2b2c24，解得a，b1.故双曲线的方程为y21.(2)由(1)知B(0,1)，依题意可设过点B的直线方程为ykx1(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(13k2)x26kx60，所以x1x2，36k224(13k2)12(23k2)00k2，且13k20k2.设MN的中点为Q(x0，y0)，则x0，y0kx01，故直线m的方程为y，即yx.所以直线m在y轴上的截距为，由0k2，且k2，得13k2(1,0)(0,1)，所以(，4)(4，)故直线m在y轴上的截距的取值范围为(，4)(4

9、，)思维升华圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和均值不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值与范围直线l：xy0与椭圆y21相交于A，B两点，点C是椭圆上的动点，则ABC面积的最大值为_答案解析由得3x22，x，设点A在第一象限，A(，)，B(，)，|AB|.设与l平行的直线l：yxm与椭圆相切于P点则ABP面积最大由得3x24mx2m220，(4m)243(2m22)0，m.P到AB的距离即为l与l的距离，d.SABC.题型四定值、定点问题例

10、4(2016全国乙卷)设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围解(1)因为|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为

11、1(y0)(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120.则x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y(x1)，点A到m的距离为，所以|PQ|24.故四边形MPNQ的面积S|MN|PQ|12.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8)思维升华求定点及定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变

12、量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值(2016北京)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|BM|为定值(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.椭圆方程为y21.(2)证明由(1)知，A(2,0)，B(0,1)设椭圆上一点P(x0，y0)，则y1.当x00时，直线PA方程为y(x2)，令x0，得yM.从而|BM|1yM|.直线PB方程为yx1.令y0，得xN.|AN|2xN|.

13、|AN|BM|4.当x00时，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|BM|4.故|AN|BM|为定值题型五探索性问题例5(2015广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由解(1)圆C1：x2y26x50化为(x3)2y24，圆C1的圆心坐标为(3,0)(2)设M(x，y)，A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，由圆的性质知MC1MO，0.又(3x，y)，(x，y)

14、，由向量的数量积公式得x23xy20.易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ymx，当直线l与圆C1相切时，d2，解得m.把相切时直线l的方程代入圆C1的方程，化简得9x230x250，解得x.当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)又直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，x3.点M的轨迹C的方程为x23xy20，其中x3.(3)由题意知直线L表示过定点(4,0)，斜率为k的直线，把直线L的方程代入轨迹C的方程x23xy20，其中x3，化简得(k21)x2(38k2)x16k20，其中x3，记f(x)(k21)x2(38k2)x16k2，其中0时，若x3是方程的解，则f(3)0

15、k0另一根为x0，故在区间上有且仅有一个根，满足题意；若x是方程的解，则f0k另外一根为x，3，故在区间上有且仅有一根，满足题意；若x3和x均不是方程的解，则方程在区间上有且仅有一个根，只需ff(3)0kb0)以抛物线y28x的焦点为顶点，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆E相交于A，B两点，与直线x4相交于Q点，P是椭圆E上一点且满足(其中O为坐标原点)，试问在x轴上是否存在一点T，使得为定值？若存在，求出点T的坐标及的值；若不存在，请说明理由解(1)抛物线y28x的焦点为椭圆E的顶点，即a2.又，故c1，b.椭圆E的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2

16、，y2)，P(x1x2，y1y2)，联立得(4k23)x28kmx4m2120.由根与系数的关系，得x1x2，y1y2k(x1x2)2m.将P代入椭圆E的方程，得1，整理，得4m24k23.设T(t,0)，Q(4，m4k)，(4t，m4k)，.即.4k234m2，.要使为定值，只需2为定值，则1t0，t1，在x轴上存在一点T(1,0)，使得为定值.1(2015陕西)如图，椭圆E：1(ab0)，经过点A(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.(1)解由题设知，b1，结合a

17、2b2c2，解得a，所以椭圆的方程为y21.(2)证明由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2，从而直线AP，AQ的斜率之和 kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.2已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为3，其中一条渐近线的方程为xy0.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A，B两点(1)求椭圆E的方程；(2)若点P为椭圆E的左顶点，2，求|2|2的取值范围解(1)由双曲线1的焦

18、距为3，得c，a2b2.由题意知，由解得a23，b2，椭圆E的方程为y21.(2)由(1)知P(，0)设G(x0，y0)，由2，得(x0，y0)2(x0，y0)即解得G(，0)设A(x1，y1)，则B(x1，y1)，|2|2(x1)2y(x1)2y2x2y2x3xx.又x1，x0,3，x，|2|2的取值范围是，3(2016北京顺义尖子生素质展示)已知椭圆1的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点(1)求该椭圆的离心率；(2)设直线AB和AC分别与直线x4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MPNP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解(1)由椭圆方程可得a2，b，

19、从而椭圆的半焦距c1.所以椭圆的离心率为e.(2)依题意，直线BC的斜率不为0，设其方程为xty1.将其代入1，整理得(43t2)y26ty90.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，所以y1y2，y1y2.易知直线AB的方程是y(x2)，从而可得M(4，)，同理可得N(4，)假设x轴上存在定点P(p,0)使得MPNP，则有0.所以(p4)20.将x1ty11，x2ty21代入上式，整理得(p4)20，所以(p4)20，即(p4)290，解得p1或p7.所以x轴上存在定点P(1,0)或P(7,0)，使得MPNP.4如图，已知M(x1，y1)是椭圆1(ab0)上任意一点，F为椭圆的右焦点(1)若椭圆的离心率为e，试用e，a，x1表示|MF|，并求|MF|的最值；(2)已知直线m与圆x2y2b2相切，并与椭圆交于A，B两点，且直线m与圆的切点Q在y轴右侧，若a2，求ABF的周长解(1)设F(c,0)，则|MF|，又1，则yb2，所以|MF| ，又ax1a且0e0)，连接OQ，OA，在RtOQA中，|AQ|2xyb2，又yb2，所以|AQ|2，则|AQ|，同理|BQ|，所以|AB|AF|BF|2ax0x22a，又a2，所以所求周长为4.