三角函数的图象教学课件.ppt

1、第1页，共41页。双基再现双基再现1.正弦函数正弦函数y=sinx的图象特征：的图象特征：对称轴方程：对称轴方程：Zkkx,2特点：特点：在对称轴处，在对称轴处，y取最大（小）值取最大（小）值考察出题常用到考察出题常用到)xAsin(y对称轴方程为：对称轴方程为：2xkZkkx,2即：特点：特点：在对称轴处，在对称轴处，y取最大（小）值取最大（小）值yo22223323232525x1-1第2页，共41页。o22223323232525xy1-122223323232525特点特点:在对称点处在对称点处 y=0对称点坐标：对称点坐标：(,0),()kkZ第3页，共41页。2.余弦函数余弦函数y

2、=cosx的图象特征：的图象特征：特点：特点：在对称轴处，在对称轴处，y取最大（小）值取最大（小）值特点特点:在对称点处在对称点处 y=0o222223232525xy 1-1对称轴方程：对称轴方程：Zkkx,对称点坐标：对称点坐标：)(,)0,2(Zkk第4页，共41页。3.正切函数正切函数y=tanx的图象特征：的图象特征：特点特点:对称点处为断点或零点对称点处为断点或零点 对称点坐标：对称点坐标：)(,)0,2(Zkko222223232525xy 断点坐标：断点坐标：)(,)0,2(Zkk特点特点:在断点处在断点处y=tanx没有意义，没有意义，为其渐近线为其渐近线2 kx第5页，共4

3、1页。3.函数函数 是关于是关于y 轴对称轴对称的充要条件的充要条件 是是 _.)2sin(5)(xxf2.函数函数 的图象的对称轴中，最靠近的图象的对称轴中，最靠近y轴轴 的是的是_。)32sin(xy12x1.函数函数 的图象是（的图象是（）A.关于直线关于直线 对称对称 B.关于直线关于直线 对称对称 C.关于关于y 轴对称轴对称 D.关于原点对称关于原点对称6x12x)32sin(4xyB知识迁移一：利用图象的对称性解题知识迁移一：利用图象的对称性解题Zkk,2奇函数奇函数 Zkk,第6页，共41页。4、函数函数 的图象关于直线的图象关于直线 对对称，那么称，那么a值为值为()A、B、

4、C、1 D、-122xaxy2cos2sin8xD5、对于函数对于函数 有下列命题：有下列命题：(1)由由 可得可得 是是 的整数倍；的整数倍；(2)的表达式可以改写成的表达式可以改写成 (3)的图象关于点的图象关于点 对称；对称；(4)的图象关于直线的图象关于直线 对称；对称；其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是_.)32sin(4)(xxf0)()(21xfxf21xx)(xf)(xf)(xf)62cos(4)(xxf)0,6(6x(2)(3)第7页，共41页。C296.左移左移m个单位，所得图象个单位，所得图象关于关于y轴对称，则轴对称，则m的最小正值是（的最小正值是（）A.B.C.

5、D.7.有一条对称轴为有一条对称轴为 且且m0，则，则m的最小值是的最小值是_8.函数函数 图象的相邻两支截图象的相邻两支截 所得线段长为所得线段长为 ，则，则 的值是（的值是（）A.0 B.-1 C.1 D.xxysin3cos 665323)43sin(2)(mxxf6x)0(cot)(xxf8y44)8(fA第8页，共41页。双基再现双基再现4.利用五点法作正弦函数利用五点法作正弦函数y=sinx 的简图，通常是的简图，通常是 平衡点平衡点(0,0),(,0),(,0)三个，三个，最值点最值点 两个。两个。23(,1),(,1)22 任何一个平衡点都是正弦任何一个平衡点都是正弦 曲线的对

6、称中心，过最值点且平行于曲线的对称中心，过最值点且平行于 y y 轴的直轴的直 线都是它的对称轴。线都是它的对称轴。5.余弦曲线余弦曲线 y=cosx可以由可以由 y=sinx的图象经过的图象经过平平 移移 个单位得到。个单位得到。2xo22223323232525y1-1y=sinx y=cosx 第9页，共41页。6.简谐曲线简谐曲线 中正数中正数A叫做叫做 振幅振幅，与周期与周期T的关系是的关系是 ，叫做叫做初相初相.sin()yAxk2Tsin()(0,0)yAxA 函数函数 的图象可以的图象可以看作是以函数看作是以函数y=sinx的图象为基础，通过以下变的图象为基础，通过以下变换得到

7、的：换得到的：相位变换：相位变换：y=sinxy=sin(x+)y=sinxy=sin(x+)其中若其中若 0,0,则则“+”+”左移、左移、“-”-”右移右移 个单个单位位第10页，共41页。周期变换：周期变换：y=sin(x+)y=sin()y=sin(x+)y=sin()横坐标缩短横坐标缩短()()或伸长或伸长()()到原来的到原来的倍，纵坐标保持不变。倍，纵坐标保持不变。x101 1sin()yAx振幅振幅变换：变换：y=sin()y=sin()纵坐标伸长纵坐标伸长()()或缩短或缩短()()到原来的到原来的A A倍，横坐标保持不变。倍，横坐标保持不变。x1A01A 其中相位变换只是位

8、置变换，周期变换和振其中相位变换只是位置变换，周期变换和振幅变换是形状变换。特别要注意周期变换中幅变换是形状变换。特别要注意周期变换中x用用伸缩的倍数的倒数乘以伸缩的倍数的倒数乘以x换之。换之。第11页，共41页。7.三角函数线三角函数线 设角设角 的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P，过，过P点作点作PMx x轴于轴于M M，过点，过点A(1A(1，0)0)作单位圆的切线，与作单位圆的切线，与角角 的终边或终边的反向的终边或终边的反向延长线相交于点延长线相交于点T,T,则有向则有向线段线段MPMP、OMOM、ATAT分别叫做分别叫做角角 的正弦线、余弦线、的正弦线、余弦线、正切线。正切

9、线。MTMTxyoA-1-1PP第12页，共41页。例例1.已知函数已知函数（1）求它的振幅、周期、初相；）求它的振幅、周期、初相；（2）用五点法作出它的图象；）用五点法作出它的图象；（3）说明）说明 的图象可由的图象可由y=sinx的图的图象经过怎样的变换得到。象经过怎样的变换得到。2sin(2)3yx2sin(2)3yx解解:(1)振幅振幅A=2，周期周期22T初相初相3知识迁移二：利用图象解决平移问题知识迁移二：利用图象解决平移问题第13页，共41页。(2),2sin(2)2sinyx令x=2x+则x,则：33xy=sinx2sin(2)yx30232201-10002-20012637

10、1256xo123y2-2712566第14页，共41页。(3)如图所示：如图所示：xoy322-11y=sinx353y=sin(x+)3123712656y=sin(2x+)32-2y=2sin(2x+)3第15页，共41页。评注：评注：作出正弦型函数的图象以五点法最为方便，作出正弦型函数的图象以五点法最为方便，但必须清楚它的图象与正弦函数图象间的关系，但必须清楚它的图象与正弦函数图象间的关系，即即弄清正弦型函数的图象是怎样由正弦函数的图弄清正弦型函数的图象是怎样由正弦函数的图象经过几种变换得到的。象经过几种变换得到的。要注意要注意虽然各种变换的虽然各种变换的顺序可以是任意的，但是在不同的

11、变换顺序下，顺序可以是任意的，但是在不同的变换顺序下，平移的单位可能是不同的。平移的单位可能是不同的。第16页，共41页。练习：练习：1.将函数将函数 的图象上所有点向右平的图象上所有点向右平 移移 个单位（纵坐标不变），则所得到的图个单位（纵坐标不变），则所得到的图 象的解析式是（象的解析式是（）3sin(2)6yx.cos2.cos25.sin(2).sin(2)66A yxB yxC yxD yx A第17页，共41页。2.(04全国高考）全国高考）为了得到函数为了得到函数 的图象，可以将的图象，可以将函数函数 的图象（的图象（）A.向右平移向右平移 个单位长度个单位长度 B.向右平移向

12、右平移 个单位长度个单位长度 C.向左平移向左平移 个单位长度个单位长度 D.向左平移向左平移 个单位长度个单位长度 B)62sin(xyxy2cos6633第18页，共41页。3.将函数将函数 y=f(x)sinx 的图象向右平移的图象向右平移 个单位后个单位后,再再 作关于作关于x 轴的对称变换轴的对称变换,得到函数得到函数 y=1-2sin2x 的图象的图象,则则f(x)可以是（可以是（）A.cosx B.2cosx C.sinx D.2sinx4B第19页，共41页。4.作出函数作出函数 的在一个周的在一个周 期内的图象是（期内的图象是（）sinsincoscos3232xxyAyxo

13、yxoyxoyxo3738343103237353ABCD第20页，共41页。5.把函数把函数 y=cosx 的图象上所有点的横坐标缩小的图象上所有点的横坐标缩小 到原来的一半到原来的一半,纵坐标扩大到原来的两倍纵坐标扩大到原来的两倍,然后然后 把图象向左平移把图象向左平移 个单位，则所得图形表示的个单位，则所得图形表示的 函数的解析式为（函数的解析式为（）4)42cos(2.)42cos(2.2sin2.2sin2.xyDxyCxyBxyAB第21页，共41页。6.（2003全国高考理科）全国高考理科）已知函数已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)(1)求函数求函数f(x)的最小

14、正周期和最大值；的最小正周期和最大值；(2)在直角坐标系中，画出在直角坐标系中，画出y=f(x)在区间在区间 上的图像。上的图像。2,2解解:(1)xxxxfcossin2sin2)(2xx2sin2cos1)4sin2cos4cos2(sin21xx)42sin(21x所以函数所以函数f(x)的最小正周期为的最小正周期为 ,最大值为最大值为21第22页，共41页。(2)由由)42sin(21xy111)42sin(21xy83888385838854283284o2521xy232121故函数故函数y=f(x)在区间在区间 上的图象是上的图象是2,2第23页，共41页。sin()yAx知识迁

15、移三：求解析式知识迁移三：求解析式例例2.已知下图是已知下图是 的图象，试确定该函数的解析式。的图象，试确定该函数的解析式。),0,0)(sin(AxAyyxo-221127P解：解：由图知由图知A=2，即函数即函数)sin(2xy又函数图象过点又函数图象过点 与点与点(0,1)0,127(P21sin0)127sin(62:解得6127)62sin(2xy则函数解析式为则函数解析式为第24页，共41页。练习练习:1.（04高考辽宁卷）高考辽宁卷）若函数若函数 的图象的图象(部分部分)如下如下 图所示，则图所示，则 和和 的取值是（的取值是（）)sin()(xAxf3,1.B3,1.A6,21

16、.D6,21.Cyxo1332C第25页，共41页。2.函数函数 的图的图 象的最大值是象的最大值是3，对称轴方程，对称轴方程 ，要使图象的解，要使图象的解 析式为析式为 ，还应给出一个条件是，还应给出一个条件是 _ (注：填上你认为正确的一个条件即注：填上你认为正确的一个条件即 可，不必考虑所有可能的情形可，不必考虑所有可能的情形）)2,0,0)(sin(AxAy其中6x)62sin(3xy填：填：周期周期 或或 图象过点图象过点T)23,0(第26页，共41页。3.（02全国高考）全国高考）如图，某地一天从如图，某地一天从6时到时到14时的温度变化曲线近似满时的温度变化曲线近似满 足函数足

17、函数 （1）求这段时间的最大温差；）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式。）写出这段曲线的函数解析式。bxAy)sin(yxo温度温度/oC时间时间/h61412108103020解：（解：（1）由图示，由图示，这段时间的最大温差是这段时间的最大温差是30-10=20(oC)第27页，共41页。yxo温度温度/oC时间时间/h61412108103020(2)解解:图中从图中从6时到时到14时的图时的图象是函数象是函数 的的半个周期半个周期的图象。的图象。bxAy)sin(6142218解得：解得：,10)1030(21A由图示，由图示，,20)1030(21b这时，这时，20

18、)8sin(10 xy将将 x=6,y=10 代入上式，可取代入上式，可取4综上，所求得解析式为：综上，所求得解析式为：14,6,20)438sin(10 xxy第28页，共41页。4.已知函数已知函数 的图的图象在象在y轴上的截距为轴上的截距为1，它在，它在y轴右侧的第一个最大值点轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为和最小值点分别为 和和 （1）求）求f(x)的解析式；的解析式；（2）将）将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），然后再将所得图象向（纵坐标不变），然后再将所得图象向 x 轴正方向轴正方向 平移平移 个单位，得到函数个单位

19、，得到函数y=g(x)的图象。的图象。写出函数写出函数y=g(x)的解析式。的解析式。)2,0,0)(sin(AxAy)2,3(0 x)2,(0 x313答案：答案：)63sin(2)()1(xxf)6sin(2)()2(xxg第29页，共41页。xo222323y6-6知识迁移四：利用图象解决一些三角不等式及体知识迁移四：利用图象解决一些三角不等式及体现数形结合思想的习题现数形结合思想的习题例例3.（1）试求函数试求函数 的定义域的定义域xxycoslg362解：解：要使函数有意义，只需：要使函数有意义，只需：0360cos2xx660cosxx62322236xxx或或由图象知：由图象知：

20、6,23()2,2()23,6即函数定义域为：即函数定义域为：第30页，共41页。（2）求函数求函数 y=4cos2x+4cosx-2 的值域的值域分析：分析：这类函数求值域的一般方法是利用配方归结为这类函数求值域的一般方法是利用配方归结为二次函数在闭区间求值域问题二次函数在闭区间求值域问题解解:令令t=cosx(-1t1)，则，则y=f(t)=4t2+4t-2由图可知：由图可知：于是函数的值域为于是函数的值域为 -3,6 配方得：配方得：3)21(4)(2ttfy63),1()21(yfyf即yxo-221216-321-1第31页，共41页。D例例4.函数函数y=xcosx的部分图象是（的

21、部分图象是（）xyoxyoxyoxyoADCB第32页，共41页。例例5.已知方程已知方程 在在 上有两个上有两个 解，求实数解，求实数m的取值范围。的取值范围。mxxcos3sin,0解解:原方程可化为原方程可化为mx)3sin(22)3sin(mx即2),3sin(21myxy令在同一坐标系中作出此两在同一坐标系中作出此两个函数的图象，如图：个函数的图象，如图：)1,232m观察图象知当观察图象知当 时，时，直线直线 与曲线与曲线 在上有两个交点，在上有两个交点，)3sin(1xy22my 23m故故m的取值范围为的取值范围为3yxo32351)3sin(1xy2322my 第33页，共4

22、1页。练习练习:(1)若若 则（则（）bacossin,cossin,40A.ab C.ab2A(2)函数函数 和直线和直线y=1的图象围成一的图象围成一 个封闭的平面图形，这个封闭图形的面积是个封闭的平面图形，这个封闭图形的面积是_.2,0,cosxxy2解解:如图，如图，所求封闭图形的面积是矩形所求封闭图形的面积是矩形ABCD的一半，的一半，此封闭图形的面积为：此封闭图形的面积为：2222121 ADAB2xyo-11ABCDy=1第34页，共41页。(3)使使sinxcosx成立的成立的x的一个区间是（的一个区间是（）,0.43,4.2,2.4,43.DCBA方法一：方法一：利用单位圆中

23、三角函数线利用单位圆中三角函数线方法二：方法二：利用正、余弦函数图象利用正、余弦函数图象Axyoy=x由图观察得：由图观察得：443xXo22222323y1-1y=sinx y=cosx 由图象观察得：由图象观察得：443x434第35页，共41页。(4)发电厂发出的是三相交流电，它的三根导线上的电发电厂发出的是三相交流电，它的三根导线上的电 流强度分别是关于时间流强度分别是关于时间 t 的函数：的函数：且且tIIAsin),32sin(tIIB)sin(tIIC）（则,20,0CBAIII35.34.32.3.DCBAC第36页，共41页。(5)函数函数 的图象是的图象是()230(sin

24、|cot|xxxxy且2xyo-11232xyo-11232xyo-11232xyo-1123ABDCC第37页，共41页。(6)函数函数 的图象与函数的图象与函数 的图象在区间的图象在区间上（上（）A.至少有两个交点至少有两个交点 B.至多有两个交点至多有两个交点 C.至多有一个交点至多有一个交点 D.至少有一个交点至少有一个交点)0,0)(sin(AxAy)0,0)(cos(AxAy),(00 xxCx2T分析：分析：一个周期一个周期2T第38页，共41页。(7)在半径为在半径为1的圆上有的圆上有P、Q两个动点两个动点,它们同时从圆上它们同时从圆上 一点一点A(1,0)出发，分别以每秒出发

25、，分别以每秒 和和 的旋转角度向同的旋转角度向同 一方向旋转，设弦一方向旋转，设弦PQ的中心为的中心为M，圆心为，圆心为O，试求出，试求出 表示表示|OM|的函数的解析式并画出它的图象。的函数的解析式并画出它的图象。35xyoAPQM解解:如图如图,点点P、Q的坐标分别是的坐标分别是)3sin,3(costtP)5sin,5(costtQ第39页，共41页。于是可求弦于是可求弦PQ的中点坐标为的中点坐标为)5sin3(sin21)5cos3(cos21ttyttxMM所以有所以有222MMyxOM)5sin3sin5cos3(cos2241tttt)53cos(1 21tt)152cos1(21t2)152(cost第40页，共41页。于是，于是，|152cos|tOMd|152cos|t1515T由于由于 的周期为的周期为 ，于是作出函数的图象，于是作出函数的图象，(如图如图)dto215245275215245275第41页，共41页。