4.5.2用二分法求方程的近似解ppt课件(001)-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.ppt

1、历史上的方程求解历史上的方程求解约公元约公元50年年100年编成的年编成的九章算术九章算术，就以算法形式给出了求一次方程，就以算法形式给出了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的具体方法、二次方程和正系数三次方程根的具体方法公元公元7世纪，隋唐数学家王孝通找出了求世纪，隋唐数学家王孝通找出了求三次三次方程正根的数值解法方程正根的数值解法公元公元11世纪，北宋数学家贾宪在世纪，北宋数学家贾宪在黄帝九章算法细草黄帝九章算法细草中提出的中提出的“开方作法开方作法本源图本源图”，以，以“立成释锁法立成释锁法”来解三次或三次以上的高次方程式。同时，他来解三次或三次以上的高次方程式。同时，他还提出了一种

2、更简便的还提出了一种更简便的“增乘开方法增乘开方法”公元公元13世纪，南宋数学家秦九韶在世纪，南宋数学家秦九韶在数书九章数书九章中提出了中提出了“正负开方术正负开方术”，更提供了一种用算筹布列解任意数字方程的有效算法，此法可以求出任意次更提供了一种用算筹布列解任意数字方程的有效算法，此法可以求出任意次代数方程的正根。代数方程的正根。公元公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米给出了一次方程和二次方程的一般解法世纪，阿拉伯数学家花拉子米给出了一次方程和二次方程的一般解法公元公元1541年意大利数学家塔尔塔利亚给出了三次方程的一般解法年意大利数学家塔尔塔利亚给出了三次方程的一般解法公元公元1545年意大利

3、数学家卡尔达诺的名著年意大利数学家卡尔达诺的名著大术大术一书中，把塔尔塔利的一书中，把塔尔塔利的解法加以发展，并记载了费拉里的四次方程的一般解法解法加以发展，并记载了费拉里的四次方程的一般解法数学史上，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长数学史上，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果。公元期的努力仍无结果。公元1778年，法国数学大师拉格朗日提出了五次方程年，法国数学大师拉格朗日提出了五次方程解不存在的猜想解不存在的猜想公无公无1824年，挪威年轻数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有年，挪威年轻数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般

4、方程没有根式解根式解公元公元1828年，法国天才数学家伽罗瓦巧妙而简洁地证明了存在不能用开方年，法国天才数学家伽罗瓦巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程，同时还提出了一个代数方程能用根式求解的判定定理运算求解的具体方程，同时还提出了一个代数方程能用根式求解的判定定理。4.5.2二分法二分法用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解虽然指数方程、对数方程等虽然指数方程、对数方程等超越方程超越方程和五次以上和五次以上高次高次代数方程代数方程不能用代数运算求解，但其数值解法却随着不能用代数运算求解，但其数值解法却随着现代计算技术的发展得到了广泛的运用，如现代计算技术的发展得到了广泛的

5、运用，如二分法二分法、牛顿法、拟牛顿法、弦截法等牛顿法、拟牛顿法、弦截法等()ln26(2,3)f xxx 函数在区间内有零点，如何进一步找出这个零点？求方程近似解的问题求方程近似解的问题(或或函数零点的近似值函数零点的近似值)不断不断缩小缩小零点所在零点所在区间区间的问题的问题启发一启发一:有有1212个大小相同的小球，其中有个大小相同的小球，其中有1111个小球质量相等，个小球质量相等，另有一个小球稍重，用天平称几次就可以找出这个稍重的球？另有一个小球稍重，用天平称几次就可以找出这个稍重的球？问问 题题 引引 入入思考思考:如何缩小零点所在的范围，得到一个越来越小的区间，以使如何缩小零点所

6、在的范围，得到一个越来越小的区间，以使零点仍在此区间内零点仍在此区间内?启发二启发二：从上海到美国旧金山的海底电缆有：从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，怎样检查点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，怎样检查接点比较迅速？接点比较迅速？上海上海旧金山旧金山A B C D E F G H I J K L M N O取中点取中点区间分为区间分为两个区间两个区间分点是分点是零点零点分点不分点不是零点是零点零点必在零点必在两个中的两个中的一个内一个内区间长度区间长度缩小一半缩小一半找到找到零点零点中中点点区区间间为

7、为,babax2新新 课课 探探 究（一）究（一）什么时候结束呢？什么时候结束呢？(a,b)中点中点x1f(a)f(x1)f(b)(2,3)2.5负负-0.084正正(2.5,3)2.75负负0.512正正(2.5,2.75)2.625负负0.215正正(2.5,2.625)2.5625负负0.066正正(2.5,2.5625)2.53125负负-0.009正正(2.53125,2.5625)2.546875负负0.029正正(2.53125,2.546875)2.5390625负负0.010正正(2.53125,2.5390625)2.53515625 负负0.001正正|2.5390625

8、 2.53125|=0.00781250.01 精确度已达到精确度已达到0.01内内有有零零点点在在区区间间求求函函数数),(ln)(3262xxxf给定精确度给定精确度0.01注意：注意：二分法求函数零点的适用条件：二分法求函数零点的适用条件：1二分法二分法对于在区间对于在区间a，b上连续不断且上连续不断且f(a)f(b)0的函数的函数yf(x)，通过，通过不断地把函数不断地把函数f(x)的零点所在的区间的零点所在的区间一分为二一分为二，使区间的两个端点，使区间的两个端点逐步逼近零点逐步逼近零点，进而得到零点，进而得到零点近似值近似值的方法叫作二分法的方法叫作二分法yf(x)的图象在区间的图

9、象在区间a，b上上连续不断连续不断；f(a)f(b)0.2二分法求方程近似解的步骤二分法求方程近似解的步骤给定精确度给定精确度，用二分法求方程近似解的步骤如下：，用二分法求方程近似解的步骤如下：(1)确定区间确定区间a，b，这一步的关键在于：，这一步的关键在于：使区间长度尽量小，使区间长度尽量小，f(a)，f(b)的值比较容易计算，的值比较容易计算，f(a)，f(b)异号；异号；(2)求区间求区间(a，b)的的中点中点c，利用公式，利用公式c即可；即可；(3)计算计算f(c)：若若f(c)0，则，则c就是函数的零点，就是函数的零点，若若f(a)f(c)0，则零点，则零点x0(a，c)，此时令，

10、此时令bc，若若f(b)f(c)0，则零点，则零点x0(c，b)，(4)判断是否达到精确度判断是否达到精确度，即若，即若|ab|，则得到零点近似值，则得到零点近似值 a(或或b)，则得到零点近似值则得到零点近似值a(或或b)，否则重复第，否则重复第(2)(3)(4)步步注意：注意：用二分法求近似解时用二分法求近似解时，在在满足满足|ab|0，用二分法，用二分法求方程求方程x32x50在区间在区间(2，3)内的实根，取区间中点为内的实根，取区间中点为x02.5，那么下一个有根的区间是那么下一个有根的区间是_解析：解析：因为因为f(2)2322510160，所以所以f(2)f(2.5)0，所以方程

11、所以方程x32x50在在(2，2.5)内有实根内有实根答案：答案：(2，2.5)例例2：求方程求方程 的近似解的近似解(精确到精确到0.1)732 xx解：解：精确度为精确度为零点为零点为令令,732)(0 xxxfx 易知：易知：f(1)0(1)0(2)0取取x=1.5=1.5，计算，计算f(1.5)0.330(1.5)0.330)5.1,1(0 x取取x=1.25=1.25，计算，计算f(1.25)-0.870(1.25)-0.870)5.1,25.1(0 x取取x=1.375=1.375，计算，计算f(1.375)-0.280(1.375)-0.280(1.4375)0.020)4375

12、.1,375.1(0 x1.00625.0|375.14375.1|此此时时 原方程的近似解取为原方程的近似解取为1.43751.4375类型类型2求方程的近似解求方程的近似解归纳：归纳：用二分法求方程的近似解的方法用二分法求方程的近似解的方法1根据函数的零点与相应方程解的关系根据函数的零点与相应方程解的关系，求求函数的零点函数的零点与与求求相应方程的解相应方程的解是是等价等价的的，所以求方程所以求方程f(x)0的近似解的近似解，可按照可按照用二分法求函数零点近似解的步骤求解用二分法求函数零点近似解的步骤求解2对于求对于求形如形如f(x)g(x)的方程的方程的近似解的近似解，可以通过移项可以通

13、过移项化化为求函数为求函数F(x)f(x)g(x)的零点的近似值的零点的近似值，然后按照用二分法然后按照用二分法求函数零点的近似解的步骤求解求函数零点的近似解的步骤求解2.某同学在借助计算器求某同学在借助计算器求“方程方程lg x2x的近似解的近似解(精度为精度为0.1)”时，设时，设f(x)lg xx2，算得，算得f(1)0.在以下过程中，在以下过程中，使用使用“二分法二分法”又取了又取了4个个x的值，计算了其函数值的正负，并得的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为出判断：方程的近似解为x1.8，那么他所取的，那么他所取的x的的4个值中最后个值中最后一个值是一个值是_1.81

14、251.求方程求方程x2 2x 1=0的一个近似解是的一个近似解是_(精确度精确度0.1)变式训练变式训练f(2)10.提示：提示：构造函数构造函数f(x)x22x1.1.求方程求方程x2 2x 1=0的一个近似解是的一个近似解是_(精确度精确度0.1)分析：分析：构造函数构造函数f(x)x22x1.解：解：设设f(x)x22x1.因为因为f(2)10.所以在区间所以在区间(2，3)内，方程内，方程x22x10有一解，记为有一解，记为x0.取取2与与3的平均数的平均数2.5，因为因为f(2.5)0.250，所以所以2x02.5；再取再取2与与2.5的平均数的平均数2.25，因为因为f(2.25)0.437 50，所以所以2.25x02.5；如此继续下去如此继续下去，有有f(2.375)0 x0(2.375，2.5)；f(2.375)0 x0(2.375，2.437 5)因为因为|2.3752.437 5|0.062 50.1，所以方程所以方程x22x1的一个精确度为的一个精确度为0.1的近似解可取为的近似解可取为2.437 5.