2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册期中模拟卷（四）（含解析）.rar

人教 A 版（2019）高一上册数学期中模拟卷（四）（原卷版）一、单选题1已知集合0,1,2,3,4,2,3,4,5,6AB，则AB （）A0,1B2,3,4C0,1,2,3,4,5,6D5,62命题“2x，2280 xx”的否定是（）A2x，2280 xxB2x，2280 xxC2x，2280 xxD2x，2280 xx3设0ba，则下列不等关系正确的是（）A11abB01abC2abbDbaab4在定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A 1f xxB 1f xxxC fxx x D 1,0,1,0 xxf xxx 5已知函数()yf x的定义域为(1,1)，则函数()(2)(1)g xf xfx的定义域为（）A(1,2)B(1,1)C(0,2)D(1,3)6 已知函数(3)5,1,()2,1axxf xaxx满足对任意12,x x，都有1212()()()0f xf xxx成立，则a的取值范围是（）A(0，3)B0,3C(0，2D(0，2)7某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 900 元，若每批生产x件，则平均仓储时间为4x天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A30 件B60 件C80 件D100 件8设函数 f x的定义域为R，31f x 为奇函数，2f x为偶函数，则函数 f x的周期为（）A1B2C3D4二、多选题9下列各图中，是函数图象的是（）ABCD10（多选题）已知集合0,1,3A，1,2B，定义运算,A Bx xab aA bB，则下列描述正确的是（）A0A BB记A B为集合U，则 3UBAC若BMA B，则符合要求的M有4个DA B中所有元素之和为1511设 a0，b0，则下列不等式恒成立的是（）A473aaB22111aaC2ababD114abab12已知()f x是定义域为 R 的函数，满足(1)(3)f xf x，(1)(3)fxfx，当 0 x2时，2()f xxx，则下列说法正确的是（）A()f x的最小正周期为 4B()f x的图像关于直线2x 对称C当 0 x4 时，函数()f x的最大值为 2D当 6x8 时，函数()f x的最小值为12三、填空题13函数2()xf xx的定义域是_.14设集合0,Aa b，20,1Ba，且AB，则20202020ab的值_15函数 223f xxx的单调递减区间为_16当1x 时，函数 22225xf xxx的最大值为_四、解答题17已知集合014Pxx，26Qxx，6Dxaxa.（1）求PQU，PQ；（2）若DQ，求实数a的取值范围.18已知关于x的不等式2520axx的解集是M.（1）若3a，求解集M；（2）若122Mxx解关于x的不等式121axx.19已知函数 372xf xx，1,1x（1）判断 f x的单调性，并用单调性的定义证明：（2）求 f x上的最大值和最小值20给定的正整数 n（n2），若集合 Aa1，a2，anM 满足 a1+a2+ana1a2an，则称 A 为集合 M 的 n 元“美集”（1）写出一个实数集 R 的 2 元“美集“；（2）证明：不存在自然数集 N 的 2 元“美集”；（3）是否在自然数集 N 的 3 元“美集”？若存在，请求出所有自然数集 N 的 3 元“美集“；若不存在，请说明理由21设函数2()(1)2f xaxa xa（1）若不等式 2f x 对于实数1,1a 时恒成立，求实数x的取值范围；（2）解关于x的不等式：()1,()f xaaR22已知幂函数 243tf xtt x在区间(0,)上单调递减，（1）求幂函数的解析式及定义域（2）若函数()2xg xk，满足对任意的11,16)x 时，总存在2(1,5)x 使得 12f xg x，求 k 的取值范围.人教人教 A 版（版（2019）高一上册数学期中模拟卷（四）（解析版）高一上册数学期中模拟卷（四）（解析版）一、单选题一、单选题1已知集合已知集合0,1,2,3,4,2,3,4,5,6AB，则，则AB （）A0,1B2,3,4C0,1,2,3,4,5,6D5,6【答案】【答案】B【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为0,1,2,3,4,2,3,4,5,6AB，所以AB 2,3,4，故选：B2命题命题“2x，2280 xx”的否定是（的否定是（）A2x，2280 xxB2x，2280 xxC2x，2280 xxD2x，2280 xx【答案】【答案】A【分析】根据特称命题的否定方法进行否定.【详解】命题“2x，2280 xx”的否定是：2x，2280 xx.故选：A3设设0ba，则下列不等关系正确的是（，则下列不等关系正确的是（）A11abB01abC2abbDbaab【答案】【答案】B【分析】由0ba，取特殊值，令2,3ab时，分别代入比较即可判断 ACD 选项，根据不等式关系的性质，即可判断 B 选项.【详解】由题可知，0ba，对于 A，令2,3ab时，则1132，则11ab，故 A 选项错误；对于 B，由于10,0bab，不等式两边同乘以1b，可得10ab，故 B 选项正确；对于 C，令2,3ab时，26,9abb，故 C 选项错误；对于 D，令2,3ab时，则32,23baab，则baab，故 D 选项错误.故选：B4在定义域内既是奇函数又是减函数的是（在定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A 1f xxB 1f xxxC fxx x D 1,0,1,0 xxf xxx 【答案】【答案】C【分析】根据奇函数的性质和减函数的性质逐一判断即可.【详解】A：函数 1f xx的定义域为全体非零实数，因为 1fxf xx ，所以函数 1f xx是奇函数，因为 1(1)ff，所以该函数不是定义域内的减函数，不符合题意；B：函数 1f xxx的定义域为全体非零实数，因为 1fxxf xx ，所以该函数是奇函数，因为 1(1)ff，所以该函数不是定义域内的减函数，不符合题意；C：函数 fxx x 的定义域为全体实数，因为 fxxxf x，所以该函数是奇函数，当0 x 时，2f xx xx ，此时该函数单调递减，当0 x 时，2f xx xx，此时该函数单调递减，而(0)0f，所以该函数是全体实数集上的减函数，符合题意；D：因为(0)10f ，所以该函数不是奇函数，不符合题意，故选：C5 已知函数 已知函数()yf x的定义域为的定义域为(1,1)，则函数，则函数()(2)(1)g xf xfx的定义域为（的定义域为（）A(1,2)B(1,1)C(0,2)D(1,3)【答案】【答案】A【分析】根据抽象函数定义域的求解方法可得不等式组，解不等式组求得结果.【详解】f x定义域为1,1 1211 11xx ，解得：12x g x的定义域为1,2故选：A6已知函数已知函数(3)5,1,()2,1axxf xaxx满足对任意满足对任意12,x x，都有，都有1212()()()0f xf xxx成立，则成立，则a的取值范围是（的取值范围是（）A(0，3)B0,3C(0，2D(0，2)【答案】【答案】C【分析】根据对任意12,x x，都有1212()()()0f xf xxx成立，得到函数在 R 上是减函数求解.【详解】因为对任意12,x x，都有1212()()()0f xf xxx成立，所以函数(3)5,1,()2,1axxf xaxx在 R 上是减函数，所以300352aaaa ，解得02a，所以实数a的取值范围是(0，2.故选：C7某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 900 元，若每批生产元，若每批生产x件，则平均仓储时间为件，则平均仓储时间为4x天，且每件产品每天的仓储费用为天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A30 件件B60 件件C80 件件D100 件件【答案】【答案】B【分析】确定生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值【详解】根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是2190090404xxx这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为2190409 0()40 xxf xxx（x为正整数）由基本不等式，得90090023044xxxx当且仅当9004xx，即60 x 时，()f x取得最小值，60 x时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：B8设函数设函数 f x的定义域为的定义域为R，31f x 为奇函数，为奇函数，2f x为偶函数，则函数为偶函数，则函数 f x的周期为（的周期为（）A1B2C3D4【答案】【答案】D【分析】根据已知条件判断出 f x的对称中心和对称轴，由此判断出 f x的周期.【详解】f x左移1个单位得到1f x，1f x与31f x 的奇偶性相同，由于31f x 为奇函数，图象关于原点对称，所以 f x关于1,0对称，即11fxfx，f x左移2个单位得到2f x，由于2f x为偶函数，图象关于y轴对称，所以 f x关于直线2x 对称，所以22fxfx，所以42222f xfxfxfx11112fxfxf x ，所以 4222f xf xf xf xf x .所以 f x的周期为4.故选：D二、多选题二、多选题9下列各图中，是函数图象的是（下列各图中，是函数图象的是（）ABCD【答案】【答案】BD【分析】根据函数的定义，进行分析判断即可得解.【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个x只有一个y和它对应，满足条件的只有 BD.故选：BD10（多选题）（多选题）已知集合已知集合0,1,3A，1,2B，定义运算，定义运算,A Bx xab aA bB，则下列描述正确的是（，则下列描述正确的是（）A0A BB记记A B为集合为集合U，则，则 3UBAC若若BMA B，则符合要求的，则符合要求的M有有4个个DA B中所有元素之和为中所有元素之和为15【答案】【答案】BD【分析】根据已知条件求出集合A B，进而可判断 AD 选项的正误，利用集合的运算可判断 B选项的正误，利用列举法可判断 C 选项的正误.【详解】由已知条件可得1 2 3 4 5A B,.对于 A 选项，0A B，A 错；对于 B 选项，1,2,3,4,5U，则3,4,5UB，故 3UBA，B 对；对于 C 选项，BMA B，即1,21,2,3,4,5M，则满足条件的集合M有：1,2、1,2,3、1,2,4、1,2,5、1,2,3,4、1,2,3,5、1,2,4,5、1,2,3,4,5，共8个，C 错；对于 D 选项，A B中所有元素之和为1234515，D 对.故选：BD.11设设 a0，b0，则下列不等式恒成立的是（，则下列不等式恒成立的是（）A473aaB22111aaC2ababD114abab【答案】【答案】BCD【分析】根据0a 得到3a的符号不定，取特殊值可以得到选项 A 错误，利用基本不等式逐一验证证明可以判定选项 B、C、D 正确.【详解】对于 A：因为0a，所以3a的符号不定，显然，当2a 时，44227323aa 不成立，即选项 A 错误；对于 B：因为0a，所以211a ，所以222222111112(1)11111aaaaaa 成立，（因为211a ，所以22111aa，即不能取到等号），即选项 B 正确；对于 C：因为0a，0b，所以20abab，所以2abab（当且仅当0ab时取等号），即选项 C 正确；对于 D：因为0a，0b，所以1111224abababab，（当且仅当1aa且1bb，即1ab时取等号），即选项 D 正确.故选：BCD.12已知已知()f x是定义域为是定义域为 R 的函数，满足的函数，满足(1)(3)f xf x，(1)(3)fxfx，当，当0 x2 时，时，2()f xxx，则下列说法正确的是（，则下列说法正确的是（）A()f x的最小正周期为的最小正周期为 4B()f x的图像关于直线的图像关于直线2x 对称对称C当当 0 x4 时，函数时，函数()f x的最大值为的最大值为 2D当当 6x8 时，函数时，函数()f x的最小值为的最小值为12【答案】【答案】ABC【分析】对于 A：由(1)(3)f xf x，可得()(4)f xf x，所以()f x的最小正周期为 4，故 A项正确；对于 B：由(1)(3)fxfx，可得(2)(2)fxfx，所以函数()f x关于直线2x 对称，故 B 项正确；对于 C：函数的最大值为(2)2f，故 C 项正确；对于 D：函数的最小值为1124f，故 D 项错误.【详解】对于 A：由(1)(3)f xf x，可得()(1)1(1)3(4)f xfxfxf x，所以()f x的最小正周期为 4，故 A 项正确；对于 B：由(1)(3)fxfx，可得(1(1)(3(1)fxfx，即(2)(2)fxfx，所以函数()f x关于直线2x 对称，故 B 项正确；对于 C：由于函数()f x关于直线2x 对称，所以可以仅研究 0 x2 时，函数()f x的最大值.因为当 0 x2 时，2()f xxx，所以函数的最大值为(2)2f，故 C 项正确；对于 D：由于函数()f x的最小正周期为 4，所以 6x8 时，函数()f x的性质与 0 x2 时，函数()f x的最小值.因为当 0 x2 时，2()f xxx，所以函数的最小值为1124f，故 D 项错误.故选：ABC三、填空题三、填空题13函数函数2()xf xx的定义域是的定义域是_.【答案】【答案】2，0)(0，)【分析】根据使函数有意义的原则，构造不等式组2 00 xx，解得答案【详解】由2 00 xx得：2x，0)(0，)，故函数2xyx的定义域为 2，0)(0，)，故答案为：2，0)(0，)14设集合设集合0,Aa b，20,1Ba，且，且AB，则，则20202020ab的值的值_【答案】【答案】2【分析】由集合相等，列出式子，求出,a b即可求解【详解】0,Aa b，20,1Ba，AB，201aab 或21aba，解得11ab 或11ab，202020201 12ab 故答案为：215函数函数 223f xxx的单调递减区间为的单调递减区间为_【答案】【答案】1,1【分析】首先求出函数()f x的定义域，令223txx，分别求出223txx 和yt的单调区间，再利用符合函数单调性的性质即可求出()f x的单调减区间.【详解】由2230 xx，解得31x，所以函数()f x的定义域为3,1，令223txx，yt在0,)单调递增，因为函数223txx 在3,1单调递增，在1,1单调递减，由复合函数的单调性知：2()23f xxx在1,1单调递减.故答案为：1,116当当1x 时，函数时，函数 22225xf xxx的最大值为的最大值为_【答案】【答案】12#【分析】设1tx0t，则将原式化为22244tttt，由均值不等式可得答案.【详解】由1x ，设1tx0t，则1xt，所以222222214254242xtxxttttt，当且仅当2t 即1x 时取等号，即函数 22225xf xxx的最大值为12故答案为：12四、解答题四、解答题17已知集合已知集合014Pxx，26Qxx，6Dxaxa.（1）求）求PQU，PQ；（2）若）若DQ，求实数，求实数a的取值范围的取值范围.【答案】【答案】（1）16PQxx，25PQxx；（2）4a.【分析】（1）利用集合的并、交运算求PQU，PQ即可.（2）讨论D 、D ，根据DQ列不等式求a的范围.【详解】（1）014|15Pxxxx，26Qxx16PQxx，25PQxx.（2）当D 时，6aa，解得3a，则满足DQ.当D 时，6aa，解得3a，又DQ626aa，解得4a，即34a.综上，4a.18已知关于已知关于x的不等式的不等式2520axx的解集是的解集是M.（1）若）若3a，求解集，求解集M；（2）若）若122Mxx解关于解关于x的不等式的不等式121axx.【答案】【答案】（1）1,2,3M ；（2）11|42xx【分析】（1）解不等式3120 xx即可得解；（2）根据122Mxx求出2a ，解分式不等式即可.【详解】（1）若3a，23520 xx即3120 xx，所以1,2,3x ，所以1,2,3M ；（2）若122Mxx，41020a，所以2a ，不等式121axx即2121xx，221021xxx，等价于21410 xx，所以不等式的解集为11|42xx.19已知函数已知函数 372xf xx，1,1x（1）判断）判断 f x的单调性，并用单调性的定义证明：的单调性，并用单调性的定义证明：（2）求）求 f x上的最大值和最小值上的最大值和最小值【答案】【答案】（1）减函数，证明解析；（2）最大值14f，最小值 372f【分析】（1）利用函数的单调性的定义，即可作出判定，得到结论；（2）由（1）知，函数 f x在区间1,1上是减函数，即可求得函数的最大值和最小值.【详解】（1）函数 372xf xx是区间1,1上的减函数.证明如下：设1x，2x是区间1,1上的任意两个实数，且12xx，则121212373722xxf xf xxx 12211237237222xxxxxx211222xxxx，因为1211xx-，所以210 xx，12220 xx，于是 120f xf x，即12f xf x，所以函数 372xf xx是区间1,1上的减函数.（2）由（1）知，函数 f x在区间1,1上是减函数，所以当1x 时，f x取最大值14f；当1x 时，f x取最小值 1013f.20给定的正整数给定的正整数 n（n2），若集合），若集合 Aa1，a2，an M 满足满足 a1+a2+ana1a2an，则称，则称 A 为集合为集合 M 的的 n 元元“美集美集”（1）写出一个实数集）写出一个实数集 R 的的 2 元元“美集美集“；（2）证明：不存在自然数集）证明：不存在自然数集 N 的的 2 元元“美集美集”；（3）是否在自然数集）是否在自然数集 N 的的 3 元元“美集美集”？若存在，请求出所有自然数集？若存在，请求出所有自然数集 N 的的 3 元元“美集美集“；若不存在，请说明理由；若不存在，请说明理由【答案】【答案】（1）1，12；（2）见解析；（3）存在，1，2，3.【分析】（1）根据“美集”的定义求解即可；（2）设1Aa，2a是自然数集N上的一个 2 元“美集”，不妨设12aa，分10a 和1*aN两种情况，分别进行讨论求解，即可证明；（3）设1Aa，2a，3a是自然数集N上的一个 2 元“美集”，不妨设123aaa，分10a 和1*aN两种情况，分别求解即可【详解】解：（1）因为111122 ，又 1，12R，所以 1A ，12是实数集 R 的一个 2 元“美集”；（2）证明：设1Aa，2a是自然数集N上的一个 2 元“美集”，不妨设12aa，若10a，则2*aN，故1212aaa a不成立；若1*aN，由1212aaa a，可得112221(1)aa aaa a，所以1121aaa，因为1a，2*aN，且12aa，所以1201aa，11aN，故1121aaa 不成立，综上所述，自然数集N不存在 2 元“美集”；（3）设1Aa，2a，3a是自然数集N上的一个 2 元“美集”，不妨设123aaa，若10a，则2*aN，故123123aaaa a a不成立；若1*aN，则12312333a a aaaaa，可得123a a，满足123a a 的正整数只能是11a，22a，代入123123a a aaaa，可得33a，所以自然数集N的所有 3 元“美集”为1，2，321设函数设函数2()(1)2f xaxa xa（1）若不等式）若不等式 2f x 对于实数对于实数1,1a 时恒成立，求实数时恒成立，求实数x的取值范围；的取值范围；（2）解关于）解关于x的不等式：的不等式：()1,()f xaaR【答案】【答案】（1）1；（2）答案不唯一，具体见解析【分析】（1）原不等式等价于2 1,1,(1)0axxax ，变换主元为关于a的一次函数，判断单调性求出最小值大于等于 0，求解即可；（2）当0a 时，求解集，0a 时，因为分解为1()(1)0a xxa，分情况讨论a的正负以及根的大小分别求出解集.【详解】（1）不等式 2f x 对于实数1,1a 时恒成立，即2 1,1,(1)0axxax ，显然210 xx，函数2()(1)g axxax在1,1a 上递增，从而得(1)0g，即2210 xx，解得1x，所以实数x的取值范围是1；（2）不等式2()1(1)10f xaaxa x ，当0a 时，1x，当0a 时，不等式可化为1()(1)0 xxa，而10a，解得11xa，当0a 时，不等式可化为1()(1)0 xxa，当11a，即1a 时，,1xR x，当11a，即1a 时，1xa 或1x，当11a，即10a 时，1x 或1xa，所以，当0a 时，原不等式的解集为(,1)，当0a 时，原不等式的解集为1(,1)a，当10a 时，原不等式的解集为1(,1)(,)a，当1a 时，原不等式的解集为1(,)(1,)a 22已知幂函数已知幂函数 243tf xtt x在区间在区间(0,)上单调递减，上单调递减，（1）求幂函数的解析式及定义域）求幂函数的解析式及定义域（2）若函数）若函数()2xg xk，满足对任意的，满足对任意的11,16)x 时，总存在时，总存在2(1,5)x 使得使得 12f xg x，求，求 k 的取值范围的取值范围.【答案】【答案】（1）14f xx，(0,)；（2）3,231【分析】（1）利用幂函数的定义及函数的单调性列出关于 t 的方程，求解即可.（2）分别求出 1f x的值域 A，2g x的值域 B，由题设将问题转化为AB，利用集合的包含关系求出 k 的取值范围.【详解】243tf xtt xQ为幂函数，且在区间(0,)上单调递减，24310ttt，即(41)(1)00ttt，解得14t 或1t （舍去）所以幂函数的解析式为 14f xx1441xxQ，0 x且0 x，所以函数 f x的定义域为(0,)（2）由（1）知 f x在区间(0,)上单调递减，所以当11,16)x，1144116,1f x，即11,12f x，令1,12A；()2xg xk，由指数函数性质知，g x单调递增，所以当2(1,5)x，1522,2kg xk，即22,32kg xk，令2,32Bkk；因为对任意的11,16)x 时，总存在2(1,5)x 使得 12f xg x，则AB结合数轴可知122321kk，解得3231kk，即 k 的取值范围3,231【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数,yf xxa b，,yg xxc d（1）若1,xa b，2,xc d，总有 12f xg x成立，故 2maxminf xg x；（2）若1,xa b，2,xc d，有 12f xg x成立，故 2maxmaxf xg x；（3）若1,xa b，2,xc d，有 12f xg x成立，故 2minminf xg x；（4）若1,xa b，2,xc d，有 12f xg x，则 f x的值域是 g x值域的子集