图形学教案第四章曲线和曲面ppt课件.ppt

1、第四章第四章 曲线和曲面曲线和曲面 第一节第一节 曲线和曲面表示的基础知识曲线和曲面表示的基础知识第二节第二节 HermiteHermite多项式多项式 第三节第三节 CoonsCoons曲面曲面 第四节第四节 BezierBezier曲线和曲面曲线和曲面 第五节第五节 B B样条曲线和曲面样条曲线和曲面 第一节第一节 曲线和曲面表示的基础曲线和曲面表示的基础知识知识 曲线和曲面参数表示曲线和曲面参数表示（1 1）与坐标轴相关的，不便于进行坐标变换；）与坐标轴相关的，不便于进行坐标变换；（2 2）会出现斜率为无穷大的情况；）会出现斜率为无穷大的情况；（3 3）难以灵活地构造复杂的曲线、曲面）难

2、以灵活地构造复杂的曲线、曲面（4 4）非参数的显示方程只能描述平面曲线，）非参数的显示方程只能描述平面曲线，空间曲线必须定义为两张柱面的交线。空间曲线必须定义为两张柱面的交线。（5 5）假如我们使用非参数化函数，在某个）假如我们使用非参数化函数，在某个xoyxoy坐标系里一条曲线，一些坐标系里一条曲线，一些x x值对应多个值对应多个y y值，值，而一些而一些y y值对应多个值对应多个x x值。值。)(xfy0),(yxf 在空间曲线的参数表示中，曲线在空间曲线的参数表示中，曲线上每一点的坐标均要表示成某个参上每一点的坐标均要表示成某个参数数t t的一个函数式，则曲线上每一的一个函数式，则曲线上

3、每一点笛卡尔坐标参数式是：点笛卡尔坐标参数式是：，)(txx)(tyy)(tzz 把三个方程合写到一起，曲线上把三个方程合写到一起，曲线上一点坐标的矢量表示是：一点坐标的矢量表示是：)()()()(tztytxt P关于参数关于参数t t的切矢量或导函数是：的切矢量或导函数是：)()()()(tztytxt P曲面写为参数方程形式为曲面写为参数方程形式为:),(),(),(wuzzwuyywuxx),(),(),(),(wuzwuywuxwuP 曲线或曲面的某一部分，可以曲线或曲面的某一部分，可以简单地用简单地用a at tb b界定它的范围界定它的范围 直线段直线段 端点坐标分别是端点坐标分

4、别是 P P1 1 x x1 1,y y1 1,P,P2 2 x x2 2,y y2 2，直线段的参数表达式是：直线段的参数表达式是：P(P(t t)=)=P P1 1+(+(P P2 2-P P1 1)t t=(1-=(1-t t)P)P1 1+t tP P2 2 0 0t t11；参数表示相应的参数表示相应的x,yx,y坐标分量是：坐标分量是：x x(t t)=)=x x1 1+(+(x x2 2-x x1 1)t t y y(t t)=)=y y1 1+(+(y y2 2-y y1 1)t t 0 0t t1 1)()()(1212yyxxtytxtPjiP)()()(1212yyxxt

5、参数方程具有如下优点。参数方程具有如下优点。(1)(1)对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换（如平移、比例、旋转）。接进行几何变换（如平移、比例、旋转）。(2)(2)便于处理斜率为无限大的问题。便于处理斜率为无限大的问题。(3)(3)有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。具有很强的描述能力和丰富的表达能力。具有很强的描述能力和丰富的表达能力。(4)(4)参数方程中，代数、几何相关和无关的变量参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于是完全分离的，而且对变量个数不限，

6、从而便于用户把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间用户把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间去。去。(5)(5)规格化的参数变量规格化的参数变量t t0,1,0,1,使其相应的使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义其边界。便于曲线和曲面的分段、分片描述义其边界。便于曲线和曲面的分段、分片描述。易于实现光顺连接。易于实现光顺连接。(6)(6)易于用矢量和矩阵表示几何分量，计算处易于用矢量和矩阵表示几何分量，计算处理简便易行。理简便易行。曲线和曲面可以分为两类。一类要求通过事曲线和曲面可以分为两类。一类要求通过事先给定的离散的点，称为是先给定的

7、离散的点，称为是插值的曲线或曲面插值的曲线或曲面。另一类不要求通过事先给定的各离散点，而只另一类不要求通过事先给定的各离散点，而只是用给定各离散点形成的控制多边形来控制形是用给定各离散点形成的控制多边形来控制形状，称为是状，称为是逼近的曲线或曲面逼近的曲线或曲面。基本概念基本概念 插值插值 要求构造一条曲线顺序通过型值点，称要求构造一条曲线顺序通过型值点，称为对这些型值点进行插值（为对这些型值点进行插值（interpolationinterpolation）。）。逼近逼近 构造一条曲线，使它在某种意义上最构造一条曲线，使它在某种意义上最佳逼近这些型值点，称之为对这些型值点进佳逼近这些型值点，称

8、之为对这些型值点进行逼近（行逼近（approximationapproximation）。）。参数连续性参数连续性 一函数在某一点一函数在某一点x x0 0处具有相等的直到处具有相等的直到k k阶的左阶的左右导数，称它在右导数，称它在x x0 0处是处是k k次连续可微的，或称次连续可微的，或称它在它在x x0 0处是处是k k阶连续的，记作阶连续的，记作C Ck k。几何上。几何上C C0 0、C C1 1、C C2 2依次表示该函数的图形、切线方向、曲率是依次表示该函数的图形、切线方向、曲率是连续的。连续的。几何连续性几何连续性 两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处两曲线段的相应的弧长

9、参数化在公共连接点处具有具有C Ck k连续性，则称它们在该点处具有连续性，则称它们在该点处具有k k阶几阶几何连续性，记作何连续性，记作G Gk k。零阶几何连续。零阶几何连续G G0 0与零阶参与零阶参数连续数连续C C0 0是一致的。一阶几何连续是一致的。一阶几何连续G G1 1指一阶导指一阶导数在两个相邻曲线段的交点处成比例，即方向数在两个相邻曲线段的交点处成比例，即方向相同，大小不同。二阶几何连续相同，大小不同。二阶几何连续G G2 2指两个曲线指两个曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。光顺光顺 光顺（光顺（smoothnesssmoothne

10、ss）是指曲线的拐点不能太多，）是指曲线的拐点不能太多，要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应该是：（该是：（1 1）具有二阶几何连续（）具有二阶几何连续（G G2 2）；（）；（2 2）不存在多余拐点和奇异点；（不存在多余拐点和奇异点；（3 3）曲率变化较小。）曲率变化较小。拉格朗日n阶多项式：令P0(x0,y0),Pn(xn,yn)表示n+1个数据点，t0,t1,t2为任意数字，其拉格朗日n阶多项式如下：对任意j i,有Li(xi)=1且Lj(xj)=0nixxxxxLnijjjiji,1,0,)(0 拉格朗日插值：令P0(x0,y0),Pn(xn

11、,yn)表示n+1个数据点，希望找出通过这些点的曲线。这里：Li(xi)是拉格朗日多项式，L(x)是插值各数据点的第n阶拉格朗日多项式niiixLyxL0)()(第二节第二节 HermiteHermite多项式多项式 已知函数已知函数f f(t t)在在k k+1+1个点个点 t ti i 处的函数值和处的函数值和导数值导数值 f f(j j)(t ti i)，i i=0,1,=0,1,k k，j j=0,1,=0,1,m mi i-1-1，要求确定一个，要求确定一个N=N=m m0 0+m m1 1+m mk k-1-1次的多项式次的多项式P(P(t t)，满足下面的，满足下面的插值条件：插

12、值条件：)()()()(Pitjfitj 考查考查k=k=1 1，m m0 0=m m1 1=2=2的情形。的情形。已知表示一条曲线的某个函数已知表示一条曲线的某个函数f f(t t)在在两点两点t t0 0，t t1 1的函数值的函数值f f(t t0 0),),f f(t t1 1)和一和一阶导数值阶导数值ff(t t0 0),),f f(t t1 1)，求三次，求三次多项式多项式P(P(t t):):1,00a1a22a33a)(Pttttttt)1()1(P),0()0(P),1()1(P),0()0(Ptfttfttfttft1a12a2213a3)1(1a02a2203a3)0(0

13、a11a212a313a)1(0a01a202a303a)0(tttftttfttttfttttf3)01(20)1)0(21)1(30)1(3)01(31)0(0)1)0(61)1(621)0(21)1(2(1a3)01(20)1)1(321)1(21)0(30)1(1)1(3)01(31)0(0)21)0(331)0(0atttttfttfttfttttftttfttfttfttftttttfttfttfttfttfttttftttfttf3)01()1(2)0(21)1(1)0(0)0()1(3a3)01(0)1(3)0(31)1(1)0(20)1(2)0(3)01(1)1(31)0(3

14、21)0(221)1(2atttftfttfttfttftfttttftfttfttfttftfttttfttfttfttf把把a a0 0，a a1 1，a a2 2和和a a3 3代入则有：代入则有：3)01()0132(2)0()1(3)10()1032(2)1()0()(Pttttttttfttttttttft2)01()0(2)1()0(tttttttf1,02)01()1(2)0()1(ttttttttttf 经整理，所求多项式经整理，所求多项式P P 0 0(t t)可以写出如下：可以写出如下：)01()(01)1()01()(00)0()(01)1()(00)0()(0Pttt

15、htfttthtftgtftgtft式中选取两个式中选取两个端点端点及其及其及其及其切切向量向量作为曲线构造条件作为曲线构造条件 混合函数混合函数如下：如下：2010011)(012101010)(00201001121)(01210110021)(00ttttttttthttttttttthtttttttttgtttttttttg 设表示一条曲线的某个函数设表示一条曲线的某个函数f f(t t)在四点在四点t t0 0，t t1 1，t t2 2，t t3 3的函数值的函数值f f(t t0 0),),f f(t t1 1),),f f(t t2 2),),f f(t t3 3)，根据，根据

16、LagrangeLagrange插插值法，则三次多项式值法，则三次多项式P(P(t t)可表示为：可表示为：)(3)3()(2)2()(1)1()(0)0()(0Ptgtftgtftgtftgtft选择四个不同的选择四个不同的点点作为构造曲线的条件作为构造曲线的条件 )23)(13)(03()2)(1)(0()(3)32)(12)(02()3)(1)(0()(2)31)(21)(01()3)(2)(0()(1)30)(20)(10()3)(2)(1()(0tttttttttttttgtttttttttttttgtttttttttttttgtttttttttttttg混合函数混合函数如下：如下：

17、0)1(010)1(001)1(010)1(000)0(010)0(000)0(011)0(00ththtgtgththtgtg011)1(010)1(000)1(010)1(000)0(01011)0(000)0(010)0(00ttththtgtgthttthtgtg经验证可知：经验证可知：为了使为了使P P0 0(t t)的定义区间的定义区间t t0 0t tt t1 1变变为区间为区间00u u11，可以做如下变换，可以做如下变换010ttttu解出解出 ，代入混合函数，代入混合函数式中，得：式中，得：utttt)01(0)(0123322)23()01(0(01)(01)(00123

18、322)1)(21()01(0(00)(00uquuuuutttgtguquuuuutttgtg)(11232)1()01(0(01)(01)(102232)1()01(0(00)(00uquuuuuttththuquuuuuuttthth 将关于将关于u u的混合函数代入，所求的的混合函数代入，所求的三次多项式成为：三次多项式成为：)(11)01()1()(10)01()0()(01)1()(00)0()01(0(0P)(0P)(uqtttfuqtttfuqtfuqtfutttuuf令令)01)(1()1()01)(0()0()1()1()0()0(tttfftttfftfftff得得)1(

19、)0()1()0()(11)(10)(01)(00()(11)1()(10)0()(01)1()(00)0()(0Pffffuququququqfuqfuqfuqfu)1()0()1()0(0001010012331122)123()1()0()1()0()23223233212332(ffffuuuffffuuuuuuuuu 对一般的对一般的HermiteHermite插值问题，一般插值问题，一般来说得到的插值多项式次数较高，应来说得到的插值多项式次数较高，应用起来不方便。通常的处理办法是将用起来不方便。通常的处理办法是将前面给出的参数的三次多项式逐段光前面给出的参数的三次多项式逐段光滑地连

20、接，如此来确定一般情况下的滑地连接，如此来确定一般情况下的插值多项式。插值多项式。将前面将前面t t0 0和和t t1 1视为视为t ti i和和t ti i+1+1，设给，设给定定f f(t ti i)，f f(t ti i+1+1)，ff(t ti i)，ff(t ti i+1+1)，则在区间，则在区间 t ti i，t ti i+1+1 的的HermiteHermite三次插值多项式三次插值多项式P Pi i(t t)是：是：)1()(1)1()1()(0)()(1)1()(0)()(Pitittihitfitittihitftigitftigitfti1,1,02111)(1,2111

21、)(0,211121)(1,211121)(0,niititittitititttihititittitititttihititittitititttigititittitititttig 为了完整地写出这个插值多项式，可以在为了完整地写出这个插值多项式，可以在区间区间 t ti i，t ti i+1+1 中引入如下一些基本函数：中引入如下一些基本函数：1,2,1,01),(0,1),(1,1)(0,1,010),(0,0)(0,0niittittigittittigtiantttttttgta其它nttttttttthtanttnttngnttttna1,010),01()(0,0)(1,0

22、1),(1,110,0)(0,nttntntnttnhnttttnaniittititittihittititittihtia1),1()(1,110,0)(1,1,2,1,01),1()(0,1),1()(1,1)(1,其它完整的插值多项式可写为完整的插值多项式可写为：nitiaitftiaitft0)(1,)()(0,)()(P 上式区间上式区间t0，tn中有定义，且为分段定中有定义，且为分段定义。在每个区间义。在每个区间 ti，ti+1上，都恰有四项。上，都恰有四项。满足插值条件满足插值条件 nitiaitiait0)(1,P)(0,P()(Pniitfititfit,1,0),()(P

23、),()(P 每段曲线段曲线P Pi i(t t)只在只在 t ti i，t ti i+1+1 中有定义：中有定义：)1)(1,1 P)(0,P)(1,1P)(0,P)(1,11 P)(1,P)(0,11P)(0,P)(Pitittihitihitigitigitiaitiaitiaitiaiti自变量的线性变换自变量的线性变换 ititittu1 用逆变换用逆变换 代入，将所代入，将所得关于得关于u u的多项式记为的多项式记为 ，得，得 )1(itituitt)(Pui)23(1 P)223(P)2332(1P)12332(P)(Puuiuuuiuuiuuiui1 P P1PP0001010

24、012331122)123(iiiiuuu其中其中 =iP)()(Pitfit)1)(1(1 P)1)(Pitititfiitititfi1Pi)1()1(Pitfit 设在平面上有两点设在平面上有两点P P0 0，P Pl l，它们的位置向量，它们的位置向量分别为分别为(1(1，1)1)，(4(4，2)2)，在，在P P0 0的导数值即在该点的导数值即在该点的切线向量的切线向量P P0 0=(1=(1，1)1)，在，在P Pl l处处PP1 1=(1=(1，-1)-1)11221164)123(112111410001010012331122)123()(Puuuuuuu12232)(126

25、34)(uuuuyuuuux第三节第三节 CoonsCoons曲面曲面 10,10),(),(),(),(Pwuwuzwuywuxwu)0,0(P00),(P2),(P),(Pwuwuuwuwuwuuuwwuuw0,0),(P2000,0),(P00wuwuwuuwwuuwuuuwuw表示了曲面片的方程表示了曲面片的方程0 0w w，1 1w w，u u0 0，u u1 1表示四条边界曲线表示四条边界曲线u u0 0u u表示在边界线表示在边界线u u0 0上的点沿上的点沿u u向的一阶向的一阶偏导数向量，称边界线的偏导数向量，称边界线的切向量切向量u u0 0w w表示边界线表示边界线u u

26、0 0上的点沿上的点沿w w向的一阶偏向的一阶偏导数向量，称边界线的导数向量，称边界线的跨界切向量跨界切向量。uwuwuuuu ，uwuwuwuw，uwuwwwww分别表示曲面片分别表示曲面片uwuw关于关于u u和和w w的二阶偏导数向量，于是的二阶偏导数向量，于是u u0 0uuuu表示表示边界线边界线u u0 0上的上的二阶切向量二阶切向量，u u0 0wwww表示边表示边界线界线u u0 0上的二阶上的二阶跨界切向量跨界切向量。uwuwuwuw为曲面片为曲面片P P在点在点(u u,w w)处的处的扭扭曲向量曲向量。特别，用。特别，用0000，0101，1010，1111分别表示曲面片

27、四个角点时，分别表示曲面片四个角点时，0000uwuw，0101uwuw，1010uwuw，1111uwuw就分别表示在四个就分别表示在四个角点的扭曲向量。角点的扭曲向量。构造具有指定边界曲线的曲面片构造具有指定边界曲线的曲面片 CoonsCoons给出的一个解法是：寻找给出的一个解法是：寻找两个混合函数两个混合函数f f0 0(t t)和和f f1 1(t t)，它们，它们是连续的，并且满足是连续的，并且满足f f0 0(0)=1(0)=1，f f0 0(1)=0(1)=0，f f1 1(0)=0(0)=0，f f1 1(1)=1(1)=1，且，且f f0 0(t t)+)+f f1 1(t

28、 t)=1)=1，00t t11。利用这样的混合函数，通过四条利用这样的混合函数，通过四条边界构造曲面片，并通过叠加修正边界构造曲面片，并通过叠加修正曲面片，产生满足用户需要的曲面。曲面片，产生满足用户需要的曲面。若给定四条边界曲线若给定四条边界曲线u u0 0，u u1 1，0 0w w，1 1w w，且，且00u u11，00w w11 在在u u向进行线性插值，得到直纹面为：向进行线性插值，得到直纹面为：10,1)(1)(01)(10)(0),(1Puufufwufwufwu其中 在在w w向进行线性插值，得到向进行线性插值，得到直纹面为：直纹面为：10,1)(1)(01)(10)(0)

29、,(2Pwwfwfuwfuwfwu其中 若把这两张直纹面叠加可得若把这两张直纹面叠加可得到一张新曲面到一张新曲面P Ps s(u u,w w)：10,1)()(10,1)()(1)(0)(1)(0)(),(P),(P),(P1010101021wwfwfuufufuwfuwfwufwufwuwuwus其中其中P Ps s(u u,w w)上的任意一点，其位移矢量包含两上的任意一点，其位移矢量包含两个部分，一部分是由于个部分，一部分是由于线性插值线性插值而产生的位而产生的位移，另一部分是由于移，另一部分是由于边界曲线边界曲线而产生的位移。而产生的位移。10,1)(1)(010,1)(1)(011

30、)(1)(101)(0)(110)(1)(000)(0)(011)(101)(0)(110)(100)(0)(0),(3Pwwfwfuufufufwfufwfufwfufwfufufwfufufwfwu，其中 为消除为消除P Ps s(u u,w w)中由于线性插值而产生中由于线性插值而产生的位移，需要构造一个新的曲面的位移，需要构造一个新的曲面P P3 3(u u,w w)构造曲面构造曲面P P3 3(u u,w w)后，从后，从P Ps s(u u,w w)中去除中去除P P3 3(u u,w w)，即去除线性插值的，即去除线性插值的成分，则得到成分，则得到CoonsCoons构造曲面构造

31、曲面 P(P(u u,w w)=)=P Ps s(u u,w w)-P)-P3 3(u u,w w)=P =P1 1(u u,w w)+)+P P2 2(u u,w w)-P)-P3 3(u u,w w)可写成如下形式：可写成如下形式：)(1)(0)(1),(0)(1)(01,0)(1)(0 1,0),(3P),(2P),(1P),(PwfwfMufufufufwwwfwfuuwuwuwuwuuw其中矩阵其中矩阵M M是：是：11100100M 矩阵中四个元素是四个角点的位置向量，矩阵中四个元素是四个角点的位置向量，可用已知四条边界曲线计算求出。可用已知四条边界曲线计算求出。u u0 0，u

32、u1 1可以是关于可以是关于u u的三次多项式，的三次多项式，0 0w w，1 1w w可以是关于可以是关于w w的三次多项式，混合函数也的三次多项式，混合函数也是不超过三次的关于是不超过三次的关于u u或或w w的三次多项式，的三次多项式，这时公式关于这时公式关于u u看，或关于看，或关于w w看，都是三次看，都是三次多项式，是关于多项式，是关于u u或或w w的双三次多项式的双三次多项式 不难验证它们符合所提问题的不难验证它们符合所提问题的要求，例如我们来验证要求，例如我们来验证0 0w w是它的是它的一条边界线，这只要把一条边界线，这只要把u u=0=0代入代入公式右端，得公式右端，得

33、wwfwfwwfwf0)(101)(0000)(101)(000右端 曲面片以指定的曲线为其边曲面片以指定的曲线为其边界曲线，且有指定的跨界切向界曲线，且有指定的跨界切向量量。利用本章第二节定义的四个利用本章第二节定义的四个混合函数混合函数q q0000(t t),),q q0101(t t),),q q1010(t t),),q q1111(t t)。这四个函数均。这四个函数均是三次多项式是三次多项式，连续可微，并连续可微，并且还满足下面的条件：且还满足下面的条件：1)1(0)1(0)1(0)1(0)0(1)0(0)0(0)0(0)1(0)1(1)1(0)1(0)0(0)0(0)0(1)0(

34、11100100111001001110010011100100qqqqqqqqqqqqqqqq 设已经给定四条边界曲线设已经给定四条边界曲线u u0 0，u u1 1，0 0w w，1 1w w及沿这四条边界曲线及沿这四条边界曲线的跨界切向量的跨界切向量u u0 0w w，u u1 1w w，0 0w wu u，1 1w wu u。这时可以计算求得四个角点的这时可以计算求得四个角点的位置向量位置向量0000，0101，1010，1111，切向，切向量量0000w w，0101w w，1010w w，1111w w，0000u u，0101u u，1010u u，1111u u，以及扭曲向量，

35、以及扭曲向量0000uwuw，0101uwuw，1010uwuw，1111uwuw，可以写出符合，可以写出符合要求曲面片的数学表达式如下：要求曲面片的数学表达式如下：)(11)(10)(01)(00)(11),(10),(01),(00)(11)(10)(01)(001,0,1,0)(11)(10)(01)(001,0,1,0wqwqwqwqMuququququququququwuwwwwqwqwqwqwuwuuuuwuwuwuuuwuwuuwwwwM11101110010001001110111001000100 容易地验证所写出的公式满足要容易地验证所写出的公式满足要求，例如以求，例如以u

36、 u=0=0代入该式右端，得：代入该式右端，得：wwwqwwqwwqwqwwqwwqwwqwq00)(1101)(1000)(0101)(00000)(1101)(1000)(0101)(0000右端 曲面片沿边界线取给定的各曲面片沿边界线取给定的各跨界切向量，可先对该式关于某跨界切向量，可先对该式关于某一变量求导，例如对一变量求导，例如对u u求导，然求导，然后再代入后再代入u u=0=0，这时有，这时有 uwwqwqwqwqMuwuwwwwqwqwqwquwuwuu0)(11)(10)(01)(00010001001010)(11)(10)(01)(0001000100右端 指定指定四个角

37、点四个角点以及在这些以及在这些点上的点上的切向量和扭曲向量切向量和扭曲向量后，后，求解曲面的表达式求解曲面的表达式。已知角点位置向量已知角点位置向量0000，1010以及在这两点关于以及在这两点关于u u的切向量的切向量0000u u和和0101u u，可以用，可以用HermiteHermite插值插值公式来指定一条公式来指定一条u u边界线：边界线：)(1110)(1000)(0110)(0000uquuquuququ0u0)(1111)(1001)(0111)(00011uquuquuququ)(1111)(1001)(0111)(00011)(1110)(1000)(0110)(0000

38、0uquwuquwuqwuqwwuuquwuquwuqwuqwwuMuquququqwuwuuu)(11)(10)(01)(001010)(1111)(1010)(0111)(00101)(1101)(1000)(0101)(00000)(1111)(1010)(0111)(00101)(1101)(1000)(0101)(00000wquwwquwwquwquuwwquwwquwwquwquuwwqwwqwwqwqwwqwwqwwqwqw)(11)(10)(01)(001010wqwqwqwqMuwuwww将上两式代入前式，就可以得到：将上两式代入前式，就可以得到：T T11w w2 2w

39、w3 3wwT TH HM MH H11u u2 2u u3 3uu1 1w w2 2w w3 3w w0 00 01 11 10 01 12 21 10 00 03 32 21 10 03 32 2uwuw1111uwuw1010u u1111u u1010uwuw0101uwuw0000u u0101u u0000w w1111w w101011111010w w0101w w0000010100000 00 00 01 10 01 10 00 01 12 23 33 31 11 12 22 211u u2 2u u3 3uu(w)(w)1111q q(w)(w)1010q q(w)(w)

40、0101q q(w)(w)0000q qM M(u)(u)1111q q(u)(u)1010q q(u)(u)0101q q(u)(u)0000qquwuw 给出四个角点以及在该角点上的切向量和扭给出四个角点以及在该角点上的切向量和扭曲向量来构造曲向量来构造CoonsCoons曲面表达式。设在平面上有曲面表达式。设在平面上有四点四点P P0 0，P Pl l，P P2 2，P P3 3，它们的位置向量分别为，它们的位置向量分别为(0(0，0 0，0)0)，(0(0，0.750.75，0)0)，(0.75(0.75，0 0，0)0)，(0.75(0.75，0.750.75，0)0)。该四点的切向

41、量、跨界切向量和扭。该四点的切向量、跨界切向量和扭曲向量，定义在关于角点的信息矩阵曲向量，定义在关于角点的信息矩阵M M中：中：111111111111110043xM110011001100110043111111111110111043zMyM0,10,1w w0,1,0,1,u u1 1w w2 2w w3 3w w0 00.750.752.252.251.51.50 00.750.750.750.750 00 00.750.750.750.750 00 00 00 00 011u u2 2u u3 3uuw)w)z(u,z(u,1 1w w2 2w w3 3w w0 00.750.75

42、0 00 00.750.750.750.750.750.750 00.750.750.750.750.750.750 00 00 00 00 011u u2 2u u3 3uuw)w)y(u,y(u,1 1w w2 2w w3 3w w0 00.750.750.750.750 00.750.750.750.750.750.750 00 00.750.753.753.754.54.50 00 03 33 311u u2 2u u3 3uuw)w)x(u,x(u,第四节第四节 BezierBezier曲线和曲面曲线和曲面 Bezier曲线曲线 给出型值点给出型值点P0，P1，Pn，它们所确，它们所

43、确定的定的n次次Bezier曲线是：曲线是：100P)(,)(PtniitniBt涉及到的涉及到的0!0!及及0 00 0，按约定均为，按约定均为1 1。在在n=1n=1时时,公式成为：公式成为：niintitininintitinCtniB,1,0)1()!(!)1()(,101P0P)1()(Ptttt在在n=2n=2时，公式成为：时，公式成为：10,2P1P0P001022121)12(2P21P)1(20P2)1()(Ptttttttt 在在n=3n=3时，公式成为：时，公式成为：103P2P1P0P0001003303631331)123(2P32P)1(231P2)1(30P3)1

44、()(PtttttttttttBezierBezier曲线的一些重要性质曲线的一些重要性质 P(0)=P0，P(1)=P1，曲线通过所给出型值点列的起点和终点。1 1n n0 0i i)i iP P1 1i i(P P1 1i in nt t)(1 1i it t1 1)!i i(n ni i!n n!n nP P1 1n nt t1 1)!(n nn n!1 1n nP P1 1n nt t1 1)!(n nn n!1 1n nt t)P P(1 12 2n nt t2 2)!(n nn n!1 1P P2 2n nt t)t t(1 12 2)!(n nn n!1 1P P1 1n nt

45、t)(1 11 1)!(n nn n!0 0P P1 1n nt t)(1 11 1)!(n nn n!i i)P P1 1i in nt t)(1 1i it ti i)(n ni in nt t)(1 11 1i it t(i in n0 0i ii i)!(n ni i!n n!(t t)P P)1PP()1(P),0P1P()0(Pnnnn BezierBezier曲线的对称性曲线的对称性)1(,)1()!(!)(,tninBintitinintniBn nt t)P P(1 1n n0 0,B Bi in nt t)P P(1 1n ni i,B Bi it t)P P(1 1n n

46、i i,n nB B0 0t t)P P(1 1n nn n,B Bn n(t t)P Pn nn n,B Bi in n(t t)P Pn ni i,n nB Bi i(t t)P Pn ni i,B B0 0(t t)P Pn n0 0,B BP P(t t)曲线的凸包性曲线的凸包性 对给定的型值点对给定的型值点P P0 0，P P1 1，P Pn n点集点集 1 1n n0 0i ii i1 1,i i0 0n n0 0i ii iP Pi iM M1 1)t tn n,0 0i i(0 0n n0 0i i1 1,(t t)n ni i,B B1 1,0 0n nt t)t t)(1

47、1(t t)n ni i,B B分段的三次分段的三次BezierBezier曲线光滑连接曲线光滑连接 设给出两个设给出两个BezierBezier多边形多边形P P0 0P P1 1P P2 2P P3 3和和Q Q0 0Q Ql lQ Q2 2Q Q3 3，显然，使所决定的两条，显然，使所决定的两条BezierBezier曲线在连接点处连续的条件是曲线在连接点处连续的条件是P P3 3=Q=Q0 0。BezierBezier曲线在连接点处曲线在连接点处G G1 1连续，即一阶连续，即一阶导数导数几何几何连续，就要求连续，就要求QQ0 0=a aPP3 3，这里，这里a a应该是一个正数。由前

48、面的公式，知应该是一个正数。由前面的公式，知QQ0 0=3(Q=3(Q1 1QQ0 0)，PP3 3=3(P=3(P3 3PP2 2)，因此可，因此可知使在连接点处知使在连接点处G G1 1连续的条件是：连续的条件是：)2 2P P3 3a(Pa(P0 0Q Q1 1Q Q由此得由此得 1 1a a2 2aPaP1 1Q Q3 3P P0 0Q Q 连接点处达到连接点处达到C C2 2连续，即二阶导数连续，即二阶导数参数参数连续连续的条件的条件 对前面的公式求两次导数，可得，对前面的公式求两次导数，可得，3 36tP6tP2 26)P6)P18t18t(1 112)P12)P(18t(18t0

49、 06)P6)P6t6t(3 3P P2 2P P1 1P P0 0P P0 03 36 63 31 13 33 31 12)2)(6t(6t(t)(t)P P 于是知，于是知，要求，要求，即即 ，注意到Q Q0=P P3，由此得：2 26 6Q Q1 11 12 2Q Q0 06 6Q Q(0 0)Q Q,1 16 6P P2 21 12 2P P3 36 6P P(1 1)P P (0 0)Q Q(1 1)P P 1 1P P2 22 2P P3 3P P2 2Q Q1 12 2Q Q0 0Q Q)2P1Q(21P2Q 绘制绘制BezierBezier曲线时，可以利用其定义曲线时，可以利用

50、其定义式，对参数式，对参数t t选取足够多的值，计算曲线选取足够多的值，计算曲线上的一些点，然后用折线连接来近似画上的一些点，然后用折线连接来近似画出实际的曲线。随着选取点增多，折线出实际的曲线。随着选取点增多，折线和曲线可以任意接近。和曲线可以任意接近。假设给定的四个型值点是假设给定的四个型值点是P P0 0=(1=(1，1)1)，P Pl l=(2=(2，3)3)，P P2 2=(4=(4，3)3)，P P3 3=(3=(3，1)1)，则计算结果见表则计算结果见表 t(1-t)33t(1-t)23t2(1-t)t3P(t)01000(1,1)0.150.6140.3250.05740.00