第7讲 幂函数与函数应用 讲义（含答案）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.rar

第第7讲讲 幂函数与函数应用幂函数与函数应用一、知识点详解一、知识点详解二、二、知识点知识点1 幂函数幂函数1、幂函数定义一般地，形如的函数称为幂函数，是常数自变量x是幂的底数。2、幂函数图像与性质定义域RRR0，)值域R0，)R0，)(0，)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数偶函数(，0)减(，0)减(，0)增单调性递增(0，)增递增0，)增(0，)减(0，)减定点(1，1)这些函数虽然定义域不同，但有公共区间0，为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把 6 个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中3yx2yxyx12yx1yx2 xy|0 x x|0 x x 0|yy虽然这 6 个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征 这 6 个幂函数在0，都有定义，图象都过点(1，1)注意到这 6 个幂函数在第一象限内的单调性的差异，性质总结如下：在0，有定义，图象过点(1，1)；在0，上是增函数在0，上是减函数图象过原点知识点知识点2 用函数模型解决实际问题用函数模型解决实际问题（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用yx,分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.00二、例题解析二、例题解析例例 1：幂函数的定义：幂函数的定义（1）若函数2221()(1)mmf xmmx是幂函数，在(0,)是增函数，则(m)A1B2C2 或1D0 或 2 或1【答案】A【解析】解：2221()(1)mmf xmmx是幂函数，可得211mm，解得1m 或2当1m 时，函数为2yx在区间(0,)上单调递增，满足题意，当2m 时，函数为1yx在(0,)上不是递增，不满足条件故选：A（2）已知幂函数()yf x的图象过点(2,2)，则这个幂函数的解析式是()A12yxB12yxC2yxD2yx【答案】A【解析】解：幂函数()ayf xx的图象过点(2,2)，22a，解得12a，（3）已知幂函数()yf x的图象过点1(3,)8，则1()3f【答案】8【解析】设()f xx，图象过1(3,)8，则有138，33log 2，故33log 2()f xx，故33log 211()()833f例例 2：幂函数的图像与性质：幂函数的图像与性质（1）给出 4 个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()A13yx，2yx，12yx，1yxB3yx，2yx，12yx，1yxC2yx，3yx，12yx，1yxD13yx，12yx，2yx，1yx【答案】B【解析】解：的图象关于y轴对称，应为偶函数，故排除选项C，D由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于 1，故排除A（2）如图所示，曲线是幂函数ayx在第一象限内的图象，已知分别取1，1，12，2 四个值，则相应图象依次为【答案】故答案为：4C，2C，3C，1C【解析】解：由幂函数的图象与性质可得：从4C到1C指数依次增大，分别取1，1，12，2 四个值，则相应图象依次为4C，2C，3C，1C（3）已知幂函数()af xx的图象经过点(2,2)（1）求幂函数()f x的解析式；（2）试求满足(1)(3)fafa的实数a的取值范围【答案】（1）幂函数12()(0)f xxx x；（2）实数a的取值范围是(1，3【解析】解：（1）幂函数()af xx的图象经过点(2,2)，22a，解得12a，（2）不等式(1)(3)fafa可化为103013aaaa，解得13a，（4）幂函数的图象过点1(2,)16，则它的单调递增区间是()A(,2)B(0,)C(,0)D(,)【答案】C【解析】解：设幂函数()af xx，则1216a，解得4a 4()f xx；4()f xx的单调递增区间是(,0)，故选：C例例 3：函数应用：函数应用（1）设1 1,1,2,32，则使函数yx的定义域为R，且该函数为奇函数的值为()A1 或 3B1或 1C1或 3D1、1 或 3【答案】A【解析】解：当1 时，函数的定义域为|0 x x，不满足定义域为R；当1时，函数yx的定义域为R且为奇函数，满足要求；当12函数的定义域为|0 x x，不满足定义域为R；当2时，函数yx的定义域为R且为偶函数，不满足要求当3时，函数yx的定义域为R且为奇函数，满足要求；（2）当(0,)x时，幂函数253(1)mymmx为减函数，则实数m的值为()A2m B1m C1m 或2m D152m【答案】A【解析】211530mmm 解得：2m 故选：A（3）若1122(1)(32)mm，则实数m的取值范围为()A43m B312mC413m D4332m【答案】C【解析】解：由题意得：1 0132mmm，解得：413m，故选：C例例 4：函数实际问题应用：函数实际问题应用 为保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表：每户每月用水量水价不超过312m的部分3 元3/m超过312m但不超过318m的部分6 元3/m超过318m的部分9 元3/m设某户居民本月实际用水量为x（单位：3)m，应交纳水费为y（单位：元）（）求y关于x的函数解析式：（）若某户居民本月交纳的水费为 48 元，求此户居民本月用水量【答案】见及解析【解析】解：（）y关于x的函数解析式为：3,012,636,1218,990,18,xxyxxxx；（）364872 63648x 14x，故此户居民本月用水量为314m三、课堂练习三、课堂练习A 类A 类1已知点3(,3)3M在幂函数()f x的图象上，则()f x的表达式为()A12()f xxB12()f xxC2()f xxD2()f xx2已知幂函数()f x的图象经过点2(2,)2，则()f x的解析式为3已知幂函数2242()(1)mmf xmx在(0,)上单调递减，则m 4幂函数()f x的图象过点(2,)m且()16f m，则实数m的所有可能的值为()A4 或12B2C4 或14D14或 2B 类B 类5如图，曲线1C与2C分别是函数myx和nyx在第一象限内图象，则下列结论正确的是()A0nmB0mnC0nmD0mn6.满足不等式33(3)a 的实数a的取值范围是()A(3,)B(,3)C(3,)D(3,3)2某学生在假期进行某种小商品的推销，他利用所学知识进行了市场调查，发现这种商品当天的市场价格与他的进货量（件)加上 20 成反比 已知这种商品每件进价为 2 元 他进 100件这种商品时，当天卖完，利润为 100 元若每天的商品都能卖完，求这个学生一天的最大利润是多少？获得最大利润时每天的进货量是多少件？四、课后作业四、课后作业A 类A 类1幂函数()f x的图象经过(2,4)，则f（3）2当(0,)x时，幂函数2(1)mymmx为减函数，则实数m的值为3函数2223(1)mmymmx是幂函数且在(0,)上单调递减，则实数m的值为B 类B 类4幂函数2()(33)mf xmmx的图象关于y轴对称，则实数m 5若1122(21)(3)xx，则实数x的取值范围()A(1,)B12，)C(，11)(5，)D1(5，)6.某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为33200m立方米，深为2m如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，那么怎样设计水池能使总造价最低（设蓄水池池底的相邻两边边长分别为x，)y？最低总造价是多少？第第7讲讲 幂函数与函数应用幂函数与函数应用一、知识点详解一、知识点详解二、二、知识点知识点1 幂函数幂函数1、幂函数定义一般地，形如的函数称为幂函数，是常数自变量x是幂的底数。2、幂函数图像与性质定义域RRR0，)值域R0，)R0，)(0，)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数偶函数(，0)减(，0)减(，0)增单调性递增(0，)增递增0，)增(0，)减(0，)减定点(1，1)这些函数虽然定义域不同，但有公共区间0，为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把 6 个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中3yx2yxyx12yx1yx2 xy|0 x x|0 x x 0|yy虽然这 6 个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征 这 6 个幂函数在0，都有定义，图象都过点(1，1)注意到这 6 个幂函数在第一象限内的单调性的差异，性质总结如下：在0，有定义，图象过点(1，1)；在0，上是增函数在0，上是减函数图象过原点知识点知识点2 用函数模型解决实际问题用函数模型解决实际问题（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用yx,分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.00二、例题解析二、例题解析例例 1：幂函数的定义：幂函数的定义（1）若函数2221()(1)mmf xmmx是幂函数，在(0,)是增函数，则(m)A1B2C2 或1D0 或 2 或1【答案】A【解析】解：2221()(1)mmf xmmx是幂函数，可得211mm，解得1m 或2当1m 时，函数为2yx在区间(0,)上单调递增，满足题意，当2m 时，函数为1yx在(0,)上不是递增，不满足条件故选：A（2）已知幂函数()yf x的图象过点(2,2)，则这个幂函数的解析式是()A12yxB12yxC2yxD2yx【答案】A【解析】解：幂函数()ayf xx的图象过点(2,2)，22a，解得12a，（3）已知幂函数()yf x的图象过点1(3,)8，则1()3f【答案】8【解析】设()f xx，图象过1(3,)8，则有138，33log 2，故33log 2()f xx，故33log 211()()833f例例 2：幂函数的图像与性质：幂函数的图像与性质（1）给出 4 个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()A13yx，2yx，12yx，1yxB3yx，2yx，12yx，1yxC2yx，3yx，12yx，1yxD13yx，12yx，2yx，1yx【答案】B【解析】解：的图象关于y轴对称，应为偶函数，故排除选项C，D由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于 1，故排除A（2）如图所示，曲线是幂函数ayx在第一象限内的图象，已知分别取1，1，12，2 四个值，则相应图象依次为【答案】故答案为：4C，2C，3C，1C【解析】解：由幂函数的图象与性质可得：从4C到1C指数依次增大，分别取1，1，12，2 四个值，则相应图象依次为4C，2C，3C，1C（3）已知幂函数()af xx的图象经过点(2,2)（1）求幂函数()f x的解析式；（2）试求满足(1)(3)fafa的实数a的取值范围【答案】（1）幂函数12()(0)f xxx x；（2）实数a的取值范围是(1，3【解析】解：（1）幂函数()af xx的图象经过点(2,2)，22a，解得12a，（2）不等式(1)(3)fafa可化为103013aaaa，解得13a，（4）幂函数的图象过点1(2,)16，则它的单调递增区间是()A(,2)B(0,)C(,0)D(,)【答案】C【解析】解：设幂函数()af xx，则1216a，解得4a 4()f xx；4()f xx的单调递增区间是(,0)，故选：C例例 3：函数应用：函数应用（1）设1 1,1,2,32，则使函数yx的定义域为R，且该函数为奇函数的值为()A1 或 3B1或 1C1或 3D1、1 或 3【答案】A【解析】解：当1 时，函数的定义域为|0 x x，不满足定义域为R；当1时，函数yx的定义域为R且为奇函数，满足要求；当12函数的定义域为|0 x x，不满足定义域为R；当2时，函数yx的定义域为R且为偶函数，不满足要求当3时，函数yx的定义域为R且为奇函数，满足要求；（2）当(0,)x时，幂函数253(1)mymmx为减函数，则实数m的值为()A2m B1m C1m 或2m D152m【答案】A【解析】211530mmm 解得：2m 故选：A（3）若1122(1)(32)mm，则实数m的取值范围为()A43m B312mC413m D4332m【答案】C【解析】解：由题意得：1 0132mmm，解得：413m，故选：C例例 4：函数实际问题应用：函数实际问题应用 为保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表：每户每月用水量水价不超过312m的部分3 元3/m超过312m但不超过318m的部分6 元3/m超过318m的部分9 元3/m设某户居民本月实际用水量为x（单位：3)m，应交纳水费为y（单位：元）（）求y关于x的函数解析式：（）若某户居民本月交纳的水费为 48 元，求此户居民本月用水量【答案】见及解析【解析】解：（）y关于x的函数解析式为：3,012,636,1218,990,18,xxyxxxx；（）364872 63648x 14x，故此户居民本月用水量为314m三、课堂练习三、课堂练习A 类A 类1已知点3(,3)3M在幂函数()f x的图象上，则()f x的表达式为()A12()f xxB12()f xxC2()f xxD2()f xx【答案】D【解析】解：设幂函数为：ayx，因为点3(,3)3M在幂函数()f x的图象上，所以33()3a，解得2a ，函数的解析式为：2()f xx2已知幂函数()f x的图象经过点2(2,)2，则()f x的解析式为【答案】12()f xx【解析】解：设幂函数()f x的解析式为()af xx，幂函数()f x图象过点2(2,)2，222a，即1222a，12a，幂函数的解析式为12()f xx故答案为：12()f xx3已知幂函数2242()(1)mmf xmx在(0,)上单调递减，则m【答案】2【解析】解：依题意幂函数幂函数2242()(1)mmf xmx在(0,)上单调递减，2(1)1m，解得0m 或2m，当0m 时，2()f xx在(0,)上单调递减，与题设矛盾，舍去2m，故答案为：24幂函数()f x的图象过点(2,)m且()16f m，则实数m的所有可能的值为()A4 或12B2C4 或14D14或 2【答案】C【解析】解：由于幂函数的解析式为()f xx，由图象过点(2,)m可得2m，()(2)16f m，解得2，故4m 或14故选：C5如图，曲线1C与2C分别是函数myx和nyx在第一象限内图象，则下列结论正确的是()A0nmB0mnC0nmD0mn【答案】A【解析】解：由题图象可知，两函数在第一象限内递减，故0m，0n取2x，则有22mn，知mn，故0nm故选：AB 类B 类6.满足不等式33(3)a 的实数a的取值范围是()A(3,)B(,3)C(3,)D(3,3)【答案】A【解析】解：函数3()f xx为定义在R上的增函数，若33(3)a ，则3a ，故实数a的取值范围是(3,)，故选：A7某学生在假期进行某种小商品的推销，他利用所学知识进行了市场调查，发现这种商品当天的市场价格与他的进货量（件)加上 20 成反比 已知这种商品每件进价为 2 元 他进 100件这种商品时，当天卖完，利润为 100 元若每天的商品都能卖完，求这个学生一天的最大利润是多少？获得最大利润时每天的进货量是多少件？【解析】解：由题意，设市场价格y元，他的进货量为x件，则20kyx，这种商品每件进价为 2 元他进 100 件这种商品时，当天卖完，利润为 100 元，100(2)100120k，360k，利润360(2)20Lxx，设20(20)xt t，则7200400(2)400240160Ltt，当且仅当72002tt，即60t，40 x 时，最大利润是 160 元四、课后作业四、课后作业A 类A 类1幂函数()f x的图象经过(2,4)，则f（3）【答案】9【解析】解：设幂函数()af xx，幂函数()f x的图象经过(2,4)，24a，解得2a，2()f xx，f（3）239故答案为：92当(0,)x时，幂函数2(1)mymmx为减函数，则实数m的值为【答案】故答案为：1【解析】幂函数2(1)mymmx为减函数，则2110mmm，解得：1m 3函数2223(1)mmymmx是幂函数且在(0,)上单调递减，则实数m的值为【答案】2【解析】解：函数2223(1)mmymmx是幂函数，211mm，解得2m 或1m ；当2m 时，2233mm，函数3yx在(0,)上单调递减，满足题意；当1m 时，2230mm，函数0yx不满足题意；综上，实数m的值为 24幂函数2()(33)mf xmmx的图象关于y轴对称，则实数m【答案】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再验证即可【解析】解：函数2()(33)mf xmmx是幂函数，2331mm，解得1m或2m；当1m时，函数yx的图象不关于y轴对称，舍去；当2m 时，函数2yx的图象关于y轴对称；实数2m B 类B 类5若1122(21)(3)xx，则实数x的取值范围()A(1,)B12，)C(，11)(5，)D1(5，)【答案】B【解析】解：12yx在定义域上是增函数，故有21 030213xxxx，解不等式组得12x6.某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为33200m立方米，深为2m如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，那么怎样设计水池能使总造价最低（设蓄水池池底的相邻两边边长分别为x，)y？最低总造价是多少？【答案】见解析【解析】解：设蓄水池池底的相邻两边边长分别为x，y，根据题意，由体积为33200m可知：23200 xy 所以1600 xy，又150 1600120(44)zxy，240000480()zxy，2400004802zxy，当且仅当，40 xy时，上式成立，此时278400z 所以，将蓄水池的池底设计成边长为 40 米的正方形时总造价最低，最低总造价是278400