不定积分的概念及其性质教学课件.ppt

1、Nove.30 Mon.第四章第四章 不定积分不定积分v不定积分的概念及性质；不定积分的概念及性质；v不定积分的换元法；不定积分的换元法；v不定积分的分部积分法；不定积分的分部积分法；v有理函数不定积分有理函数不定积分.第1页，共40页。微积分产生的原因微积分产生的原因:1.1.求物体在任意时刻的速度和加速度；求物体在任意时刻的速度和加速度；2.2.求曲线的切线：透镜设计和轨迹的切线方向；求曲线的切线：透镜设计和轨迹的切线方向；3.3.求最大值和最小值：求最大值和最小值：获得炮弹射程最大的发射角问题；获得炮弹射程最大的发射角问题；行星离开太阳的最远和最近距离问题；行星离开太阳的最远和最近距离问

2、题；4.4.微小量的累加：曲线长，曲线围成的面积，曲面围微小量的累加：曲线长，曲线围成的面积，曲面围 成的体积，物体重心。成的体积，物体重心。第2页，共40页。一元函数积分学基本问题一元函数积分学基本问题 由此引出由此引出原函数与不定积分原函数与不定积分的概念；的概念；)()()(,)(.1xfxFxFxf ，使得，使得寻找可导函数寻找可导函数对于给定函数对于给定函数2.2.计算诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量的无穷计算诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量的无穷 累加问题。累加问题。由此引出由此引出定积分定积分的概念。的概念。第3页，共40页。定积分定积分不定积分不定积分Newton Leibni

3、ze Newton Leibnize 公式公式(17(17世纪世纪)一个函数的定积分可以通过计算它的原函数而方便一个函数的定积分可以通过计算它的原函数而方便的计算出来。的计算出来。原函数的存在性又可以由定积分决定。原函数的存在性又可以由定积分决定。第4页，共40页。1 1 不定积分的概念及其性质不定积分的概念及其性质v原函数及不定积分原函数及不定积分v不定积分的几何意义；不定积分的几何意义；v基本积分表；基本积分表；v不定积分的性质。不定积分的性质。第5页，共40页。一一.原函数原函数(primitive function)(primitive function)与不定积分与不定积分定义：定义

4、：()()()()()()()()()()(indefinite integral)()()()Xf xF xFxf xxXdF xf x dxF xf xf xf xf x dxf xf x 在在区区间间（有有限限或或无无穷穷）上上给给定定函函数数，若若，使使得得：，或或则则称称是是的的一一个个原原函函数数，的的全全部部原原函函数数称称为为的的不不定定积积分分，记记作作：若若存存在在原原函函数数，也也称称可可积积。第6页，共40页。),(,2 xxy例例31ax次，所以原函数应为次，所以原函数应为数降低数降低根据求导数时幂函数次根据求导数时幂函数次23ax)(3 ax2x 31 a的一个原函

5、数。的一个原函数。是是2331xxy 的原函数。的原函数。也是也是任意常数任意常数且且233)(31,131xCCxx 问题：问题：(1)(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？(2)(2)若不唯一若不唯一,它们之间有什么联系？它们之间有什么联系？第7页，共40页。定理定理：为任意常数。为任意常数。其中其中所有原函数为所有原函数为的一个原函数，则的一个原函数，则是是设设CCxFdxxfxfxF )()()()()()()(xFCxF 证明：证明：)(xf 的的原原函函数数。为为即即对对任任意意常常数数)()(,xfCxFC)()()()(xfxGxfxG 的另一原函数，即的另一原函数，即为为设设

6、再证它是全部原函数。再证它是全部原函数。0)()()()(xfxfxFxG则则CxFxG )()(即即()F xC任任何何一一个个原原函函数数总总可可以以由由加加一一个个常常数数得得到到。第8页，共40页。任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量第9页，共40页。原函数存在定理：原函数存在定理：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.内连续，内连续，在区间在区间如果函数如果函数Ixf)(都有都有使使内存在可导函数内存在可导函数那么在区间那么在区间,),(IxxFI ).()(xfxF 第10页，共40页。例例1 1 求求.5dx

7、x 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx第11页，共40页。)(xf的原函数的图形称为的原函数的图形称为)(xfxxfd)(的图形的图形的所有积分曲线组成的所有积分曲线组成)(xf的平行曲线族的平行曲线族.yxo0 x的的积分曲线积分曲线.二二.不定积分的几何意义不定积分的几何意义第12页，共40页。，试求物体下落的规律，试求物体下落的规律，初速度为，初速度为时的位置为时的位置为已知一物体自由下落，已知一物体自由下落，例例000vst 解：解：解得解得则则，加速度为加速度为,gdtdvg Cgtg

8、dttv )(决定，决定，不能任意取，它由初值不能任意取，它由初值这里这里 CCgvt 000时，时，0vC 0)(vgttv 0vgtvdtds 又由于又由于 dtvgtts)()(010221Ctvgt 第13页，共40页。00)()(yyxfxyxx简单的初值问题简单的初值问题(initial problem)(initial problem)：10)(0Cstst 时，时，00221)(stvgtts 第14页，共40页。三三.基本积分表基本积分表实例实例 xx 11.11Cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互

9、逆的，因此可既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式以根据求导公式得出积分公式.)1(第15页，共40页。由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()(CxFdxxF.)()(CxFxdF结论：结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.第16页，共40页。基基本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数);););1(1)2(1 Cxdxx;|ln)3(Cxxdx说明：说明：,0 x,ln Cxxdx )ln(,0 xx,1)(1xxx ,)ln(Cxxdx,|ln

10、Cxxdx第17页，共40页。dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8(xdx2sec;tanCx xdx2sin)9(xdx2csc;cotCx 第18页，共40页。xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsinh)14(;coshCx xdxcosh)15(;sinhCx 第19页，共40页。例例 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 12512

11、5.7227Cx 根据积分公式（根据积分公式（2 2）Cxdxx 11 第20页，共40页。积分表与微分表不同，不能给出基本初等函数的积分表与微分表不同，不能给出基本初等函数的积分公式，而只给出原函数为基本初等函数的积积分公式，而只给出原函数为基本初等函数的积分公式。分公式。由导数的运算法则，可得积分的运算法则由导数的运算法则，可得积分的运算法则.第21页，共40页。四四.不定积分的性质不定积分的性质可积，可积，设设)(),()1(xgxf;)()()()(dxxgdxxfdxxgxf（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）CxFdxxf)()()()(

12、xfxF 或或 CxGdxxg)()()()(xgxG 或或)()(xGxF)()(xgxf 有不定积分，且有不定积分，且即即)()(xgxf dxxgdxxfdxxgxf)()()()(证明证明：由条件由条件第22页，共40页。dxxkfxf)()()2(可积，可积，.)(dxxfk（k是是常常数数，)0 k CxFdxxf)()()()(xfxF 或或)()(xFkxkF )(xkf 可积，且可积，且即即)(xkf.)()(dxxfkdxxkf证明证明：由条件由条件第23页，共40页。Nove.13 Wed.Review1.1.原函数与不定积分的概念：原函数与不定积分的概念：的一个原函数。

13、的一个原函数。为为为常数，为常数，)()()()(xfxFCCxFdxxf )()()()().2)()()()().1xfdxxfdxxfdxxfdCxFdxxfdxxfxdF 或或3.3.不定积分与微分的关系：不定积分与微分的关系：2.2.几何意义：几何意义：是积分曲线族。是积分曲线族。的积分曲线，不定积分的积分曲线，不定积分原函数称为原函数称为)(xf第24页，共40页。dxxgdxxfdxxgxfkdxxfkdxxkf)()()()().)()()().2014.4.基本积分表；基本积分表；5.5.不定积分的性质：不定积分的性质：第25页，共40页。；例例dxxx 211)(.解解：d

14、xxxx 122dxxx 21)(；dxxxx )(2121232Cxxx 1211211231211211122311Cxxx 234522325第26页，共40页。；例例 dxxx212)(.解解：dxxxx 122dxxx 21)(；dxxx )(12Cxxx|ln2212第27页，共40页。；例例 xdx23tan.解解：dxxx 22cossindxx 2tan；dxxx 221coscosdxx )(sec12Cxx tan第28页，共40页。；例例xxdx224cossin.解解：xxdx22cossin；dxxx)sincos(2211 Cxx cottandxxxxx 222

15、2cossincossin第29页，共40页。解解：315.d.1xxexe 例例求求不不定定积积分分 xeexxd113 xeexxd)(11)(12 xxeexeexxd)(12 Cxeexx 221第30页，共40页。；例例646xxdx.解解：64xxdx42211(1)dxdxxxx 4221111dxdxxxx 22421(1)xxdxxxCxxx arctan1331第31页，共40页。；例例 dxxxx325327.解解：dxxxx 32532dxdxx )(3252Cxx )/ln()/(323252第32页，共40页。8.()(0,)1(1)0(tan)()sin2f xf

16、fxf xx 例例设设函函数数定定义义于于上上，并并且且满满足足条条件件，求求。xxf2sin1)(tan 解：解：xxcossin21 xxtan2sec2 tttftx21)(,tan2 则则令令xxtan2tan12 由题设由题设 dttttf21)(2于是于是 dtttdt12121Ctt|ln21420)1(f由由41 C0|,|ln2141)(2 xxxxf第33页，共40页。，求，求设设例例 dxxxPaxaxaxaxPnnnnn11110)1()(.9解：(1)1P xx将将函函数数在在处处展展开开得得：nnxnPxPxPPxP!)1(!2)1()1()1()1()(2 nkk

17、kxkP0)(!)1(dxxxPn 1)1(nknkkdxxkP01)()!)1(nknkkdxxkP01)(!)1()2(2)02(1)(1)ln|!2(2)!kknnnkk nPxPxCkknn 第34页，共40页。.,1d1d1.102222BAxxBxxAxxx，求，求已知已知例例 解解:221xx22211xxAxA 21xB 2212xxABA )(120ABA 2121BA求导，得求导，得等式两边对等式两边对 x第35页，共40页。小小 结结3.3.基本积分表基本积分表(1).(1).5.不定积分的性质不定积分的性质.1.1.原函数的概念：原函数的概念：)()(xfxF 2.不定

18、积分的概念：不定积分的概念：CxFdxxf)()(4.求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系.HwHw：p258 1(p258 1(双双),2),2。第36页，共40页。,ch2xxeex 2xxeex sh思考与练习思考与练习1.1.证明证明 xexeexxxch,sh,221.shch的原函数的原函数都是都是xxex 2.2.若若则则的原函数的原函数是是,)(xfex d)(ln xxfx2提示提示:xe )()(xexfxeln )(ln xfx1 Cx 221提示提示:第37页，共40页。3.若若)(xf是是xe 的原函数的原函数 ,则则 xxxfd)(ln提示提示:已知已知

19、xexf )(0Cexfx )(01Cxxf )(lnxCxxxf021 )(lnCxCx ln01第38页，共40页。4.4.若若)(xf;sin)(xA 1;sin)(xB 1的导函数为的导函数为,sin x则则)(xf的一个原函数的一个原函数是是().;cos)(xC 1.cos)(xD 1提示提示:已知已知xxfsin)(求求即即B)()(xf xsin)(?或由题意或由题意,cos)(1Cxxf 其原函数为其原函数为 xxfd)(21CxCx sin第39页，共40页。5.5.求下列积分求下列积分:.cossind)(;)(d)(xxxxxx2222211提示提示:)()()(222211111xxxx xxxx222212cossincossin)(xx22cscsec xx22cossin 22111xx )(2x 2x 第40页，共40页。