江苏省扬州市2022年高二上学期数学期中试卷及答案.pdf

1、 高二上学期数学期中考试试卷 高二上学期数学期中考试试卷一、单选题一、单选题1直线的倾斜角的大小为（）ABCD2平行直线与之间的距离为（）ABCD3等差数列中，已知，则（）A1B2C3D44在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（）ABCD5已知方程表示的曲线是椭圆，则 的取值范围（）ABCD6若三个数成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（）ABCD7曲线围成的图形的面积为（）ABCD8在平面直角坐标系中，下列结论正确的有（）个过双曲线 右焦点的直线被双曲线所截线段长的最小值为 方程 表示的曲线是双曲线若动圆 过点 且与直线 相切，则圆心 的轨迹是抛物线若椭圆 的离心率为 ，则实数 A1B2C3

2、D4二、多选题二、多选题9下列说法正确的是（）A直线与两坐标轴围成的三角形的面积是B若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为C经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或D过两点的直线方程为10长度为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段中点的运动轨迹为曲线，则下列选项正确的是（）A点在曲线内B直线与曲线没有公共点C曲线上任一点关于原点的对称点仍在曲线上D曲线上有且仅有两个点到直线的距离为11已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的是（）ABC当时，D12在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点作一条与坐标轴不平行的直线，与交于两点，则下列说法正确的是（）A若直线与准线交于点，则B

3、对任意的直线，C的最小值为D以为直径的圆与轴公共点个数为偶数三、填空题三、填空题13设直线 ，直线 .当 时，14已知圆，直线，为直线 上一点，若圆上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围是 .15已知椭圆，过椭圆的上顶点作一条与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于另一点，关于轴的对称点为.若直线，与 轴交点的横坐标分别为，.则它们的积为 .16椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：现有一 个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点是它的两个焦点.当静止的小球从点开始出发，沿角直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点时，小球经

4、过的路程为 .四、解答题四、解答题17 （1）求以椭圆的长轴端点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程；（2）已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，求抛物线的方程.18如图所示，正方形的顶点.（1）求边所在直线的方程；（2）写出点 C 的坐标，并写出边所在直线的方程.19在；.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.问题：已知数列的前项和为，_.（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值.20已知圆.（1）过点向圆引切线，求切线 的方程；（2）记圆与、轴的正半轴分别交于，两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.21已知双曲线.（1）过的直线与双曲线有且只

5、有一个公共点，求直线的斜率；（2）若直线与双曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以线段为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点.22设、分别是椭圆的左、右焦点.（1）求 的离心率；（2）过的直线 与 相交于，两点.当 为常数时.若 成等差数列，且公差不为 ，求直线 的方程；当 时.延长 与 相交于另一个点 ，试判断直线 与椭圆 的位置关系，并说明理由.答案解析部分答案解析部分1【答案】A【解析】【解答】解：x-y+1=0 可化为 y=x+，斜率 k=设倾斜角为，则 tan=k=，0，）=故答案为：A【分析】根据题意由已知条件即可得出直线的斜率，再由斜率的坐标公式结合倾斜角的取值范围即可求

6、出倾斜角的大小。2【答案】B【解析】【解答】因为，所以，又 ，所以两平行线之间的距离 ，故答案为：B【分析】根据题意由两条平行直线间的距离公式，代入数值计算出结果即可。3【答案】B【解析】【解答】因为 为等差数列，所以，由，故答案为：B.【分析】由等差数列的项的性质，结合已知条件计算出结果即可。4【答案】C【解析】【解答】由双曲线可得，所以双曲线的渐近线方程为 ，故答案为：C.【分析】由已知条件结合双曲线的简单性质即可得出 a 与 b 的取值，从而即可得出渐近线的方程。5【答案】B【解析】【解答】由题意，.故答案为：B.【分析】根据题意由椭圆的简单性质，即可求解出 t 的取值范围。6【答案】D

7、【解析】【解答】因为，所以，解得，所以 ，则 ，所以 故答案为：D【分析】由已知条件结合等比数列的项的性质即可得出 m 的取值，然后再由题意即可求出 a 与 b 的取值，结合双曲线里的 a、b、c 三者的关系，计算出 c 的取值，再由离心率公式代入数值计算出结果即可。7【答案】A【解析】【解答】曲线 关于 轴和可知轴对称，图形如图所示：即四个半圆和一个正方形构成，正方形的边长为 ，半圆的半径为 ，所以面积为 ，故答案为：A【分析】根据题意由已知条件即可得出曲线的图形即四个半圆和一个正方形构成，然后由圆和正方形的面积公式，代入数值计算出结果即可。8【答案】A【解析】【解答】解：过双曲线右焦点的直

8、线被双曲线所截线段长的最小值为，所以该命题错误；方程 的几何意义是平面内动点 到两个定点 ，距离差等于 6 的点的轨迹，表示以 ，为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，故该命题错误；若动圆 过点 且与直线 相切，则圆心 到 的距离等于到直线 的距离，则圆心 的轨迹是抛物线，故该命题正确；椭圆 的离心率为 ，当焦点在 轴上时，则 ，则 ，解得 ，故该命题错误故答案为：A【分析】由双曲线的简单性质结合已知条件即可判断出错误；整理化简代数式即可得出代数式的几何意义即为双曲线，从而判断出错误；由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式整理化简即可得出圆心的轨迹是抛物线，由此判断出正确；根据题意由椭圆

9、的简单性质结合椭圆的方程，由此计算出，代入到离心率公式由此计算出 m 的取值，由此判断出错误，从而即可得出答案。9【答案】A,D【解析】【解答】A 选项：直线与轴和轴的交点分别为和，三角形面积为，A选项正确；B 选项：三条直线 不能构成三角形，可得 或 或直线过点 ，解得 或 或 ，B 选项错误；C 选项：当直线经过坐标原点时，当直线不经过坐标原点时，设直线方程为 ，代入点 ，即 ，解得 ，故直线为 ，C 选项错误；D 选项：由两点式方程可直接判断 D 选项正确；故答案为：AD.【分析】根据题意由直线的方程即可求出与坐标轴的交点坐标，再把结果代入到三角形的面积公式计算出结果，由此判断出选项 A

10、 正确；由已知条件即可得出 a 的取值，从而即可判断出选项 B 错误；根据题意分情况讨论，设出直线的方程，再把点的坐标代入计算出 a 的值，由此判断出选项 C 错误；利用直线的两点式代入整理即可判断出选项 D 正确，从而得出答案。10【答案】A,B,C【解析】【解答】设线段中点，则，故 ，即 ，表示以原点为圆心，为半径的圆，C 选项正确；A 选项，点 满足 在曲线 内，A 选项正确；B 选项，直线 ，即 ，圆心到直线的距离 ，故直线与圆无公共点，B 选项正确；D 选项，圆心到直线 的距离为 ，又 ，所得由三个点到直线的距离为 1，D 选项错误；故答案为：ABC.【分析】根据题意把点的坐标代入计

11、算出结果，由此判断出选项 A 正确；首先把直线的方程化为一般式，再结合点到直线的距离公式即可判断出直线与圆的位置关系，从而判断出选项 C 正确；由点到直线的距离公式即可求出圆心到直线的结论，由此即可判断出直线与圆的为值关系，从判断出选项 D 错误，由此即可得出答案。11【答案】B,C,D【解析】【解答】，A 不符合题意.，B 符合题意.当 时，等差数列 单调递减，C 符合题意.，即 ，当 时，故成立；当 时，成立，故 成立，D 符合题意.故答案为：BCD.【分析】根据题意由等差数列的前 n 项和公式与等差数列的项的性质整理化简已知条件，由此计算出 ，由此判断出选项 A 错误；由已知条件结合等差

12、数列的前 n 项和整理化简即可得出，由此即可判断出选项 B 正确；由等差数列的项的性质即可判断出选项 C 正确；由等差数列项的性质整理化简即可判断出选项 D 正确，从而得出答案。12【答案】A,B,C【解析】【解答】对于 A 选项，两点在抛物线上，所以，因为直线 与准线交于点 ，所以直线 为：，由 得 ，所以 设直线 的方程为 ，联立 得 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ，A 符合题意；对于 B 选项，由 A 可知 ，故 B 符合题意；对于 C 选项，由 B 选项可知，当且仅当 ，即 时等号成立，故 C 正确；对于 D 选项，设直线 的方程为 在抛物线 上，所以 ，以 为直径的圆的半径 ，的中点

13、坐标为 ，所以以 为直径的圆与 轴相切，所以，以 为直径的圆与 轴公共点个数为 1，D 不符合题意；故答案为：ABC【分析】由已知条件设出点的坐标，再代入到抛物线的方程整理即可得到 ，然后联立直线与抛物线的方程由韦达定理即可得出，由斜率的二项展开式的通项公式坐标公式计算出，由此判断出选项 A、B 正确；由韦达定理结合抛物线的定义结合基本不等式即可求出从而判断出选项 C 正确；根据题意设出点的坐标，再代入到抛物线的方程，从而得出，根据题意由直线与圆的位置关系和中点坐标公式，整理化简即可得出以为直径的圆与 轴相切，由此判断出选项 D 错误，从而得出答案。13【答案】【解析】【解答】因为两直线垂直，

14、所以 ，解得 .故答案为：.【分析】利用直线与直线垂直的性质可得，进行计算求解，即可得到答案。14【答案】【解析】【解答】解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为，则为时，为，所以的长度为 4，故问题转化为在直线上找到一点，使它到点 的距离为 4设 ，或 4满足条件的点 横坐标的取值范围是 故答案为：【分析】由已知条件即可得出从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，由三角形中的几何计算关系即可求解出角的大小，再由已知条件设出点的坐标，并代入到圆的方程，由此计算出 的值，由已知条件即可得出答案。15【答案】3【解

15、析】【解答】因为椭圆，所以椭圆的上顶点为，设 ，则 ，所以 AP 的直线方程为 ，令 ，得 ，即 ，AQ 的直线方程为 ，令 得 ，即 ，故答案为：3【分析】首先由椭圆的方程即可求出顶点的坐标，再设出点的坐标由点斜式即可求出直线的方程，由特殊点法代入数值计算出 ，同理即可求解出，整理化简计算出结果即可。16【答案】【解析】【解答】如图，由题可知，光线经过点后，会到达点，然后再回到点，根据椭圆的定义 ，又椭圆的方程为 ，所以 ，小球经过的路程为：故答案为：【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，结合椭圆的定义即可求解出 a 的取值，由此得出椭圆的方程，再结合题意即可得出答案。17【答案】（1）

16、解：椭圆的长轴端点为，焦点为，设所求双曲线方程为 ，则 ，所以 所以所求双曲线方程为 ；（2）由抛物线定义知，所以 所以抛物线的方程为 【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可得出端点以及焦点的坐标，结合双曲线的简单性质即可求出 a 与c 的值，然后由双曲线里的 a、b、c 三者的关系，计算出 b 的值，从而得出双曲线的方程。(2)由抛物线的定义即可求解出 P 的值，从而得出抛物线的方程。18【答案】（1）边 所在直线的一个法向量为，边 所在直线的方程为：，即 （2）设，由已知 得 ，解得：，即 ，因为边 所在直线的一个方向向量为 ，所以边 所在直线的方程为 .即 .【解析】【分析】(1)

17、由已知条件即可得出 边所在直线的一个法向量，由此即可求解出直线的方程。(2)根据题意设出点的坐标，然后由数量积的坐标公式代入整理化简由此求解出点 C 的坐标，由点向式即可求出直线的方程。19【答案】（1）若选择条件：因为 所以 ，两式相减得，即 ，又 ，即 ，所以 ，又 ，所以 ，所以数列 是以 为首项，为公差的等差数列 所以 若选择条件：由 ，得 ，即 ，所以数列 是等差数列，公差为 ，又因为 ，所以数列 的通项公式为 若选择条件：由 ，变形为 ，在原式中令 得 ，又 ，所以 ，所以 ，所以数列 是等差数列，首项为 6，公差为-2.所以 ，所以 ，所以当 时，符合上式，所以数列 的通项公式为

18、 （2）因为，所以当 或 4 时，取最大值为 12【解析】【分析】(1)若选择条件，根据题意由数列的通项公式和数列前 n 项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等差数列，从而求出数列的通项公式即可。若选择条件，根据题意由数列的通项公式和数列前 n 项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等差数列，从而求出数列的通项公式即可。若选择条件，整理化简已知的递推公式从而得到 ，再由特殊点法代入数值计算出，从而即可得出数列式等差数列，结合题意即可取出数列的前 n 项和公式，结合数列的前 n 项和与数列项的关系，整理化简即可求出数列的通项公式。(2)由已知条件结合等差

19、数列的前 n 项和公式即可得出，关于 n 的一元二次函数，结合二次函数的图象和性质即可求出 的最大值。20【答案】（1）由圆 可得圆心，半径为，若切线 斜率不存在，则方程为 与圆 相切，所以 符合题意；若斜率存在，设方程为 ，即 ，则圆心 到切线的距离 ，解得：，切线方程为 即 ，综上所述：切线方程为 或 .（2）因为圆，所以，设 ，由 可得：，化简得：，即 ，所以动点 的轨迹是以 为圆心，为半径的圆 ，所以圆心距 ，因为 ，所以两圆有两个公共点，由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为 ，圆心 到直线 的距离 ，所以公共弦长为 .【解析】【分析】(1)首先由已知条件即可得出圆心坐标以及半径的值，

20、再由直线与圆的位置关系，对斜率进行讨论，进而设出直线的方程，利用点到直线的距离公式代入数值计算出 k 的取值，由此即可求出切线的方程。(2)根据题意设出点的坐标，结合题意即可求出圆的方程，从而得出动点 的轨迹，再结合两点间的距离公式以及两圆的位置关系，联立圆的方程由此即可求出弦长的方程，然后由点到直线的距离公式 代入数值计算出结果即可。21【答案】（1）由题意得直线 的斜率必存在，设，联立 ，得 若 ，即 时，满足题意；若 ，即 时，令 ，解之得 ；综上，的斜率为 （2）证明：设，联立 ，得 ，则：以线段 为直径的圆过双曲线的左顶点 ，即 ，由韦达定理知，.则 ，整理得 ，解得 或 （均满足

21、）.当 时，直线 ：，此时，直线过点 ，不满足题意，故舍去；当 时，直线 ：，此时，直线恒过点 ，满足题意.所以原题得证，即直线 过定点 .【解析】【分析】(1)由已知条件射出直线的方程，联立直线与双曲线的方程消元后得到关于 x 的方程，结合二次方程的性质由此求解出 k 的取值即可。(2)根据题意设出点的坐标，联立直线与双曲线的方程消元后得到关于 x 的方程，由韦达定理以及二次函数的性质即可得出关于 k 和 m 的两根之和与两根之积的代数式，再把结果代入到数量积的坐标公式整理化简即可求出 m 与 k 的关系式，然后分情况讨论即可得出直线的方程，由此即可求出直线过的定点坐标，从而得证出结论。22

22、【答案】（1）由题意得，因为 ，故 ，即 （2）成等差数列，且公差不为，直线斜率存在，且 又 ，；设直线 方程为 ，联立 ，得 ，则 ，解之得 故直线 方程为 ，直线 与椭圆 的位置关系是：相切.理由如下：设 ，则 ，令 联立 ，得 ，由韦达定理可知 ，并注意到 ，得 ，即 ，故 ，得 同理得 .此时，直线 的方程为 ，整理得 联立 ，得 ，注意到 ，故 此时，故直线 与椭圆 的位置关系是：相切.【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合椭圆的简单性质即可得出，然后由离心率公式整理化简即可得出答案。(2)首先由等差数列的想的性质即可得出 ，再设出直线的方程由设而不求法，联立直线与椭圆的方程，消去 y 等到关于 x 的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于 k 和 t 的两根之和与两根之积的代数式，并把结果代入到弦长公式由此求解出 k 的取值，从而得出直线的方程。根据直线与椭圆的位置关系，设出点的坐标从而得出斜率的代数式，由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去 y 等到关于 x 的一元二次方程结合韦达定理即可得到点的坐标与 m 的代数式，结合斜率的坐标公式计算出斜率的取值，然后由点向式即可求出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，消去 y 等到关于 x 的一元二次方程结合二次方程的性质，由此计算出直线与椭圆的位置关系。