2.2.1基本不等式（一）同步练习 （含解析）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.docx

1、2.2.1 基本不等式（一）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）一、单选题（本大题共11小题，共55.0分）1. 给出下列条件：ab0；ab0，b0；a0，b0)D. y=t+2t3. 若a，bR+，且ab=1，则2a+b的最小值为( )A. 2B. 22C. 32D. 34. 若0ab，且a+b=1，则12，b，2ab，a2+b2中最大的是( )A. 12B. bC. 2abD. a2+b25. 小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，下列关系式正确的是()A. avabB. v=abC. abvb0”是“aba2+b22”的(

2、)A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件7. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A1B1C1D1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周绿化带组成规划核心喷泉区ABCD的面积为1000m2，绿化带的宽分别为2 m和5m(如图所示).当整个项目占地A1B1C1D1面积最小时，则核心喷泉区BC的边长为( )A. 20 mB. 50 mC. 1010mD. 100 m8. 若a,bR+且a+b=1，则

3、下列不等式中正确的是( )A. ab2，则y=x+1x-2取得最小值时，x、y的值是()A. 4，3B. 3，4C. 3，3D. 4，410. 已知正数x，y满足x+y=1，则11+x+11+2y的最小值是()A. 3328B. 76C. 3+225D. 6511. 若正数a，b满足1a+1b=1，则1a-1+9b-1的最小值为()A. 1B. 6C. 9D. 16二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）12. 已知正数a，b，则下列不等式中恒成立的是()A. a+b+1ab22B. (a+b)(1a+1b)4C. a2+b2ab2abD. 2aba+bab13. 设正实数m、n满足m+n=

4、2，则下列说法正确的是()A. 1m+2n的最小值为3+222B. mn2的最大值为12C. m+n的最小值为2D. m2+n2的最小值为2三、单空题（本大题共5小题，共25.0分）14. 已知a，b0且2a+b=4，则ab的最大值为_15. 若x0，则f(x)=12x+3x的最小值为_16. 已知x0，y0，1x+2y=2，则2x+y-1的最小值为_17. 若mn，且x=m+2n3，y=2m+n3，则mn与xy的大小关系是_18. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 四、解答题（本大题共3

5、小题，共36.0分）19. (1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？20. 已知x，y(0,+)，且2x+3y=1(1)求证：1x+1y5+26(2)思考第(1)题的求解过程，当x，y(0,+)，且ax+by=1(a,bR+)时，求1x+1y的最小值21. (1)已知正数a、b满足1a+2b=1，求ab的最小值；(2)已知x0且ab0成立，即a，b不为0且同号即可，故能使ba+ab2成立故选C2.【答案】C【解析】【分析】本

6、题考查函数的基本不等式，属于基础题.关键是注意基本不等式成立的条件，即“一正二定三相等”利用基本不等式，结合特值，即可求出结果【解答】解：A选项，当x=-2时，y=-2+4-2=-4，故不正确；B选项，当t=-1时，y=-2+2-1=-4，故不正确；C选项，当t0时，y=4t+1t24t1t=4，当且仅当4t=1t，即t=12时等号成立，故正确；D选项，当t=1时，y=1+21=3，故不正确故选C3.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题利用基本不等式即可得出最值【解答】解：正实数a，b满足ab=1，2a+b22ab=22，当且仅当a=22，b=2时取等号2a+b的

7、最小值为22故选B4.【答案】B【解析】【分析】本题考查不等式比较大小，属于基础题由0a2ab，由0ab且a+b=1，把a换为1-b可得12b1，下面只要比较a2+b2与b的大小，两数作差，再根据b的范围，可得差的最大值小于0，所以b最大【解答】解：0ab且a+b=1，01-bb，12b1，0a2ab，a2+b2-b=(1-b)2+b2-b=2b2-3b+1=(2b-1)(b-1)，又12b1，a2+b2-b0，a2+b2b，综上可知：b最大故选：B5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，比较法中的比差法在比较大小中的应用，属于基础题设小王从甲地到乙地按时速分

8、别为a和b，行驶的路程S，则v=2SSa+Sb=2aba+b及0ab，利用基本不等式及作差法比较大小即可【解答】解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则v=2SSa+Sb=2aba+b0a2ab0，2aba+b0，va，综上可得avb0”可以推出“aba2+b22”，但“abb0”，结合充分条件必、要条件的定义即可得到答案【解答】解：当ab0时，a2+b22ab，即abb0”可以推出“aba2+b22”，反之，“abb0”，比如“a=-1，b=2”故“ab0”是“ab1，代入利用基本不等式即可得解【解答】解：正数a，b满足1a+1b=1，b=aa-10，解得a1则1a-1+9

9、b-1=1a-1+9aa-1-1=1a-1+9(a-1)29(a-1)1a-1=6，当且仅当a=43时取等号(此时b=4)1a-1+9b-1的最小值为6故选B12.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查基本不等式，属于中档题由a+b+1ab2ab+1ab22即可判定A；由(a+b)(1a+1b)=ba+ab+22baab+2=4即可判定B；由a2+b22ab0即可判定C；由a+b2ab可得2aba+b1，再利用不等式的性质可判定D【解答】解：因为a，b均为正数，所以a+b+1ab2ab+1ab22，当且仅当a=b=22时，等号成立，A正确; 因为a，b均为正数，所以(a+b)(1a+1b)=b

10、a+ab+22baab+2=4，当且仅当a=b时，等号成立，B正确; 因为a，b均为正数，所以a2+b22ab0，a2+b2ab2ab，当且仅当a=b时，等号成立，C正确; 因为a，b均为正数，所以a+b2ab，2aba+b1，所以2aba+bab，当且仅当a=b时，等号成立，D不正确故选ABC13.【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题利用基本不等式逐项判断即可【解答】解：对A，实数m，n满足m+n=2，则1m+2n=12m+n1m+2n=123+nm+2mn123+2nm2mn=3+222，当且仅当nm=2mn，即m=22-2，n=4-22时等号成立，故

11、正确；对B，因为mnm+n2=1，当且仅当m=n=1时等号成立，所以mn212，即mn2的最大值为12，故正确；对C，m+n2=m+n+2mn=2+2mn2+m+n=4，当且仅当m=n=1时等号成立，故m+n的最大值为2，故不正确；对D，因为m2+n2=m+n2-2mn4-2m+n22=2，当且仅当m=n=1时等号成立，故m2+n2的最小值为2故选择ABD14.【答案】2【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，关键是注意基本不等式应用的条件为“一正二定三相等”，属于基础题直接利用4=2a+b22ab，即可求出结果【解答】解：因为a，b0且2a+b=4，所以4=2a+b22ab，即2ab2

12、，即ab2，当且仅当2a=b=2时，等号成立，所以ab的最大值为2故答案为215.【答案】12【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，由基本不等式aba+b2(a,b0)，进行求解即可【解答】解：因为x0，由基本不等式aba+b2(a,b0)，知f(x)=12x+3x212x3x=236=12，所以当且仅当3x=12x，即x=2时，f(x)取最小值12故答案填：1216.【答案】3【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属基础题依题意，2x+y-1=12(2x+y)1x+2y-1=12(4+4xy+yx)-1，利用基本不等式即可求得结果【解答】解：因为x0，y0，1x+2y=2，所

13、以2x+y-1=12(2x+y)1x+2y-1=12(4+4xy+yx)-112(4+24xyyx)-1=3，当4xy=yx，即x=1，y=2时取等号，所以2x+y-1的最小值为3，故答案为317.【答案】xymn【解析】【分析】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题对代数式xy=5mn+2m2+n29利用基本不等式，即可比较大小【解答】解：xy=m+2n2m+n9=5mn+2m2+n295mn+4mn9=mn，且mn，故“=”不成立；即xymn故答案为xymn18.【答案】30【解析】【分析】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题由题意可得一年的总运费与总

14、存储费用之和=600x6+4x，利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=600x6+4x42900xx=240(万元)当且仅当x=30时取等号故答案为：3019.【答案】解：(1)设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m由x+y2xy，可得x+y2100，2(x+y)40.当且仅当x=y=10时，等号成立所以这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m(2)设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x+y)=36，x+y=18，矩形菜园的面积为xym2由xyx+y2=182=9，可得xy81，当且仅当x=y=

15、9时，等号成立所以这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2【解析】(1)本题考查了基本不等式的应用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.，利用基本不等式求解即可(2)本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题解决实际问题通常有四个步骤：(1)阅读理解，认真审题；(2)引进数学符号，建立数学模型；(3)利用数学的方法，得到数学结果；(4)转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型本题建立数学模型后运用了基本不等式求解最值属于基础题矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x

16、+y)=36，x+y=18，矩形菜园的面积为xym2.，利用基本不等式即可求解20.【答案】解：(1)因为x，y(0,+)，所以1x+1y=2x+3yx+2x+3yy=5+3yx+2xy5+26，当且仅当3yx=2xy，即x=62-1，y=1-63时，等号成立(2)因为ax+by=1，x，y(0,+)，a，bR+，所以1x+1y=ax+byx+ax+byy=a+b+byx+axya+b+2ab=(a+b)2，当且仅当byx=axy，即yx=ab时，等号成立所以当yx=ab,ax+by=1,即x=1a(a+b),y=1b(a+b)时，1x+1y取得最小值，最小值(a+b)2【解析】本题考查利用基

17、本不等式求最值(1)利用乘“1”法，结合基本不等式进行求解即可；(2)利用第(1)题的求解过程进行求解即可21.【答案】(1)解：a0,b0，1a+2b22ab，又1a+2b=1，22ab1，则2ab12，2ab14，则ab8，当且仅当a=2，b=4时等号成立，ab的最小值为8(2)由题意，f(x)=x+1x-1=x-1+1x-1+1=-1-x+11-x+1，x0，1-x+11-x21-x11-x=2，当且仅当x=0时等号成立，-1-x+11-x-2，fx-1，f(x)的最大值为-1【解析】(1)本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题由题意1a+2b22ab，又1a+2b=1，则2ab12，则ab8，可得结果(2)本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于较易题由题意，f(x)=x+1x-1=-1-x+11-x+1，则1-x+11-x21-x11-x=2，则-1-x+11-x-2，即可求解