福建省福州2022年高三上学期数学期中联考试卷附答案.pdf

1、 高三上学期数学期中联考试卷 高三上学期数学期中联考试卷一、单选题一、单选题1下面是关于复数 （为虚数单位）的命题，其中真命题为（）AB复数 在复平面内对应点在直线 上C 的共轭复数为 D 的虚部为-12如图，平行四边形 ABCD 中，点 G 在 AC 上，且满足 ，若 ，则 （）ABCD3在 中，边 分别为角 A，B，C 所对的边，如果 ，且 ，则角 A 的大小为（）ABCD4我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.观察以下四个图象的特征，试判断

2、与函数 相对应的图象是（）ABCD5已知 ，是两条不同直线，是三个不同平面，则下列命题正确的是（）A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 6已知 ，为锐角，且 ，则 （）ABCD7意大利数学家斐波那契（1770-1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即 1123581321 在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列 满足：，若 ，则 等于（）A15B14C608D3778已知函数 ，若实数 满足 且 ，则 的取值范围为（）A（6，16）B（6，18）C（8，16）D（8，18

3、）二、多选题二、多选题9下列命题为真命题的是（）A命题“”的否定是“”；B函数 ，与函数 是同一个函数；C已知命题“不等式 为真命题”，则 取值范围为 ；D设 a，则“或 ”的充要条件是“”.10下列命题中正确的是（）A若 ，若 与 所成的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 ；B若非零向量 满足 则 与 的夹角是 .C已知 ，且 ，则 ；D若点 G 为 内一点，满足 ，则点 G 是 的重心11若正四棱柱 的底面是边长为 2，侧棱长为 4，E 是 的中点，则（）A三棱锥 的体积为 BC三棱锥 的外接球的半径是 D过点 三点平面与该棱柱各个面的交线围成的平面图形面积为 12已知函数 的定义域、值域都

4、是 ，且满足 ，则下列结论一定正确的是（）A若 ，则 BCD三、填空题三、填空题13若一个圆锥的轴截面是边长为 2 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 14设 ，若 是 与 的等差中项，则 的最小值为 .15为了参加校教职工运动会，某校高三年级组准备为本年级教师订制若干件文化衫，经与厂家协商，可按出厂价结算，同时厂家也承诺超过 50 件就可以每件比出厂价低 22 元给予优惠.如果按出厂价购买年级组总共应付 元，但若再多买 15 件就可以达到优惠条件并恰好也是共付 元（为整数），则 的值为 .16已知数列 满足 ，则 .设 为数列 的前 项和，若 对任意 恒成立，则实数 取值范围是 .四、解答题

5、四、解答题17设数列 的前 项和为 ，从；数列 是各项和均为正数递增数列，成等差数列；这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答以下两个问题.（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和为 18已知函数（1）求函数 的对称轴方程；（2）将函数 图象先向左平移 个单位长度，再将横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，当 时，求函数 的单调区间 19如图在四棱锥 P-ABCD 中，底面四边形 ABCD 是矩形，AB=2BC=2，PC=PD，E 为 CD 的中点，平面PCD平面 ABCD，（1）证明：PABE（2）若直线 PA 与平面 ABCD 所成角的正切值为 ，求

6、二面角 B-PD-C 的平面角余弦值 20已知函数（1）求函数 在区间 的极值；（2）若函数 在 处切线与函数 图象有两个交点，求实数 的取值范围 21福建省平潭综合实验区澳前 68 小镇的猴研岛，是祖国大陆距宝岛台湾最近的地方，直线距离仅 68 海里.为了更好地完善硬件设施提升小镇旅游面貌，68 小镇管理处在水泥路边安装路灯，路灯的设计如图所示，为地面，为路灯灯杆，在 处安装路灯，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩的照明张角 ，已知 ，（1）若 ，求此路灯在路面 OM 上的照明宽度 ；（2）为了控制的路灯照明效果，令 ，求此路灯在路面 OM 上的照明宽度 的取值范围.22已知函数（1）当

7、 时，讨论函数 在区间 的单调性 （2）当 时，若 ，都有 成立，求 的取值范围.答案解析部分答案解析部分1【答案】C【解析】【解答】，所以 ，A 不符合题意；对应点坐标为 不在直线 上，B 不符合题意；共轭复数为 ，C 符合题意；虚部为 1，D 不符合题意故答案为：C【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。2【答案】A【解析】【解答】因为 故答案为：A【分析】由向量的加减运算法则整理化简，即可得出答案。3【答案】C【解析】【解答】根据正弦定理，由 可得 ，根据余弦定理知，又 ，C 符合题意.故答案为：C.【分析】由已知条件结合正、余弦定理代入数值计算出 co

8、sC 的取值，由此计算出角 C 的大小，结合已知条件即可得出三角形的形状，从而得出答案。4【答案】D【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，所以 为奇函数，其图象关于原点中心对称，故排除 A、B 选项；又 时，故排除 C 选项；故答案为：D.【分析】根据题意由奇函数的图象和性质，即可排除选项 A、B，再由结合函数的单调性即可排除选项 C，由此即可得出答案。5【答案】D【解析】【解答】对于 A：若 ，则 ，异面或 ，相交，A 不正确；对于 B：若 ，则 或 ，相交，B 不正确；对于 C：若 ，则 或 ，相交，C 不正确；对于 D：若 ，由线面垂直的性质可得 ，D 符合题意；故答案为：D.【分析】根据

9、题意由直线与平面、平面与平面的位置关系，对选项逐一判断即可得出答案。6【答案】C【解析】【解答】解：依题意，为锐角，又 ，为锐角，得 ，；，得：，因此，故答案为：C【分析】由已知条件结合角的取值范围，由同角三角函数的基本关系式代入计算出和，再把结果代入到两角和的余弦公式计算出结果即可。7【答案】D【解析】【解答】根据递推公式计算到 ，到 的值依次为：，其中 ，故答案为：D【分析】根据题意由数列的递推公式，结合斐波那契数列 的定义，代入数值计算出结果即可。8【答案】B【解析】【解答】作出函数 的图象如下图所示：当 时，由图可知，即 ，解得 ，则 ，由 ，即 ，即 ，可得 ，因此，.故答案为：B【

10、分析】根据题意由指数函数和一次函数的图象作出分段函数的解析式，利用数形结合法由指数幂的运算性质，计算出结果从而得出代数式的取值范围。9【答案】A,C【解析】【解答】A：命题“”的否定是“”.A 符合题意；B：函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 或 ，所以 与 不是同一个函数，B 不符合题意；C：当 时，恒成立，则 恒成立，即 ，又 (当且仅当 时等号成立)，所以 ，C 符合题意；D：若 ，则 或 ；若 则 ，所以“”是“或 ”的充分不必要条件，D 不符合题意.故答案为：AC【分析】根据题意由利用全称命题的否定是特称命题结合题意即可得出选项 A 正确；根据判断两个函数是否是同一个函数的条件：定

11、义域和对应法则相同，由此判断出选项 B 错误；由一元二次不等式的解法和一元二次方程之间的关系，即可求出 a 的取值范围由此判断出选项 C 正确；由充分和必要条件的定义即可判断出选项 D 错误，从而即可得出答案。10【答案】B,D【解析】【解答】若 与 所成的夹角为锐角，则 ，解得：且 ，A 不符合题意；不妨设 ，则 ，所以 ，故 所以 ，因为 所以 与 的夹角是 .B 选项正确，即 ，则 ，推导不出 ，C 不符合题意，取 边 中点 M，则由向量的加法法则：，故 ，所以 A、G、M 三点共线，取 中点 N，中点 Q，同理可得：B、G、N 三点共线，C、G、Q 三点共线，所以点 G 是 三条中线的

12、交点，点 G 是 的重心，D 符合题意故答案为：BD【分析】根据题意由数量积的坐标公式结合夹角的取值范围，由此即可求出 m 的取值范围，从而判断出选项A 错误；结合夹角的数量积运算公式整理化简，由此判断出选项 B 正确；由数量积的运算性质即可判断出选项 C 错误；由已知条件结合向量的运算法则即可得出 A、G、M 三点共线，然后由三角形的几何性质以及重心的定义，即可判断出选项 D 正确；由此即可得出答案。11【答案】A,C,D【解析】【解答】对于 A：，A 符合题意；对于 B：如图以 为原点，为坐标轴建立坐标系，则 ，因为 ，所以 不成立，B 不符合题意；对于 C：，所以 ，则由直角三角形的性质

13、可知 的中点到 的距离相等，故三棱锥 的外接球的半径是 ，C 符合题意；对于 D：取 的中点 ，连接 ，则易知 ，所以 ，所以过点 三点平面与该棱柱各个面的交线围成的平面图形为梯形 ，设梯形 的高为 ，则 ，所以 ，所以梯形 的面积为 ，D 符合题意；故答案为：ACD【分析】根据题意由等体积法代入数值计算出结果由此判断选项 A 正确；由已知条件建立直角坐标系，由此求出点和向量的坐标，结合数量积的坐标公式计算出结果由此判断出选项 B 错误；根据题意由长方体的几何性质结合中点的性质即可得出线线平行，从而得出过点 三点平面与该棱柱各个面的交线围成的平面图形为梯形 ，利用梯形的面积公式代入数值计算出结

14、果即可，由此即可判断出选项 D 正确，从而得出答案。12【答案】A,B,D【解析】【解答】函数 ，则函数 的定义域为 ，所以，函数 在 上单调递增，对于 A 选项，即 ，则 ，A 对；对于 B 选项，即 ，故 ，B 对；对于 C 选项，则 ，所以，故 ，C 不符合题意；对于 D 选项，构造函数 ，其中 ，则 ，所以，函数 在 上单调递增，故 ，即当 时，因为 ，即 ，由 可得 ，则 ，所以，故 ，D 对.故答案为：ABD.【分析】根据题意构造函数对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可判断出选项 A、B 正确、C 错误；同理构造函数，对其求导结合导函数的性质即可得出函数

15、的单调性，结合函数的单调性即可判断出选项 D 正确，从而得出答案。13【答案】2【解析】【解答】因为圆锥的轴截面是边长为 2 的等边三角形，所以圆锥底面圆的半径 ，母线长 ，所以圆锥的侧面积为 。【分析】利用圆锥的轴截面是边长为 2 的等边三角形，结合等边三角形的性质求出圆锥底面圆的半径和母线长，再利用圆锥的侧面积公式，进而求出这个圆锥的侧面积。14【答案】9【解析】【解答】由已知 ，即 ，所以 ，又 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立所以最小值为 9故答案为：9【分析】根据题意首先由对数的运算性质，整理化简由此得出，然后结合基本不等式即可求出代数式的最小值。15【答案】3960【解析】【解

16、答】设按出厂价购买 套（），应付 元，出厂价为 元，则有 ，在过买 15 套，就可以按优惠价格计算，恰好也付 元，则有 ，（其中 ），联立可得 ，所以 ，又由 ，可得 ，且 为整数，套数 也为整数且为 的倍数，则有 ，则 ，可得 .故答案为：3960.【分析】根据题意由已知条件即可得出，然后整理化简联立已知条件即可得出，结合题意由已知条件即可得出，从而计算出 x 与 y 的取值，由此计算出结果即可。16【答案】2；1，+)【解析】【解答】解：当 时，当 时，所以 ，因为 ，所以 时，两式相减得到 ，故 ，经检验 适合此式，所以 ，所以 ，即 ，则 ，由于 对任意 恒成立，所以 ，所以实数 取值

17、范围是1，+).故答案为：2；1，+).【分析】首先由已知的条件，整理化简即可得出数列的通项公式，由此即可得出数列的通项公式，然后由裂项相消法计算出，结合已知条件从而得出 t 的取值范围。17【答案】（1）解：选：，当 时，解得 .当 时，所以 .即 .时，又 时，数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列.故数列 的通项公式为：；选：当 时，当 时，当 时，依然成立.所以 ；选：数列 是各项和均为正数递增数列，且 数列 是等比数列，成等差数列，则 即 ，整理可得 解得 或 （舍去）（2）解：【解析】【分析】(1)选：根据题意由数列的通项公式和数列前 n 项和公式之间的关系求出数列的通项公式，

18、由此即可判断出数列为等比数列，从而求出数列的通项公式即可；选：根据题意由数列的通项公式和数列前 n 项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，从而求出数列的通项公式即可；选：结合数列的单调性，整理化简即可得出数列 是等比数列，然后由得出数列项的性质代入整理计算出 q 的值，从而得出数列的通项公式。(2)由(1)的结论即可求出数列的通项公式，然后由裂项分解结合等差数列的前 n 项和公式以及等比数列的前 n 项和公式，代入数值计算出结果即可。18【答案】（1）解：依题意得：函数 由 ，得 ，函数 的对称轴是直线（2）解：将函数 的图像向左平移 个单位长度，得到 的图像.再

19、将橫坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图像.当 时，由 ，可得 由 ，可得 函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是【解析】【分析】(1)根据题意由数量积的坐标公式以及两角和的正弦公式整理化简，由此即可得出函数的解析式，再正弦函数的图象和性质结合主整体思想即可求出对称轴的方程。(2)由已知条件即可得出函数平移之后的函数解析式，再由正弦函数的图象和性质结合整体思想即可求出函数g(x)的单调区间。19【答案】（1）证明：连结 ，为 的中点，平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，平面 ，平面 ，.又 为矩形且 ，又 ，平面 ，平面 .平面 ，（2）解：取 得中点 ，分别以 ，为 ，轴建

20、立空间直角坐标系 由（1）可知 平面 ，所以 与平面 所成角为 ，与平面 所成角的正切值为 ，.显然，平面 的一个法向量为 .设平面 的一个法向量为 ，则有：，由图示，二面角 为锐角，二面角 的余弦值为【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件作出辅助线，结合中点的性质即可得出线线垂直，再由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直以及线线垂直，然后由线面垂直的判定定理和性质定理即可得证出结论。(2)由(1)的结论建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由

21、此得到二面角 的余弦值。20【答案】（1）解：，令 ，因为 ，所以 ，当 时，函数 在区间 单调递减；当 时，函数 在区间 单调递增；所以函数 在区间 的极小值为 ，无极大值（2）解：因为 ，所以切点坐标为 ，斜率为 ，所以函数 在点 处切线方程为 ，依题意可知：切线 与函数 图象有两个交点，等价于方程 有两个不同的实数解，即方程 有两个不同的实数解，即函数 与函数 有两个交点，令函数 ，当 ，单调递增；当 ，单调递减；当 时，函数 有极大值 ，当 时，函数 ，当 时，函数 ，所以 ，即 .【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合极值的

22、定义即可得出答案。(2)由已知条件即可得出切线的斜率值，从而得出切线的方程，根据题意方程 有两个不同的实数解，即函数 与函数 有两个交点，构造函数，对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合极值的定义即可求出 a 的取值范围。21【答案】（1）解：当 时，由四边形 的内角和为 可知：且 如图 1 所示：过 A 作 ，垂足为 ，因为 则 ，（2）解：，由四边形 的内角和为 可知：，如图 2 所示，过 作 ，垂足为 ，由（1）可知：点 到地面 的距离 ，在 中，由正弦定理可知，令 ，则 ，设函数 ，即 ，函数 在区间 上单调递增又，即【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即

23、可得出图象，然后由梯形以及三角形的几何性质，代入数值计算出结果即可。(2)由已知条件整理即可得出结合正弦定理整理化简，由此计算出 CD=，结合正切函数的性质构造函数，对其求导整理化简即可得出，从而得出函数 f(x)的单调性，利用函数的单调性即可得出，由此即可得出答案。22【答案】（1）解：当 时，函数 当 时，在 单调递增当 时，令 当 时，即 时，由 得：由 得：当 时，函数 在 单调递增，在 单调递减.当 时，即 时，由 得 当 时，函数 在 单调递增综上所述：当 时，函数 在 单调递增；当 时，函数 在 单调递增，在 单调递减（2）解：解法 1：当 时，由题意可知：在 上恒成立等价于 在

24、 上恒成立，即 令 ，令 ，函数 在 上单调递增，存在唯一零点 ，使得 且当 时，单调递减且当 时，单调递增，设函数 ，函数 在 上单调递增，解法 2：当 时，由题意可知：在 上恒成立等价于 在 上恒成立.即 令 ，函数 在 上单调递增，存在唯一零点 ，使得 即 且当 时，单调递减且当 时，单调递增（，不合题意舍去）设函数 ，函数 在 上单调递增，当且仅当 时，即等号成立令 函数 在 上单调递增，由零点存在性定理可知存在唯一零点，使 解法 3：当 时，由题意可知：在 上恒成立等价于 在 上恒成立.即 令 ，当 时，函数 在 上单调递减，当 时，函数 在 上单调递增，（当且仅当 时取等号）令 当

25、且仅当 时等号成立令 函数 在 上单调递增，由零点存在性定理可知存在唯一零点，使 ，解法 4：当 时，由题意可知：在 上恒成立令 ，即 ，则原不等式等价于 令 ，当 时，函数 在 上单调递减，当 时，函数 在 上单调递增，（当且仅当 时取等号）原不等式 在 恒成立，即 在 恒成立，恒成立（当且仅当 时取等号），【解析】【分析】(1)首先对函数求导，然后对 m 分情况讨论，结合已知条件即可得出导函数的正负，从而即可得出函数在不同区间的单调性。(2)解法 1：由已知条件即可得出在 上恒成立，即构造函数，对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，从而得出然后由零点的定义整理化简得出，由此即可得出

26、函数 g(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最小值，由此即可得出 m 的取值范围；解法 2：由已知条件即可得出在 上恒成立，即构造函数，对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，从而得出，同理构造函数，结合零点存在性定理 m 进而得出 m 的取值范围；解法 3：由已知条件即可得出 在 上恒成立，从而得出，构造函数，对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性即可得出，同理构造函数，结合零点存在性定理即可得出 m 的取值范围；解法 4：根据题意即可得出原不等式等价于，令 ，对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，结合题意即可得出 在 恒成立，整理化简即可得出 m 的取值范围。