第5讲 函数的概念 讲义（学生版+教师版）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.rar

第 5 讲 函数的概念玩前必备1.函数(1)函数的定义：设集合 A 是一个非空的数集，对 A 中的任意数 x，按照确定的法则 f，都有唯一确定的数 y与它对应，则这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数.记作 yf(x)，xA.(2)函数的定义域：在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集 A)叫做这个函数的定义域.(3)函数的值域：所有函数值构成的集合y|yf(x)，xA叫做这个函数的值域.2.区间设 a，bR，且 ab.定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)x|axb半开半闭区间(a，b3.无穷区间的表示定义x|xax|xax|xax|xaR符号a，)(a，)(，a)(，a(，)4.函数的常用表示方法表示方法定义列表法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法.图象法用“图形”表示函数的方法叫做图象法.解析法(公式法)如果在函数 yf(x)(xA)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法).5.分段函数定义在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.玩转典例题型一题型一 函数的概念和判断函数的概念和判断例例 1下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是()A.AR，BR，x2y21B.A1,2,3,4，B0,1，对应关系如图：C.AR，BR，f：xy1x2D.AZ，BZ，f：xy2x1玩转跟踪 1.下列图形中，不可能是函数 yf(x)的图象的是()2.在图(1)(2)(3)(4)中用箭头所标明的 A 中元素与 B 中元素的对应法则，是不是函数关系？题型二题型二 同一函数的判断同一函数的判断例 2 例 2 下列各组函数中，表示同一个函数的是()A.yx1 和 yx21x1B.yx0和 y1C.f(x)x2和 g(x)(x1)2D.f(x)x2x和 g(x)xx2玩转跟踪1.下列函数完全相同的是()A.f(x)|x|，g(x)(x)2B.f(x)|x|，g(x)x2C.f(x)|x|，g(x)x2xD.f(x)x29x3，g(x)x32.下列各组函数中，f(x)与 g(x)表示同一函数的是()A.f(x)x1 与 g(x)x22x1B.f(x)x 与 g(x)x2xC.f(x)x 与 g(x)3x3D.f(x)x24x2与 g(x)x2题型三题型三 函数的定义域函数的定义域例例 3(1)函数()=2+1+1的定义域为（）A(12，0)(0，+)B(12，0)C 12，0)(0，+)D 12，+)(2)已知函数 f(x)的定义域为(1,0)，则函数 f(2x1)的定义域为()A(1,1)B(1，12)C(1,0)D(12，1)玩转跟踪 1.已知函数(2)f x 的定义域为2，2，则(1)(1)f xf x的定义域为()A1，1 B2，2 C1，3 D1，52.已知函数 f（x）=31 32+3的定义域是 R，则实数 a 的取值范围是（）Aa0 或 a12B12a0C12a0Da0 或 a12题型四题型四 求函数的解析式例例 4（2020山西高一月考）（1）已知22112xfxx，求 f x的解析式；(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x1)2f(x1)2x17，则 f(x)_.(3)已知函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)2f(1x)x1，则 f(x)_.(4)已知，对于任意实数x、y，等式恒成立，求玩转跟踪1.(1)已知 f(x1)x2x，则 f(x)_.(2)(安徽)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x)若当 0 x1 时，f(x)x(1x)，则当1x0 时，f(x)_.(3)已知 f(x)满足 2f(x)f(1x)3x，则 f(x)_.题型五题型五 分段函数例 5已知函数 f(x)Error!(1)求 f(5)，f(3)，f(f(52)的值；(2)若 f(a)3，求实数 a 的值.玩转跟踪1.已知函数 f(x)Error!则 ff(12)_；2.已知函数 f(x)Error!若 f(x)2，则 x_.玩转练习1下列各图中，一定不是函数图象的是（）AB1)0(f)12()()(yxyxfyxf)(xfCD2下列函数与函数 yx 相等的是（）A=()2B=2C=(3)3D=23已知函数()=1 2，则函数 f（2x+1）的定义域为（）A|12Bx|x2Cx|x5D|124设 f（x）=2，10(+6)，10，则 f（5）的值为（）A10B11C12D135已知函数 f（x）对任意 xR，都有()=-12(+2)，当 x0，2时，f（x）x2+2x，则函数 f（x）在2，6上的值域为（）A0，1B-12，0C2，0D2，46（多选题）已知集合 M1，1，2，4，N1，2，4，16，请根据函数定义，下列四个对应法则能构成从 M 到 N 的函数的是（）Ay2xBy|x|Cyx+2Dyx27（多选题）在下列四组函数中，f（x）与 g（x）不表示同一函数的是（）Af（x）x1，()=2 1+1Bf（x）|x+1|，g（x）=+1，1 1，1Cf（x）1，g（x）（x+1）0Df（x）x，()=()28（多选题）若函数 yx24x4 的定义域为0，m，值域为8，4，则实数 m 的值可能为（）A2B3C4D59函数 y=2 2+4的定义域为 R，则实数 k 的取值范围为 10 下面四个函数：y3x；y=12+1；yx2+2x10；y=(0)1(0)中值域为R的函数为 11（1）已知函数 f（x）=1 +3，求函数 f（x+1）的定义域（2）已知函数 f（3x+1）的定义域为（1，6，求 f（2x5）的定义域12.已知二次函数 f(x)满足 f(0)0，且对任意 xR 总有 f(x1)f(x)x1，求 f(x).第 5 讲 函数的概念玩前必备1.函数(1)函数的定义：设集合 A 是一个非空的数集，对 A 中的任意数 x，按照确定的法则 f，都有唯一确定的数 y与它对应，则这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数.记作 yf(x)，xA.(2)函数的定义域：在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集 A)叫做这个函数的定义域.(3)函数的值域：所有函数值构成的集合y|yf(x)，xA叫做这个函数的值域.2.区间设 a，bR，且 ab.定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)x|axb半开半闭区间(a，b3.无穷区间的表示定义x|xax|xax|xax|xaR符号a，)(a，)(，a)(，a(，)4.函数的常用表示方法表示方法定义列表法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法.图象法用“图形”表示函数的方法叫做图象法.解析法(公式法)如果在函数 yf(x)(xA)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法).5.分段函数定义在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.玩转典例题型一题型一 函数的概念和判断函数的概念和判断例例 1下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是()A.AR，BR，x2y21B.A1,2,3,4，B0,1，对应关系如图：C.AR，BR，f：xy1x2D.AZ，BZ，f：xy2x1答案B解析对于 A 项，x2y21 可化为 y1x2，显然对任意 xA，y 值不唯一，故不符合.对于 B 项，符合函数的定义.对于 C 项，2A，但在集合 B 中找不到与之相对应的数，故不符合.对于 D 项，1A，但在集合 B 中找不到与之相对应的数，故不符合.玩转跟踪 1.下列图形中，不可能是函数 yf(x)的图象的是()答案B解析根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B 不正确.2.在图(1)(2)(3)(4)中用箭头所标明的 A 中元素与 B 中元素的对应法则，是不是函数关系？解在图(1)中，集合 A 中任一个数，通过“开平方”在 B 中有两个数与之对应，不符合映射的定义，不是映射，当然也不是函数关系.图(2)中，元素 6 在 B 中没有象，则由 A 到 B 的对应关系不是映射，也不是函数关系.图(3)中，集合 A 中任一个数，通过“2 倍”的运算，在 B 中有且只有一个数与之对应，所以 A 到 B 的对应法则是数集到数集的映射，并且是一一映射，这两个数集之间的对应关系是函数关系.图(4)中，对 A 中的每一个数，通过平方运算在 B 中都有唯一的一个数与之对应，是映射，数集 A 到 B 之间的对应关系是函数关系.题型二题型二 同一函数的判断同一函数的判断例 2 例 2 下列各组函数中，表示同一个函数的是()A.yx1 和 yx21x1B.yx0和 y1C.f(x)x2和 g(x)(x1)2D.f(x)x2x和 g(x)xx2答案D解析A 中的函数定义域不同；B 中 yx0的 x 不能取 0；C 中两函数的对应关系不同，故选 D.玩转跟踪1.下列函数完全相同的是()A.f(x)|x|，g(x)(x)2B.f(x)|x|，g(x)x2C.f(x)|x|，g(x)x2xD.f(x)x29x3，g(x)x3答案B解析A、C、D 的定义域均不同.2.下列各组函数中，f(x)与 g(x)表示同一函数的是()A.f(x)x1 与 g(x)x22x1B.f(x)x 与 g(x)x2xC.f(x)x 与 g(x)3x3D.f(x)x24x2与 g(x)x2答案C解析A 选项中，f(x)与 g(x)的对应关系不同，它们不表示同一函数；B、D 选项中，f(x)与 g(x)的定义域不同，它们不表示同一函数.题型三题型三 函数的定义域函数的定义域例例 3(1)函数()=2+1+1的定义域为（）A(12，0)(0，+)B(12，0)C 12，0)(0，+)D 12，+)【解题思路】可看出，要使得 f（x）有意义，则需满足2+1 0 0，然后解出 x 的范围即可【解答过程】解：要使 f（x）有意义，则2+1 0 0，解得-12，且 x0，f（x）的定义域为-12，0)(0，+)故选：C(2)已知函数 f(x)的定义域为(1,0)，则函数 f(2x1)的定义域为()A(1,1)B(1，12)C(1,0)D(12，1)解析由12x10，解得1x12，故函数 f(2x1)的定义域为(1，12)玩转跟踪 1.已知函数(2)f x 的定义域为2，2，则(1)(1)f xf x的定义域为()A1，1 B2，2 C1，3 D1，5答案：因为2x2，所以 0 x24，即f(x)的定义域为0，4由0 x1 4，0 x1 4，得x1，32.已知函数 f（x）=31 32+3的定义域是 R，则实数 a 的取值范围是（）Aa0 或 a12B12a0C12a0Da0 或 a12【解题思路】根据题意，函数 ax2+ax3 与 x 轴无公共点，a0 时，显然满足条件；a0 时，需满足a2+12a0，然后即可得出 a 的取值范围【解答过程】解：f（x）的定义域是 R，a0 时，30 恒成立；a0 时，a2+12a0，解得12a0，满足 ax2+ax30 恒成立，实数 a 的取值范围为12a0故选：B题型四题型四 求函数的解析式例例 4（2020山西高一月考）（1）已知22112xfxx，求 f x的解析式；(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x1)2f(x1)2x17，则 f(x)_.(3)已知函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)2f(1x)x1，则 f(x)_.(4)已知，对于任意实数x、y，等式恒成立，求解析(1)(换元法)由题意得：12fx定义域为0 x x 设121tx t，则12tx 2222112521112tttf tttt 222511xxf xxx(2)(待定系数法)设 f(x)axb(a0)，则 3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即 ax5ab2x17 不论 x 为何值都成立，Error!解得Error!f(x)2x7.(3)(消去法)在 f(x)2f(1x)x1 中，用1x代替 x，得 f(1x)2f(x)1x1，将 f(1x)2fxx1 代入 f(x)2f(1x)x1 中，可求得 f(x)23x13.(4)令=,得f()=2+1.玩转跟踪1.(1)已知 f(x1)x2x，则 f(x)_.(2)(安徽)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x)若当 0 x1 时，f(x)x(1x)，则当1x0 时，f(x)_.(3)已知 f(x)满足 2f(x)f(1x)3x，则 f(x)_.答案(1)x21(x1)(2)xx12(3)2x1x(x0)解析(1)设x1t(t1)，则xt1.代入 f(x1)x2x，得 f(t)t21(t1)，f(x)x21(x1)(2)当1x0 时，0 x11，由已知 f(x)12f(x1)12x(x1)1)0(f)12()()(yxyxfyxf)(xf(3)把题目中的 x 换成1x，得 2f(1x)f(x)3x，联立方程Error!2得 3f(x)6x3x(x0)即 f(x)2x1x(x0)题型五题型五 分段函数例 5已知函数 f(x)Error!(1)求 f(5)，f(3)，f(f(52)的值；(2)若 f(a)3，求实数 a 的值.解(1)由5(，2，3(2,2)，52(，2，知 f(5)514，f(3)(3)22(3)323.f(52)52132，2322，ff(52)f(32)(32)22(32)94334.(2)当 a2 时，f(a)a1，a13，a22 不合题意，舍去.当2a2 时，a22a3，即 a22a30.(a1)(a3)0，a1 或 a3.1(2,2)，3(2,2)，a1 符合题意.当 a2 时，2a13，a2 符合题意.综合，当 f(a)3 时，a1 或 a2.玩转跟踪1.已知函数 f(x)Error!则 ff(12)_；2.已知函数 f(x)Error!若 f(x)2，则 x_.答案(1)134(2)1 或12解析(1)由于|12|1，所以 f(12)12232，而|32|1，所以 f(32)1(32)2134.所以 ff(12)134.(2)若 x0，由 x12，得 x1；若 x0，由1|x|2，得 x12，由于120，舍去 x12，所以 x12.故 x1 或12.玩转练习1下列各图中，一定不是函数图象的是（）ABCD【解题思路】由函数定义直接判断即可【解答过程】解：由函数的定义可知，一个 x 的值只能对应一个 y 的值，而选项 A 中一个 x 的值可能对应两个 y 的值，故不是函数图象，故选：A【点睛】本题考查函数定义及其表示，属于基础题2下列函数与函数 yx 相等的是（）A=()2B=2C=(3)3D=2【解题思路】已知函数的定义域是 R，分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和已知函数一致即可【解答过程】解：A函数的定义域为x|x0，两个函数的定义域不同B函数的定义域为 R，y|x|，对应关系不一致C函数的定义域为 R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数D函数的定义域为x|x0，两个函数的定义域不同故选：C【点睛】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数3已知函数()=1 2，则函数 f（2x+1）的定义域为（）A|12Bx|x2Cx|x5D|12【解题思路】先求出 f（x）的定义域，即可求出函数 f（2x+1）的定义域【解答过程】解：函数()=1 2的定义域为x|x2，则 2x+12，解得 x 12即函数 f（2x+1）的定义域为x|x 12，故选：A【点睛】本题考查了复合函数的定义域的求法，属于基础题4设 f（x）=2，10(+6)，10，则 f（5）的值为（）A10B11C12D13【解题思路】欲求 f（5）的值，根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求 x10 内的函数值即可求出其值【解答过程】解析：f（x）=2(10)(+6)(10)，f（5）ff（11）f（9）ff（15）f（13）11故选：B【点睛】本题主要考查了分段函数、求函数的值属于基础题5已知函数 f（x）对任意 xR，都有()=-12(+2)，当 x0，2时，f（x）x2+2x，则函数 f（x）在2，6上的值域为（）A0，1B-12，0C2，0D2，4【解题思路】x0，2时，f（x）x2+2x，则利用()=-12(+2)，将区间2，0，2，4，4，6的自变量 x 利用加减转化到区间0，2上，从而进行值域的求解【解答过程】解：当 x0，2时，f（x）x（2x）1（x1）20，1，则当 x2，0时，即 x+20，2，所以()=-12(+2)12，0；当 x2，4时，即 x20，2，由()=-12(+2)，得 f（x+2）2f（x），从而 f（x）2f（x2）2，0；当 x4，6时，即 x22，4，则 f（x）2f（x2）0，4综上得函数 f（x）在2，6上的值域为2，4故选：D【点睛】该题考查学生对函数的理解及学生面对问题的整体思维，属于中档题型6（多选题）已知集合 M1，1，2，4，N1，2，4，16，请根据函数定义，下列四个对应法则能构成从 M 到 N 的函数的是（）Ay2xBy|x|Cyx+2Dyx2【解题思路】根据题意，由函数的定义依次分析选项，综合即可得答案【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：对于 A，y2x，当 x4 时，y8N，故 A 错误；对于 B，y|x|，任取 xM，总有 y|x|N，故 B 正确，对于 C，yx+2，当 x4 时，y6N，故 C 错误，对于 D，yx2，任取 xM，总有 yx2N，故 D 正确故选：BD【点睛】本题考查函数的定义，关键是理解函数 yf（x）中的 x，y 的对应关系，属于基础题7（多选题）在下列四组函数中，f（x）与 g（x）不表示同一函数的是（）Af（x）x1，()=2 1+1Bf（x）|x+1|，g（x）=+1，1 1，1Cf（x）1，g（x）（x+1）0Df（x）x，()=()2【解题思路】根据两个函数的定义域相同，对应法则一致时，两个函数表示同一函数，直接判断各选项即可【解答过程】解：对于 A，f（x）x1 的定义域是 R，()=2 1+1的定义域是x|x1，故 A 中 f（x）与 g（x）不表示同一函数；对于 B，f（x）|x+1|，g（x）=+1，1 1，1的定义域和对应法则都相同，故 B 中 f（x）与 g（x）表示同一函数；对于 C，f（x）1 的定义域为 R，g（x）（x+1）0的定义域是x|x1，故 C 中 f（x）与 g（x）不表示同一函数；对于 D，f（x）x 的定义域是 R，()=()2的定义域是x|x0，故 D 中 f（x）与 g（x）不表示同一函数故选：ACD【点睛】本题考查同一函数的判断，考查函数的定义域、对应法则等基础知识，是基础题8（多选题）若函数 yx24x4 的定义域为0，m，值域为8，4，则实数 m 的值可能为（）A2B3C4D5【解题思路】求出二次函数的对称轴方程，可知当 m2 时函数有最小值，再由 f（0）4 结合二次函数的对称性可得 m 的可能取值【解答过程】解：函数 yx24x4 的对称轴方程为 x2，当 0m2 时，函数在0，m上单调递减，x0 时取最大值4，xm 时有最小值 m24m48，解得 m2则当 m2 时，最小值为8，而 f（0）4，由对称性可知，m4实数 m 的值可能为 2，3，4故选：ABC【点睛】本题考查函数的定义域及其值域的求法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是基础题9函数 y=2 2+4的定义域为 R，则实数 k 的取值范围为 0，4【解题思路】根据题意可得出 kx22kx+40 恒成立，显然 k0 时，满足题意；k0 时，可得出4k216k0，解出 k 的范围，这样即可得出 k 的取值范围【解答过程】解：函数 y=2 2+4的定义域为 R 等价于 kx22kx+40 恒成立，当 k0 时，显然成立；当 k0 时，由4k216k0，得 0k4，综上，实数 k 的取值范围为0，4故答案为：0，4【点睛】本题考查了函数定义域的定义及求法，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题10 下面四个函数：y3x；y=12+1；yx2+2x10；y=(0)1(0)中值域为R的函数为【解题思路】对于，观察可得函数的值域；对于，由 x2+11 可求得函数的值域；对于，由配方法可求得函数的值域；对于，由分类讨论求并集可求得函数的值域【解答过程】解：y3x 的值域为 R；x2+11，012+1 1，即 y=12+1的值域为（0，1；yx2+2x10（x+1）21111，故 yx2+2x10 的值域为11，+）；当 x0 时，yx0，当 x0 时，y=-10，故 y=(0)1(0)的值域为 R；故答案为：【点睛】本题考查了函数的值域的求法，利用了配方法及分类讨论求并集的方法，属于基础题11（1）已知函数 f（x）=1 +3，求函数 f（x+1）的定义域（2）已知函数 f（3x+1）的定义域为（1，6，求 f（2x5）的定义域【解题思路】（1）由根式内部的代数式大于等于 0，求出函数 f（x）的定义域，进一步求出函数 f（x+1）的定义域；（2）由已知函数定义域求出函数 f（x）的定义域，进一步求出 f（2x5）的定义域【解答过程】解：（1）由 f（x）=1 +3，得1-0+3 0，即3x1函数 f（x）=1 +3的定义域为3，1，由3x+11，得4x0即函数 f（x+1）的定义域为4，0；（2）函数 f（3x+1）的定义域为（1，6，1x6，则23x+119，即函数 f（x）的定义域为（2，19，由22x519，得32 12f（2x5）的定义域为（32，12【点睛】本题考查了函数的定义域的求法，求复合函数的定义域时，注意自变量的范围的变化，属于中档题12.已知二次函数 f(x)满足 f(0)0，且对任意 xR 总有 f(x1)f(x)x1，求 f(x).解设 f(x)ax2bxc(a0)，f(0)c0，f(x1)a(x1)2b(x1)ax2(2ab)xab，f(x)x1ax2bxx1ax2(b1)x1.Error!Error!f(x)12x212x.13.求下列函数的解析式：(1)已知 f(x1x)x21x21，求 f(x)；(2)已知 f(x)2f(x)x22x，求 f(x)的解析式.解(1)f(x1x)(x1x)221(x1x)23.f(x)x23.(2)以x 代 x 得 f(x)2f(x)x22x.与 f(x)2f(x)x22x 联立得，f(x)13x22x.