2.2基本不等式ppt课件-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.pptx

1、222abab与的大小关系如何？设AE=a,BE=b你能从这个图案中找出正方形ABCD的面积，和4个直角三角形的面积之和B BA AC CD DE EF FG GH H则正方形ABCD的面积是：a a2 2+b+b2 2下图是下图是2002年在北京召开第年在北京召开第24届国际数学家大会会标届国际数学家大会会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的。是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的。这4个直角三角形的面积之和是：2ab2ab222 a bab图 解与的 不 等 关 系B BA AC CD DE EF FG GH H这这4 4个直角三角形的面个直角三角形的面积之和是积之和是_，2ab2ab22

2、2.abab即S4S正方形ABCD直角三角形，a22ab b 222.2abab成 立 吗？当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立，时，等号成立，222abab即成立.提示提示:22a,2.bR ababab结 论：当 且 仅 当时 等 号 成 立。2.2 基本不等式第1课时 基本不等式及简单的应用1.1.通过对通过对2424届国际数学家大会会标的分析，引导届国际数学家大会会标的分析，引导学生推导基本不等式学生推导基本不等式;(重点）重点）2.2.构思几何图形解读这个基本不等式的几何意义构思几何图形解读这个基本不等式的几何意义;3.3.知道定理中的不等号知道定理中的不等号“”取等号的条件。取

3、等号的条件。4.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大 最小值问题。最小值问题。（难点）（难点）222,abab一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a，b b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立.2ababa 0,b 0,如果特别地，特别地，我们用我们用,a b,分别代替分别代替ab可得可得1.基本不等式的定义：基本不等式的定义：问题？这个不等式有没有几何意义？问题？这个不等式有没有几何意义？(0,0).2a babab叫基本不等式D DA AB BC CE E如图如图,AB,AB是圆的直径，是圆的直径，C

4、C是是ABAB上任一点，上任一点，AC=a,CB=b,AC=a,CB=b,过点过点C C作垂作垂直于直于ABAB的弦的弦DEDE，连接，连接AD,BD,AD,BD,则则CD=CD=,半径为半径为.ab2ab2ACDDCB,CDAC CB,CDab.因因为为所所以以即即2:探究基本不等式的几何意义探究基本不等式的几何意义CDCD小于或等于圆的半径小于或等于圆的半径.2abab用不等式表示为用不等式表示为上述不等式当且仅当点上述不等式当且仅当点C C与圆心重合，即当与圆心重合，即当a=ba=b时，等号成立时，等号成立.几何意义：半径不小于半弦几何意义：半径不小于半弦.可以叙述为可以叙述为:两个正数

5、的几何平均数不大于它们的算术平均两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数数.基本不等式也叫做均值不等式基本不等式也叫做均值不等式 (0,0)2ababab几何平均数几何平均数算术平均数算术平均数(1)重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2b2 2ab，当且仅当 时，等号成立(2)基本不等式形式：成立的前提条件：；等号成立的条件：当且仅当时取等号aba0，b0ab【对比两个不等式】【对比两个不等式】应用一：应用一：利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值1.(1)0,0,4.xxyxyy例且求:的最大值。2,4,xyxyxy解：因为且x0,y0,x+y=4 所以24,x4.xyyxy所以当且

6、仅当时等号成立。即 的最大值为x(2),yx yyx已 知都 是 正 数，求的 最 小 值。1(1)y0)12y(13)(0)31y1)-1xxxxxxxxxxxx求函数=（的最小值 并指出 等于多少是函数值最小。（）求函数最 大值并指出 等于多少是函数值最大。(3)函数=（的最小值，并指出 等于多少是函数值最小值,互动探究：互动探究：结论结论 :两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值.1.1.当当x+yx+y的值是常数的值是常数S S时，当且仅当时，当且仅当x=yx=y时，时，xyxy有最大值有最大值214S【提升总结提升总结】结论结论:两个正数积为定值，则和有最小值两

7、个正数积为定值，则和有最小值.2.2.当当xyxy的值是常数的值是常数 时，时，x+yx+y有最小值有最小值 当且仅当当且仅当x=yx=y时，时，2pP2220,1930,0,1,x2442,2xyxxxyyxyxxxyx例：已知求的最大值。例：已知且 求：的最小值.例：已知求的最小值.11.0,422.01,(1)143.,)()xyxxxxxx yxyxy已知求：的最小值。已知则当取最大值。设为正数，则（的最小值。1.1.两个不等式两个不等式不等式不等式内容内容等号成立条件等号成立条件重要不等式重要不等式基本不等式基本不等式22ab2ab(a,bR)“a=b”“a=b”时取时取“=”=”a

8、bab(a0,b0)2“a=b”“a=b”时取时取“=”=”利用基本不等式求最大最小值的策略利用基本不等式求最大最小值的策略:1、条件：一正、二定、三相等。所条件：一正、二定、三相等。所谓谓“正正”是指各项或各因式为正值，所是指各项或各因式为正值，所谓谓“定定”是指和或积为定值，所谓是指和或积为定值，所谓“相等相等”是指等号能取到。是指等号能取到。2、关键：获得定值条件，解题时应、关键：获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用对照已知和欲求的式子运用“拆相、拆相、添项、配凑、变形添项、配凑、变形”等方法创设应用等方法创设应用基本不等式的条件。基本不等式的条件。例例2(1)用篱笆围一个面积

9、为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？例例3 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4 800 m3,深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?【解题关键】解题关键】水池呈长方体形，高为水池呈长方体形，高为3 m,底面的长与宽没有确定底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了.因此应当考

10、察因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低底面的长与宽取什么值时水池总造价最低.应用二：应用二：实际应用问题中的基本不等式实际应用问题中的基本不等式,2 24 40 0 0 00 00 0+7 72 20 0(x x+y y)2 24 40 0 0 00 00 0+7 72 20 02 2 x xy y,即即z z2 24 40 0 0 00 00 0+7 72 20 02 2 1 1 6 60 00 0z z2 29 97 7 6 60 00 0.().xy=2 24 40 0 0 00 00 0+7 72 20 04800150120(2 32 3)3 zxy由容积为由容积为4 8

11、00 m4 800 m3 3 ，可得，可得3xy=4 800,3xy=4 800,因此因此xy=xy=1 600.1 600.由基本不等式与不等式的性质，可得由基本不等式与不等式的性质，可得【解析】设底面的长为x m，宽为y m,水池总造价为z元，根据题意，有 所以，将水池的底面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元.思考总结：应用题书写表达格式：思考总结：应用题书写表达格式：1.设未知数；2.列出相关函数式；3.解数学式；4.答实际问题。【变式练习】【变式练习】3.简单应用简单应用：应用一：应用一：利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值应用二：应用二：利用基

12、本不等式证明简单的不等式利用基本不等式证明简单的不等式应用二：应用二：利用基本不等式证明简单的不等式利用基本不等式证明简单的不等式例例1还有其他证法吗？谁有想法？还有其他证法吗？谁有想法？已知已知 a0,b0,a+b=1,a0,b0,a+b=1,求证：求证：11(1)(1)9.ab【解题关键】由于不等式左边含字母【解题关键】由于不等式左边含字母a,ba,b，右边无，右边无字母，直接使用基本不等式，既无法约掉字母，字母，直接使用基本不等式，既无法约掉字母，不等号方向又不对，因不等号方向又不对，因a+b=1a+b=1，能否把左边展开，能否把左边展开，实现实现“1 1”的代换？的代换？例例2当且仅当当且仅当 时取等号时取等号.12ab 还有其他证法吗？谁有想法？还有其他证法吗？谁有想法？由公式由公式 可以引可以引申出的常用结论：申出的常用结论：【规律总结】【规律总结】