山西省太原市2022年高三上学期数学期中质量监测试卷附答案.pdf

1、 高三上学期数学期中质量监测试卷 高三上学期数学期中质量监测试卷一、单选题一、单选题1已知集合 ，则 （）ABCD2函数 的定义域是（）ABCD3已知 q 为等比数列 的公比，且 ，则 （）A-1B4CD4已知函数 ，若 ，则实数 （）A-1 或 2B2 或 4C-2 或 4D-1 或 45函数 在 处的切线方程是（）ABCD6已知函数 ，则不等式 的解集是（）ABCD7已知函数 满足 ，当 时，则 的图象大致是（）ABCD8在数列 中，则 （）A10B145C300D3209已知函数 对于任意 都满足 ，且当 ，（）时，不等式 恒成立，若 ，则下列结论正确的是（）ABCD10已知定义在 上的

2、函数 满足 ，且当 时，若函数 图象与 的图象恰有 10 个不同的公共点，则实数 a 的取值范围为（）ABCD11已知单调递增数列 的前 n 项和 满足 ，且 ，记数列 的前 n 项和为 ，则使得 成立的 n 的最小值为（）A7B8C10D1112若 ，则下列结论正确的是（）ABCD13在极坐标系中，点 P 为曲线 上任一点，则点 P 到极点的距离的最小值为（）AB1CD214在平面直角坐标系中，参数方程 （t 是参数）表示的曲线是（）A一条直线B一个圆C一条线段D一条射线15不等式 的解集为（）ABCD16若关于 x 的不等式 有实数解，则实数 m 的取值范围为（）ABCD二、填空题二、填空

3、题17已知集合 或 ，若 ，则实数 a 的取值范围是 .18函数 f(x)xex 的单调减区间是 19已知函数 f（x）x33x，若过点 A（1，m）（m2）可作曲线 yf（x）的三条切线，则实数 m 的取值范围为 20在数列 中，记 ，若对任意的 ，恒成立，则实数 的取值范围为 .21曲线 （是参数）的普通方程是 .22在极坐标系中，直线 （，）被曲线 截得的弦长为8，则 .23不等式 的解集为 .24若函数 的定义域为 ，则实数 a 的取值范围为 .三、解答题三、解答题25已知集合 ，.（1）求 D；（2）若函数 ，求 的值域.26已知 ，.（1）求 的解析式；（2）判断函数 的单调性，并

4、说明理由.27已知数列 的前 n 项和 ，数列 满足 .（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足：，且 （），是数列 的前 n 项和，证明：.28已知函数 .（1）讨论 的单调性；（2）若 存在两个极值点 ，且 ，求 的最大值.29在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；（2）设点 P 的直角坐标为 ，若曲线 与 相交于 A，B 两点，求 的值.30已知 .（1）画出函数 的图象；（2）求不等式 的解集.答案解析部分答案解析部分1【答案】A【解析】【

5、解答】因为集合 ，所以 ，故答案为：A.【分析】利用一元二次不等式求解集的方法，从而求出集合 B，再利用已知条件结合交集的运算法则，从而求出集合 A 和集合 B 的交集。2【答案】B【解析】【解答】要使函数 有意义，则有 ，解得 ，函数 的定义域是 ，故答案为：B.【分析】利用对数型函数的定义域结合偶次根式函数的定义域和分式函数的定义域，从而结合交集的运算法则，从而求出函数 的定义域。3【答案】C【解析】【解答】，故答案为：C.【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，从而解方程组求出等比数列的公比。4【答案】D【解析】【解答】由 当 时，解得：或 （舍去），当 时，解得：，综上，实数 的值

6、是：-1 或 4，故答案为：D.【分析】利用分段函数的解析式结合分类讨论的方法，从而求出实数 a 的值。5【答案】A【解析】【解答】对函数求导得 ，当 时，所以函数 在 处的切线方程是 ，即 ，故答案为：A.【分析】利用求导的方法求出函数在切点处的切线斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式方程求出函数 在 处的切线方程，再转化为切线的斜截式方程。6【答案】A【解析】【解答】当 时，所以 成立；当 时，函数 在 上单调递增，且 ，若 ，则 ；综上，不等式 的解集是 ，故答案为：A.【分析】利用分类讨论的方法结合绝对值不等式求解方法和函数的单调性，从而

7、求出不等式 的解集。7【答案】C【解析】【解答】，为偶函数，当 时，故答案为：C.【分析】利用偶函数定义推出函数为偶函数，再利用偶函数图象的对称性结合函数极限的求解方法，从而结合已知条件找出函数大致图象。8【答案】C【解析】【解答】因为 ，所以数列 是以 为首项，公差为 3 的等差数列，所以 ，所以当 时，；当 时，；所以 ，故答案为：C.【分析】利用已知条件结合等差数列的定义，从而推出数列 是以 为首项，公差为 3 的等差数列，再利用等差数列通项公式求出等差数列的通项公式，所以当 时，；当 时，再利用绝对值的定义，从而用分组求和的方法，进而求出的值。9【答案】C【解析】【解答】因为当 ，（）

8、时，不等式 恒成立，所以函数 是增函数，又函数 对于满足 ，所以函数 的图象关于 对称，所以 ，又因为 ，所以 ，故答案为：C。【分析】因为当 ，（）时，不等式 恒成立，从而利用增函数的定义，推出函数 是增函数，又函数 对于满足 ，所以函数 的图象关于 对称，再利用函数的单调性和对称性，从而比较出的大小关系。10【答案】D【解析】【解答】因为函数 满足 ，所以函数 是周期为 2 的周期函数，又函数 的图象可由函数 的图象向左平移一个单位可得，所以函数 的图象的对称轴为 ，当 时，所以函数 的图象也关于 对称，在平面直角坐标系中作出函数 与 在 右侧的图象，数形结合可得，若函数 图象与 的图象恰

9、有 10 个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在 右侧有 5 个交点，则 ，解得 ，故答案为：D.【分析】因为函数 满足 ，再利用周期函数的定义，推出函数 是周期为 2 的周期函数，再利用函数的平移变换得出函数 的图象的对称轴为 ，当 时，所以函数 的图象也关于 对称，在平面直角坐标系中作出函数 与 在 右侧的图象，再利用两函数图象结合函数 图象与 的图象恰有 10 个不同的公共点，从而由函数图象的对称性可得两图象在 右侧有 5 个交点，从而求出实数 a的取值范围。11【答案】B【解析】【解答】由题意，当 时，所以 ，整理得 ，因为数列 单调递增且 ，所以 ，即 ，当 时，所以 ，所

10、以数列 是以 为首项，公差为 1 的等差数列，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 成立的 n 的最小值为 8，故答案为：B.【分析】利用已知条件结合与的关系式，从而结合分类讨论的方法和数列的单调性，再利用等差数列的定义结合等差数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式，进而求出数列的通项公式，再利用错位相减的方法，从而求出数列 的前 n 项和为，再利用特殊值代入法求出 成立的 n的最小值。12【答案】D【解析】【解答】解：对 A，B，要比较 和 的大小，即比较 和 的大小，令 ，则 ，使 ，即 ，单调递增，单调递减，在区间 上不单调，故无法判断 与 的大小，所以 A，B 不符合题意；对

11、 C，D，要比较 与 的大小，只需要比较 与 的大小；令 ，则 ，又 ，在 上单调递增，又 ，即 ，即 ，整理得：，所以 C 不符合题意，D 符合题意，故答案为：D.【分析】利用对数的运算法则结合求导的方法判断函数的单调性，从而结合已知条件比较出两数大小，进而选出正确答案。13【答案】C【解析】【解答】将极坐标方程 转化为直角坐标方程可得 ，所以点 P 到极点的距离的最小值 ，故答案为：C.【分析】利用极坐标与直角坐标的互化公式，从而求出直线的直角坐标方程，再利用两点的距离公式，从而结合几何法求出点 P 到极点的距离的最小值。14【答案】D【解析】【解答】将参数方程 ，消去参数 t，由于 ，得

12、到方程 ，其中 ，又点 在直线上，故表示的曲线是以 为起点的一条射线,故答案为：D.【分析】利用参数方程转化为直角坐标方程的方法，从而求出直线的一般式方程，由于 ，所以直线方程中，又点 在直线上，故表示的曲线是以 为起点的一条射线。15【答案】D【解析】【解答】，所以不等式 的解集为 ，故答案为：D.【分析】利用解绝对值不等式的方法求出不等式 的解集。16【答案】C【解析】【解答】表示数轴上到 的距离之和，的最小值为 ，故答案为：C.【分析】利用绝对值的定义结合几何法，从而求出 的最小值为 ，再利用已知条件关于x 的不等式 有实数解，从而求出，再解绝对值不等式，从而求出实数 m 的取值范围。1

13、7【答案】-2,-1【解析】【解答】或 ，结合数轴得 ，解得 ，实数 的取值范围是-2,-1，故答案为：-2,-1。【分析】利用并集的运算法则，再借助数轴和已知条件，从而求出实数 a 的取值范围。18【答案】(，1)或(，1【解析】【解答】函数 f(x)xex，求导得：，令 ，解得 ，所以函数 f(x)xex 的单调减区间是(，1)（(，1也可以)，故答案为:(，1)或(，1。【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调递减区间。19【答案】(-3,-2)【解析】【解答】设切点为 ，则切线方程为 ，整理得：，把 代入整理得:，因为可作三条切线，所以有三个解，记 ，则 ，当 或 时

14、，单调递增，当 时，单调递减，所以当 时，极大值 ，当 时，极小值 ，要使 有三个零点，只需 且 ，所以 ，所以答案应填：。【分析】设切点为 ，再利用求导的方法求出函数在切点处的斜率，再利用点斜式求出函数在切点处的切线方程，再利用过点 A（1，m）（m2）可作曲线 yf（x）的三条切线，结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再利用分类讨论的方法，从而求出实数 m 的取值范围。20【答案】【解析】【解答】解：由题意得 ，故猜想：，下面用数学归纳法证明：当 时，显然成立；假设当 时有 ，那么当 时，所以当 时，也成立，由（1），（2）得 ，所以 ，因为对任意的 ，恒成立，所以 对任意

15、的 恒成立，即 对任意的 恒成立，当 为偶数时，有 ，当 为奇数时，有 ，所以 所以实数 的取值范围为 ，故答案为：。【分析】由递推公式求出数列 前几项，再利用数列前几项的规律猜想数列的通项公式，再利用数学归纳法证明猜想的数列的通项公式，进而求出数列的通项公式，再利用已知条件记 ，若对任意的 ，恒成立，利用不等式恒成立问题的解决方法，从而求出实数 的取值范围。21【答案】【解析】【解答】由题意，因为 ，所以 ，所以曲线 （是参数）的普通方程是 ，故答案为：。【分析】利用参数方程与普通方程的转化方法，从而求出曲线 （是参数）的普通方程。22【答案】或【解析】【解答】当 时，或=，故答案为：或 。

16、【分析】联立直线与曲线的方程结合弦长公式和已知条件，从而求出角的正弦值，进而求出角的值。23【答案】【解析】【解答】不等式 等价于 或 ，解得 或 ，所以不等式 的解集为 ，故答案为：。【分析】利用解绝对值不等式的方法，从而解出不等式 的解集。24【答案】【解析】【解答】的定义域为 R 等价于 在 R 上恒成立，令 ，即 ，作 的图像如图所示由图可知，所以，故答案为:。【分析】的定义域为 R 等价于 在 R 上恒成立，令 ，再利用不等式恒成立问题的解决方法，得出，再利用绝对值定义求出分段函数 g(x)的解析式，再利用分段函数 g(x)的解析式画出分段函数图象，从而结合分段函数图象求出函数 g(

17、x)的最小值，进而求出实数 a 的取值范围。25【答案】（1）解：，；（2）解：由（1）得 ，在 上是增函数，的值域为 【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的求解方法求出集合 A，再利用指数函数求值域的方法求出集合B，再利用交集和补集的运算法则，从而求出集合 D。（2）由（1）求出的集合 D，再利用增函数的定义，推出函数 ，为增函数，再利用函数的单调性，从而求出函数 ，的值域。26【答案】（1）解：由题意得 ，解得：所以 的解析式 ；（2）解：在 是增函数，由（1）得 ，令 由 ，解得：，所以 的定义域为 先证 在 是增函数，任取 ，且 ，则 ，即 ，所以 在 是增函数又 在 是增函数，由

18、复合函数的单调性可知 在 上单调递增,所以 在 是增函数.【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法，从而利用对数与指数的互化公式，从而解方程组求出 a,b 的值，从而求出函数的解析式。（2）由（1）所求的函数解析式，结合增函数的定义和复合函数单调性的判断方法，即同增异减，从而判断出函数的单调性。27【答案】（1）解：当 时，；当 时，；（2）解：由（1）得 ，【解析】【分析】（1）利用与的关系式结合分类讨论的方法，从而求出数列 的通项公式，再利用 ，从而求出数列 的通项公式。（2）由（1）求出的数列 的通项公式，从而结合递推公式变形求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法，从而求出数列

19、的前 n 项和，再利用放缩法证出 。28【答案】（1）解：由题意，设 ，当 ，即 时，在 上单调递增；当 ，即 或 时，i）当 时，在 上单调递增；ii）当 时，令 ，则 或 ，令 ，则 ；令 ，则 或 ；在 上递减，在 和 上递增，综上所述，当 时，在 上递增；当 时，在 上递减，在 和 上递增；（2）解：由（1）得当 时，在 上递增，不合题意；，不妨设 ，则 在 上递减，是方程 的两个不相等实数根，因为 ，所以 或 （舍去），则 ，令 ，则 ，所以 ，在 上递减，当 时，取最大值 【解析】【分析】（1）利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而讨论出函数的单调性。（2）由（1）

20、得当 时，在 上递增，不合题意；，不妨设 ，则 在 上递减，是方程 的两个不相等实数根，再利用韦达定理结合绝对值的定义求出 或 （舍去），再利用函数的解析式结合绝对值的定义和，用换元法令 ，则 ，再利用求导的方法判断函数 g(t)的单调性，从而求出函数 g(t)的最大值，进而求出 的最大值。29【答案】（1）解：由 消去参数 得曲线 的普通方程为 ，由 的极坐标方程为 ，两边同乘以 ，得 ，将 代入，得曲线 的直角坐标方程为 ；（2）解：将曲线 的参数方程 代入 ，整理得 ，【解析】【分析】(1)利用参数方程与普通方程的互化公式结合极坐标与直角坐标的互化公式，从而结合已知条件求出曲线 的普通方

21、程和 的直角坐标方程。（2）利用已知条件联立曲线 与 的方程求出交点 A,B 的坐标，再利用点 P 的坐标，从而利用韦达定理和两点距离公式，从而求出 的值。30【答案】（1）解：函数 的图象如图所示；（2）解：将 的图象向右平移一个单位得到函数 的图象，的图象与 的图象的交点坐标为 ，由图象可知当且仅当 时，的图象在 的图象下方，不等式 的解集为 【解析】【分析】（1）利用绝对值的定义将函数转化为分段函数，从而求出分段函数的解析式，再利用分段函数解析式画出分段函数 f(x)的图象。（2）利用分段函数 f(x)的图象通过平移变换，得出函数 的图象，从而利用两函数图象求出交点坐标，再利用两函数图象得出当且仅当 时，的图象在 的图象下方，从而求出不等式 的解集。