《通信原理教学》第3章ppt课件.ppt
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1、通信原理第第3章章 随机过程随机过程概念概念随机过程随机过程平稳过程平稳过程白噪声白噪声平稳随机过程平稳随机过程通过线性系统通过线性系统窄带随机过程窄带随机过程http:/ 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 样本函数集合样本函数集合 随机变量集合随机变量集合 分布函数,数字特征,分布函数,数字特征,E的计算的计算3.2 平稳随机过程平稳随机过程 严平稳、宽平稳,如何证平稳,数字特征,各态历经性严平稳、宽平稳,如何证平稳,数字特征,各态历经性 过程的时域、频域特性,功率概念,维纳过程的时域、频域特性,功率概念,维纳-辛钦定理辛钦定理 3.4 平稳随机通过线性系统:平稳随机通过线性系统:输出平
2、稳,输出功率谱输出平稳,输出功率谱3.5 窄带随机过程:窄带随机过程:窄带,成因,同相、正交分量,振幅相位分布,方法窄带,成因,同相、正交分量,振幅相位分布,方法3.3 高斯随机过程(概念)高斯随机过程(概念)3.6 白噪声白噪声第2页,共62页。随机过程初识:初识:特征量:特征量:两个集合两个集合分类分类分布函数,数字特征分布函数,数字特征平稳平稳高斯高斯定义:严、宽定义:严、宽时域频域特征时域频域特征维纳维纳-辛钦定理辛钦定理通过线性系统的求解通过线性系统的求解举例:白噪声举例:白噪声应用:窄带随机过程应用:窄带随机过程第3页,共62页。第第3 3章章 随机过程随机过程l3.1 随机过程的
3、基本概念随机过程的基本概念n什么是随机过程?什么是随机过程?u随机随机:发生前不定,发生后确定:发生前不定,发生后确定u随机试验随机试验:抛硬币,样本空间,随机变量:抛硬币,样本空间,随机变量 统计概率,数字特征统计概率,数字特征u找100人同时抛硬币,1小时后的集合小时后的集合=随机过程随机过程u角度角度1:对应不同随机试验结果的:对应不同随机试验结果的时间过程的集合时间过程的集合。第4页,共62页。3.1 随机过程的基本概念【例】n台示波器同时观测并记录这台示波器同时观测并记录这n台接收机的输台接收机的输出噪声波形出噪声波形 p样本函数i(t):随机过程的一次实现,是确定的时间函数。p随机
4、过程:(t)=1(t),2(t),n(t)是全部样本函数的集合。(t1)=1(t1),2(t1),n(t1)(t1)是是随机变量随机变量!第5页,共62页。3.1 随机过程的基本概念u角度角度2:随机过程是:随机过程是随机变量的集合随机变量的集合。p在一个固定时刻在一个固定时刻t1上,上,(t)中的每个中的每个样本函数有一个取值样本函数有一个取值 i(t1)全全部部取值集合取值集合 i(t1),i=1,2,n是个随机变量,记为是个随机变量,记为 (t1)。p (t)=(t1),(t2),n(tn)p我们可以把我们可以把随机过程随机过程看作看作是是在时间进程中处于不同时刻的在时间进程中处于不同时
5、刻的随随机变量的集合机变量的集合。p这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。(t1)=1(t1),2(t1),n(t1)第6页,共62页。n3.1.1随机过程的分布函数随机过程的分布函数u不同时刻有不同的分布(那时它是随机变量)。不同时刻有不同的分布(那时它是随机变量)。u随机过程随机过程 (t)的的一维分布函数一维分布函数:u随机过程随机过程 (t)的的一维概率密度函数一维概率密度函数:若上式中的偏导存在的话。若上式中的偏导存在的话。)(),(11111xtPtxF1111111),(),(xtxFtxf3.1 随机过程的基本概念随机过
6、程是随机变量的集合随机过程是随机变量的集合第7页,共62页。3.1 随机过程的基本概念u随机过程随机过程 (t)的的二维分布函数二维分布函数:u随机过程随机过程 (t)的的二维概率密度函数二维概率密度函数:若上式中的偏导存在的话。若上式中的偏导存在的话。u随机过程随机过程 (t)的的n维分布函数维分布函数:u随机过程随机过程 (t)的的n维概率密度函数维概率密度函数:221121212)(,)(),;,(xtxtPttxxF2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxfnnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,)(,)(),;,(22112121n21n21n21nn
7、n21n21nx)tx()tx(xxttxxFttxxf,;,;,第8页,共62页。n3.1.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征u均值(数学期望)(数学期望):在任意给定时刻在任意给定时刻t1的取值的取值 (t1)是一个随机变量,其均值是一个随机变量,其均值式中式中 f(x1,t1)(t1)的概率密度函数的概率密度函数由于由于t1是任取的,所以可以把是任取的,所以可以把 t1 直接写为直接写为t,x1改为改为x,这样上式就变为这样上式就变为结果是结果是t的函数!一直在变,永不停息的函数!一直在变,永不停息-咋认得它?咋认得它?dxtxxftE),()(1111111),()(dxtxfx
8、tE3.1 随机过程的基本概念集合平均第9页,共62页。(t)的均值是时间的确定函数,常记作的均值是时间的确定函数,常记作a(t),它表,它表示随机过程的示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心个样本函数曲线的摆动中心:dxtxxftE),()(1a(t)3.1 随机过程的基本概念第10页,共62页。u方差方差常记为方差常记为 2(t)。这里也把任意时刻。这里也把任意时刻t1直接写成了直接写成了t。因为因为所以,方差等于均方值与均值平方之差,它表示所以,方差等于均方值与均值平方之差,它表示随机过程在时刻随机过程在时刻 t 对于均值对于均值a(t)的偏离程度。的偏离程度。2)()()(tatEtD
9、 )()()(2)(2222222tatEtatEtatEtattatEtD212)(),(tadxtxfx均方值均值平方3.1 随机过程的基本概念第11页,共62页。u相关函数式中,式中,(t1)和和 (t2)分别是在分别是在t1和和t2时刻观测得到的随机变时刻观测得到的随机变量。可以看出,量。可以看出,R(t1,t2)是两个变量是两个变量t1和和t2的确定函数。的确定函数。u协方差函数协方差函数式中式中 a(t1)a(t2)在在t1和和t2时刻得到的时刻得到的 (t)的均值的均值 f2(x1,x2;t1,t2)(t)的二维概率密度函数。的二维概率密度函数。2121212212121),;,
10、()()(),(dxdxttxxfxxttEttR 21212122211221121),;,()()()()()()(),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB 3.1 随机过程的基本概念第12页,共62页。p相关函数和协方差函数之间的关系相关函数和协方差函数之间的关系u互相关函数式中式中(t)和和(t)分别表示两个随机过程。分别表示两个随机过程。因此,因此,R(t1,t2)又称为自相关函数。又称为自相关函数。)()(),(),(212121tatattRttB)()(),(2121ttEttR3.1 随机过程的基本概念随机过程特性时变,如何认识分析?第13页,共62页。第第3
11、 3章章 随机过程随机过程l3.2 平稳随机过程平稳随机过程n3.2.1 平稳随机过程的定义平稳随机过程的定义u定义:定义:若一个随机过程若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与的任意有限维分布函数与时间起点无关,也就是说,对于时间起点无关,也就是说,对于任意的正整数任意的正整数n和和任意实数任意实数,有,有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程,则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程,简称简称严(狭义)平稳随机过程。),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf;如何证?如何证?第14页,共62页。)(),(11111xftxft1t1+t1+2*),(),(
12、21212121nnnnnntttxxxftttxxxf;);,(),;,(21221212xxfttxxf),(111txf),(111txf)*2,(111txf=),;,(11212ttxxf)*2,;,(11322ttxxf=)*2,;,(11312ttxxf第15页,共62页。u性质性质:该定义表明,平稳随机过程的统计特性不随时间的该定义表明,平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变,即它的一维分布函数与时间推移而改变,即它的一维分布函数与时间t无关:无关:而二维分布函数只与时间间隔而二维分布函数只与时间间隔 =t2 t1有关:有关:u数字特征数字特征:可见,(可见,(1)其均值与
13、)其均值与t无关,为常数无关,为常数a;(2)自相关函数只与时间间隔)自相关函数只与时间间隔 有关有关。)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxfadxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR 3.2 平稳随机过程第16页,共62页。u宽(广义)平稳随机过程:(1)其均值与)其均值与t 无关,为常数无关,为常数a;(2)自相关函数只与时间间隔)自相关函数只与时间间隔 有关。有关。把同时满足(把同时满足(1)和()和(2)的过程定义为)的过程定义为宽宽(广义广义)平平稳随机过程稳随机过程。显然
14、,。显然,严平稳随机过程必定是广义平稳的,反之不一定成立。严平稳随机过程必定是广义平稳的,反之不一定成立。在通信系统中所遇到的信号及噪声,大多数可视为在通信系统中所遇到的信号及噪声,大多数可视为平稳的随机过程。因此,研究平稳随机过程有着很大的平稳的随机过程。因此,研究平稳随机过程有着很大的实际意义。实际意义。3.2 平稳随机过程第17页,共62页。n3.2.2 各态历经性u问题的提出:我们知道,随机过程的数字特征(均值、问题的提出:我们知道,随机过程的数字特征(均值、相关函数)是对随机过程的所有样本函数的统计平均,相关函数)是对随机过程的所有样本函数的统计平均,但在实际中常常很难测得大量的样本
15、,这样,我们自但在实际中常常很难测得大量的样本,这样,我们自然会提出这样一个问题:能否从然会提出这样一个问题:能否从一次试验而而得到的一到的一个样本函数个样本函数x(t)来决定平稳过程的来决定平稳过程的数字特征呢呢?u“各态历经性各态历经性”(又称(又称“遍历性遍历性”)假设)假设 设设2个样本函数,个样本函数,f1(t1)=1,f2(t1)=0=P(1,t1)=1/2 设设f1(t2)=0,则则f2(t2)=1,因平稳。因平稳。P(1,t2)=1/2 推而广之:推而广之:f1(t)必取得集合的所有可能取值必取得集合的所有可能取值3.2 平稳随机过程第18页,共62页。u各态历经性条件设:设:
16、x(t)是平稳过程是平稳过程(t)的任意一次实现(样本),的任意一次实现(样本),则其则其时间均值时间均值和和时间相关函数时间相关函数分别定义为:分别定义为:如果平稳过程使下式成立如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。则称该平稳过程具有各态历经性。2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa)()(RRaa3.2 平稳随机过程时间平均=集合平平均第19页,共62页。u“各态历经各态历经”的的含义含义是:随机过程中的任一次实现都经是:随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此,在求解各种统计历了随机
17、过程的所有可能状态。因此,在求解各种统计平均(均值或自相关函数等)时,无需作无限多次的考平均(均值或自相关函数等)时,无需作无限多次的考察,只要获得一次考察,用一次实现的察,只要获得一次考察,用一次实现的“时间平均时间平均”值值代替过程的代替过程的“统计平均统计平均”值即可,从而使测量和计算的值即可,从而使测量和计算的问题大为简化。问题大为简化。u具有具有各态历经各态历经的随机过程的随机过程一定一定是是平稳平稳过程,过程,反之不一定反之不一定成立成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声,一般均。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声,一般均能满足各态历经条件。能满足各态历经条件。3.2 平稳随机过
18、程第20页,共62页。u 例例3-1 设一个随机相位的正弦波为设一个随机相位的正弦波为其中,其中,A和和 c均为常数;均为常数;是在是在(0,2)内均匀分布的随机内均匀分布的随机变量。试讨论变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。是否具有各态历经性。【解】【解】(1)先求先求(t)的统计平均值:的统计平均值:数学期望数学期望)cos()(tAtc2021)cos()()(dtAtEtac20)sinsincos(cos2dttAcc0sinsincoscos22020dtdtAcc3.2 平稳随机过程第21页,共62页。自相关函数令t2 t1=,得到可见,(t)的数学期望为常数,而自相关函数与t
19、 无关,只与时间间隔 有关,所以(t)是广义平稳过程。0)(cos2212)(cos2)(cos22)(cos)(cos2)cos()cos()()(),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEttEttRccccccc)(cos2),(221RAttRc3.2 平稳随机过程第22页,共62页。(2)求求(t)的时间平均值的时间平均值比较统计平均与时间平均,有比较统计平均与时间平均,有因此,随机相位余弦波是各态历经的。因此,随机相位余弦波是各态历经的。220)cos(1limTTcTdttATa22)(cos)cos(1lim)(TTccTdtt
20、AtATR22222)22cos(cos2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,RRaa3.2 平稳随机过程第23页,共62页。3.2 平稳随机过程n3.2.3 平稳过程的平稳过程的自相关函数 -时域特征u平稳过程自相关函数的定义:同前平稳过程自相关函数的定义:同前u平稳过程自相关函数的性质平稳过程自相关函数的性质p (t)的平均功率的平均功率p 的偶函数的偶函数p R()的上界的上界p (t)的的直流直流功率功率p (t)的的交流交流功率。功率。当均值为当均值为0时,有时,有 R(0)=2 。)()0(2tER)()(RR)0()(RR22a)()(tER2)()0(R
21、R0)()(2ttE第24页,共62页。n3.2.4 平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度u定义:定义:p对于任意的确定功率信号对于任意的确定功率信号f(t),它的功率谱密度定义为,它的功率谱密度定义为式中,式中,FT(f)是是f(t)的截短函数的截短函数fT(t)所对应的频谱函数所对应的频谱函数TfFmi lfPTTf2)()(3.2 平稳随机过程第25页,共62页。p对于平稳随机过程对于平稳随机过程 (t),可以把,可以把f(t)当作是当作是(t)的一个样本;的一个样本;p某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。p过程的功率谱密度应看
22、作是对所有样本的功率谱的过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统统计平均计平均p故故 (t)的功率谱密度可以定义为的功率谱密度可以定义为TfFEmi lfPEfPTTf2)()()(3.2 平稳随机过程第26页,共62页。u功率谱密度的计算p维纳-辛钦关系 非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立,即有一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立,即有简记为简记为以上关系称为维纳以上关系称为维纳-辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用中是一个中
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