第10讲 函数图像 讲义（含答案）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.rar

第十讲 函数图像第十讲 函数图像一、知识点详解一、知识点详解知识点1 函数作图1、列表，描点法-其基本步骤是列表、描点、连线首先：确定函数定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性等)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线2、利用图像平移变换作图 （1）平移变化水平平移：)0)(aaxfy的图象，由)(xfy 的图象向左或向右平移a个单位得到上下平移)0()(bbxfy的图象，由)(xfy 的图象向上或向下平移b个单位得到（2）对称变换)(xfy与)(xfy 的图象关于y轴对称)(xfy与)(xfy 的图象关于x轴对称)(xfy与)(xfy 的图象关于原点对称要得到|)(|xfy 的图象，将)(xfy 的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变要得到|)(|xfy 的图象，可将)(xfy，0 x的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出0 x时的图象（3）伸缩变换)0)(AxAfy的图象，可将)(xfy 图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到)0)(aaxfy的图象，可将)(xfy 图象上所有点的横坐标变为原来的a1倍，纵坐标不变而得到知识点2 利用函数图像解决函数问题1、利用函数图像，观察函数单调性与函数最值2、利用函数图像，观察函数是否奇偶性3、利用函数图像，转化交点问题4、利用函数图像，实现数形结合思想二、例题解析二、例题解析例例 1：列表描点作图：列表描点作图（1）函数|1yx的图象大致是()ABCD【答案】C【解析】解：对于函数|1yx，满足()|1|1()fxxxf x ，故函数为偶函数，函数|1yx的图象关于y轴对称，排除A，函数|yx的图象为：又因为函数|1yx的图象是由函数|yx的图象上移 1 个单位C的图象符合，（2）函数1yxx的图象是()ABCD【答案】A【解析】解：函数1yxx是由函数yx和1yx的和函数，故函数函数1yxx在区间(,0)和(0,)上都单调递增；分析四个答案中的图象易得只有A中的图象符合要求；（3）当1a 时，在同一坐标系中，函数xya与logayx的图象()ABCD【答案】A【解析】解：函数xya可化为函数1()xya，其底数小于 1，是减函数，又logayx，当1a 时是增函数，两个函数是一增一减，前减后增（4）已知函数2,1()3,1xx xf xxx（1）在下面的坐标系中，作出函数()f x的图象并写出单调区间；（2）若)(af2，求实数a的值【解析】解：（1）做出()f x的函数图象如图所示：由图象得()f x的增区间为1(2，1，(1,)，减区间为(，12（2）f2)(af，212aaa或132aa解得1a 或5a（5）画出下列函数图像作出下列函数的图象：（1）12xxy；（2）1)21(xy；（3）1log2xy；（4）)1.(2xxy【答案】略【解析】(1)易知函数的定义域为1xRx;13112xxxy，因此由xy3的图象向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度即可得到函数12xxy的图象，如图所示(2)先作出,0,21xyx的图象，然后作其关于y轴的对称图象，再将整个图象向左平移 1 个单位长度，即得到1)21(xy的图象，如图所示(3)先作出xy2log的图象，再将图象向下平移 1 个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方来，即得到1log2xy的图象，如图所示(4)当2x，49)21(2)1)(2(22xxxxxy当2x时，49)21(2)1)(2(22xxxxxy这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)例 2：利用平移变换作图（1）若函数()yf x的图象如图所示，则函数(1)yfx的图象大致为()ABCD【答案】A【解析】解：因为从函数()yf x到函数(1)yfx的平移变换规律是：先关于y轴对称得到()yfx，再整体向右平移 1 个单位即可得到即图象变换规律是：（2）函数()|1|f xlg x的图象大致是()ABCD【答案】A【解析】解：函数(1),1(|1|)(1),1lg xxylgxlgxx ，当1x 时，(1)ylg x的图象，是函数ylgx的图象向左平移 1 个单位得到的；当1x 时，(1)ylgx 的图象，与函数(1)ylg x的图象关于直线1x 对称，函数(|1|)ylgx的大致图象是A（3）函数(4)yf x的图象与函数(2)yfx图象关于下列哪条直线对称()A3x B1x C1x D3x 【答案】A【解析】解：函数()yf xa的图象与函数()yf bx的图象关于直线2abx对称，故函数(4)yf x的图象与函数(2)yfx的图象关于直线4232x对称，例例 3：利用图形解决函数问题：利用图形解决函数问题【题干】【题干】（1）若方程()20f x 在(,0)内有解，则()yf x的图象是()ABCD【答案】D【解析】解：A：与直线2y 的交点是(0,2)，不符合题意，故不正确；B：与直线2y 的无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线2y 的在区间(0,)上有交点，不符合题意，故不正确；D：与直线2y 在(,0)上有交点，故正确故选：D（2）已知函数()yf x的图象与函数11yx的图象关于原点对称，则()A1()1f xxB1()1f xxC1()1f xx D1()1f xx【答案】B【解析】解：设点(,)P x y是函数()yf x的图象，与P关于原点对应的点为(,)xy在函数11yx的图象上所以代入得11yx，即11yx，（3）已知定义在R上的函数(1)f x 的图象关于1x 对称，且当0 x时，()f x单调递减，若0.5(log3)af，1.3(0.5)bf，6(0.7)cf，则a，b，c的大小关系是()AcabBbacCacbDcba【答案】A【解析】解：定义在R上的函数(1)f x 的图象关于1x 对称，函数()f x的图象关于y轴对称，函数()f x为偶函数，0.52log3log 3，0.52(log3)(log 3)ff，21log 32，1.31.30.522，600.71，又当0 x时，()f x单调递减，bac，例例 4：利用函数性质判断函数图像：利用函数性质判断函数图像函数241xyx的图象大致为()ABCD【答案】A【解析】解：函数241xyx的定义域为实数集R，关于原点对称，函数24()1xyf xx，则24()()1xfxf xx ，函数()yf x为奇函数，故排除C，D，当0 x是，()0yf x，故排除B，例例 5：数形结合：数形结合（1）函数244,1()43,1xxf xxxx图象和函数2()logg xx的图象交点个数是()A4B3C2D1【答案】B【解析】解：在同一坐标系中画出函数244,1()43,1xxf xxxx的图象和函数2()logg xx的图象下图所示：由函数图象得，两个函数图象共有 3 个交点（2）设()2|3|f xxx（1）求函数()yf x的最小值；（2）求不等式()7f x 的解集S【答案】见解析【解析】解：（1）3,3()33,303,0 xxf xxxxx ，易知当0 x时，()f x的最小值为3（2）函数()f x的图象如图所示：函数()yf x的图象与直线7y 相交于横坐标为14x ，210 x 的两点，由此得：4S ，10三、课堂练习三、课堂练习A 级级1已知函数221,1()2,1xxf xxx x（）求(3)f f 和 f f（3）的值；（）画出函数的图象；（）若()1f x，求x的值2.函数|1|yx的图象是()ABCD3.定义在区间0，2上的函数()yf x的图象如图所示，则(2)yfx的图象为()ABC DB 级级1将函数1()f xx的图象上的所有点向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数()g x的图象，则函数()g x 2.要得到函数13(2)4yfx的图象，只须将函数3(2)yfx的图象向移动个单位3.函数|(1)yxx的单调递增区间为4.在同一平面直角坐标系中，函数()yf x的图象与1()2xy 的图形关于直线yx对称，而函 数()yg x的 图 象 与()yf x的 图 象 关 于y轴 对 称，若2)(ag，则a的 值为5函数()(33)|xxf xlg x的图象大致为()ABCDC 级级1实数a和b，定义运算“”：,1,1a ababb ab设函数22()(2)()f xxxx，xR，若函数()yf xc的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A(，32(1,)2B(，32(1,)4 C(1，11)(44，)D31(1,)44，)2设0a，则函数|()yxxa的图象大致形状是()ABCD四、课后作业四、课后作业A 级级1函数1|yx 的图象大致是()ABCD2.函数|xyxx的图象是()ABCD3函数221xyx的大致图象是()ABCDB 级级1.函数()f x的图象无论经过平移还是关于某条直线对称翻折后仍不能与12logyx的图象重合，则()f x是()A2xyB42logyxC2log(1)yxD142xy 2函数|1|lnxyex的图象大致是()ABCD3设奇函数()f x的定义域为 5，5，若当0 x，5时，()f x的图象如图，则不等式()0f x 的解集是4.函数2()|1|xxf xe的图象大致为()ABCDC 级级1若()f x是R上的奇函数，在0，)上图象如图所示，则满足()0 xf x 的解集合是2已知函数()yf x的定义域为|x xR，且0 x，满足()()0f xfx，当0 x时，()11f xnxx，则函数()yf x的大致图象为()ABCD3已知函数2|1|1xyx的图象与函数2ykx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是 第十讲 函数图像第十讲 函数图像一、知识点详解一、知识点详解知识点1 函数作图1、列表，描点法-其基本步骤是列表、描点、连线首先：确定函数定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性等)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线2、利用图像平移变换作图 （1）平移变化水平平移：)0)(aaxfy的图象，由)(xfy 的图象向左或向右平移a个单位得到上下平移)0()(bbxfy的图象，由)(xfy 的图象向上或向下平移b个单位得到（2）对称变换)(xfy与)(xfy 的图象关于y轴对称)(xfy与)(xfy 的图象关于x轴对称)(xfy与)(xfy 的图象关于原点对称要得到|)(|xfy 的图象，将)(xfy 的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变要得到|)(|xfy 的图象，可将)(xfy，0 x的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出0 x时的图象（3）伸缩变换)0)(AxAfy的图象，可将)(xfy 图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到)0)(aaxfy的图象，可将)(xfy 图象上所有点的横坐标变为原来的a1倍，纵坐标不变而得到知识点2 利用函数图像解决函数问题1、利用函数图像，观察函数单调性与函数最值2、利用函数图像，观察函数是否奇偶性3、利用函数图像，转化交点问题4、利用函数图像，实现数形结合思想二、例题解析二、例题解析例例 1：列表描点作图：列表描点作图（1）函数|1yx的图象大致是()ABCD【答案】C【解析】解：对于函数|1yx，满足()|1|1()fxxxf x ，故函数为偶函数，函数|1yx的图象关于y轴对称，排除A，函数|yx的图象为：又因为函数|1yx的图象是由函数|yx的图象上移 1 个单位C的图象符合，（2）函数1yxx的图象是()ABCD【答案】A【解析】解：函数1yxx是由函数yx和1yx的和函数，故函数函数1yxx在区间(,0)和(0,)上都单调递增；分析四个答案中的图象易得只有A中的图象符合要求；（3）当1a 时，在同一坐标系中，函数xya与logayx的图象()ABCD【答案】A【解析】解：函数xya可化为函数1()xya，其底数小于 1，是减函数，又logayx，当1a 时是增函数，两个函数是一增一减，前减后增（4）已知函数2,1()3,1xx xf xxx（1）在下面的坐标系中，作出函数()f x的图象并写出单调区间；（2）若)(af2，求实数a的值【解析】解：（1）做出()f x的函数图象如图所示：由图象得()f x的增区间为1(2，1，(1,)，减区间为(，12（2）f2)(af，212aaa或132aa解得1a 或5a（5）画出下列函数图像作出下列函数的图象：（1）12xxy；（2）1)21(xy；（3）1log2xy；（4）)1.(2xxy【答案】略【解析】(1)易知函数的定义域为1xRx;13112xxxy，因此由xy3的图象向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度即可得到函数12xxy的图象，如图所示(2)先作出,0,21xyx的图象，然后作其关于y轴的对称图象，再将整个图象向左平移 1 个单位长度，即得到1)21(xy的图象，如图所示(3)先作出xy2log的图象，再将图象向下平移 1 个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方来，即得到1log2xy的图象，如图所示(4)当2x，49)21(2)1)(2(22xxxxxy当2x时，49)21(2)1)(2(22xxxxxy这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)例 2：利用平移变换作图（1）若函数()yf x的图象如图所示，则函数(1)yfx的图象大致为()ABCD【答案】A【解析】解：因为从函数()yf x到函数(1)yfx的平移变换规律是：先关于y轴对称得到()yfx，再整体向右平移 1 个单位即可得到即图象变换规律是：（2）函数()|1|f xlg x的图象大致是()ABCD【答案】A【解析】解：函数(1),1(|1|)(1),1lg xxylgxlgxx ，当1x 时，(1)ylg x的图象，是函数ylgx的图象向左平移 1 个单位得到的；当1x 时，(1)ylgx 的图象，与函数(1)ylg x的图象关于直线1x 对称，函数(|1|)ylgx的大致图象是A（3）函数(4)yf x的图象与函数(2)yfx图象关于下列哪条直线对称()A3x B1x C1x D3x 【答案】A【解析】解：函数()yf xa的图象与函数()yf bx的图象关于直线2abx对称，故函数(4)yf x的图象与函数(2)yfx的图象关于直线4232x对称，例例 3：利用图形解决函数问题：利用图形解决函数问题【题干】【题干】（1）若方程()20f x 在(,0)内有解，则()yf x的图象是()ABCD【答案】D【解析】解：A：与直线2y 的交点是(0,2)，不符合题意，故不正确；B：与直线2y 的无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线2y 的在区间(0,)上有交点，不符合题意，故不正确；D：与直线2y 在(,0)上有交点，故正确故选：D（2）已知函数()yf x的图象与函数11yx的图象关于原点对称，则()A1()1f xxB1()1f xxC1()1f xx D1()1f xx【答案】B【解析】解：设点(,)P x y是函数()yf x的图象，与P关于原点对应的点为(,)xy在函数11yx的图象上所以代入得11yx，即11yx，（3）已知定义在R上的函数(1)f x 的图象关于1x 对称，且当0 x时，()f x单调递减，若0.5(log3)af，1.3(0.5)bf，6(0.7)cf，则a，b，c的大小关系是()AcabBbacCacbDcba【答案】A【解析】解：定义在R上的函数(1)f x 的图象关于1x 对称，函数()f x的图象关于y轴对称，函数()f x为偶函数，0.52log3log 3，0.52(log3)(log 3)ff，21log 32，1.31.30.522，600.71，又当0 x时，()f x单调递减，bac，例例 4：利用函数性质判断函数图像：利用函数性质判断函数图像函数241xyx的图象大致为()ABCD【答案】A【解析】解：函数241xyx的定义域为实数集R，关于原点对称，函数24()1xyf xx，则24()()1xfxf xx ，函数()yf x为奇函数，故排除C，D，当0 x是，()0yf x，故排除B，例例 5：数形结合：数形结合（1）函数244,1()43,1xxf xxxx图象和函数2()logg xx的图象交点个数是()A4B3C2D1【答案】B【解析】解：在同一坐标系中画出函数244,1()43,1xxf xxxx的图象和函数2()logg xx的图象下图所示：由函数图象得，两个函数图象共有 3 个交点（2）设()2|3|f xxx（1）求函数()yf x的最小值；（2）求不等式()7f x 的解集S【答案】见解析【解析】解：（1）3,3()33,303,0 xxf xxxxx ，易知当0 x时，()f x的最小值为3（2）函数()f x的图象如图所示：函数()yf x的图象与直线7y 相交于横坐标为14x ，210 x 的两点，由此得：4S ，10三、课堂练习三、课堂练习A 级级1已知函数221,1()2,1xxf xxx x（）求(3)f f 和 f f（3）的值；（）画出函数的图象；（）若()1f x，求x的值【解析】（）31，(3)2(3)17f ，又71(3)f ff（7）272735，31，f（3）23233，f f（3）f（3）3（）图象如图所示，（）当(,1)x 时，有()211f xx ，解得0 x；当1x，)时，有2()21f xxx，解得12x 或12x ，但121x ，)，故舍去所以x的值为 0 或122.函数|1|yx的图象是()ABCD【答案】A【解析】解：函数1,111,1xxyxxx 当时当时，画出图象应为A如图所示的图象3.定义在区间0，2上的函数()yf x的图象如图所示，则(2)yfx的图象为()ABCD【答案】A【解析】解：由(0,2)上的函数()yf x的图象可知,01()1,12xxf xx当021x即12x时，(2)2fxx 当1 22x即01x 时，(2)1fx1,01(2)2,12xyfxxx，根据一次函数的性质，结合选项可知，选项A正确B 级级1将函数1()f xx的图象上的所有点向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数()g x的图象，则函数()g x【答案】23xx【解析】解：1133f xyxx 向右平移 个单位 121133xg xxx 向上平移 个单位2.要得到函数13(2)4yfx的图象，只须将函数3(2)yfx的图象向移动个单位【答案】故答案为：左；18【解析】解：113(2)3 2()48yfxfx，只须将函数3(2)yfx的图象向左平移18个单位即可得到函数13(2)4yfx的图象3.函数|(1)yxx的单调递增区间为【答案】1(0,)2【解析】解：(1)0|(1)(1)0 xxxyxxxxx再结合二次函数图象：可知函数的单调递增区间是1(0,)24.在同一平面直角坐标系中，函数()yf x的图象与1()2xy 的图形关于直线yx对称，而函 数()yg x的 图 象 与()yf x的 图 象 关 于y轴 对 称，若2)(ag，则a的 值为【答案】4【解析】函数()yf x与1()2xy 互为反函数 则12()logf xx，又由()yf x的图象与()yg x的图象关于y轴对称 12()log()g xx，又g)(a2 12log()2a，可得4a 5函数()(33)|xxf xlg x的图象大致为()ABCD【答案】D【解析】解：函数的定义域为|0 x x，()(33)|()xxfxlg xf x，则函数()f x为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当1x 时，()0f x，排除A 当01x时，()0f x，排除C，故选：DC 级级1实数a和b，定义运算“”：,1,1a ababb ab设函数22()(2)()f xxxx，xR，若函数()yf xc的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A(，32(1,)2B(，32(1,)4 C(1，11)(44，)D31(1,)44，)【解析】解：若222()1xxx，则223 0 xx，解得312x ，若222()1xxx，则2230 xx，则1x 或32x，2232,123,12xxf xxxxx或，作出()f x的函数图象如图所示：()yf xc有两个零点 ()f xc有两解，2c或314c 故选：B2设0a，则函数|()yxxa的图象大致形状是()ABCD【答案】B【解析】解：函数(),0|()(),0 x xa xyxxax xa x 0a，当0 x，()yx xa的图象为开口向上的抛物线的一部分，与x轴的交点坐标为(0,0)，(,0)a当0 x时，图象为()yx xa 的图象为开口先向下的抛物线的一部分故选：B四、课后作业四、课后作业A 级级1函数1|yx 的图象大致是()ABCD【答案】A【解析】解：由于函数为偶函数，图象关于y轴对称，且当0 x时，函数y取得最大值为1，结合会所给的选项，只有A满足条件，2.函数|xyxx的图象是()ABCD【答案】D【解析】解：函数|xyxx可化为：当0 x时，1yx；它的图象是一条过点(0,1)的射线；当0 x时，1yx 它的图象是一条过点(0,1)的射线，对照选项，3函数221xyx的大致图象是()ABCD【答案】A【解析】解：令()0f x，得到0 x，故函数只有一个零点，故排除B、C、D，B 级级1.函数()f x的图象无论经过平移还是关于某条直线对称翻折后仍不能与12logyx的图象重合，则()f x是()A2xyB42logyxC2log(1)yxD142xy【答案】D【解析】解：A、易知：1log2yx与2xy互为反函数，则图象关于yx对称，两者图象翻折得到 B、logy 21log2xx，而422loglogyxx 关于x轴对称，两者图象翻折得到 C、2log(1)yx与2logyx图象向左平移一个单位得到D、两个函数的底不同不会由变换得到2函数|1|lnxyex的图象大致是()ABCD【答案】D【解析】解：由|1|lnxyex可知：函数过点(1,1)，当01x时，111lnxyexxx 为减函数；若当1x 时，11lnxyex，故选：A3设奇函数()f x的定义域为 5，5，若当0 x，5时，()f x的图象如图，则不等式()0f x 的解集是【答案】故答案为|20 xx 或25x【解析】解：由奇函数图象的特征可得()f x在 5，5上的图象由图象可解出结果4.函数2()|1|xxf xe的图象大致为()ABCD【答案】B【解析】解：函数()f x为非奇非偶函数，图象不对称，排除C，当x ，()0f x ，排除 D ()0f x 恒成立，排除A，C 级级1若()f x是R上的奇函数，在0，)上图象如图所示，则满足()0 xf x 的解集合是【答案】故答案为|1x x ，或1x【解析】()f x是R上的奇函数，函数图象关于原点对称 函数()f x在R上的图象如图0()0()0 xxf xf x或0()0 xf x1x或1x ()0 x f x的解集为|1x x ，或1x 2已知函数()yf x的定义域为|x xR，且0 x，满足()()0f xfx，当0 x时，()11f xnxx，则函数()yf x的大致图象为()ABCD【答案】D【解析】解：由()()0f xfx得()()fxf x，即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，当0 x时，()11f xnxx，则f（1）1 1 10ln ，f（e）1110lneeee ，排除B，故选：D3已知函数2|1|1xyx的图象与函数2ykx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是【答案】故答案为：(0，1)(1，4)【解析】解：211,111,111xxxxyxxx 或，作出函数2|1|1xyx与2ykx的图象如图所示：函数2|1|1xyx的图象与函数2ykx的图象恰有两个交点，01k 或14k