广东省2022年高二上学期数学期中试卷三套附答案.pdf

1、 高二上学期数学期中调研试卷 高二上学期数学期中调研试卷一、单选题一、单选题1设 ，且 ，则 等于（）A-1B1C-2D22已知点 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹是（）A椭圆B直线C线段D圆3已知一直线经过点 ，下列向量中不是该直线的方向向量的为（）ABCD4圆 ：和圆 ：的公切线的条数为（）A1B2C3D45已知直线 ：过定点 ，直线 过点 且与直线 垂直，则直线 的方程为（）ABCD6已知向量 ，的夹角为钝角，则实数 的取值范围为（）ABCD7已知点 是椭圆 的左焦点，直线 与椭圆交于 ，两点，且 ，则该椭圆的离心率为（）ABCD8已知直线 与圆 交于 两点，过 分别作 的垂线与 轴交于

2、两点，则（）A2B3CD4二、多选题二、多选题9已知直线 ，则下列结论正确的是（）A直线 l 恒过定点 B当 时，直线 l 的斜率不存在C当 时，直线 l 的倾斜角为 D当 时，直线 l 与直线 垂直10以下四个命题中错误的是（）A空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B若 为空间向量的一组基底，则 构成空间向量的另一组基底C对空间任意一点 和不共线的三点 、，若 ，则 、四点共面D任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底11已知点 均在圆 外，则下列表述正确的有（）A实数 的取值范围是 BC直线 与圆 不可能相切D若圆 上存在唯一点 满足 ，则 的值是 12已知椭圆 的左右焦点为 点

3、 P 在椭圆上，且不与椭圆的左右顶点重合，则下列关于 的说法正确的有（）A 的周长为 4+B当 时，的边 C当 时，的面积为 D椭圆上有且仅有 6 个点 P，使得 为直角三角形三、填空题三、填空题13若方程 表示椭圆，则实数 的取值范围是 .14已知直线 3x2y30 和 6xmy10 互相平行，则它们之间的距离是 15已知 ，方程 表示圆，则圆心坐标是 .16如图，在正方体 中，点 为 的重心，若 ，则 .四、解答题四、解答题17若点 A 与点 B 到直线 的距离相等，求 a 的值 18已知空间三点 ，.（1）求以 、为边的平行四边形的面积；（2）若 ，且 分别与 、垂直，求向量 的坐标.1

4、9在平面直角坐标 中，点 是平面上一点，使 的周长为 .（1）求点 的轨迹方程；（2）求 的最大值.20已知圆 的圆心在坐标原点 ，直线 的方程为 .（1）若圆 与直线 相切，求圆 的标准方程；（2）若圆 上恰有两个点到直线 的距离是 1，求圆 的半径的取值范围.21在如图所示的四棱锥 中，四边形 为矩形，平面 ，为 的中点.（1）证明：平面 ；（2）若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.22已知椭圆 经过点 ，且离心率 .（1）求椭圆 的标准方程；（2）若斜率为 且不过点 的直线 交 于 两点，记直线 ，的斜率分别为 ，且 ，求直线 的斜率 .答案解析部分答案解析部分1【答案】A【解析】【解

5、答】，故答案为：A.【分析】由已知条件结合数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。2【答案】C【解析】【解答】因为 ，故动点 的轨迹是线段 .故答案为：C.【分析】由已知条件即可得出点 的轨迹是线段。3【答案】A【解析】【解答】由题知，则与向量 共线的非零向量均为该直线的方向向量.A 选项中的向量 与 不共线，所以不是直线 的方向向量.故答案为：A【分析】由直线的方向向量的定义，结合向量的坐标公式，对选项逐一判断即可得出答案。4【答案】C【解析】【解答】由题知圆 ：的圆心 ，半径 ，圆 ：的圆心 ，半径 ，所以 ，所以两圆外切，所以两圆共有 3 条公切线.故答案为：C【分析】根据题意求出圆心

6、坐标以及半径，然后由两点间的距离公式求出两圆的圆心距，再与两圆的半径之和进行比较，从而得出两圆的位置关系，由此即可得出公切线的条数。5【答案】A【解析】【解答】由题意，直线 ：，过定点 ，则直线 过定点 ，直线 与直线 垂直，则直线 的斜率 ，直线 的方程为 ，即 .故答案为：A.【分析】由已知条件即可得出直线过的定点，再由直线垂直的斜率之间的关系，结合点斜式即可求出直线的方程。6【答案】B【解析】【解答】解：因为向量 ，的夹角为钝角，所以 ，且 不共线，则 ，得 ，当 时，的取值范围为 .故答案为：B.【分析】根据题意由数量积的运算公式整理化简即可得到，由此得出向量不共线，结合数量积的坐标公

7、式即可得出关于 t 的不等式，由共线向量的坐标公式计算出 t 的取值，由此即可得出 t 的取值范围。7【答案】D【解析】【解答】令 中的 ，可解得 ，不妨设 ，又 根据 ，故可得 即 ，整理得 又 ，代入可得 ，故 .故答案为：D.【分析】由已知条件联立直线与椭圆的方程，计算出 x 的值，由此设出点的坐标，结合斜率坐标公式代入整理化简计算出，由椭圆的 a、b、c 三者的关系以及离心率公式，计算出 e 的取值即可。8【答案】D【解析】【解答】由题意，圆心到直线的距离 ，直线 直线 的倾斜角为 ，过 分别作 的垂线与 轴交于 两点，故答案为：D.【分析】由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离公式

8、，结合勾股定理计算出弦长的值，再由直线的斜率，结合三角形中的几何计算关系计算出结果即可。9【答案】C,D【解析】【解答】直线 ，故 时，故直线 l 恒过定点 ，A 不符合题意；当 时，直线 ，斜率 ，B 不符合题意；当 时，直线 ，斜率 ，故倾斜角为 ，C 符合题意；当 时，直线 ，斜率 ，故 ，故直线 l 与直线 垂直，D 符合题意.故答案为：CD.【分析】根据已知条件逐一判断正误即可.10【答案】A,C,D【解析】【解答】A 中忽略三个基底要求不共面的限制，A 不符合题意；若 为空间向量的一组基底，则 、互不共面，且 、均为非零向量，假设 、共面，可设 ，所以 ，该方程组无解，故 、不共面

9、，因此，可构成空间向量的一组基底，B 符合题意；由于 ，此时，、四点不共面，C 不符合题意；任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，D 不符合题意.故答案为：ACD.【分析】根据空间向量基本定理及其推论，对选项逐一判断即可得出答案。11【答案】A,B,D【解析】【解答】，；故 正确；，B 符合题意；点 到 的距离为点 C 到 轴的距离 ，当 时，直线 与圆 相切，C 不符合题意；，点 在以线段 为直径的圆上.又，点 在圆 上.又点 在圆 ：()上，点 均在圆 外，圆 与圆 外切，且点 为切点，D 符合题意.故答案为：ABD.【分析】由 A、B 均在圆外列关于

10、r 的不等式组，求得 r 的取值范围，由此判断出选项 A 正确；直接求出的值由此判断出选项 B 正确；由 r 的范围及圆心坐标即可判断出选项 C 错误；由题意可得，点 P 在以线段 AB 为直径的圆上，求出以 AB 为直径的圆的方程圆，结合点 P 在圆 C：(r0)上，可得圆与圆 C 外切，且点 P 为切点，再由圆心距与半径的关系列式求解出 r 的值，由此判断出选项 D 正确，由此即可得出答案。12【答案】A,D【解析】【解答】由椭圆的方程可得：，对于 A：的周长为 ，选项 A 正确；对于 B：当 时，轴，令 ，可得 ，所以 ，选项 B 不正确；当 时，的面积为 ，选项 C 不正确；当点 位于

11、椭圆的上下顶点时，而 ，此时 ，有 2个直角三角形，当 时，此时点 位于第二或第三象限，有 2 个直角三角形，同理可得 时，此时有 2 个直角三角形，所以共有 6 个直角三角形，选项D 符合题意，故答案为：AD【分析】利用椭圆的定义结合焦距即可判断 A；利用 时，轴，点 横坐标为 即可求出点 纵坐标，即可判断 B；利用焦点三角形面积公式求出 的面积，即可判断 C；分别讨论三个内角为直角的情况，即可判断 D.13【答案】【解析】【解答】因为方程 表示椭圆，所以 ，得 且 .所以实数 的取值范围是 ，故答案为：【分析】由椭圆方程的简单性质，结合题意即可得出关于 m 的不等式组，求解出 m 的取值范

12、围。14【答案】【解析】【解答】直线 3x2y30 变为 6x4y60，m4由两条平行线间的距离公式得 d 故答案为:.【分析】先由两直线平行求出 m=4,再由平行直线间的距离公式求解.15【答案】【解析】【解答】由题意得 ，解得 或 2.当 时，方程为 ，即 ，圆心为 ；当 时，方程为 ，即 ，不表示圆.故答案为：【分析】由圆的一般方程，计算出 m 的取值，代入即由圆的方程，即可求出圆心坐标以及半径。16【答案】1【解析】【解答】易知 为正三角形，连接 、相交于点 ，连接 ，显然点 在线段 上，且满足 ，有 ，得：有 ，可得：.故答案为：1【分析】根据题意由正方体的几何性质，结合向量的加、减

13、运算性质，由已知条件即可得出答案。17【答案】解：因为点 A 与点 B 到直线 的距离相等，所以有：或 ，解得：或 .【解析】【分析】根据题意结合点到直线的距离公式得到关于 a 的方程求解出 a 的值即可。18【答案】（1）解：因为 ，所以 ，所以 ，平行四边形面积为 .（2）解：设 ，则 ，所以 ，由解得 ，或 ，.或 .【解析】【分析】(1)由向量坐标以及向量模的公式，结合数量积的运算公式计算出夹角的余弦值，由同角三角函数的基本关系式即可求出的值，由四边形的面积公式计算出结果即可。(2)根据题意设出向量的坐标，再由数量积的坐标公式计算出 x、y、z 的值，由此得出向量的坐标。19【答案】（

14、1）解：由题知 ，由椭圆的定义可知，动点 的轨迹是以点 、为焦点的椭圆（去掉左右端点），设动点 的轨迹方程为 ，则 ，得 ，因此，动点 的轨迹方程为 ；（2）解：由（1）可知 ，由基本不等式得 ，当且仅当 时等号成立，因此，的最大值为 .【解析】【分析】（1）由题意得出 ，由椭圆的定义可知点 的轨迹是以点 、为焦点的椭圆（去掉左右端点），设点 的轨迹方程为 ，求出 、的值，可得出点 的轨迹方程；（2）利用 ，并利用基本不等式可求出 的最大值.20【答案】（1）设圆的半径为 ，圆心到直线 距离为 ，则 ，依题意 ，所以圆 的方程为 .（2）由（1）知，圆心到直线 距离为 ，又圆 上恰有两个点到直

15、线 的距离是 1，所以 ，即 ，所以 ，即圆 的半径的取值范围是 .【解析】【分析】(1)根据题意由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算出圆心到直线的距离公式，由此计算出圆的半径，从而得出圆的方程。(2)由(1)的结论，结合圆心到直线的距离，由圆的几何意义即可得到，从而得出半径的取值范围。21【答案】（1）设 交 于点 ，连接 ，为 中点，为 中点，.平面 ，平面 ，平面 .（2）如图，以 为坐标原点，所在直线分别为 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.则 ，则 ，平面 ，平面 的一个法向量 .设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，则 ，.，平面 与平面 的夹角的余弦值为 .【解析】【分

16、析】(1)根据题意做出辅助线由中点的性质，即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。(2)由(1)的结论即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 平面 与平面 的夹角的余弦值。22【答案】（1）因为 在椭圆 上，所以 ，又 ，由上述方程联立可得 ，所以椭圆的标准方程为 .（2）设直线 的方程为 ，设 ，由 消 得：，所以 ，因为 ，所以 ，同理可得 ，因为 ，所以 .【解析】【分析】(1)根据题意把点的

17、坐标代入到椭圆的方程，整理得到再由离心率公式以及椭圆的 a、b、c 三者的关系，计算出 a 与 b 的值，由此即可得出椭圆的方程。(2)由设而不求法，设出点的坐标以及直线的方程，然后联立直线与椭圆的方程，消元后得到关于 x 的方程，再由韦达定理以及斜率的坐标公式整理化简，结合已知条件计算出 k 的取值即可。高二上学期数学期中考试试卷 高二上学期数学期中考试试卷一、单选题一、单选题1已知 ，则 （）ABCD2设复数 z 满足 ，则 z 的虚部为（）A1BCD3直线 ：的倾斜角为（）A45B60C120D1354函数 图象的对称中心可能是（）ABCD5某工厂 12 名工人某天生产同-类型零件，生产

18、的件数分别是 10，15，12，16，17，12，15，13，11，14，16，17，则这组数据的第 70 百分位数是（）A11B12C15.5D166已知平面 的一个法向量为 ，点 为 内一点，则点 到平面 的距离为（）A4B3C2D17如图，在直三棱柱 中，D 为棱 的中点，则异面直线 CD 与 所成角的余弦值为（）ABCD8已知圆 M：，圆 N：，圆 N 上存在点 P，过 P 作圆 M 的两条切线 PA，PB，若 ，则 m 的取值范围为（）ABCD二、多选题二、多选题9下列函数中，在 上的值域是 的是（）ABCD10已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则下列结论正确的有

19、（）A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 11已知直线 与曲线 有且仅有 1 个公共点，则 m 的取值可能是（）ABC1D12正方体 的棱长为 2，且 ，过 P 作垂直于平面 的直线 l，分别交正方体 的表面于 M，N 两点.下列说法不正确的是（）A 平面 B四边形 面积的最大值为 C若四边形 的面积为 ，则 D若 ，则四棱锥 的体积为 三、填空题三、填空题13已知 ，且 ，则 a+2b 的最小值是 .14已知直线 过点 ，且与直线 垂直，则直线 的方程为 .15在平行六面体 中，点 P 是 AC 与 BD 的交点，若 ，且 ，则 .16已知不经过坐标原点 的直线 与圆 ：交于 A，

20、B 两点，若锐角 的面积为 ，则 ，.四、解答题四、解答题17已知直线 ：.（1）若直线 与直线 ：平行，求 的值；（2）若直线 在两坐标轴上的截距相等，求直线 的方程.18在，当 时，取得最大值 3，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知函数（1）求 的解析式；（2）若 在 上的值域为 ，求 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19如图，四棱锥 的底面 ABCD 为矩形，AC 与 BD 相交于点 .（1）证明：平面 平面 ABCD.（2）若 ，求平面 PAD 与平面 夹角的余弦值.20已知圆 经过 ，三点.（1）求圆 的方程.（2）设 为坐标原点，直线

21、 ：与圆 交于 ，两点，是否存在实数 ，使得？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.21已知 PA，PB，PC 是从点 P 出发的三条线段，每两条线段的夹角均为 60，点 G 为 的重心，即点 G 是 三条中线的交点，且 .（1）求 x，y，z 的值；（2）求点 G 到直线 PA 的距离，22已知 A，B 是圆 C：与 y 轴的两个交点，且 A 在 B 上方.（1）若直线 过点 ，且与圆 C 相切，求 的方程；（2）已知斜率为 k 的直线 m 过点 ，且与圆 C 交于 M，N 两点，直线 AM，BN 相交于点 T，证明点T 在定直线上.答案解析部分答案解析部分1【答案】D【解析】【解答】因为

22、，所以 。故答案为：D【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法，进而求出集合 A，再利用一元一次不等式求解集的方法，进而求出集合 B，再结合交集的运算法则，从而求出集合 A 和集合 B 的交集。2【答案】C【解析】【解答】因为 ，则 的虚部为 。故答案为：C【分析】利用复数的乘除法运算法则，从而得出复数 z，再利用复数的虚部的定义，从而求出复数 z 的虚部。3【答案】D【解析】【解答】因为直线 的斜率为-1，所以 的倾斜角为 135。故答案为：D【分析】利用转化的方法将直线的一般式方程转化为直线的斜截式方程，从而求出直线的斜率，再利用直线的斜率与倾斜角的关系式，从而求出直线的倾斜角。

23、4【答案】A【解析】【解答】令 ，解得 ，当 时，则 是函数 图象的一个对称中心。故答案为：A【分析】利用已知条件结合余弦型函数的图象，从而求出函数 图象的对称中心可能的选项。5【答案】D【解析】【解答】这组数据按从小到大的顺序排列为 10，11，12，12，13，14，15，15，16，16，17，17，因为 ，所以这组数据的第 70 百分位数是第 个数为 16。故答案为：D.【分析】利用已知条件结合百分位数的求解方法，进而求出这组数据的第 70 百分位数。6【答案】D【解析】【解答】因为 ，所以 ，则点 P 到平面 的距离 。故答案为：D【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示结合法向量的定

24、义，从而利用数量积的坐标表示求出的值，再结合向量的模的坐标表示，进而得出的值，再结合数量积求出点 P 到平面 的距离。7【答案】A【解析】【解答】以 C 为坐标原点，分别以 ，的方向为 x，y，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得 ，则 ，所以 ，又因为异面直线所成的角的范围为 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 。故答案为：A.【分析】以 C 为坐标原点，分别以 ，的方向为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，由已知可得点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，得出的值，再利用异面直线所成的角的取值范围，从而得出异面直线 与 所成

25、角的余弦值。8【答案】D【解析】【解答】由题意，圆 ：可化为 ，因为 ，所以四边形 MAPB 是正方形，所以 ，可得点 P 的轨迹是圆心在原点，半径为 的圆，又因为点 P 在圆 N 上，所以 ，解得 ，所以 m 的取值范围为 。故答案为：D.【分析】由题意，将圆的一般式方程转化为圆的标准方程，再利用，所以四边形 MAPB 是正方形，所以 ，可得点 P 的轨迹是圆心在原点，半径为 的圆，再利用点 P 在圆 N 上结合点与圆的位置关系，得出实数 m 的取值范围。9【答案】A,D【解析】【解答】函数 和 在 上的值域是 ，则 A，D 符合题意；函数 在 上的值域是 ，则 B 不符合题意；函数 在 上

26、的值域是 ，则 C 不符合题意.故答案为：AD【分析】利用已知条件结合函数求值域的方法，进而找出 在 上的值域是 的函数。10【答案】A,D【解析】【解答】若 ，则 ，即 ，A 符合题意，C 不符合题意；若 ，得 ，显然 ，则 ，解得 ，B 不符合题意，D 符合题意.故答案为：AD【分析】若 ，则 ，再利用数量积为 0 两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而得出；若 ，得 ，再结合向量共线的坐标表示，进而得出，从而选出正确的结论。11【答案】A,B,D【解析】【解答】曲线 的图象如图所示，直线 过定点 .圆心到直线的距离等于半径，即 ，解得 或 ，由图可知 时，此时直线与曲线有且仅

27、有 1 个交点，故当 时，直线 与曲线 有且仅有 1 个公共点。故答案为：ABD【分析】画出曲线 的图象，再将直线的一般式方程转化为点斜式方程求出直线 过的定点坐标，再利用点到直线的距离公式结合圆心到直线的距离等于半径，得出实数m 的值，由直线与曲线的图象可知当 时，此时直线与曲线有且仅有 1 个交点，故当 时，直线 与曲线 有且仅有 1 个公共点，进而找出实数m 可能的取值。12【答案】A,C,D【解析】【解答】因为 与 不垂直.所以 与平面 不垂直.A 不正确.如图，以 为坐标原点，的方向分别为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，则 ，.因为 .所以 .因为 平面 ，所以 ，则

28、 ，.若 平面 ，则 ，即 ，；若 平面 .则 ，即 ，.因为 ，所以四边形 的面积 当 时，四边形 的面积最大，且最大值为 ，点 B 到直线 的距离为 ，即点 B 到平面 的距离为 ，故四棱锥 的体积 ，B 符合题意，D 不正确.若四边形 的面积为 .则 或 ，解得 或 ，C 不正确.故答案为：ACD【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合线面垂直的判定定理、四边形的面积公式和几何法、四棱锥的体积公式，从而找出说法不正确的选项。13【答案】【解析】【解答】因为 ，可得 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，所以 a+2b 的最小值是 。故答案为：。【分析】利用已知条件 变形可得 ，再利用均

29、值不等式变形求最值的方法，从而得出a+2b 的最小值。14【答案】3x-2y+8=0【解析】【解答】设直线 的方程为 ，则 ，解得 ，所以直线 的方程为 3x-2y+8=0。故答案为：3x-2y+8=0。【分析】利用已知条件结合点斜式设出直线 l 的方程，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出 m 的值，进而求出直线 l 的方程。15【答案】【解析】【解答】由题意可得，则 ，故 。故答案为：。【分析】利用已知条件结合平行六面体的结构特征，从而结合三角形法则合中点的性质，再利用平面向量基本定理得出，再利用数量积求向量的模的公式，进而得出的值。16【答案】；或【解析】【解答】因为圆 C 的半径

30、 ，所以三角形 的面积 ，所以 .又 为锐角三角形，所以 ，因为点 O 在圆 C 上，所以 或150，故 或。故答案为：；或。【分析】利用圆的一般式方程求出圆 C 的半径，再利用三角形的面积公式得出三角形 的面积，再结合已知条件得出的值，再利用三角形 为锐角三角形，从而得出的值，进而得出 的值，再利用点 O 在圆 C 上，从而得出 的值，进而求出的值。17【答案】（1）解：因为 ，所以 ，解得 .（2）解：令 ，得 ，即直线 在 轴上的截距为 .令 ，得 ，即直线 在 x 轴上的截距为 .因为直线 在两坐标轴上的截距相等，所以 ，解得 或 .则直线 的方程是 或 .【解析】【分析】（1）利用已

31、知条件结合两直线平行斜率相等，从而得出 a 的值。(2)利用已知条件结合截距式方程，从而求出 a 的值，进而求出直线 l 的方程。18【答案】（1）解：若选，由题意可得 解得 ，.故 .若选，由题意可得 解得 ，.故 若选.因为 ，所以 图象的对称轴方程为 ，则 ，即 .因为 ，所以 .故 .（2）解：因为 在 上的值域为 ，所以 ，即 .因为函数 的对称轴方程为 ，且 ，所以 在 上单调递增，则 整理得 ，即 .因为 ，所以 ，即 .【解析】【分析】（1）若选，由题意结合代入法，从而解方程组求出 a，b 的值，进而求出函数的解析式。若选，由题意结合二次函数的图象求最值的方法，从而解方程组求出

32、 a，b 的值，进而求出函数的解析式。若选，利用 ，所以 图象的对称轴方程为 ，进而求出 a 的值，再利用 结合代入法得出 b 的值，进而得出函数的解析式。(2)利用 在 上的值域为 ，再结合二次函数的图象在给定区间求最值的方法，进而求出实数 n 的取值范围，再利用函数 的对称轴方程为 ，且 ，所以 在 上单调递增，再利用函数的单调性结合代入法，从而结合，得出 的值。19【答案】（1）证明：因为底面 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC，BD 的中点，连接 PO，因为 ，所以 ，又 AC 与 BD 相交于点 O，且 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 ，（2）解：取 AB 的中

33、点 E，BC 的中点 F，连接 OE，OF.因为底面 ABCD 为矩形，所以 ，设 ，则 ，以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，可得 ，.设平面 的法向量为 ，由 令 ，可得 ，所以 ，设平面 的法向量为 ，由 令 ，可得 ，所以 ，则 ，所以平面 PAD 与平面 PAB 夹角的余弦值为 .【解析】【分析】（1）利用底面 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC，BD 的中点，连接 PO，再利用 ，结合等腰三角形三线合一，得出线线垂直，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直证出满面垂直，从而证出平面 平面 。(2)取 AB 的中点 E，BC 的中点 F，连

34、接 OE，OF，再利用底面 ABCD 为矩形，所以 ，设 ，再结合勾股定理得出 ，以 O 为原点，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出平面 PAD 与平面 PAB 夹角的余弦值。20【答案】（1）解：设圆 M 的方程为 ，则 解得 故圆 M 的方程为 .（2）解：假设存在实数 ，使得 .由（1）可知，圆 M 的圆心坐标为 ，半径为 ，点 O 在圆 M 上，因为 ，所以直线 ，所以 ，所以 ，此时点 M 到直线 l 的距离 ，符合条件，.【解析】【分析】（1）设出圆的一般式方程，再利用已知条件结合代入法，从而求出圆的一般式

35、方程。（2）假设存在实数 ，使得 ，由（1）可知，圆 M 的圆心坐标和半径长，再利用点 O 在圆M 上，得出 ，所以直线 ，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线 OM 的斜率，进而求出实数 a 的值，再利用点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系，得出此时点 M 到直线 l的距离 ，符合条件，再结合弦长公式得出 的值。21【答案】（1）解：因为 ，因为点 G 为 的重心，所以 ，则 ，即 ，.（2）解：因为 ，.故点 G 到直线 PA 的距离 .【解析】【分析】（1）利用三角形法则得出 ，再利用点 G 为三角形 的重心，再结合重心的性质结合平面向量基本定理，得出，再结合已知条件求出

36、x，y，z 的值。（2）利用（1）结合数量积求向量的模的公式，得出 的值，再利用数量积的运算法则，从而求出的值，再结合数量积和勾股定理，进而求出点 G 到直线 PA 的距离。22【答案】（1）解：点 的坐标满足 ，所以 P 为圆 C 上一点.圆 C：的圆心为 ，则 ，所以直线 的斜率为-1，所以直线 的方程为 ，即 ，（2）证明：设 ，直线 m 的方程为 ，由圆 C：，可得 ，.联立方程组 消去 y 并化简得 ，所以 ，.直线 AM 的方程为 ，直线 BN 的方程为 ，由知 .由 ，化简得 .故点 在定直线 上.【解析】【分析】（1）利用点 的坐标满足 ，所以 P 为圆 C 上一点，再利用圆

37、C 的标准方程求出圆心坐标，再利用两点求斜率公式得出直线 CP 的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线 的斜率，再利用点斜式求出直线 的方程，再转化为直线的一般式方程。（2）设 ，再设出直线 m 的斜截式方程为 ，由圆 C：，可得 ，再利用直线与圆相交，联立二者方程结合韦达定理，得出，再结合直线的斜截式方程得出直线 AM 的方程为 和直线 BN 的方程为，由知 的值，再利用 ，化简得出 ，从而得出点 在定直线 上。高二上学期数学期中考试试卷 高二上学期数学期中考试试卷一、单选题一、单选题1已知直线 l 经过 两点，则直线 l 的斜率是（）ABC3D-32点 到直线 的距离为（）

38、A2BC4D3某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮 20 次的命中率为 80%，第二场投篮 30 次的命中率为 70%，则该同学这两场投篮的命中率为（）A72%B74%C75%D76%4直线 l：经过定点 A，则 A 的纵坐标为（）A-2B-1C1D25已知平面 的一个法向量为 ，点 为 内一点，则点 到平面 的距离为（）A4B3C2D16某工厂有甲、乙、丙三名工人进行零件安装比赛，甲每个零件的安装完成时间少于丙的概率为 0.6.乙每个零件的安装完成时间少于丙的概率为 0.5，比赛要求甲、乙、丙各安装一个零件，且他们安装每个零件相互独立，则甲和乙中至少有一人安装完成时间少于丙的概率为（）A

39、0.64B0.72C0.8D0.767在三棱柱 中，E 是棱 的三等分点，且 ，F 是棱 的中点，若 ，则 （）ABCD8数学家欧拉 1765 年在其所著的三角形几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC 的顶点分别为 ，则ABC 的欧拉线方程为（）ABCD二、多选题二、多选题9已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则下列结论正确的有（）A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 10掷一枚骰子，记事件 表示事件“出现奇数点”，事件 表示事件“出现 4 点或 5 点”，事件 表示事件“点数不超过 3”，事件 表示事件“点

40、数大于 4”，则（）A事件 与 是独立事件B事件 与 是互斥事件C事件 与 是对立事件D11已知 ，则（）A直线 与线段 有公共点B直线 的倾斜角大于 C 的边 上的中线所在直线的方程为 D 的边 上的高所在直线的方程为 12正方体 的棱长为 2，且 ，过 P 作垂直于平面 的直线 l，分别交正方体 的表面于 M，N 两点.下列说法不正确的是（）A 平面 B四边形 面积的最大值为 C若四边形 的面积为 ，则 D若 ，则四棱锥 的体积为 三、填空题三、填空题13某生物实验室有 18 颗开紫花的豌豆种和 24 颗开白花的豌豆种，若从这些豌豆种中随机选取 1 颗，则这颗种子是开白花的豌豆种的概率为

41、14在平行六面体 中，点 P 是 AC 与 BD 的交点，若 ，且 ，则 .15一个正方体的平面展开图如图所示，AB=1，则在原来的正方体中，线段 CF 的中点到直线 AM 的距离为 .16在平面直角坐标系 中，直线 经过坐标原点，且 与直线 垂直，则 的斜率为 ，这两条直线的交点坐标为 .四、解答题四、解答题17已知直线 ：.（1）若直线 与直线 ：平行，求 的值；（2）若直线 在两坐标轴上的截距相等，求直线 的方程.18如图，三棱柱 的侧棱与底面垂直，M，N 和 P 分别是 ，BC 和 的中点.（1）证明：平面 ；（2）求异面直线 AN 与 PM 所成角的余弦值.19某工厂为了解甲、乙两条

42、生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100 件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按 ，分组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若产品的质量指数在 内，则该产品为优等品.现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6 件产品，再从这 6 件产品中随机抽取 2 件产品进一步进行检测，求抽取的这 2 件产品中恰有 1 件产品是甲生产线生产的概率.20如图，在四棱锥 中，是 的中点，.（1）证明：.（2）当三棱锥 的体积为 时，求 与平面 所成角的正弦

43、值.21 （1）当光射到两种不同介质的分界面上时，便有部分光自界面射回原介质中的现象，被称为光的反射，如图 1 所示一条光线从点 出发，经过直线 反射后到达点 ，如图 2 所示.求反射光线所在直线的方程，并在图 2 中作出光线从 到 的入射和反射路径.（2）已知 ，直线 的斜率小于 ，且 经过点 ，与坐标轴交于 ，两点，试问 的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由.22如图，在四棱锥 中，四边形 是等腰梯形，且 ，分别是线段 的中点，平面 平面 .（1）证明：平面 ；（2）求平面 与平面 夹角的取值范围.答案解析部分答案解析部分1【答案】B【解析】【解答】由题意可得直

44、线 l 的斜率 。故答案为：B.【分析】利用已知条件结合两点求斜率公式，从而得出直线 l 的斜率。2【答案】D【解析】【解答】点 到直线 的距离 。故答案为：D.【分析】利用已知条件结合点到直线的距离公式，从而得出点 到直线 的距离。3【答案】B【解析】【解答】该同学这两场投篮的命中率为 。故答案为：B.【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，从而得出该同学这两场投篮的命中率。4【答案】A【解析】【解答】由 ，得 ，令 ，得 。故答案为：A【分析】将直线的一般式方程转化为，得出，再解方程组求出定点 A的纵坐标。5【答案】D【解析】【解答】因为 ，所以 ，则点 P 到平面 的距离 。故答案为

45、：D【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示结合法向量的定义，从而利用数量积的坐标表示求出的值，再结合向量的模的坐标表示，进而得出的值，再结合数量积求出点 P 到平面 的距离。6【答案】C【解析】【解答】甲和乙安装完成时间均多于丙的概率为 ，甲和乙中至少有一人安装完成时间少于丙的概率为 。故答案为：C.【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而求出甲和乙安装完成时间均多于丙的概率，再利用对立事件求概率公式，从而求出甲和乙中至少有一人安装完成时间少于丙的概率。7【答案】D【解析】【解答】取 的中点 D，连接 ，所以 ，因为 ，所以 。故答案为：D【分析】利用已知条件结

46、合三棱柱的结构特征，再结合三等分点的定义结合中点的性质，再结合向量共线定理和三角形法则，再结合平面向量基本定理，从而得出。8【答案】A【解析】【解答】由题可知，三角形ABC 的重心为 ，可得直线 AB 的斜率为 ，则 AB 边上高所在的直线斜率为 ，则方程为 ，直线 AC 的斜率为 ，则 AC 边上高所在的直线斜率为 2，则方程为 ，联立方程 可得ABC 的垂心为 ，则直线 GH 斜率为 ，则可得直线 GH 方程为 ，故ABC 的欧拉线方程为 。故答案为：A.【分析】由题可知，三角形ABC 的重心为 ，再利用两点求斜率公式得出直线 AB 的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出 AB

47、 边上高所在的直线斜率，再利用斜截式求出直线方程程为 ，再利用两点求斜率公式得出直线 AC 的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出AC 边上高所在的直线斜率，再利用斜截式求出直线方程为，再结合两直线求交点的方法，联立两直线方程，得出三角形ABC 的垂心，再结合两点求斜率公式得出直线 GH 斜率，再利用点斜式求出直线 GH 方程，再由任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，则这条直线为欧拉线，从而得出三角形ABC 的欧拉线方程。9【答案】A,D【解析】【解答】若 ，则 ，即 ，A 符合题意，C 不符合题意；若 ，得 ，显然 ，则 ，解得 ，B 不符合题意，D 符合题意.故答案为：

48、AD【分析】若 ，则 ，再利用数量积为 0 两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而得出；若 ，得 ，再结合向量共线的坐标表示，进而得出，从而选出正确的结论。10【答案】A,B【解析】【解答】由题意知：，事件 与 是独立事件，A 符合题意；事件 与 不能同时发生，与 是互斥事件，B 符合题意；点数为 时，既不属于事件 ，也不属于事件 ，事件 与 不是对立事件，C 不符合题意；事件 是“点数为 点”，D 不符合题意.故答案为：AB.【分析】利用已知条件结合独立事件、互斥事件、对立事件的定义，再结合事件间的关系，哦测找出正确的选项。11【答案】B,C,D【解析】【解答】因为 ，所以直线

49、与线段 无公共点，A 不符合题意；因为 ，所以直线 的倾斜角大于 ，B 符合题意；因为线段 的中点为 ，所以 边上的中线所在直线的方程为 ，C 符合题意；因为 ，所以 上的高所在直线的方程为 ，即 ，D 符合题意.故答案为：BCD【分析】利用已知条件，算出 OA，OB 的斜率，在平面直角坐标系中作出大致示意图，可知直线与线段 AB 没有公共点；由 A，B 坐标可以算出 AB 的斜率，可知 AB 倾斜角的范围；BC 上的中线经过点 A 和B，C 的中点，可以写出 BC 中线所在的直线方程；BC 上的高所在直线过点 A，且与 BC 垂直，由 BC 斜率可得高所在直线斜率，点斜式写方程.12【答案】

50、A,C,D【解析】【解答】因为 与 不垂直.所以 与平面 不垂直.A 不正确.如图，以 为坐标原点，的方向分别为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，则 ，.因为 .所以 .因为 平面 ，所以 ，则 ，.若 平面 ，则 ，即 ，；若 平面 .则 ，即 ，.因为 ，所以四边形 的面积 当 时，四边形 的面积最大，且最大值为 ，点 B 到直线 的距离为 ，即点 B 到平面 的距离为 ，故四棱锥 的体积 ，B 符合题意，D 不正确.若四边形 的面积为 .则 或 ，解得 或 ，C 不正确.故答案为：ACD【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合线面垂直的判定定理、四边形的面积公式和几