电动力学矢量分析1课件.ppt

1、电动力学课程简介 老师、教材 1、关于光的波动理论的基础课程 2、从“做事的人好找,能说明白的难找”看基础理论的意义 3、电动力学与高中物理、大学物理中的电磁场理论的区别 4、课程有难度但不可怕,要及时解决问题“光电信息科学与工程”教学计划 通识教育基础课程：思想道德修养与法律基础(40),中国近现代史纲要(32),思政课社会实践(24),马克思主义原理(40),毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论(56),形势与政策(32),中国语文(32),综合英语(一、二)(562),大学体育(一四)(324)微积分(一、二)(882),线性代数(40),概率论与数理统计(40),复变函数与积分变换

2、(40),数理方程与特殊函数(40)大学物理(一、二)(882),物理实验(一、二)32+24军事理论16,人文社科类选修课程160信息学科大类基础课程工程制图40、信息技术导论32、C语言程序设计56、电路理论88、信号与线性系统56、电路测试实验32、数字电路与逻辑设计56、模拟电子技术56、电子线路设计实验(一、二)322、单片机原理及应用56、微机实验16学科专业基础课程应用光学48、应用光学实验16、电动力学48、物理光学72、物理光学实验24、量子力学48、光电探测与信号处理48、光电技术实验16、激光原理与技术64、激光实验24、光纤光学40、光纤技术实验24专业核心课程课程组1

3、(光电子器件，专业方向A或B)热力学与统计物理32、固体物理48课程组2(光电系统，专业方向C或D)通信原理48、光纤通信技术48专业方向课程专业方向A(激光科学与工程)限选激光器件与系统40专业方向B(光电子器件与集成)限选半导体光电子学40专业方向C(光通信与光网络技术)限选光网络技术40专业方向D(光电系统与信息处理)限选光电仪器学40专业任选课128矢量分析矢量分析 电动力学电动力学附录一附录一 (数学准备数学准备)矢量代数和矢量场论矢量代数和矢量场论简要复习矢量代数简要复习矢量代数突出矢量场论物理应用意义突出矢量场论物理应用意义总结一些公式和定理总结一些公式和定理希望懂、希望懂、用、

4、记用、记(三结合三结合)目录目录 1矢量代数复习矢量代数复习 2标量场的方向导数标量场的方向导数 梯度梯度(读Nabla del)算符算符 3矢量场的散度矢量场的散度 高斯定理高斯定理 4、矢量场的旋度矢量场的旋度 斯托克斯定理斯托克斯定理 5关于散度、旋度和梯度的一些定理关于散度、旋度和梯度的一些定理 6 算符运算公式算符运算公式 7.曲线正交坐标系曲线正交坐标系 8.格林定理格林定理1.矢量代数复习矢量代数复习矢量 的大小以a表之，称为单位矢量aaa aaaaxyzaa ia ja kcoscoscosxyzaaaaaa、分别为与x、y、z轴的夹角两个乘法定义 ,构成右手系 xxyyzza

5、 ba ba ba bcos0a babyzzyzxxzxyyxabi a ba bj a ba bk a ba bsin0abababa bA BBA 注意加减法？cabbcaabcxyzyzzyzxxzxyyxxyzzyyzxxzzxyyxxyzzyyzxxzzxyyxxyzzyyzxxzzxyyxcabc ic jc ki a ba bj a ba bk a ba bca ba bca ba bca ba bbc ac abc ac abc ac abcaab cb cab cb cab cb cabc三矢量的混合积三矢量的混合积 ac b 注意，三个矢量按循环次序轮注意，三个矢量按循环

6、次序轮换，其积不变。顺时针（换，其积不变。顺时针（+），），逆时针（逆时针（-）。）。.ab cca bbc aac bcb aba c 几何意义几何意义-体积体积cababcb a cc a b ()()xyzyzzyzxxzxyyxyxyyxzzxxzzyzzyxxyyxxzxxzyyzzyxyyzzxxxyyzzxxabca ia ja ki b cb cj b cb ck b cb ci ab cb cab cb cj ab cb cab cb ck ab cb cab cb ci ba ca ca cca ba ba bj()()()()yzzxxyyyzzxxyyzyyxxzzzy

7、yxxzzxxyyzzba ca ca cca ba ba bk ba ca ca cca ba ba bi ba cca bj ba cca bk ba cca bb a cc a b 三矢量的矢积三矢量的矢积 物理意义：物理意义：b b、c c的线性组合的线性组合 规则：把括号外的矢量与括号内较规则：把括号外的矢量与括号内较远的矢量所得项为正号，另一项为远的矢量所得项为正号，另一项为负号。负号。abcb a cc a b 变矢 ,aa tbb tdadadaaaaaadtdtdtddbdaa babdtdtdtddbdaababdtdtdtdadadaaaaaadtdtdt222yxzyy

8、xxzzxyzaaadadadadaaaijkdtdtdtaaadtaaaaaadadadaaijkaadtaadtaadta ia ja k并矢 矢量A和B并列,称为并矢AB,有9个分量 111213212223313233ABABABA BA BA BA BA BA B一般来说 ABBA张量 具有9个分量的物理量,T111213212223313233TTTTTTTTT当这9个分量在坐标系转动下按一定方式变换时见第六章(4.19)式,由它们组成的物理量就称为张量并矢是张量的一种特殊情形 应力张量 考察固体中某点P附近d面元前方的介质通过面元对后方介质作用力df 由于d与df的方向不同,可以

9、先分别考察法线方向沿x、y、z方向的小面元kTjTiTdkdfjdfidff dxzxyxxxxzxyxxxyyyxyyyzdfdT iT jT kzzzxzyzzdfdT iT jT k xyzxxxyxzyxyyyzzxzyzzdfdfdfdfdiT iT jT kdjT iT jT kdkT iT jT k直角坐标系张量的表述 直角坐标系的单位基矢量为e1,e2,e3,1,2,3ijijTT e ei j11 1 112 1 213 1 321 2 12222232331 3 1323233 3 3ABABe eAB e eAB e eA Be eA B e eA B e eA Be e

10、A B e eA B e e并矢eiej可以作为张量的9个基,一般张量在这9个基上的分量就是Tij 单位张量 三个对角分量为1,其它分量为0 1 1223 3te ee ee e100010001t张量与矢量的点乘1 1111 212,feef e efeef e e332313322212312111eefTeefTeefTeefTeefTeefTeefTeefTeefTTfzzzyzxyzyyyxxzxyxx1 1111 212,eefe efeefe ef111213212223313233xxxyxzyxyyyzzxzyzzTfT e efT e efT e efT eefT eefT

11、 eefT eefT eefT eef张量与矢量的点乘 ijijllijlijlijjiijlijlijiijjijTfT e ef eT f eT f ef Tf T e tff tf单位张量和任一矢量的点乘等于该矢量以矩阵乘法表示点乘zyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxfffTTTTTTTTTfTxxxyxzxyzyxyyyzzxzyzzTTTf TfffTTTTTT 以矩阵乘法表示并矢xyxyzzffgfgggffggfzyxzyxgggfffgf并矢AB与矢量C的点乘 并矢与矢量的点乘是一个矢量 ABCA B CCABC A BABCCAB张量与矢量的叉乘1 1111 212,f

12、eefe efeefe e111213212223313233xxxyxzyxyyyzzxzyzzfTTfe eTfe eTfe eTfeeTfeeTfeeTfeeTfeeTfeefTTf2 标量场的方向导数 梯度 标量场中值相同标量场中值相同的点构成的面称的点构成的面称为为等值等值面面 场中任一点沿不场中任一点沿不同方向的变化是同方向的变化是不同的不同的,需要考需要考察标量在场中沿察标量在场中沿每一方向的变化每一方向的变化情况情况 引进引进方向导数方向导数概概念念 称为标量函数在点P0处沿 方向的方向导数 S00000limlimPPPPSPSSPP 方向导数 方向导数是标量函数在一个点处沿

13、某个方向对距离的变化率。它的数值与所取方向有关,但它并不是矢量。当 时,说明在这个特定方向是增加的；当 时,沿着这个方向是减少的。方向导数越大,则等值面沿这个方向会表现怎样的特性？00000limlimPPPPSPSSP P 称为标量函数在点P0处沿 方向的方向导数 S0S0S梯度定义grad(grad是gradient缩写)不同的方向上,方向导数是不同的,但总存在着一个方向,标量场沿着这方向增长得最快 定义一个矢量-梯度:它的方向是增长的最快的方向,大小是沿着这个方向的方向导数 表示等值面0在P0点的法线方向当 时,（P0、Pn、P组成直角三角形）n00PP 00 cos,nPPPPs n梯

14、度 是P0点标量增长得最快的方向。按梯度定义,方向就是梯度的方向,所以梯度的方向和该点的等值面垂直 cos,s nsn n ngradnn梯度的大小就是沿法线方向的方向导数gradssS 方向的方向导数梯度的直角坐标表示 上面三式恰好grad矢量在直角坐标中的三个分量 xyzgradigradxgradjgradygradkgradz gradijkxyz1 2222gradnxyz梯度算子梯度算子(读“Nabla”)算符算符（劈形算子、倒三角算子）（劈形算子、倒三角算子）.ijkxyz graddiv,rot,.yxzxyzijkxyzfffxyzijkxyzfff fffff ff f作用

15、在矢量场上有两种方式作用在标量场既具有矢量性质,又是微分算子,不可随意交换例1求矢径大小的梯度 物理意义？1 2222rrxyzrrrrijkxyz 12222122rxxyzxxr,ryrzyrzrxyzrrijkrrrrr 231rrrrr例2证明：ijkxyzxxxyyyzzz例3 求矢径 的梯度1 2222rrxxyyzzrrrrijkxyzrxxxrryyyrrzzzr rrrrr 3 矢量场的散度矢量场的散度 高斯定理高斯定理 矢量场的矢线 矢量场可以用它的矢线来形象地描绘 矢线是这样的曲线,它上面每一点的切线方向和对应于该点的矢量的方向相重合。流体力学中矢线就是流线,电场中矢线称

16、为电力线,磁场中矢线称为磁力线。曲面上的矢量场关系矢量场关系 1、矢量的通量称为矢量 通过面元 的通量 dNA dSA ndSAdSSNA dS通过曲面S的通量,曲面S的一侧称为内面,另一侧面称为外面(内、外是任意选定的),面元法线由内指向外 SNA dS通过闭合曲面S N0，说明从闭合曲面S内流出的(液体)量比由面S外流进的液体多,象曲面S内有一个源泉一样N0，说明从面S流进面内的(液体)量比流出的多 2、散度定义直角坐标系微分形式 考虑一个无限小平行六面体的闭合表面 ABCD面元上的通量,ABCDABCDxdNA dSA x y z dydz,ABCDABCDxdNAdSA x dx yz

17、 dydz ,xxxxAdNA x dxyzA xyz dydzdxdydzxyyzzAdNdxdydzyAdNdxdydzz通过整个平行六面体的总通量dN 称为矢量的散度,为一标量 yxzAAAdNdxdydzxyzyxzAAAAxyzdNAdVdVdxdydz A定义则散度的定义(与坐标系无关)求矢量在某点的散度,取一包围该点的闭合曲面S,体积为V。求该矢量对该闭合面的通量,然后求这一通量与该闭合面所包围的体积之比,当曲面收缩为一点时,这一比值的极限就是该矢量在该点的散度。0limSVA dSAV 0divA0div A0divA负源无源正源当矢量场是流体中的速度场时，在液体中每一点 等于

18、单位时间内从环绕所研究的这一点的单位体元内流出的液体量 v矢量场A(x,y,z)的散度意义散度意义divergence“发散的程度”例1 求 有什么意义？你能用合适的方法解释吗？rrixjykz3xyzrxyz散度描述的是矢量场中各点的场量散度描述的是矢量场中各点的场量与通量与通量源源的关系的关系通量源所产生的场具有发散通量源所产生的场具有发散(正源正源)或或汇聚汇聚(负源负源)特征特征例2 求 这又有什么意义？3rr333334442223533333300rxyzrx ryrzrxyzxyzrrrrrr rxyzrrr习题1.3zeyexezeyexeezzeyyexxrzzyyxxrzy

19、xzyxzyx2223330,0,0rrrrrrr 求矢径 的梯度1 2222rrxxyyzzrrrrijkxyzrrrrr 例3 求证 AAA xyzyxzxyzAAAAxyzAAAAAAxxyyzz3.高斯定理 对任意形状、大小的闭合曲面S求矢量的通量,可以将曲面S包围的有限体积分成许多小平行六面体,对其中每一个小平行六面体都可应用散度式。对所有的小六面体表面的通量取和时,相邻的界面没有贡献,因为由一个平行六面体的侧面流出的通量恰为相邻的平行六面体流入的通量,一为正一为负二者之和恰好相消。所以只剩下对所取整个体积的外表面的通量,故矢量对有限闭合曲面的通量为SVA dSAdV能简单想象吗？v

20、从从物理角度物理角度可以理解为高斯定理建立了可以理解为高斯定理建立了区域区域V 中的场和包围区域中的场和包围区域V 的闭合面的闭合面S 上上的场之间的关系。的场之间的关系。v如果已知区域如果已知区域V 中的场，根据高斯定理中的场，根据高斯定理即可求出边界即可求出边界S 上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。高斯公式的意义高斯公式的意义4矢量场的旋度 斯托克斯定理 1、矢量的环流 矢量 沿闭合曲线L的积分,称为矢量 沿L的环流 ACA dlA如 为作用在某一粒子上的力,而C就是粒子沿闭合曲线L绕行一周时力所作的功。斯托克斯定理可以证明:矢量沿一条闭合曲线的环流,可以写成以该回路为边线的曲面积分。A

21、2、斯托克斯定理 考虑在yz平面上的一个小的矩形回路,并设积分方向与x轴成右手螺旋,计算回路的环流 对AB边 对CD边 二者之和为 1yA dlAz dy2yA dlAzdz dy yyyAA z dzA zdydzdyz 同理,对BC边 对DA边 二者之和为 将上面结果之和以dCx表之(x表示在x平面内的回路),得3zA dlAydy dz 4zA dlAy dz zzzAAydy dzAy dzdydzyyzxAAdCdydzyz 同理,如无穷小矩形回路在xy、zx平面内,也循回方向与z、y轴成右手螺旋关系 yxzAAdCdxdyxyxzyAAdCdzdxzxyyxxzzAAAAAAAij

22、kyzzxxyxxxyyyzzzdCAdydzAidSdCAdxdzAjdSdCAdxdyAkdS 定义则推广到在空间任意取向的无穷小矩形回路L 选择一个新的坐标系x、y、z,使L在新坐标系中,正好处于yz面上,而且积分的循回方向与x轴成右螺旋关系 xLA dlA dydzA dSdSidydzndS 取不同的坐标系并不改变矢量的性质 LA dlAdS xLA dlA dydzA dSdSidydzndS xxxyyyzzzdCAdydzAidSdCAdxdzAjdSdCAdxdyAkdS 3、矢量的旋度(与坐标系无关)0limLSA dlAS yyxxzzAAAAAAAijkyzzxxy也用

23、 或 表示,前者是拉丁语缩写,后者为英文rotACurlA直角坐标系下旋度的物理意义旋度的物理意义1)矢量矢量A的旋度是一个矢量的旋度是一个矢量,2)它描述它描述A在该点处的旋涡在该点处的旋涡源源强度。强度。3)若某区域中各点若某区域中各点rot A=0,称称A为为无旋场无旋场或保守场或保守场。研究刚体以匀角速旋转,此时刚体上某点的速度 求vrvvrxyzxzxzxyvzyvxzvyx2yzxxxxvvvyz 22yyzzvv2v图1-5JB02v旋度描述的是矢量场中各点的涡旋源旋度描述的是矢量场中各点的涡旋源涡旋源产生的矢量场的矢量线是闭合曲线涡旋源产生的矢量场的矢量线是闭合曲线匀角速旋转例

24、1 求 3rr3333333rzyxzyxijkryrzrzrx rx ryr 33513zyzzyryrr353yyzzrr 30 xrr330yzrrrr 30rr例2 求,x y zx y z yzzyzyxxxyzyzyz yyyzzz 斯托克斯定理 在一条有限回路上计算环流,可以将曲线分成许多无限小的格子,对每一小格可用上面方法求环流。再对全部小格的环流取积分,其中相邻格子的边线上的环流彼此对消,因为其中每一条边线都被沿正、反方向各走过一次,剩下的只是最外边曲线上的环流。LSA dlAdSL是指最外边的曲线,S为以L为边线的任意曲面 旋度旋度与与散度散度的区别的区别v矢量场的旋度是矢

25、量函数，矢量场的旋度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数；矢量场的散度是标量函数；v旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源源的关系，的关系，散度描述的是矢量场中各点的场量与通量散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源源的关系；的关系；v如果矢量场所在的如果矢量场所在的全部全部空间中，场的旋度处空间中，场的旋度处处为零处为零,则这种场称之为则这种场称之为无旋场无旋场（或保守场（或保守场）如果矢量场所在的如果矢量场所在的全部全部空间中，场的散度处空间中，场的散度处处为零，则这种场称之为处为零，则这种场称之为无源场无源场；5.关于散度、旋度和梯度的一些定关于散度、旋度

26、和梯度的一些定理理 ，标量场的梯度必为无旋场。若 ，则 ，无旋场必可表为标量场的梯度。（电势），矢量场的旋度必为无源场。若 ，则 ，无源场必可表为另一矢量的旋度。（磁矢势）00AA0A0AAB 0fxyz 0yzxxfffyzyzzy 同理可证其它分量也为零 0标量场的梯度必为无旋场0A yzyxxzAAAxyzAAAAyzxzxy 求 定义拉普拉斯算符 2 222222xxyyzzxyz2222222xyz 2 作业1 自行推导公式和例题 电动力学是建立在场论基础上的，场是独立存在的物质，有其自身的规律，试着从现在开始建立这种观点。作业1、已知 ，试求矢量 ，并求2、已知 ，试确定a、b、c

27、，使F是一无源场3、求场 通过由平面所围单位立方体表面的流量 342x y za a222,2Faxzx byxyzzcxzxyz24,axzyyz0,1,0,1,0,1xxyyzz5.关于散度、旋度和梯度的一些定理关于散度、旋度和梯度的一些定理 ，标量场的梯度必为无旋场。若 ，则 ，无旋场必可表为标量场的梯度。（电势），矢量场的旋度必为无源场。若 ，则 ，无源场必可表为另一矢量的旋度。（磁矢势）00AA0A0AAB 例题例题 设设为原点到场点的距离，证明为原点到场点的距离，证明 .【证】由 222zyxr31rrr r.zyxzyxeee.)eee(1)eee(1eee1)1(e)1(e)1

28、(e13322rzyxrrzryrxrzryrxrrrzryrxrzyxzyxzyxzyxr r可见可见，点电荷的静电场的标量势点电荷的静电场的标量势的梯度就是它的电场强度的梯度就是它的电场强度的的负值负值。（指向电势减少的方向。）。（指向电势减少的方向。）*rQ04304rQr31Err r r0E6.算符运算公式算符运算公式 AAA AAA A BABAB A BBAB AABA B A BABABBABA 2AAA p.277 ijkxyzxxxyyyzzz微分和矢量双重性 把带把带c的场量移到的场量移到算符的前面算符的前面 cccc 先进行微商运算先进行微商运算最后将c省略对标量的运算

29、比较简单AAA xyzyxxzyzAAAAxyzAAAxxyAAAyzz ccccccAAAAAAA czcycxczcycxcczyxzyxccAAA zyxyzzyxxAAAyzAAAAAAyyzz yyyzzzAAAAAA AAA 第一步进行微商运算 对于矢量场进行微商运算时,先不要变更矢量的位置。第二步按矢量性质作调整第二步按矢量性质作调整,利用混合积公式 负号是由于B必须放在算符的后面?A BccA BABA Bca bab cac b ccA BABBA acbbacA BBAAB xyyxzxxzyzzyzyxzyxBABABABABABABBBAAAkjiBA,yzzyxyyx

30、zxxzyyxzzzzyyzxzyyxxxzzxyxxyyyxxzzxyzA BA BA BA BA BA BA BxyzABBBAABABABAxxxxyyBAAABBBABABAyyzzzzAAAAAABBByzzxxyyyxxzzxyzBBBBBBAAAyzzxxyA BABABBABA ccA BABA B ca ba c bb c aa c ba c bca ba c bb c ab c ab c a ccccccA BABA BABABBABAcccABABBA 初学者往往错误地写为注意并矢计算BzAyAxABAzyxyxzyxzxyzyxzBBBxxxBBBABAAAyyyBBB

31、zzzccA BA BA BA BABABBABA bcabaccabbacbca bcac b aa b cc a bb c a ccA BA BA BABABBABA 微商关系错了矢量关系错了也不对对了 ccA BA BA BccA BAB ccA BABcccA BB ABA cccA BABAB cccA BBABA A BABABBABA 掌握基本要领，初学者不要指望一学就完全熟练注意要把不变矢量提到前 直接用三矢量积公式2AAA abcb a cc a b AAAAA221yyxxzzxyzyyyxxxzzyzzxyxzzxyAAAAAAA iA jA kijkyzzxxyAAAA

32、AAAAAAiAAjxyzxyzxyAAAAAAzxykzkzAAzAAzAAjyAAyAAyAAixAAxAAxAAkAAAzjAAAyiAAAxzzyyxxzzyyxxzzyyxxzyxzyxzyx22222222221直接验证kzAAyAAxAAjzAAyAAxAAizAAyAAxAAkAjAiAzAyAxAzzzyzxyzyyyxxzxyxxzyxzyx7 曲线正交坐标系曲线正交坐标系三个坐标变量三个坐标变量 (r(r)、z z0 0 +,0 20 2,-z+-z+,其中其中x=x=cos,cos,y=y=sin,z=zsin,z=z坐标基矢是：坐标基矢是：e e,e,e,e,ez z

33、，柱坐标系柱坐标系柱坐标系基矢柱坐标系基矢er,e,ez关系关系构成右手系zzzeeeeeeeeezzAA eA eA e e不是常矢量不是常矢量 e变化的基矢随的变化eeededeeededyxyxsincoscossincossin,sincoscossin,sincosxyxyxyeeeeeeeeeeee 点的位置矢量 在直角坐标系中表示为 在柱坐标系中是 点位置矢量在、z增加方向上的微分元为d、d、dz,位置矢量的微分元为rxiyjzkzrezezzzdrded zee ddee dze dede dz 位置矢量微分元,x y zx y zz x y z ijkxyz zxxxzxzy

34、yyzyzzzzzz zz 求根据定义求出：z在e,e,ez下的具体形式下的具体形式zkyjxi与该点的的等值面垂直,并指向增长方向,数值是沿着这个方向的方向导数 nnne1n e同理zze 垂直于等值面且指向增大方向的单位矢量是 ell 001limlimlll 1 e1zeeez e 根据散度定义求在柱坐标系中的表示式 A柱坐标系表达式0limSSVA dSA dSAVdV 柱坐标面中小体元,棱分别为d,d,dz,当体元取得无穷小时,d是直线元,侧面也是平面元,体积 dVd d dz 垂直于的两面MM3N2M1面积 ,法线方向 1dSd dz e1,AzdSAzd dz M2N1NN3面积

35、 ,法线方向 2dSdd dz e2,AdzdSAdzdd dz ,AAdzAzd 因22AAA dSAd dzA d d dzd d dzdd dz 2AA dSAdd dz略去最后一项 垂直于的两面的通量 12AAdSAddSd d dz 同理平行于的两侧面的通量Ad d dz 同理平行于的两顶面的通量zAd d dzz 总通量zSAAAA dSd d dzz dVd d dz SzA dSAAAAdVz 直接通过线元获得结果zdre dede dz 圆柱坐标系中,沿三个方向的线元为d、d、dz1zeeez xyzeeexyz 1zeeez111zzzzzzzzzzAeeee Ae Ae

36、AzAAAeeeeAeAeAeeAeAeAAAeeeezzzAAA11zzAzAAAz柱坐标系中的表达式：e,e,ez1zeeez11zAAAAz2222211z1zeeez 1111zzzzzeeeAAAezzArAAAAAAeez球坐标系球坐标系 0r+,0 2,0.x=rsincos,y=rsinsin,z=rcos.坐标基矢是：(e er,e e,e e)，基矢关系基矢关系e er,e e,e ecossinsinsincoscoscoscossinsincossinyxzyxzyxreeeeeeeeeeecossin,0cos,sin,eeeeeeeeeeeerrrr位置矢量rerr

37、drerdedrerdrsin位置矢量微分及线元drerdedrerdrsin球坐标系中,沿三个方向的线元为dr、rd、rsind11sinreeerrr xyzeeexyz 球坐标系中的表达式：er,e,e 11sinreeerrr22111sinsinsinrAAr AArrrr22222222111sinsinsinrrrrrr.sin11rrrreee2sin1sinsin1sinsin111sinrrrrrerereArrArArAAAerAArAerAerrrr一般曲线正交坐标系 在一般曲线正交坐标系中,空间点位置用单位矢量e1,e2,e3方向的三个坐标u1,u2,u3表示 位置矢

38、量的微分元(h称为拉梅系数)333222111eduheduheduhrd圆柱坐标1,1,321321hrhhzuuru球坐标123123,1,sinur uuhhr hr333222111111euheuheuh3213213213213211fhhufhhufhhuhhhf311222121233111313122333232111efhufhuhhefhufhuhhefhufhuhhf33213221321132132121uhhhuuhhhuuhhhuhhh8.格林定理格林定理已知、皆为连续、可微的标量点函数nVSSa dVa dSa dSdSndSa 2a naa nn 2VSdVd

39、Sn 和对调 2VSdVdSn 22VSdVdSnn 格林定理1格林定理2一个矢量场被唯一确定的条件 要解决的问题是：已知哪些条件,就可以完全决定一个矢量场 设有一区域V,其边界面为闭合面S,若已知矢量在V中每一点的散度、旋度及矢量 在S面上的法线分量,nax y zVax y zVaf MS在 内在 内在 面上a、f为已知函数 则可以证明,由条件可以完全决定矢量,反证法证明 假设有两个矢量和同时满足条件 121212,nnax y zVax y zVax y zVax y zVaf MSaf MS在 内在 内在 内在 内在 面上在 面上12baa121212000nnnbaaVbaaVbaa

40、f Mf MS 在 内在 内在 面上 因为 ,可用标量的梯度表示,令 ;由 ,知在V内在S面上利用格林定理(1)，令因为 必有 0bbb 0b200nbnn 22VSdVdSn 20VdV2000b 12aa电动力学的基本问题 要想确定区域V中的E或B，必须知道V中每一点E或B的散度、旋度及其在边界面S上的法线分量En或Bn 作业：作业：1-1，1-2，1-3，扩展作业 1.在球坐标系中,已知矢量A=aer+be+ce,其中a、b和c均为常数。(1)问矢量A是否为常矢量；(2)求A和A。2.现有三个矢量A、B、C分别为 A A=sincose er+coscose e-sine e B B=z

41、2sine e+z2cose e+2zsine ez C C=(3y2-2x)e ex+x2e ey+2ze ez 哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？求出这些矢量源分布。能画出这些图形吗？3.(1)已知某矢量场在球坐标系中可以表示成E E(r,)=C(r r/r3)，请求出其散度与旋度；(2)已知某矢量场在柱坐标系中可以表示成B B(z,)=Ce e，请求出其散度与旋度。C为常数。4.证明：5.如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p=AX而P=AX,p和P已知，试求X.()()()0AB CBCA

42、CAB6.设u是空间坐标x,y,z的函数，证明f(u)=(df/du)u;A(u)=(dA/du)u;A(u)=u(dA/du)7.对于包含eikr因子的矢量，如E0eikr，证明Nabla算符对其的各种作用(点积和叉积)等效于ik对该矢量相应的作用。8.一径向矢量场用F=erf(r)表示，如果F=0，那么函数f(r)会有什么特点？参考书 1、谢处方等著,电磁场与电磁波,高等教育出版社,第一章 或其它电磁场与电磁波教材 2、谢树艺编,矢量分析与场论-工程数学-第四版 几个问题 1、除了所有涡旋源和通量源外,为什么确定矢量场还需要边界条件？2、一个点可以同时是涡旋源和通量源吗？3、中的3是否与维度有关？3zkyjxir亥姆霍兹定理 任一矢量场可以分解为一个无旋场与一个无源场的和 VSVSdSrrnrFVdrrrFdSrrnrFVdrrrFrF4444 VVVdrrrFVdrrrFrF44