2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册专题4：幂函数与二次函数讲义 -第二章（含答案）.rar

专题 4：幂函数与二次函数知识要点1幂函数及其图像性质(1)定义：形如 (R)的函数称为幂函数，其中，是自变量，是常数注意：如图，牢记常见五大幂函数图像与性质；(2)幂函数的图象及性质位置：幂函数图像必过第 象限，必不过第 象限，当幂函数为偶函数时，图像过第 象限；当幂函数为奇函数时，图像过第 象限定点：0 时，幂函数图像过定点 ，0 时，幂函数在(0，)上单调 ，0 时，幂函数在(0，)上单调 ；凹凸性：第一象限内，当 0 或 时，幂函数图像是 的；当 01 时，幂函数图像是 的；注意：从 x 轴正方向按逆时针，幂指数 由 变 2二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)；交点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)考点自测1在函数 yx2，y2x2，y(x1)2，y3x 中，幂函数的个数为()A0B1C2D3答案：B 2“a1”是“函数 f(x)x22ax3 在区间1，)上为增函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A3函数 yx13的图象是()答案B4已知幂函数 f(x)(m2m1)x5m3在(0，)上是增函数，则 m_.答案 15已知函数 yx22x3 在闭区间0，m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围为_答案1，2题型讲练题型一幂函数的图象和性质例 1(1)已知幂函数 f(x)kx过点(2,14)，则 k 等于()A12 B1 C1 D0(2)如图是幂函数 yxm与 yxn在第一象限内的图象，则()A1n0m1Bn1,0m1C1n1Dn1(3)若幂函数 f(x)(m22m2)x m22m在(0，)上是减函数，则 m_答案(1)C (2)B (3)1变式训练 1：(1)已知幂函数 f(x)(n22n2)x n23n(nZ)偶函数，且在区间(0，)上是减函数，则 n 的值为 .(2)请把相应的幂函数图象代号填入表格 23yx；2yx；12yx；1yx；13yx；43yx；12yx；53yx.答案 (1)1(2)ECAG BDHF题型二幂的大小比较(关系)例 2(1)若(a1)12(32a)12，则 a 的取值范围是 .(2)比较下列各组中幂值的大小：30.8和 0.8；0.60.3和 1.20.3；1.20.5和 ；答案：(1)1，23)(2)变式训练 2：(1)设 ，则 a，b，c 的大小是()Aabc Bbac Ccab Dbca(2)若323231xx，则实数 x 的取值范围是_答案：(1)B (2)(，1)(1,1)题型三二次函数的图像及性质命题点 1二次函数的解析式例 3已知二次函数 f(x)满足 f(2)1，f(1)1，且 f(x)的最大值是 8，则此二次函数的解析式为 .答案：f(x)4(x12)284x24x7.命题点 2二次函数的单调性例 4已知函数 f(x)x22ax3，x4,6，(1)求实数 a 的取值范围，使 yf(x)在区间4,6上是单调函数；(2)当 a1 时，求 f(|x|)的单调区间解(1)a4 或 a6.故 a 的取值范围是(，64，)(2)当 a1 时，f(|x|)x22|x|3Error!其图象如图所示又x4,6，f(|x|)在区间4，1)和0,1)上为减函数，在区间1,0)和1,6上为增函数命题点 3二次函数的最值函数代号图象代号318.0525352)53()52()52(cba，例 5已知函数 f(x)x22x，若 x2，a，求 f(x)的最小值解函数 yx22x(x1)21，对称轴为直线 x1，x1 不一定在区间2，a内，应进行讨论，当21 时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当 x1 时，y 取得最小值，即 ymin1.综上，当21 时，ymin1.命题点 4二次函数中的恒成立问题例 6(1)设函数 f(x)ax22x2，对于满足 1x0，则实数 a 的取值范围为_(2)已知 a 是实数，函数 f(x)2ax22x3 在 x1,1上恒小于零，则实数 a 的取值范围为_答案(1)(12，)(2)(，12)课后练习(时间：40 分钟)1函数 f(x)(m2m1)xm是幂函数，且在 x(0，)上为增函数，则实数 m 的值是()A1 B2C3 D1 或 2答案B2如果函数 f(x)x2ax3 在区间(，4上单调递减，则实数 a 满足的条件是()Aa8 Ba8Ca4 Da4答案A3 如图，图中的曲线是幂函数 yxn在第一象限的图象，已知 n取2，12四个值，则 C1，C2，C3，C4的 n 依次为()A2，12，12，2B2，12，12，2C12，2,2，12D2，12，2，12答案：B4 函数 yx22ax(0 x1)的最大值是 a2，则实数 a 的取值范围是()A0a1 B0a2C2a0 D1a0答案D5已知函数 f(x)ax22ax4(0a3)，x1x2且 x1x21a，则 f(x1)与 f(x2)的大小关系式()Af(x1)f(x2)Bf(x1)f(x2)D不能确定答案B6若 f(x)x22x2 的定义域和值域均为1，b，则 b .答案27已知 a1.30.7，b0.71.3，c0.81.3，则 a，b，c 的大小关系是 (用连接).答案：bca8 已知函数 f(x)x22ax2a4 的定义域为 R，值域为1，)，则 a 的值为_答案1 或 39当 0 xg(x)f(x)10已知幂函数 f(x)x，当 x1 时，恒有 f(x)0.解：(1)设 f(x)x，由题意，得 f(2)2183，故函数解析式为 f(x)x3.(2)定义域为(，0)(0，)，关于原点对称f(x)(x)3x3f(x)，故该幂函数为奇函数其单调减区间为(，0)和(0，)(3)由(2)得 f(3x2)f(2x4)f(42x)即Error!或Error!或Error!解得23x2，故原不等式的解集为Error!13已知函数 f(x)ax2bx1(a，b 为实数，a0，xR)(1)若函数 f(x)的图象过点(2,1)，且方程 f(x)0 有且只有一个根，求 f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当 x1,2时，g(x)f(x)kx 是单调函数，求实数 k 的取值范围解(1)因为 f(2)1，即 4a2b11，所以 b2a.因为方程 f(x)0 有且只有一个根，所以 b24a0.所以 4a24a0，所以 a1，所以 b2.所以 f(x)x22x1.(2)g(x)f(x)kxx22x1kxx2(k2)x1(xk22)21k224.由 g(x)的图象知：要满足题意，则k222 或k221，即 k6或 k0，所以所求实数 k 的取值范围为(，06，)14已知函数 f(x)x2ax3a，若 x2,2时，f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围解要使 f(x)0 恒成立，则函数在区间2,2上的最小值不小于 0，设 f(x)的最小值为 g(a)(1)当a24 时，g(a)f(2)73a0，得 a73，故此时 a 不存在(2)当a22,2，即4a4 时，g(a)f(a2)3aa240，得6a2，又4a4，故4a2.(3)当a22，即 a4 时，g(a)f(2)7a0，得 a7，又 a4，故7a4，综上得7a2.专题 4：幂函数与二次函数知识要点1幂函数及其图像性质(1)定义：形如 (R)的函数称为幂函数，其中，是自变量，是常数注意：如图，牢记常见五大幂函数图像与性质；(2)幂函数的图象及性质位置：幂函数图像必过第 象限，必不过第 象限，当幂函数为偶函数时，图像过第 象限；当幂函数为奇函数时，图像过第 象限定点：0 时，幂函数图像过定点 ，0 时，幂函数在(0，)上单调 ，0 时，幂函数在(0，)上单调 ；凹凸性：第一象限内，当 0 或 时，幂函数图像是 的；当 01 时，幂函数图像是 的；注意：从 x 轴正方向按逆时针，幂指数 由 变 2二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)；顶点式：f(x)；交点式：f(x)考点自测1在函数 yx2，y2x2，y(x1)2，y3x 中，幂函数的个数为()A0B1C2D32“a1”是“函数 f(x)x22ax3 在区间1，)上为增函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3函数 yx13的图象是()4已知幂函数 f(x)(m2m1)x5m3在(0，)上是增函数，则 m_.5已知函数 yx22x3 在闭区间0，m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围为_题型讲练题型一幂函数的图象和性质例 1(1)已知幂函数 f(x)kx过点(2,14)，则 k 等于()A12 B1 C1 D0(2)如图是幂函数 yxm与 yxn在第一象限内的图象，则()A1n0m1Bn1,0m1C1n1Dn1(3)若幂函数 f(x)(m22m2)x m22m在(0，)上是减函数，则 m_变式训练 1：(1)已知幂函数 f(x)(n22n2)x n23n(nZ)偶函数，且在区间(0，)上是减函数，则 n 的值为 .(2)请把相应的幂函数图象代号填入表格 23yx；2yx；12yx；1yx；13yx；43yx；12yx；53yx.题型二幂的大小比较(关系)例 2(1)若(a1)12(32a)12，则 a 的取值范围是 .(2)比较下列各组中幂值的大小：30.8和 0.8；0.60.3和 1.20.3；1.20.5和 ；变式训练 2：(1)设 ，则 a，b，c 的大小是()Aabc Bbac Ccab Dbca(2)若323231xx，则实数 x 的取值范围是_题型三二次函数的图像及性质命题点 1二次函数的解析式例 3已知二次函数 f(x)满足 f(2)1，f(1)1，且 f(x)的最大值是 8，则此二次函数的解析式为 .命题点 2二次函数的单调性例 4已知函数 f(x)x22ax3，x4,6，(1)求实数 a 的取值范围，使 yf(x)在区间4,6上是单调函数；(2)当 a1 时，求 f(|x|)的单调区间函数代号图象代号318.0525352)53()52()52(cba，命题点 3二次函数的最值例 5已知函数 f(x)x22x，若 x2，a，求 f(x)的最小值命题点 4二次函数中的恒成立问题例 6(1)设函数 f(x)ax22x2，对于满足 1x0，则实数 a 的取值范围为_(2)已知 a 是实数，函数 f(x)2ax22x3 在 x1,1上恒小于零，则实数 a 的取值范围为_课后练习(时间：40 分钟)1函数 f(x)(m2m1)xm是幂函数，且在 x(0，)上为增函数，则实数 m 的值是()A1 B2C3 D1 或 22如果函数 f(x)x2ax3 在区间(，4上单调递减，则实数 a 满足的条件是()Aa8 Ba8Ca4 Da43 如图，图中的曲线是幂函数 yxn在第一象限的图象，已知 n取2，12四个值，则 C1，C2，C3，C4的 n 依次为()A2，12，12，2B2，12，12，2C12，2,2，12D2，12，2，124 函数 yx22ax(0 x1)的最大值是 a2，则实数 a 的取值范围是()A0a1 B0a2C2a0 D1a05已知函数 f(x)ax22ax4(0a3)，x1x2且 x1x21a，则 f(x1)与 f(x2)的大小关系式()Af(x1)f(x2)Bf(x1)f(x2)D不能确定6若 f(x)x22x2 的定义域和值域均为1，b，则 b .7已知 a1.30.7，b0.71.3，c0.81.3，则 a，b，c 的大小关系是 (用连接).8 已知函数 f(x)x22ax2a4 的定义域为 R，值域为1，)，则 a 的值为_9当 0 x1 时，恒有 f(x)0.13已知函数 f(x)ax2bx1(a，b 为实数，a0，xR)(1)若函数 f(x)的图象过点(2,1)，且方程 f(x)0 有且只有一个根，求 f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当 x1,2时，g(x)f(x)kx 是单调函数，求实数 k 的取值范围14已知函数 f(x)x2ax3a，若 x2,2时，f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围