2.2基本不等式同步练习（含答案）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.rar

新教材高一数学必修第一册 新教材高一数学必修第一册 夯实基础篇夯实基础篇-04 基本不等式基本不等式考点一-基本不等式的直接应用考点一-基本不等式的直接应用例 1：已知正数m,n满足22100mn，则mn（）A有最大值10 2B有最小值10 2C有最大值 50D有最小值50例 2：已知正数a，b满足8ab，则2ab的最小值为（）A8B10C9D6例 3：若0a，0b，且24ab，则ab的最大值是_例 4：已知0,0ab，且191ab，则ab的最小值为（）A100B81C36D9变式训练：变式训练：1.已知 m，nR，m2+n2=100，则 mn 的最大值是（）A25B50C20D5 22.已知,x y为正实数，且4xy，则4xy的最小值是（）A4B8C16D323.已知x、yR，且24xy，则xy的最大值是_.4.若0,0,10 xyxy，则25xy的最小值为_考点二-构造基本不等式求最值、范围考点二-构造基本不等式求最值、范围例 5：已知0a，那么42aa的最小值是（）A1B2C4D5例 6：若 x2，则函数42yxx的最小值为（）A3B4C5D6例 7：设0 x，则133yxx的最大值是（）A3B32 2C32 2D0例 8：已知1a，则23111aaa的最小值为_.变式训练：变式训练：5.已知，则的最小值为_，此时的取值为_6.函数的最小值是_，此时_.7.当时，的最大值为_此时的取值为_8.函数 2411xxf xxx的最小值为_考点三-乘“1”法的应用考点三-乘“1”法的应用例 9：已知0a，0b，且21ab，则11ab的最小值为（）A32 2B34 2C36 2D38 2例 10：若，则的最小值为 例 11：已知,a bR，且23abab，则2ab的最小值为（）A3B4C6D9例 12：已知，则的最小值为（）A3B4C5D6变式训练：变式训练：9.若正数 x，y 满足，则的最小值为（）A4BC8D910.已知 x，且，则的最小值_0 x 1yxxx1()1f xxx(1)x x 1x 11f xxxx0mn 143mnmn2m 0n 3mn112mn21xy12xy32 20y 194xyxy11.若0,0,xyxyxy，则2xy的最小值为_.12.已知 m，则的最小值为（）AB7C8D4考点四-实际生活中的基本不等式 考点四-实际生活中的基本不等式 例 13：若把总长为 20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2例 14：某人决定自驾汽车匀速自驾游，全段路程，速度 不能超过，而汽车每小时的运输成本为元，则当全程运输成本最小时，汽车的行驶速度为（）ABCD变式训练：变式训练：13.13.某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到码头的距离成正比.经测算，若在距离码头 10处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为 2 万元和 8 万元.那么两项费用之和的最小值是_万元.14.建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米 80 元，则这个水池的最低造价为（）A1120 元B1280 元C1760 元D1960 元考点五利用基本不等式求参数范围考点五利用基本不等式求参数范围例 15若对任意的都有，则的取值范围是（）ABCD例 16：当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD例 17.若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是_.0n 4121mnmn721200kmv100km/h2120050v 80km/h70km/h100km/h90km/hkm(0,)x1xaxa2，2，(2,)2,)1x 11axxa2a 2a 1a 1a xy4xyxy234yxmmm变式训练：变式训练：15.15.已知，.且，若恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD16.已知正数x，y满足且有解，则实数m的取值范围是_.17.已知、为两个正实数，且恒成立，则实数的取值范围是_考点六综合应用考点六综合应用例 18：(1)若 x0，求函数 yx4x的最小值，并求此时 x 的值；(2)设 0 x2，求 x4x2的最小值；(4)已知 x0，y0，且 1x9y1，求 xy 的最小值.变式训练：变式训练：18(1)已知 x0，求 f(x)12x3x 的最小值；(2)已知 x0，b0，ab2，求 y1a4b的最小值.0 x 0y 211xy2xymm(,7(7),(,9(,9)49xyxy224xymmxy11mxyxym21yxx新教材高一数学必修第一册 新教材高一数学必修第一册 夯实基础篇夯实基础篇-04 基本不等式基本不等式考点一-基本不等式的直接应用考点一-基本不等式的直接应用例 1：已知正数m,n满足22100mn，则mn（）A有最大值10 2B有最小值10 2C有最大值 50D有最小值50【答案】C【分析】根据基本不等式，由题中条件，即可得出结果.【解析】因为正数m,n满足22100mn，又222mnmn，则50mn，当且仅当5 2mn时，等号成立，即mn有最大值 50，无最小值.故选：C.【点睛】本题主要考查由基本不等式求积的最大值，属于基础题型.例 2：已知正数a，b满足8ab，则2ab的最小值为（）A8B10C9D6【答案】A【解析】因为正数a，b满足8ab，所以22 28abab，当且仅当2ab，即2b，4a 时取等号，故选：A例 3：若0a，0b，且24ab，则ab的最大值是_【答案】2【分析】由于a、b为正值，且2ab为定值 4，因此可以运用基本不等式先求出2 2ab的最大值，进而求出ab的最大值【解析】0a，0b，24ab422 2abab2ab，当且仅当2ab时取等号，即2a，1b 时取等号故答案为：2【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题例 4：已知0,0ab，且191ab，则ab的最小值为（）A100B81C36D9【答案】C【分析】利用基本不等式直接求解即可【解析】因为0,0ab，所以191 91126aba bab，当且仅当19ab，即2,18ab取等号，所以36ab，所以ab的最小值为36，故选：C【点睛】此题考查基本不等式的应用，属于基础题变式训练：变式训练：1.已知 m，nR，m2+n2=100，则 mn 的最大值是（）A25B50C20D5 2【答案】B【分析】利用不等式 m2+n22mn，可求得结果.【解析】由 m2+n22mn，得 mn222mn=50，当且仅当 m=n=5 2时等号成立.所以 mn 的最大值是50.故选：B【点睛】关键点点睛：利用不等式 m2+n22mn 求解是关键.2.已知,x y为正实数，且4xy，则4xy的最小值是（）A4B8C16D32【答案】B【分析】化简164xyxx，结合基本不等式，即可求解.【解析】由题意，正实数,x y且4xy，可得4yx，则1616428xyxxxx，当且仅当16xx时，即4x 时等号成立，所以4xy的最小值是8.故选：B.3.已知x、yR，且24xy，则xy的最大值是_.【答案】2【解析】因为x、yR，由基本不等式可得422 2xyxy，得2xy，当且仅当2xy，即1x，2y 时，等号成立.因此，xy的最大值是2.故答案为：2.4.若0,0,10 xyxy，则25xy的最小值为_【答案】2【解析】由0,0,10 xyxy，则252102222=22222xyxxxyxyxyxx，当且仅当2x 时取“=”，即25xy的最小值为 2故答案为：2.考点二-构造基本不等式求最值、范围考点二-构造基本不等式求最值、范围例 5：已知0a，那么42aa的最小值是（）A1B2C4D5【答案】B【分析】4422aaaa，利用基本不等式即可求最值.【解析】因为0a，44422222aaaaaa，当且仅当4aa，即2a 时等号成立，故选：B【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.例 6：若 x2，则函数42yxx的最小值为（）A3B4C5D6【答案】D【分析】直接由44(2)222yxxxx利用基本不等式求最值即可.【解析】x2，x20，444(2)22(2)26222yxxxxxx，当且仅当422xx，即 x4 时取等号，函数42yxx的最小值为 6.故选：D.例 7：设0 x，则133yxx的最大值是（）A3B32 2C32 2D0【答案】B【分析】把所求的式子变形为13(3)yxx，由x大于 0，利用基本不等式求出13xx的最小值，即可求出y的最大值【解析】当0 x 时，132 3xx，当且仅当13xx，即33x 时取等号，11333(3)32 3yxxxx，则y的最大值为32 3故选：B【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.例 8：已知1a，则23111aaa的最小值为_.【答案】5【解析】令1(0)tat，则1at，所以222311(1)3(1)1199912151aattttttatttt ，当且仅当9tt，即3t 时取等号，所以23111aaa的在最小值为5.故答案为：5.变式训练：变式训练：5.已知，则的最小值为_，此时的取值为_【答案】2 1 【解析】因为 x0，所以，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：2；1.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值，要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.6.函数的最小值是_，此时_.【答案】3 2 【分析】由题知，又由，结合基本不等式即可求解【解析】，由基本不等式可得，当且仅当即时，函数取得最小值 故答案为：3；2.【点睛】关键点点睛：该题主要考查了利用基本不等式求解最值，在求解的过程中，时刻关注利用基本不等式求最值的三个条件：一正、二定、三相等，考查学生的运算0 x 1yxxx1122yxxxx1xx1x 1()1f xxx(1)x x 10 x 1111f xxx 1x 10 x 211211111131xxf xxx 111xx 2x 3求解能力7.当时，的最大值为_此时的取值为_【答案】【分析】由，根据基本不等式，即可求出结果.【解析】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：；.:8.函数 2411xxf xxx的最小值为_【答案】5【解析】224(1)(1)44()(1)1111xxxxf xxxxx1x Q，10 x，44(1)2(1)411xxxx（当且仅当411xx，即3x 时取等号），()4 15minf x 故答案为：5考点三-乘“1”法的应用考点三-乘“1”法的应用例 9：已知0a，0b，且21ab，则11ab的最小值为（）1x 11f xxxx32 111111f xxxxx 1x 1111111111f xxxxxxx 121131xx 111xx 2x 32A32 2B34 2C36 2D38 2【答案】A【分析】利用换“1”法，展开后利用基本不等式求解即可.【解析】0a，0b，11112(2)()1232 2ababababba，当且仅当2221,2ab，等号成立，所以最小值为32 2，故选：A.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方例 10：若，则的最小值为 【答案】3【解析】因为，所以同正，则，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为.例 11：已知,a bR，且23abab，则2ab的最小值为（）A3B4C6D90mn 143mnmn0mn 143mn,m n114141414523333mnm nmnmnmnnmnm4mnnm12mnmn3【答案】A【分析】将23abab变形为213ab，再将2ab变形为12123abab，整理后利用基本不等式可求最小值.【解析】因为23abab，故213ab，故1211221225543333baabababab，当且仅当1ab时等号成立，故2ab的最小值为 3.故选：A.【点睛】方法点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.例 12：已知，则的最小值为（）A3B4C5D6【答案】B【解析】因为，所以，则，当且仅当且，即时取等号，故选：B.变式训练：变式训练：9.若正数 x，y 满足，则的最小值为（）2m 0n 3mn112mn2m 0n 3mn21mn1111222224222nmmnmnmnmn22nmmn3mn51,22mn21xy12xyA4BC8D9【答案】C【解析】因为正数 x，y 满足，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为 8，故选：C10.已知 x，且，则的最小值_【答案】4【解析】因为 x，且，所以当且仅当，,即时，取等号，所以的最小值为 4，故答案为：411.若0,0,xyxyxy，则2xy的最小值为_.【答案】【解析】因为，所以所以32 221xy1244222428xyx yxyxyyxyx4xyyx11,42xy12xy0y 194xyxy0y 194xyxy1191919101024444yxyxxyxyxyxy9yxxy1,3xyxy32 20,0,xyxyxy111xy2221211223232xyxy xxyxyxyxyy 当且仅当，即，时取等号，故答案为：12.已知 m，则的最小值为（）AB7C8D4【答案】A【解析】m，当且仅当且，即，时取等号，故的最小值.故选：A.考点四-实际生活中的基本不等式考点四-实际生活中的基本不等式 例 13：若把总长为 20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2【答案】25【解析】设矩形的一边为xm，面积为ym2，则另一边为(202x)(10 x)m，其中 0 x0，求函数 yx4x的最小值，并求此时 x 的值；(2)设 0 x2，求 x4x2的最小值；(4)已知 x0，y0，且 1x9y1，求 xy 的最小值.【解析】(1)当 x0 时，x4x2x4x4，当且仅当 x4x，即 x24，x2 时，取等号.函数 yx4x(x0)在 x2 处取得最小值 4.15,10 xy2min24xymm22425mm1m 25m(,1)(25,)xy11mxyxym,4xy11mxyxy11mxyxy112224xyx yxyxyyxy xxy4m m,4,4(2)0 x 0，y4x(32x)2 2x(32x)2 92.当且仅当 2x32x，即 x34时，等号成立.0 34 32，函数 y4x(32x)(0 x 2，x2 0，x4x2x24x222 x24x226，当且仅当 x24x2，即 x4 时，等号成立.x4x2的最小值为 6.(4)方法一x0，y0，1x9y1，xy(1x9y)(xy)yx9xy102yx9xy1061016，当且仅当 yx9xy，1x9y1，即 x4，y12 时，上式取等号.故当 x4，y12 时，xy 有最小值 16.方法二由 1x9y1，得(x1)(y9)9(定值).由 1x9y1 可知 x1，y9，xy(x1)(y9)102x1y91016，当且仅当 x1y93，即 x4，y12 时，上式取等号，故当 x4，y12 时，xy 有最小值 16.变式训练：变式训练：18(1)已知 x0，求 f(x)12x3x 的最小值；(2)已知 x0，b0，ab2，求 y1a4b的最小值.22)23(2xx21yxx【解析】(1)x0，f(x)12x3x212x3x12，当且仅当 3x12x，即 x2 时，取等号，f(x)的最小值为 12.(2)x3，x30，f(x)4x3x4x3x33(43x3x)3243x3x31，当且仅当43x3x，即 x1 时，取等号.f(x)的最大值为1.（3）当且仅当时取等号(4)ab2，ab21.1a4b(1a4b)(ab2)522abb2a522 2abb2a92当且仅当2ab=b2a时，等号成立，故 y1a4b的最小值为92.2222111|1(1)22yxxxxxx 22x