北京市通州区2022年高三上学期数学期中质量检测试卷附答案.pdf

1、 高三上学期数学期中质量检测试卷 高三上学期数学期中质量检测试卷一、单选题一、单选题1已知集合 ，则 （）ABCD2在复平面内，与复数对应的点位于 ()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3下列函数中，的最小值是 2 的是（）ABCD4某单位有男职工 56 人，女职工 42 人，按性别分层，用分层随机抽样的方法从全体职工中抽出一个样本，如果样本按比例分配，男职工抽取的人数为 16 人，则女职工抽取的人数为（）A12B20C24D285在 的展开式中，的系数为（）A5B-5C10D-106已知函数 ，则 等于（）ABC1D27已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（）A63B71C99

2、D1178若函数 的定义域是区间 ，则“”是“函数 在区间 内存在零点”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（）A408 种B240 种C192 种D120 种10已知函数 的定义域为 ，是偶函数，有 ，则（）ABCD二、填空题二、填空题11函数 的定义域是

3、 12关于 的不等式 的解集为 13已知 ，若 ，则 14已知函数 ，则函数 的值域是 15设首项是 1 的数列 的前 项和为 ，且 则 ；若 ，则正整数 的最大值是 三、解答题三、解答题16如图，在 中，点 在边 上，且 （1）求 ；（2）求线段 AD 的长17已知函数 （1）求函数 的最小正周期；（2）求函数 的单调区间 18已知函数 ，当 时，有极大值 3 （1）求 的值；（2）求函数 y 的极小值 19设等差数列 的前 项和是 ，是各项均为正数的等比数列，且 ，在，这三个条件中任选一个，解下列问题：（1）分别求出数列 和 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 注：如果选择多个条件

4、解答，按第一个解答计分 20某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出 1 吨获利 500 元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损 100 元现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往 100 个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下：以市场需求量的频率代替需求量的概率设批发商在下个销售周期购进 吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以 （单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，（单位：元）表示下个销售周期两个市场的销售总利润（1）求变量 概率分布列；（2）当 时，求 与 的函数解析式，并估计销售利润不少于 8900 元的概率；（3）以销售利润的期望作

5、为决策的依据，判断 与 应选用哪一个 21设函数 ，（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；（2）若函数 在区间 单调，求实数 的取值范围；（3）若函数 有极小值，求证：的极小值小于 1 答案解析部分答案解析部分1【答案】B【解析】【解答】因为集合 ，所以 ，故答案为：B.【分析】利用交集的定义，即可求出答案。2【答案】D【解析】【解答】，故复数对应的点位于第四象限故选 D3【答案】C【解析】【解答】对于 A：的定义域为 .取特殊值 ，代入得 y=-22.A不符合题意；对于 B：的定义域为 .取特殊值 ，代入得 y=e-12.B 不符合题意；对于 C：的定义域为 R.令 ，解得 ；令 ，解得

6、 ；所以 在 上单减，在 上单增，所以当 时，y 取得最小值 2.C 符合题意；对于 D：.令 ，则 .所以 ，当 ，记 时取最小值，但是 ，所以 的最小值不能取得.D 不符合题意.故答案为：C【分析】对于 A 选项，考虑函数定义域即可判断；对于 B，C 选项，可先对函数进行求导，判断出函数的最值即可；对于 D 选项，先利用基本不等式进行计算，再根据定义域判断即可.4【答案】A【解析】【解答】根据题意，设抽取的样本人数为 ，因男职工抽取的人数为 ，所以 ，因此女职工抽取的人数为 （人）.故答案为：A.【分析】利用分层抽样的性质列方程，即可求出答案。5【答案】D【解析】【解答】解：在 的展开式中

7、 的项为 的系数为-10，故答案为：D.【分析】由二项展开式的通项公式，即可求得 的系数.6【答案】D【解析】【解答】由 ，得 ，所以 ，故答案为：D【分析】根据导数的运算法则，即可得出答案。7【答案】C【解析】【解答】由等差数列 的前 项和性质，得：，也成等差数列，即 ，又因 ，则解得 ，因此 .故答案为：C.【分析】利用等差数列的前 n 项公式，再结合等差数列的性质即可得出，从而由等差数列的前 n 项和的定义即可得出答案。8【答案】D【解析】【解答】充分性：不妨记 ，满足 ，但是函数 在区间 内不存在零点.故充分性不满足；必要性：不妨不妨记 ，满足函数 在区间 内存在零点 ，但是 .故必要

8、性不满足.故答案为：D.【分析】根据函数零点的定义分别判断其充分性和必要性即可.9【答案】A【解析】【解答】将六艺全排列，有 种，当“射”排在第一次有 种，“数”和“乐”两次相邻的情况有 种，“射”排在第一次且“数”和“乐”两次相邻的情况有 种，所以“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻的排法有 种，故答案为：A.【分析】根据题意，按“数”的排课方法分 3 种情况讨论，求出每种情况的排课顺序，由加法原理计算可得答案.10【答案】B【解析】【解答】由 是偶函数可得 关于直线 对称 因为 ，有 ，所以 在 上单调递增因为 ，所以 ，无法比较 与 0 的大小故答案为：B【分析】由题意，先确定函数

9、的单调性，由偶函数的性质得到函数 f(x)的对称性，依次判断四个选项即可。11【答案】0，+)【解析】【解答】解：由函数 ，可知 ，解得 ，即函数的定义域是0，+).故答案为：0，+)【分析】由对数式的真数大于 0，根式内部的代数式大于等于 0 联立不等式组求解.12【答案】【解析】【解答】故答案为：【分析】先将不等式转化为二次项系数大于零的不等式，再采用十字相乘法进行求解即可13【答案】6【解析】【解答】由 ，可得：，所以 ，则 ，故答案为：6【分析】首先由指、对互化的公式整理原式再由已知条件结合对数的运算性质计算出 a 的值即可。14【答案】-1，1【解析】【解答】函数 表示单位圆 上的点

10、 与点 连线的斜率.设过点 的与单位圆相切的方程为 ，由圆心 到切线的距离等于半径，可得 ，解得 ，故点 与点 连线的斜率范围是 ，因此 函数 的值域是-1，1.故答案为：-1，1.【分析】根据题意，利用函数的几何意义，将问题转化为两点间的斜率公式，结合直线与圆的位置关系，求解即可.15【答案】5；16【解析】【解答】解：因为 ，则 ，由 ，可得 ，则 ，可得 ，所以 ，所以 ，当 时，又 ，所以 ，所以正整数 的最大值是 16.故答案为：5，16.【分析】由递推公式可直接求出 a3=5，分 n 为偶数与奇数，利用递推公式及构造法推导出通项公式，再确定m 的值即可.16【答案】（1）解：根据余

11、弦定理：（2）解：因为 ，所以 ，根据正弦定理得：，=8 【解析】【分析】(1)由已知根据余弦定理可得，代入计算即可得解；(2)由 0C0，从而可求 sinC 的值，利用正弦定理即可求得 AD 的值.17【答案】（1）解：因为 ，所以 的最小正周期（2）解：令 ，得 ，所以 的单调递增区间为 ，；令 ，得 ，所以 的单调递减区间为 ，【解析】【分析】(1)利用二倍角公式，两角差的正弦公式化简函数解析式，进而根据三角函数的周期公式即可求函数 f(x)的最小正周期；(2)根据三角函数的单调性即可求函数 f(x)的单调区间.18【答案】（1）解：，当 时，有极大值 3，所以 ，解得 ，经检验，满足题

12、意，所以 ；（2）解：由（1）得 ，则 ，令 ，得 或 ，列表得x0100极小值极大值易知 是函数的极小值点，所以当 时，函数有极小值 0【解析】【分析】（1）由题意得 ，则可得到关于实数 的方程组，求解方程组，即可求得 的值；（2）结合（1）中 的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的极小值.19【答案】（1）解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 若选，则由 ，得 ，解得 或 不合题意，舍去 所以 ，即 ，即 若选，则由 ，得 ，解得 或 不合题意，舍去.所以 ，即 ，即 若选，则由 得 解得 ，所以 ，即 ，即（2）解：由（1）知，所以 .所以【解析】【分析】（1）设等差数列

13、 的公差为 ，等比数列 的公比为，由题意从三个条件中任选一个，然后列方程组求解即可得求出数列 和 的通项公式；（2）由（1）知，则 ，利用裂项相消求和法即可得出 数列 的前 项和 20【答案】（1）解：设甲市场需求量为 的概率为 ，乙市场需求量为 的概率为 ，则由题意得 ，；，设两个市场总需求量为 的概率为 ，则由题意得 所有可能的取值为 16，17，18，19，20，且 ，所以 的分布列如下表 16171819200.060.230.350.270.09（2）解：由题意得，当 时，当 时，所以 设 “销售利润不少于 8900 元”，则当 时，当 时，解得 由（1）中 的分布列可知，（3）解：

14、由（1）知，.当 时，的分布列为：0.06所以 ；当 时，的分布列为：0.060.71所以 .因为 ，所以应选 .【解析】【分析】(1)先求出随机变量 X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列即可；(2)根据题意，结合已知数据和(1)中的分布列，求解即可；(3)根据题意，分别列出 和 的分布列，由数学期望的计算公式分别求出相应的期望值，比较即可得到答案.21【答案】（1）解：的定义域为 当 时，所以 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 （2）解：若 在区间 上单调递增，则 在 恒成立 因为 ，所以 在 恒成立 记 ，因为 ，所以 ，所以 ；若 在区间 上单调递减，则 在 恒成立因为

15、 ，所以 在 恒成立 所以 ，即 ，解得 综上，若函数 在区间 单调，则实数 的取值范围是（3）证明：由（2）知 对于二次函数 ，若 ，因为 ，所以 在 上恒成立，而 ，所以 恒成立所以函数 在 上单调递增这与函数 有极小值矛盾所以 ，即 此时方程 有两个不相等的实数根：，由 可知，当 变化时，和 变化情况如下表：00极大值极小值由表可知，在 取得极小值，且在 单调递增，所以 ，即 的极小值小于 1【解析】【分析】（1）根据题意，结合导数的几何意义，即可求出曲线 在点 处的切线方程；（2）根据题意，可知 在 恒成立，再结合二次函数的图象和性质，即可求解；（3）根据题意，求导判断单调性，求出极小值即可。