第7讲 函数的奇偶性 讲义（学生版+教师版）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.rar

第 7 讲 函数的奇偶性玩前必备1.函数奇偶性的定义(1)奇函数：设函数 yf(x)的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有xD，且 f(x)f(x)，则这个函数叫做奇函数.(2)设函数 yg(x)的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有xD，且 g(x)g(x)，则这个函数叫做偶函数.2.奇、偶函数图象的对称性(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.(2)偶函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 y 轴对称，则这个函数是偶函数.3.判断奇偶性的步骤.4.奇偶性的有关结论(1)若奇函数在0 x 处有意义，则有(0)0f.(2)奇函数在定义域内的对称区间上单调性相同;偶函数在定义域内的对称区间上单调性相反。玩转典例题型一题型一 判断函数的奇偶性例 1 例 1 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x2(x22)；(2)f(x)xx1；(3)f(x)x21 1x2.(4)24()|3|3xf xx-=+-；例 2 例 2 判断函数22,0(),0 xx xf xxx x+=-的奇偶性.玩转跟踪1（2021江苏高一期末）（多选）下列说法正确的是（）A若定义在R上的函数 f x满足 11ff，则 f x是偶函数B若定义在R上的函数 f x满足 11ff，则 f x不是偶函数C若定义在R上的函数 f x满足 11ff，则 f x在R上是增函数D若定义在R上的函数 f x满足 11ff，则 f x在R上不是减函数2.（2021全国高一专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）1()(1)1xf xxx；（2）2221,0()21,0 xxxf xxxx；（3）224()xf xx；题型二题型二 已知函数奇偶性求参数值例 3 (1)例 3 (1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1,2a，则a_，b_.(2)设函数(1)()()xxaf xx+-=为奇函数，则 a_.玩转跟踪1.（2021内蒙古赤峰学院附属中学高一期末）若函数 21xaxbfxx在1,1上是奇函数，则 f x的解析式为_题型三题型三 奇偶性求解析式或函数值例例 4 （2021辽宁高一期末）已知函数 2211xxf xx，若 23f a，则fa_例 5 例 5 设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)g(x)1x1，求函数 f(x)，g(x)的解析式例例 6 （2021湖南省长沙县第九中学高一期末）已知函数 f x是定义在R上的奇函数，当x0 时，1f xxx则函数的解析式为_玩转跟踪1.已知函数 f(x)(xR)是奇函数，且当 x0 时，f(x)2x1，求函数 f(x)的解析式.2.设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)g(x)x22x，求函数 f(x)，g(x)的解析式题型四 函数奇偶性与单调性的综合应用例例 6（1）（2021江西）下列函数中，既是偶函数，又在(0,)上单调递增的是（）A|yx xB4yxxC|2xy D|1|yx（2）（2021吉林高一期末）设偶函数 f x的定义域为R，当0,x时，f x是增函数，则2f，f，3f 的大小关系是（）A 32fff B 23fffC 32fff D 23fff（3）（2021 揭 阳 第 一 中 学 高 一 期 末）已 知 函 数1f x是 偶 函 数，当121xx时，12120f xf xxx 恒成立，设12af，2bf，3cf，则a，b，c的大小关系为（）AbacBcbaCbcaDabc例 7 例 7 已知偶函数 f(x)在区间0，)上单调递增，则满足 f(2x1)b0，下列不等式中成立的有_(填序号)f(a)f(b)；f(a)f(b)；g(a)g(b)；g(a)f(a)2.（2021福建高一期末）若定义在R的奇函数 f x在,0单调递减，则不等式 20f xf x的解集为（）A,2B,1C1,D2,题型五 抽象函数性质的研究例例 8（2021北京）已知函数 f x对任意,x yR，总有 ()f xyf xfy，且当0 x时，()0f x ，112f，()求证：函数 f x是奇函数；()利用函数的单调性定义证明，f x在R上的单调递减；()若不等式22()11f mxxf xx 对于任意的3,2x恒成立，求实数m的取值范围.玩转跟踪1.（2021吉林省）已知函数()f x的定义域是(，0)(0，)，对定义域内的任意x1，x2都有1212()()()f x xf xf x，且当x 1 时，()f x 0.（1）求证：()f x是偶函数；（2）求证：()f x在(0，)上是增函数；（3）试比较57,24ff的大小.玩转练习1（2021湖北高一开学考试）已知函数()yf x是定义在 R 上的奇函数，当0 x时，2()2f xxmx，且(1)2f，则(2)f的值为（）A4B0C4D22（2021 湖北）（多选）下列函数中是偶函数，且在(1,)为增函数的是（）A()|f xxB2()23f xxxC2()2|1f xxxD1,0()1,0 xxf xxx 3（2021江苏高一开学考试）（多选）下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是（）A 3f xxx B 221,00,01,0 xxf xxxxC 1fxx D 3f xx 4（2021江西景德镇市景德镇一中高一期末（文）已知定义域为R的函数()f x在2)，上单调递减，且(2)f x是奇函数，则(1)f、52f、(3)f的大小关系是（）A5(1)(3)2fffB5(1)(3)2fffC5(3)(1)2fffD5(3)(1)2fff5（2021湖北高一期末）已知定义域为R的函数 f x是奇函数，且 2f xf x，若 f x在区间0,1是减函数，则53f，1f，112f的大小关系是（）A 115123fffB 115123fffC 511132fffD 511132fff6（2021银川三沙源上游学校高一期末）设偶函数 f x的定义域为R，当0 x，时，f x是增函数，则1f，f，3f 的大小关系是（）A 13fffB 31fffC 31fffD 13fff7.（2020河北高一期中）设定义在R上的奇函数()f x满足，对任意12,(0,)x x，且12xx都有2121()()0f xf xxx，且(2)0f，则不等式3()2()0fxf xx的解集为A(,2(0,2 B 2,02,)C(,22,)D 2,0)(0,28.（2021上海市杨浦高级中学高一期末）已知,m nR，函数|2yxn是定义在24,5m m 上的偶函数，则mn的值是_.9（2021上海高一期中）已知函数 yf x，xR，yf x是奇函数，且当0 x时，3 21xf xx，则0 x时，f x _10 （2021 湖北襄阳五中高三二模）已知函数(),()f xg x分别是定义在R上的偶函数和奇函数，()()2 3xf xg x，则函数()f x _11（2021湖北高一开学考试）函数2()9axbf xx是定义在()3,3上的奇函数，且1(1)8f（1）确定()f x的解析式；（2）判断()f x在()3,3上的单调性，并用定义证明；（3）解不等式(1)(2)0f tft12（2021山东）若()f x为R上的奇函数，且0 x 时，2()2f xxx（1）求 f x在R上的解析式；（2）判断函数 f x在(,0上的单调性，并用定义证明；（3）解关于x的不等式()(2)0f axafx 13.（2021云南省云天化中学）定义在1,1上的函数 f x满足：对任意的x，1,1y，都有：1xyf xfyfxy.（1）求证：函数 f x是奇函数；（2）若当1,0 x 时，有 0f x，求证：f x在1,1上是减函数；（3）若112f，221f xtat对所有1 1,2 2x，1,1a 恒成立，求实数t的取值范围.第 7 讲 函数的奇偶性玩前必备1.函数奇偶性的定义(1)奇函数：设函数 yf(x)的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有xD，且 f(x)f(x)，则这个函数叫做奇函数.(2)设函数 yg(x)的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有xD，且 g(x)g(x)，则这个函数叫做偶函数.2.奇、偶函数图象的对称性(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.(2)偶函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 y 轴对称，则这个函数是偶函数.3.判断奇偶性的步骤.4.奇偶性的有关结论(1)若奇函数在0 x 处有意义，则有(0)0f.(2)奇函数在定义域内的对称区间上单调性相同;偶函数在定义域内的对称区间上单调性相反。玩转典例题型一题型一 判断函数的奇偶性例 1 例 1 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x2(x22)；(2)f(x)xx1；(3)f(x)x21 1x2.(4)24()|3|3xf xx-=+-；解(1)f(x)x2(x22)的定义域为 R.f(x)f(x)，f(x)x2(x22)是偶函数(2)f(x)xx1的定义域为(，1)(1，)，定义域不关于原点对称，f(x)xx1既不是奇函数，也不是偶函数(3)f(x)x21 1x2的定义域为1,1f(x)f(x)f(x)0，f(x)x21 1x2既为奇函数，又为偶函数(4)由Error!得2x2 且 x0.f(x)的定义域为2,0)(0,2，f(x)4x2|x3|34x2x334x2x，f(x)f(x)，f(x)是奇函数例 2 例 2 判断函数22,0(),0 xx xf xxx x+=-0 时，f(x)x2x，则当 x0，故 f(x)x2xf(x)；当 x0 时，x0，故 f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数玩转跟踪1（2021江苏高一期末）（多选）下列说法正确的是（）A若定义在R上的函数 f x满足 11ff，则 f x是偶函数B若定义在R上的函数 f x满足 11ff，则 f x不是偶函数C若定义在R上的函数 f x满足 11ff，则 f x在R上是增函数D若定义在R上的函数 f x满足 11ff，则 f x在R上不是减函数【答案】BD【解析】对于 A 选项，取函数 21f xx x，则 110ff，函数 f x的定义域为R，21fxx xf x ，此时，函数 f x为奇函数，A 选项错误；对于 B 选项，若函数 f x为定义在R上的偶函数，对任意的xR，必有 fxf x，因为 11ff，所以，f x不是偶函数，B 选项正确；对于 C 选项，取函数 2f xxx，则10f，12f，11ff，但函数 2f xxx在R上不单调，C 选项错误；对于 D 选项，假设函数 f x是定义在R上的减函数，则 11ff，这与题设矛盾，假设不成立，所以，函数 f x在R上不是减函数，D 选项正确.故选：BD.2.（2021全国高一专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）1()(1)1xf xxx；（2）2221,0()21,0 xxxf xxxx；（3）224()xf xx；【答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数【解析】（1）1()(1)1xf xxx有意义，则101xx，即101xx，解得11x，所以函数()yf x的定义域为(1,1，不关于原点对称，因此函数()yf x是非奇非偶函数；（2）当0 x时，2()21f xxx，0 x，22()()2()121()fxxxxxf x ；当0 x时，2()21f xxx，0 x，22()()2()121()fxxxxxf x .所以函数()yf x为奇函数；（3）由题意可得22400 xx，所以22x 且0 x，所以函数()yf x的定义域为 2,0)(0,2关于原点对称，又22224()4()()()xxfxf xxx，所以函数()yf x为偶函数；题型二题型二 已知函数奇偶性求参数值例 3 (1)例 3 (1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1,2a，则a_，b_.答案130解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，解得a13.又函数f(x)13x2bxb1 为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b0.(2)设函数(1)()()xxaf xx+-=为奇函数，则 a_.解析：(1)()()xxaf xx+-=为奇函数，(1)(1)0ff+-=，1a=-.答案：1玩转跟踪1.（2021内蒙古赤峰学院附属中学高一期末）若函数 21xaxbfxx在1,1上是奇函数，则 f x的解析式为_【答案】21xf xx【解析】f x在1,1上是奇函数，00f，0a，21xf xxbx又 11ff，1122bb，即0b，21xf xx题型三题型三 奇偶性求解析式或函数值例例 4 （2021辽宁高一期末）已知函数 2211xxf xx，若 23f a，则fa_解 2221111xxxf xxx 令 21xg xx，gxg x 23f a，213f ag a，故 13g a 4113fagag a 故答案为：43例 5 例 5 设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)g(x)1x1，求函数 f(x)，g(x)的解析式解f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)，由 f(x)g(x)1x1.用x 代替 x，得 f(x)g(x)1x1，f(x)g(x)1x1，()2，得 f(x)1x21；()2，得 g(x)xx21.例例 6 （2021湖南省长沙县第九中学高一期末）已知函数 f x是定义在R上的奇函数，当x0 时，1f xxx则函数的解析式为_【答案】(1)0()=(1)0 xxxf xxxx【解析】设0,0 xx，所以21fxxxxx ，因为函数 f x是定义在R上的奇函数，所以 2f xxx ，所以 2(1)f xxxxx.所以函数的解析式为(1)0()=(1)0 xxxf xxxx.故答案为：(1)0()=(1)0 xxxf xxxx玩转跟踪1.已知函数 f(x)(xR)是奇函数，且当 x0 时，f(x)2x1，求函数 f(x)的解析式.解当 x0，x0，f(x)2(x)12x1.又f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)2x1.又 f(x)(xR)是奇函数，f(0)f(0)，即 f(0)0.所求函数的解析式为 f(x)Error!2.设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)g(x)x22x，求函数 f(x)，g(x)的解析式解f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)，由 f(x)g(x)2xx2.用x 代替 x，得 f(x)g(x)2x(x)2，f(x)g(x)2xx2，()2，得 f(x)x2；()2，得 g(x)2x.题型四 函数奇偶性与单调性的综合应用例例 6（1）（2021江西）下列函数中，既是偶函数，又在(0,)上单调递增的是（）A|yx xB4yxxC|2xy D|1|yx（2）（2021吉林高一期末）设偶函数 f x的定义域为R，当0,x时，f x是增函数，则2f，f，3f 的大小关系是（）A 32fff B 23fffC 32fff D 23fff（3）（2021 揭 阳 第 一 中 学 高 一 期 末）已 知 函 数1f x是 偶 函 数，当121xx时，12120f xf xxx 恒成立，设12af，2bf，3cf，则a，b，c的大小关系为（）AbacBcbaCbcaDabc【答案】（1）C（2）A（3）A【解析】（1）对于 A：|f xx x的定义域为 R，关于原点对称，因为|=|=fxxxx xf x，所以|f xx x为奇函数，故 A 错误；对于B：4f xxx的定义域为00，+，关于原点对称，因为 44f xxxf xxx ，所以 4f xxx为奇函数，故 B 错误；对于 C：|2xfx 的定义域为 R，关于原点对称，因为|2=2xxfxf x，所以|2xfx 为偶函数；当(0,)x时，2xf x 为增函数，故 C 正确；对于 D：|1|f xx的定义域为 R，关于原点对称，但是|1|fxx ，而|1|f xx，所以 fxfxfxfx，所以为非奇非偶函数，故 D 错误.故选：C（2）因为函数 f x是偶函数，所以(3),(2)(2)3,ffff因为0,x时，f x是增函数，所以 32fff，所以 32fff.故选：A（3）当121xx时，12120f xf xxx，则 21f xf x，所以，函数 f x为1,上的增函数，由于函数1f x是偶函数，可得11fxfx，1335112222affff，53212，因此，bac.故选：A.例 7 例 7 已知偶函数 f(x)在区间0，)上单调递增，则满足 f(2x1)f(13)的 x 的取值范围为()A.(13，23)B.13，23)C.(12，23)D.12，23)答案A解析由于 f(x)为偶函数，且在0，)上单调递增，则不等式 f(2x1)f(13)，即132x113，解得13xb0，下列不等式中成立的有_(填序号)f(a)f(b)；f(a)f(b)；g(a)g(b)；g(a)f(a)答案解析f(x)为 R 上奇函数，增函数，且 ab0，f(a)f(b)f(0)0，又ab0，f(a)f(b)f(b)0f(b)f(a)，正确，错误x0，)时，g(x)f(x)，g(x)在0，)上单调递增，g(a)g(a)g(b)g(b)，正确，错误又 g(a)g(a)f(a)f(a)，正确2.（2021福建高一期末）若定义在R的奇函数 f x在,0单调递减，则不等式 20f xf x的解集为（）A,2B,1C1,D2,【答案】B【解析】()f x是奇函数，在(,0上递减，则()f x在0,)上递减，()f x在R上是减函数，又由()f x是奇函数，则不等式 20f xf x可化为(2)()f xfx，2xx，1x 故选：B题型五 抽象函数性质的研究例例 8（2021北京）已知函数 f x对任意,x yR，总有 ()f xyf xfy，且当0 x时，()0f x ，112f，()求证：函数 f x是奇函数；()利用函数的单调性定义证明，f x在R上的单调递减；()若不等式22()11f mxxf xx 对于任意的3,2x恒成立，求实数m的取值范围.【答案】()见解析；（）见解析；（）23m【解析】()令0 xy，得(0)(0)(0)fff，所以(0)0f，令yx，得(0)()()ff xfx，即0()()f xfx，所以()()fxf x，所以函数 f x是R上的奇函数.()任取12,x xR,且12xx，则121212()()()()()f xf xf xfxf xx，因为当0 x时，()0f x ，而12xx，即120 xx，所以12()0f xx，所以12()()f xf x，所以 f x在R上的单调递减.()由()知 f x是R上的奇函数，所以1(1)(1)2ff，所以1(1)2f，所以11(2)(1 1)(1)(1)122ffff ，所以不等式22()11f mxxf xx 可化为22()(1)(2)f mxxf xxf，即22()(2)(1)f mxxff xx，所以22()(3)f mxxf xx，由()知，f x在R上的单调递减，所以223mxxxx，故问题转化为2223mxxx对于任意的3,2x恒成立，即2231mxx 对于任意的3,2x恒成立，令1tx，2(0,3t，故问题可转化为2123mtt 对任意的2(0,3t恒成立，令2()321g ttt，其对称轴为13t，所以min12()()33g tg，所以23m.玩转跟踪1.（2021吉林省）已知函数()f x的定义域是(，0)(0，)，对定义域内的任意x1，x2都有1212()()()f x xf xf x，且当x 1 时，()f x 0.（1）求证：()f x是偶函数；（2）求证：()f x在(0，)上是增函数；（3）试比较57,24ff的大小.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）5724ff.【解析】（1）证明：函数的定义域是(，0)(0，)令x1x21，得(1 1)(1)(1)fff(1)0f，又(1)(1)(1)(1)(1)ffff(1)0f，又()(1)(1)()fxfxff x，即有()()fxf x()f x是偶函数（2）证明：设 0 x1 1 时，()f x 0 知：21()0 xfx即有21()()f xf x()f x在(0，)上是增函数（3）由（1）知()f x是偶函数，则有55()()22ff由(2)知()f x在(0，)上是增函数，则有57()()24ff57()()24ff.玩转练习1（2021湖北高一开学考试）已知函数()yf x是定义在 R 上的奇函数，当0 x时，2()2f xxmx，且(1)2f，则(2)f的值为（）A4B0C4D2【答案】A【解析】()f x是R上的奇函数，(1)(1)2ff，即122m，1m 2(2)(2)(2)24f ，(2)(2)4ff 故选：A2（2021 湖北）（多选）下列函数中是偶函数，且在(1,)为增函数的是（）A()|f xxB2()23f xxxC2()2|1f xxxD1,0()1,0 xxf xxx【答案】ACD【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，()|f xx，偶函数，且在(1,)为增函数，符合题意；对于B，2()23f xxx，不是偶函数，不符合题意；对于C，2()2|1f xxx，是偶函数，在1(,)4上为增函数，故在(1,)为增函数，符合题意；对于D，1,0()1,0 xxf xxx，是偶函数，且在(1,)为增函数，符合题意；故选：ACD3（2021江苏高一开学考试）（多选）下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是（）A 3f xxx B 221,00,01,0 xxf xxxxC 1fxx D 3f xx【答案】AB【解析】因为 3f xxx ，定义域为R，且 3fxxxf x，所以函数 f x是奇函数，设120 xx，则 33121122f xf xxxxx 33222121212211()()0 xxxxxxxx xx，所以120 xx时，12f xf x，又因为函数 f x是奇函数，所以函数 f x在R上单调递减，故选项 A 正确；由函数 221,00,01,0 xxf xxxx的图像可知：函数 f x关于原点对称且单调递减，故选项 B 正确；而选项中的函数 1fxx 是非奇非偶函数，故选项 C 错误；对于函数 3f xx，定义域为0 x x，定义域关于原点对称，3fxf xx，所以函数 f x是奇函数，设120 xx，则 121212123()33()0 xxf xf xxxx x ，所以120 xx时，12f xf x，所以函数 f x在(0,)上单调递增，又因为函数 f x是奇函数，所以函数 f x在(,0)上也单调递增，但是不满足题意.故选：AB.4（2021江西景德镇市景德镇一中高一期末（文）已知定义域为R的函数()f x在2)，上单调递减，且(2)f x是奇函数，则(1)f、52f、(3)f的大小关系是（）A5(1)(3)2fffB5(1)(3)2fffC5(3)(1)2fffD5(3)(1)2fff【答案】D【解析】因为(2)f x是奇函数，所以()f x的图象关于(2,0)对称，且在2)，上单调递减，所以()f x在(,2)单调递减，又因为()f x定义域为R，所以(2)0f，所以()f x在R连续且单调递减，由于5132，所以5(3)()(1)2fff.故选：D.5（2021湖北高一期末）已知定义域为R的函数 f x是奇函数，且 2f xf x，若 f x在区间0,1是减函数，则53f，1f，112f的大小关系是（）A 115123fffB 115123fffC 511132fffD 511132fff【答案】B【解析】22224f xf xf xf xf xf x ，由此可知函数 f x的周期为 4，函数 f x是奇函数，2f xf x，所以有：55771142333333ffffff ，113311142222222ffffff，因为 f x在区间0,1是减函数，11132，所以 11132fff，即 115123fff，故选：B6（2021银川三沙源上游学校高一期末）设偶函数 f x的定义域为R，当0 x，时，f x是增函数，则1f，f，3f 的大小关系是（）A 13fffB 31fffC 31fffD 13fff【答案】B【解析】fx是偶函数，11ff，33ff，当0 x，时，f x是增函数，且31，31fff，31fff.故选：B.7.（2020河北高一期中）设定义在R上的奇函数()f x满足，对任意12,(0,)x x，且12xx都有2121()()0f xf xxx，且(2)0f，则不等式3()2()0fxf xx的解集为A(,2(0,2 B 2,02,)C(,22,)D 2,0)(0,2【答案】C【解析】因为对任意12,0 x x，,且12xx都有21210f xf xxx，所以函数在0，上单调递减，则在0，上单调递减，由 20f，则20f，323250fxf xf xf xf xxxx，当0 x时，0f x，即2x，当0 x时，0f x，即2x，综上不等式的解集为22，故选C8.（2021上海市杨浦高级中学高一期末）已知,m nR，函数|2yxn是定义在24,5m m 上的偶函数，则mn的值是_.【答案】5【解析】由已知|2yxn是定义在24,5m m 上的偶函数，故2450mm，即1m，或5m，且函数图象关于y轴对称，又245mm，故5m，因为|2yxn关于直线x n对称，故0n，5mn，故答案为：5.9（2021上海高一期中）已知函数 yf x，xR，yf x是奇函数，且当0 x时，3 21xf xx，则0 x时，f x _【答案】321xx.【解析】当0 x时，0 x，所以33 2121xxfxxx ，因为 yf x是奇函数，所以33212()1()xxxxxf xf.故答案为：321xx.10（2021湖北襄阳五中高三二模）已知函数(),()f xg x分别是定义在R上的偶函数和奇函数，()()2 3xf xg x，则函数()f x _【答案】33xx【解析】因为()()2 3xf xg x，所以()()2 3xfxgx，又(),()f xg x分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以 ,fxf xgxg x；所以 ()()2 3xfxgxf xg x，则 2 32 3xxf xg xf xg x，两式相加得，22 32 3xxf x，所以 33xxf x.故答案为:33xx.11（2021湖北高一开学考试）函数2()9axbf xx是定义在()3,3上的奇函数，且1(1)8f（1）确定()f x的解析式；（2）判断()f x在()3,3上的单调性，并用定义证明；（3）解不等式(1)(2)0f tft【答案】（1）2()9xf xx，(3,3)x；（2）增函数，证明见解析；（3）3 1,2 3t.【解析】（1）由函数2()9axbf xx是定义在()3,3上的奇函数知9(0)0bf，所以解得0b，经检验，0b时，2()9axf xx是()3,3上的奇函数，满足题意又21(1)918af，解得1a，故2()9xf xx，(3,3)x（2）f x在()3,3上为增函数证明如下：在()3,3内任取12,x x且12xx，则211221212222212199999xxx xxxfxfxxxxx，因为210 xx，1290 x x，2190 x，2290 x，所以2112212122222121909999xxx xxxfxfxxxxx即 21f xf x，所以 f x在()3,3上为增函数（3）(1)(2)0f tft，(1)(2)f tft，又()f x是1,1上的奇函数，(1)(2)f tft，结合 f x在3,3上为增函数，得31332312tttt ，解得：3123t，即3 1,2 3t 12（2021山东）若()f x为R上的奇函数，且0 x 时，2()2f xxx（1）求 f x在R上的解析式；（2）判断函数 f x在(,0上的单调性，并用定义证明；（3）解关于x的不等式()(2)0f axafx【答案】（1）222,0()2,0 xx xf xxx x；（2）f x在(,0上单调递减，证明见解析；（3）答案见解析.【解析】（1）因为当0 x 时，2()2f xxx，所以当0 x时，0 x，22()()2()2()fxxxxxf x ，因为()f x为R上的奇函数,所以()()fxf x，则2()2f xxx 所以 f x在R上的解析式为222,0()2,0 xx xf xxx x（2）函数 f x在(,0上单调递减证明：设12,(,0 x x，且12xx，221211221212222f xf xxxxxxxxx，因为12,(,0 x x ，且12xx，所以120 xx，1220 xx，则 120f xf x，所以 f x在(,0上单调递减（3）因为 f x为R上的奇函数，且在(,0上单调递减，所以 f x在R上单调递减因为()(2)0f axafx，所以()(2)f axaf x，2ax ax ，即(1)2axa，当1a时，不等式的解集为21ax xa；当1a 时，不等式的解集为R；当1a 时，不等式的解集为21ax xa13.（2021云南省云天化中学）定义在1,1上的函数 f x满足：对任意的x，1,1y，都有：1xyf xfyfxy.（1）求证：函数 f x是奇函数；（2）若当1,0 x 时，有 0f x，求证：f x在1,1上是减函数；（3）若112f，221f xtat对所有1 1,2 2x，1,1a 恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2t或0t 或2x【解析】（1）证明：令0 xy得：00f设任意(1,1)x，则(1,1)x ，()()(0)0f xfxf，即()()fxf x，函数 f x是奇函数；（2）设1211xx，则2(1,1)x，121212121xxf xf xf xfxfx x由1211xx 知：120 xx，且121,1xx，所以121x x，即1210 x x，121201xxx x，又1212121211(1)011xxxxx xx x 即1212(1,0)1xxx x，从而121201xxfx x，即 120f xf x，12f xf x，所以 f x在(1,1)上是减函数；（3）由（2）函数 f x在(1,1)上是减函数，则当1 1,2 2x 时，函数 f x的最大值为11122ff，若2()21f xtat对所有1 1,1,12 2xa 恒成立，则等价为 2121tat对 1,1a 恒成立，即220tat，设22()22g atattat，则对 1,1a 恒成立，(1)0(1)0gg，即222020tttt，即t2t0t0t2 或或，解得2t 或0t 或2x