三级火箭发射卫星数学模型课件.pptx
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- 三级 火箭 发射 卫星 数学模型 课件
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1、三级火箭发射卫星数学模型第1页,共105页。第六讲第六讲 运载火箭发射卫星数学模型运载火箭发射卫星数学模型 火箭是一个复杂的系统,为了火箭是一个复杂的系统,为了使问题简单明了,我们只从动力系统使问题简单明了,我们只从动力系统和整体结构上分析,并且总假设火箭和整体结构上分析,并且总假设火箭的推动力是足够强大的推动力是足够强大的。的。一、为什么不能用一级火箭发射一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星人造卫星 二、理想火箭模型二、理想火箭模型 三、多级火箭系统三、多级火箭系统第2页,共105页。团结团结 信赖信赖 创造创造 挑战挑战 1)模型假设模型假设 1.1 1.1 卫星轨道是以地球中心为圆心的某
2、个平面上的圆周,卫卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周,卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动;1.2 1.2 地球是固定于空间中的一个均匀球体,其质量集中于球心地球是固定于空间中的一个均匀球体,其质量集中于球心;1.3 1.3 其它星球对卫星的引力忽略不计。其它星球对卫星的引力忽略不计。1.1.卫星能进入卫星能进入600km600km高空轨道高空轨道,火箭必须的最低速度火箭必须的最低速度.一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星 第3页,共105页。团结团结 信赖信赖 创造创造
3、 挑战挑战 设地球半径为设地球半径为R,中心为中心为O,质量为质量为M,曲线,曲线C表示地球表表示地球表面,面,C表示卫星轨道,表示卫星轨道,C的半的半径为径为r,卫星的质量为,卫星的质量为m。rCOCR 1.1.卫星能进入卫星能进入600km600km高空轨道高空轨道,火箭必须的最低速度火箭必须的最低速度.一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星 第4页,共105页。如果把卫星放在地球表面,则由(如果把卫星放在地球表面,则由(1 1)式,得)式,得2 MmmgGR 2 RFmgr 2 2)建模与求解)建模与求解 根据假设根据假设1.21.2、1.31.3,卫星
4、只受地球引力,由牛顿万有引力定,卫星只受地球引力,由牛顿万有引力定律可知其引力大小为律可知其引力大小为2MmFGr(1)22Rmvmgrr 第5页,共105页。团结团结 信赖信赖 创造创造 挑战挑战gvRr 7.6/vkm s 第6页,共105页。2.2.火箭推进力及升空速度火箭推进力及升空速度 火箭的简单模型是由一台发动机和一个火箭的简单模型是由一台发动机和一个燃料仓组成。燃料燃烧产生大量气体从火箭燃料仓组成。燃料燃烧产生大量气体从火箭末端喷出,给火箭一个向前的推力。火箭飞末端喷出,给火箭一个向前的推力。火箭飞行要受地球引力、空气阻力、地球自转与公行要受地球引力、空气阻力、地球自转与公转等的
5、影响,使火箭升空后作曲线运动。转等的影响,使火箭升空后作曲线运动。1.1.卫星能进入卫星能进入600km600km高空轨道高空轨道,火箭必须的最低速度火箭必须的最低速度.一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星 第7页,共105页。团结团结 信赖信赖 创造创造 挑战挑战精品文档精品文档欢迎下载欢迎下载欢迎使用欢迎使用团结信赖团结信赖 1 1)模型假设)模型假设 为使问题简化,假设:为使问题简化,假设:2.1 2.1 火箭在喷气推动下作直线运动,火箭所火箭在喷气推动下作直线运动,火箭所受的重力和空气阻力忽略不计;受的重力和空气阻力忽略不计;2.2 2.2 在在t
6、t时刻火箭质量为时刻火箭质量为m(t),速度为,速度为v(t),且均为时间且均为时间t t的连续可微函数;的连续可微函数;2.3 2.3 从火箭末端喷出气体相对火箭本身的从火箭末端喷出气体相对火箭本身的速度速度u为常数为常数,即气体相对于地球的速度为即气体相对于地球的速度为v(t)-uuv第8页,共105页。团结团结 信赖信赖 创造创造 挑战挑战 2 2)建模与分析)建模与分析 由于火箭在运动过程中不断喷出气体,使其质量不断减由于火箭在运动过程中不断喷出气体,使其质量不断减少,在少,在t,t+t 内的减少量可由微分公式表示为内的减少量可由微分公式表示为()()()dmm ttm tttdt (
7、)()()dvv ttv tttdt ()()()dvv ttv tttdt ()()()dmm ttm tttdt 即即第9页,共105页。团结团结 信赖信赖 创造创造 挑战挑战()()m tt v tt ()()()()dmdvm tttv tttdtdt ()()()()()dvdmm t v tm ttv tttdtdt ()()()dmm ttm tttdt ()()()dvv ttv tttdt 第10页,共105页。因为喷出气体相对地球的速度为因为喷出气体相对地球的速度为v(t)-u,则由动量守恒定律有,则由动量守恒定律有 ()()()()()()dmm t v tm tt v
8、ttttv tudt ()()()()()()dmm tt v ttm t v tttv tudt ()()()()dmdmm t v tv ttuttdtdt 第11页,共105页。团结团结 信赖信赖 创造创造 挑战挑战()()()()()()()dvdmm tt v ttm t v tm ttv tttdtdt ()()()()()()dmdmm tt v ttm t v tv ttuttdtdt 0(0)vv dvudmm 00()ln()mv tvum t(1)0(0)vv dvdmmudtdt 第12页,共105页。表 明 火 箭 所 受 推 力 等 于 燃 料 消 耗 速 度 与
9、喷 气 速 度表 明 火 箭 所 受 推 力 等 于 燃 料 消 耗 速 度 与 喷 气 速 度(相相对火箭对火箭)的乘积。的乘积。表明,在一定的条件下,火箭升空速度由喷气速度表明,在一定的条件下,火箭升空速度由喷气速度(相对火相对火箭箭)及质量比决定。这为提高火箭速度找到了正确途径:尽可能及质量比决定。这为提高火箭速度找到了正确途径:尽可能提高火箭燃烧室产生的气体喷出的速度,这需要从燃料上想办法;提高火箭燃烧室产生的气体喷出的速度,这需要从燃料上想办法;尽可能减少在时刻火箭的质尽可能减少在时刻火箭的质量,这要从结构上想办法。量,这要从结构上想办法。00()ln()mv tvum tdvdmm
10、udtdt 第13页,共105页。3.3.一级火箭末速度上限一级火箭末速度上限 火箭火箭卫星系统的质量可分为三部分:净载质量卫星系统的质量可分为三部分:净载质量(有效负有效负载,如卫星载,如卫星)mp,,燃料质量燃料质量mF ,结构质量结构质量(如外壳、燃料容器如外壳、燃料容器及 推 进 器及 推 进 器)mS。一 级 火 箭 末 速 度 上 限 主一 级 火 箭 末 速 度 上 限 主要是受目前技术条件的限制。要是受目前技术条件的限制。1)1)模型假设模型假设 3.1 3.1 一般来说,结构质量一般来说,结构质量mS在在mS+mF中占有一定的比例,中占有一定的比例,在现有技术条件下,要使燃料
11、与发动机的质量和小于所载在现有技术条件下,要使燃料与发动机的质量和小于所载燃料的燃料的1/91/9是很难做到的。是很难做到的。目前技术条件下不妨设相对火目前技术条件下不妨设相对火箭的喷气速度箭的喷气速度u=3km/s.3.2 3.2 初速度初速度v0忽略不计,即忽略不计,即v0=0.=0.19sFsmmm 第14页,共105页。团结团结 信赖信赖 创造创造 挑战挑战 2)建模与求解建模与求解 因为升空火箭的最终因为升空火箭的最终(燃料已耗尽燃料已耗尽)质量为质量为mp+ms。然后将燃。然后将燃料仓和发动机丢弃,只剩下净载体,由式料仓和发动机丢弃,只剩下净载体,由式(1)(1)及假设及假设3.2
12、3.2得到得到其末速度为其末速度为 令令 ,代入上式代入上式,得,得0()()sFspmmmmm 由此可见,对于给定由此可见,对于给定u值,当有效负荷值,当有效负荷mp=0时,火箭末速时,火箭末速度达到最大,即火箭末速度上限的数学模型度达到最大,即火箭末速度上限的数学模型0lnpsmvumm (2)00ln(1)pmvumm(3)(3)00()ln()mv tvum t第15页,共105页。团结团结 信赖信赖 创造创造 挑战挑战 而卫星能进入而卫星能进入 600km 600km 高空轨道高空轨道,火箭末速度最低为火箭末速度最低为 7.67.6km/s.即便忽略空气阻力、重力、不携带任何东西的情
13、况下,火箭即便忽略空气阻力、重力、不携带任何东西的情况下,火箭末速度最大才末速度最大才6.66.6km/s。因此,用一级火箭发射卫星,在目。因此,用一级火箭发射卫星,在目前 技 术 条 件 下 无 法 达 到 在 相 应 高 度 所 需 的 速前 技 术 条 件 下 无 法 达 到 在 相 应 高 度 所 需 的 速度,也就是说度,也就是说单级火箭不能用于发射卫星单级火箭不能用于发射卫星。03ln96.6/vkm s由假设由假设3.13.1,取,取u =3km,=3km,,便得火箭末速度上限,便得火箭末速度上限9101lnvu (4)(4)第16页,共105页。团结团结 信赖信赖 创造创造 挑
14、战挑战 这就是单级火箭设计方面的最大缺点这就是单级火箭设计方面的最大缺点,因此我们必须反思,有必要改进火箭的,因此我们必须反思,有必要改进火箭的设计。设计。3)3)模型分析模型分析 单级火箭一直将将燃料仓和发动单级火箭一直将将燃料仓和发动机带到了末端,而未将这些丢弃机带到了末端,而未将这些丢弃,火火箭发动机作了许多无用功。也就是说箭发动机作了许多无用功。也就是说发动机必须把整个沉重的火箭加速到发动机必须把整个沉重的火箭加速到最后最后,但是当燃料耗尽时但是当燃料耗尽时,发动机加速发动机加速的仅仅是一个空的燃料仓的仅仅是一个空的燃料仓.第17页,共105页。上面我们对问题分析可以看出:火箭推上面我
15、们对问题分析可以看出:火箭推进力自始至终在加速着整个火箭,然而随着进力自始至终在加速着整个火箭,然而随着燃料的不断消耗,所出现的无用结构质量也燃料的不断消耗,所出现的无用结构质量也在随之不断加速,作了无用功,效益低,浪在随之不断加速,作了无用功,效益低,浪费大。所谓费大。所谓理想火箭,就是能够随着燃料理想火箭,就是能够随着燃料的的燃烧不断抛弃火箭的无用结构燃烧不断抛弃火箭的无用结构。二、理想火箭模型二、理想火箭模型 一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星 第18页,共105页。团结团结 信赖信赖 创造创造 挑战挑战在在t 时刻动量为时刻动量为m(t)v(t),
16、而在,而在t+t 时刻的动量时刻的动量为为()()()()()(1)()()()m tt v ttm tm tt v tm tm ttv tu 2 2)建模与分析)建模与分析 1 1)模型假设)模型假设 在在t,t+t 时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以与与1-的比例同时进行。的比例同时进行。在在t,t+t 时段丢弃的结构质量时段丢弃的结构质量为为()().m tm tt 烧掉的燃料质量烧掉的燃料质量(1)()().m tm tt 第19页,共105页。团结团结 信赖信赖 创造创造 挑战挑战()()()dmm ttm tttdt ()()()dvv ttv
17、 tttdt ()()()(1)()()dmm tt v ttt v tdtdmtv tutdt 根据动量守恒定律,有根据动量守恒定律,有()()()()()()()(1)()()()m t v tm tt v ttm tm tt v tm tm ttv tu 第20页,共105页。团结团结 信赖信赖 创造创造 挑战挑战()()()dmm ttm tttdt ()()()dvv ttv tttdt ()()m tt v tt ()()()()()dvdmm t v tm ttv tttdtdt ()()()()()(1)()()m tt v ttdmdmm t v tt v ttv tutdt
18、dt 第21页,共105页。()(1)dvdmm tudtdt (1)dvudmm ()(1)ln()v tum tC 0(0)0(0)vmm ()()()(1)()dvdmdmdmm tv tv tv tudtdtdtdt第22页,共105页。由上式可知,当燃料耗尽,结构质量抛完全弃时,便只由上式可知,当燃料耗尽,结构质量抛完全弃时,便只剩下卫星质量剩下卫星质量mp,从而最终速度的数学模型为,从而最终速度的数学模型为 当当m0足够大,便可使卫星达到我们所希望它具有的任意速度。足够大,便可使卫星达到我们所希望它具有的任意速度。例如,考虑到空气阻力和重力等因素,估计要使例如,考虑到空气阻力和重力
19、等因素,估计要使v=10.5km/s才行才行,如 果 取如 果 取u=3 k m/s,=0.1,则 可 推 出则 可 推 出m0/mp=50,即发射,即发射1 1吨重的卫星大约需吨重的卫星大约需5050吨重的理想火箭。吨重的理想火箭。0()(1)lnpmv tum 0()(1)ln()mv tum t(1)0vupmem 第23页,共105页。团结团结 信赖信赖 创造创造 挑战挑战 理想火箭设想就是把无用的结构质量连续抛弃以达到最理想火箭设想就是把无用的结构质量连续抛弃以达到最佳的升空速度佳的升空速度,虽然在目前的技术条件下难以办到虽然在目前的技术条件下难以办到,但它确为但它确为发展火箭技术指
20、明了奋斗目标。目前已商业化的多级火箭卫发展火箭技术指明了奋斗目标。目前已商业化的多级火箭卫星系统便是朝着这种目标迈出的第一步。多级火箭是从末级星系统便是朝着这种目标迈出的第一步。多级火箭是从末级开 始,逐 级 燃 烧开 始,逐 级 燃 烧,当 第当 第i级 燃 料 烧 尽 时级 燃 料 烧 尽 时,第第 i+1+1 级级火箭立即自动点火火箭立即自动点火,并抛弃已经无用的第并抛弃已经无用的第i 级。级。三、多级火箭卫星系统三、多级火箭卫星系统二、理想火箭模型二、理想火箭模型 一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星 第24页,共105页。团结团结 信赖信赖 创造创
21、造 挑战挑战 1 1)模型假设)模型假设 为了简单起见,先作如下假设:为了简单起见,先作如下假设:(1)(1)mi 用表示第用表示第i级火箭质量,级火箭质量,mp表示有效负载。表示有效负载。(2)(2)设各级火箭具有相同的设各级火箭具有相同的,mi表示第表示第i级结构质量级结构质量,(1-)mi表示第表示第i级的燃料质量。级的燃料质量。(3)(3)喷气相对火箭的速度喷气相对火箭的速度u 相同。相同。1.1.多级火箭的速度多级火箭的速度第25页,共105页。团结团结 信赖信赖 创造创造 挑战挑战火箭的初始质量为火箭的初始质量为012npmmmmm第一级火箭燃料消耗完毕时,火箭的质量第一级火箭燃料
22、消耗完毕时,火箭的质量为为12npmmmm 2 2)模型建立与求解)模型建立与求解此时第一级火箭的速度为此时第一级火箭的速度为12112lnnpnpmmmmvummmm 将第一级火箭的结构抛去,点燃第二级火箭,此时火将第一级火箭的结构抛去,点燃第二级火箭,此时火箭的质量为箭的质量为2npmmm第26页,共105页。团结团结 信赖信赖 创造创造 挑战挑战并且具有初速度并且具有初速度v1.类似可求得第二级火箭燃料消耗完毕时,火类似可求得第二级火箭燃料消耗完毕时,火箭的速度为箭的速度为2212lnnpnpmmmvvummm 那么第那么第n级火箭燃料消耗完毕时,火箭的末速度为级火箭燃料消耗完毕时,火箭
23、的末速度为1lnnpnnpmmvvumm 122122lnnpnpnpnpnpnpmmmmmmmmmvummmmmmmmmn级火箭的速度级火箭的速度第27页,共105页。团结团结 信赖信赖 创造创造 挑战挑战2.2.各级火箭质量的分配各级火箭质量的分配 1)1)问题背景问题背景 如何分配各级火箭质量,使得火箭的有效负荷最大?如何分配各级火箭质量,使得火箭的有效负荷最大?这也就是说,如果知道火箭达到的末速度为这也就是说,如果知道火箭达到的末速度为v,气体喷射气体喷射的速度为的速度为u,结构比为结构比为 ;对于给定的初始质量对于给定的初始质量012npmmmmm如何选择如何选择质量质量m1,m2,
24、mn,使得有效负荷使得有效负荷mp 最大最大。2)2)模型假设模型假设同前所述同前所述第28页,共105页。团结团结 信赖信赖 创造创造 挑战挑战122122120maxln,.,0,pnpnpnpnpnpnpnpimmmmmmmmmmvummmmmmmmmS Tmmmmmm 0 ,.u v m 均均为为常常数数2)2)模型建立模型建立 根据我们的分析,可以建立一个单目标,非线性约束的根据我们的分析,可以建立一个单目标,非线性约束的优化问题。优化问题。第29页,共105页。团结团结 信赖信赖 创造创造 挑战挑战3)3)模型求解模型求解令令11iinpiinpmmmmammm ai 表示第表示第
25、i 级火箭点燃之前火箭系统的质量与该级火箭被抛级火箭点燃之前火箭系统的质量与该级火箭被抛弃火箭系统质量之比。弃火箭系统质量之比。那末将问题可以转化为另一个优化问题那末将问题可以转化为另一个优化问题111(1)iinpiiinpimmmmammmma 012npmaaam第30页,共105页。团结团结 信赖信赖 创造创造 挑战挑战121212minln,1(1)1(1)1(1).1.nnniaaaaaavaaauS Ta 再令再令 ,那么,那么1(1)iiiaxa 1.iiax 显然显然1212(1)()()()nnnaaaxxx 再将问题转化为下面的优化问题再将问题转化为下面的优化问题第31页
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