浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2022年高二上学期数学期中联考试卷及答案.pdf

1、 高二上学期数学期中联考试卷 高二上学期数学期中联考试卷一、单选题一、单选题1直线 l 的方程是 ，则直线 l 的倾斜角为（）A1B-1C45D1352容量为 100 的某个样本数据分成 10 组，并填写频率分布表，若前 6 组频率之和为 0.7，则剩下 4 组的频率之和为（）A0.3%B0.3C30D无法确定3已知向量 分别是平面 和平面 的法向量，若 ，则平面 与 所成的角为（）A30B60C60或 120D30或 1504不透明的口袋内装有红色绿色和蓝色小球各 2 个，一次任意摸出 2 个小球，则与事件“2 个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（）A2 个小球不全为红色B2 个小球恰有一

2、个红色C2 个小球至少有一个红色D2 个小球不全为绿色5过椭圆 左焦点 F 作 x 轴的垂线，交椭圆于 P，Q 两点，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，且 ，则该椭圆的离心率是（）ABCD6已知直线 过点 ，则（）ABCD7正方体 的棱长为 2，E，F，G，H 分别为 ，AD，的中点，则过 GH 且与 EF 平行的平面截正方体所得的截面的面积为（）AB2CD48点 是直线 上任意一点，是坐标原点，则以 为直径的圆经过定点（）A 和 B 和 C 和 D 和 二、多选题二、多选题9某学校为了调查学生在放学后体育运动的情况，抽出了一个容量为 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中运动时间在 分钟内的

3、有 72 人，则下列说法正确的是（）A样本中放学后体育运动时间在 分钟的频率为 0.36B样本中放学后体育运动时间不少于 40 分钟的人数有 132C 的值为 200D若该校有 1000 名学生，则必定有 300 人放学后体育运动时间在 分钟10已知直线 l 的一个方向向量为 ，且 l 经过点 ，则下列结论中正确的是（）Al 的倾斜角等于 150Bl 在 x 轴上的截距等于 Cl 与直线 平行Dl 上存在与原点距离等于 2 的点11椭圆 C 的方程为 ，焦点为 ，则下列说法正确的是（）A椭圆 C 的焦距为 3B椭圆 C 的长轴长为 10C椭圆 C 的离心率为 D椭圆 C 上存在点 P，使得 为

4、直角12如图，已知正方体 的棱长为 2，点 E，F 在平面 内，若 ，则下述结论正确的是（）A点 E 的轨迹是一个圆B点 F 的轨迹是一个圆C 的最小值为 D直线 DF 与平面 所成角的正弦值的最大值为 三、填空题三、填空题13已知向量 ，则 .14从分别写有 1,2,3,4 的 4 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 15如果方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是 .16如图，光线从 出发，经过直线 l：反射到 ，该光线又在 Q 点被 x轴反射，若反射光线恰与直线 l 平行，且 ，则实数 a 的最小值

5、是 四、解答题四、解答题17已知直线 l 经过点 （1）若原点到直线 l 的距离为 2，求直线 l 的方程：（2）若直线 l 在两坐标轴上的截距相等，求直线 l 的方程18已知两个定点 ，如果动点 P 满足 （1）求点 P 的轨迹方程；（2）若直线 l：落在点 P 的轨迹与圆 之间（没有公共点），求实数 b 的取值范围 19已知椭圆 C：的左、右焦点分别为 ，过点 及作斜率不为零的直线交椭圆 C于 M，N 两点 （1）求 的周长；（2）若 ，求线段 的长度 20在正四棱锥 P-ABCD 中，侧棱长为 4，底面边长为 ，M，N，E 分别为 PA，BC，PB 的中点 （1）证明：平面 BDM；（2

6、）求点 N 到直线 PD 的距离21已知直三棱柱 中，E，F 分别为 AC 和 的中点，D 为棱 上的点，.（1）证明：；（2）若 D 为 中点，求平面 与平面 DFE 的夹角的余弦值.22已知椭圆 的焦距为 2，O 为坐标原点，F 为右焦点，点 在椭圆上 （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线 l 的方程为 ，AB 是椭圆上与坐标轴不平行的一条弦，M 为弦的中点，直线 MO 交 l 于点 P，过点 O 与 AB 平行的直线交/于点 Q，直线 PF 交直线 OQ 于点 R，直线 QF 交直线 MO 于点 S 证明：O，S，F，R 四点共圆；记QRF 的面积为 ，QSO 的面积为 ，求 的取值范围

7、答案解析部分答案解析部分1【答案】D【解析】【解答】因为直线 l 的方程是 ，所以直线的斜率为-1，设直线 l 的倾斜角为 ，则 ，因为 ，所以 ，故答案为：D【分析】首先由直线的方程求出斜率的值，再由斜率公式结合角的取值范围即可求出倾斜角的大小。2【答案】B【解析】【解答】容量为 100 的某个样本数据分成 10 组，若前 6 组频率之和为 0.7，则剩下 4 组的频率之和为1-0.7=0.3.故答案为：B【分析】根据题意由样本数值的公式计算出结果，然后由频率的性质计算出结果即可。3【答案】B【解析】【解答】平面与平面所成角的范围是 ，由于 ，所以平面 与 所成的角为 .故答案为：B【分析】

8、根据题意由二面角的定义，由夹角的数量积公式代入数值计算出结果即可。4【答案】B【解析】【解答】一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各 2 个，一次任意取出 2 个小球，对于 A，2 个小球不全为红球与事件“2 个小球都为红色”是对立的事件，A 不符合题意；对于 B，2 个小球恰有 1 个红球与事件“2 个小球都为红色”互斥而不对立的事件，B 符合题意；对于 C，2 个小球至少有 1 个红球与事件“2 个小球都为红色”能同时发生，不是互斥事件，C 不符合题意；对于 D，2 个小球不全为绿球与事件“2 个小球都为红色”是可以同时发生的事件，不是互斥事件，D 不符合题意故答案为：B【分

9、析】根据题意由互斥和对立事件的定义，结合已知条件对选项逐一判断即可得出答案。5【答案】A【解析】【解答】由题意得：，因为 ，所以 ，即 ，即 ，即 ，解得 ，故答案为：A【分析】根据题意首先由椭圆的简单性质以及定义，整理即可得到，再由离心率公式结合整体思想得出关于 e 的方程，求解出 e 的值即可。6【答案】D【解析】【解答】由 可得点 在单位圆 上，所以直线 和圆 有公共点.所以圆心 到直线 的距离 ，即得到 .故答案为：D【分析】首先把点的坐标代入到直线的方程，整理即可得到点 M 在直线上，然后由点到直线的距离公式结合已知条件，整理即可得到，从而即可得出答案。7【答案】C【解析】【解答】解

10、：取 中点为 M，连接 ME、MF，取 CD、CB 中点分别为 P、Q，连接 QH、PQ、QG，在正方体 中，由题意四边形 PQGH 为矩形，且 ME GH，MF QG，因为 ME 平面 PQGH，MF 平面 PQGH，GH 平面 PQGH，QG 平面 PQGH，所以 ME 平面 PQGH，MF 平面 PQGH，又 ME MF=M，所以平面 MEF 平面 PQGH，因为 EF 平面 MEF，所以 EF 平面 PQGH，所以过 GH 且与 EF 平行的平面截正方体所得的截面为矩形 PQGH，因为正方体 的棱长为 2，所以 ，所以矩形 PQGH 的面积为 ，所以过 GH 且与 EF 平行的平面截正

11、方体所得的截面的面积为 ，故答案为：C.【分析】根据题意作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，然后由正方体的几何性质以及线面平行的性质和判定定理即可得出过 GH 且与 EF 平行的平面截正方体所得的截面为矩形 PQGH，由矩形的几何性质代入数值计算出截面的面积即可。8【答案】D【解析】【解答】设点 ，则线段 的中点为 ，圆 的半径为 ，所以，以 为直径为圆的方程为 ，即 ，即 ，由 ，解得 或 ，因此，以 为直径的圆经过定点坐标为 、.故答案为：D.【分析】根据题意设出点的坐标，由此即可得出中点的坐标，结合两点间的距离公式计算出圆的半径，由此即可得出圆的方程，整理化为一般式，由此即可得出，

12、从而得到方程，求解出点的坐标由此即可得出答案。9【答案】A,B,C【解析】【解答】由频率分布直方图得运动时间在 分钟的频率是 ，A 符合题意；所以总人数为 C 符合题意；运动时间不少于 40 分钟的人数为 ，B 符合题意；若该校有 1000 名学生，根据样本频率估计总体频率，只能说明可能有 300 人放学后体育运动时间在 分钟，D 不符合题意故答案为：ABC【分析】根据题意由频率分布直方图的性质，结合已知条件对选项逐一判断即可得出答案。10【答案】A,C,D【解析】【解答】因为直线 的一个方向向量为 ，所以直线 的斜率为 ，设直线的倾斜角为 （），则 ，所以 所以 A 符合题意；因为 经过点

13、，所以直线 的方程为 ，即 ，令 ，则 ，所以 在 轴上的截距为 ，所以 B 不符合题意；因为直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，所以 与直线 平行，所以 C 符合题意；因为原点到直线 的距离为 ，所以 上存在与原点距离等于 2 的点，所以 D 符合题意.故答案为：ACD【分析】根据题意直接利用直线的方程，直线的方向向量，由两直线平行和垂直的充要条件，结合点到直线的距离公式，对选项逐一判断即可得出答案。11【答案】B,C【解析】【解答】由题意，椭圆的焦距为 ，A 不符合题意；椭圆的长轴长为 ，B 符合题意；椭圆的离心率 ，C 符合题意；当点 P 为上顶点或者下顶点时，最大，此时 又 为锐角，可

14、得 ，故 ，因此椭圆 C 上不存在点 P，使得 为直角，D 不符合题意故答案为：BC【分析】首先由椭圆的标准方程求出 a、b 的值，结合椭圆的简单性质，对选项逐一判断即可得出答案。12【答案】A,C【解析】【解答】对于 A：，即 ，所以 ，即点 E 为在面 内，以 为圆心、半径为 1 的圆上；A 符合题意；对于 B：正方体 中，ACBD，又 ，且 BDDF=D，所以 平面 ，所以点 F 在 上，即 F 的轨迹为线段 ，B 不符合题意；对于 C：在平面 内，到直线 的距离为 当点 ，落在 上时，；C 符合题意；对于 D：建立如图示的坐标系，则 ，由 B 选项的证明过程可知：F 的轨迹为线段 ，所

15、以设 ，则 ，则 ，而 设平面 的法向量 ，则有 不妨令 x=1，则 ，设 与平面 所成角为，则：当 时，有最大值 ，D 不符合题意；故答案为：AC【分析】根据题意由圆的几何意义把点的坐标代入计算出点的位置关系，由此即可得出 为圆心、半径为 1 的圆上，由此判断出选项 A 正确；根据题意由正方体的几何性质结合线面垂直的性质定理即可得出点 F 在 上，即 F 的轨迹为线段，由此判断出选项 B 错误；利用向量和数量积的坐标公式，代入求出平面的法向量，结合点到平面的距离公式计算出结果由此判断出 C 正确；由线面角与向量夹角的关系，代入数值整理得出，由此计算出 m 的取值，从而得出的最大值，由此判断出

16、选项 D 错误，由此即可得出答案。13【答案】2【解析】【解答】由已知 ，所以 故答案为：2【分析】根据题意由向量模的定义代入数值计算出 x 的取值，再由数量积的坐标公式计算出结果即可。14【答案】【解析】【解答】写有 1,2,3,4 的 4 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，基本事件的个数为 ，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为：，共 个，因此抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 .【分析】利用实际问题的已知条件结合古典概型求概率公式，从而求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率。15【答案】k1【解析】【解答】已知方程可化为

17、，它表示焦点在 轴上的椭圆，则 ，解得 k1故答案为：k1【分析】首先整理化简椭圆的方程，结合椭圆的方程即可求出 k 的取值范围。16【答案】10【解析】【解答】设点 关于直线 的对称点 ，则 ，解得 ，即 ，因为在 Q 点被 x 轴反射后反射光线恰与直线 l 平行，所以 ，即 ，化简，得 ，因为 ，所以 ，即实数 a 的最小值是 .故答案为：.【分析】根据题意由点关于直线对称的性质，计算出点的坐标，然后由光线的反射性质结合斜率的坐标公式计算出，结合斜率的坐标公式计算出，结合题意即可求出 a 的取值范围，从而求出 a 的最小值。17【答案】（1）解：当斜率不存在时，l：，符合题意；当斜率存在时

18、，设 l：，即 ，解得：，l：或 .（2）若直线过原点，设直线方程为 ，因为直线 l 经过点 ，所以 ，所以直线方程为 ，若直线不过原点，设直线方程为 ，因为直线 l 经过点 ，所以 ，所以直线方程为 ，直线 l：或 .【解析】【分析】(1)根据题意对斜率分情况讨论，然后由点斜式设出直线的方程，结合点到直线的距离公式计算出 k 的取值，从而得出直线的方程。(2)根据题意分情况讨论，经过原点和没有经过原点，由此设出直线的方程，再把点的坐标代入计算出 k 的取值，从而得出直线的方程即可。18【答案】（1）设 ，因为 ，所以 化简得：；（2）当 l 与 相切时，由圆心到直线的距离等于半径得：，解得

19、，当 l 与圆 相切时，由圆心到直线的距离等于半径得：，因为直线 l：在点 P 的轨迹和圆 之间，所以实数 .【解析】【分析】(1)首先设出点的坐标，结合已知条件由两点间的距离公式，整理即可得到点 P的轨迹方程。(2)根据题意由点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离由此求解出 b 的取值，然后由直线与圆的位置关系，结合题意即可得到 b 的取值范围。19【答案】（1）解：由椭圆的定义得：，所以 的周长为 .（2）由题意得 ，直线 MN 的倾斜角为 或 ，不妨直线 MN 的方程为 ，与椭圆方程联立可得：，设 ，则有 .所以弦长【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的定义，结合三角形的周长，计算出结

20、果即可。(2)首先由点斜式求出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，消元后得到关于 x 的方程，由韦达定理计算出两根之和与两根之积，然后由弦长公式代入计算出答案即可。20【答案】（1）解：如图建立空间直角坐标系，则 ，所以 ，设平面 的 ，则 ，令 ，则 ，所以 ，而 ，所以 ，因为 平面 ，平面 ；（2）解：，所以 ，所以 即点 N 到直线 PD 的距离为 ；【解析】【分析】(1)根据题意建立可空间直角坐标系由此求出各个点以及向量的坐标，由此即可求出平面的法向量，结合数量积的坐标公式代入计算出，从而即可得到结合线面平行的判定定理即可得证出结论。(2)由(1)的结论求出向量的坐标，再由数量积的坐

21、标公式计算出的值，然后由距离公式计算出结果即可。21【答案】（1）证明：因为三棱柱 是直三棱柱，所以 底面 ABC，底面ABC，所以 ，因为 ，所以 ，又 ，平面 ，所以 平面 .所以 ，两两垂直.以 为坐标原点，分别以 ，所在直线为 ，轴建立空间直角坐标系，如图.所以 ，.由题设 .因为 ，所以 ，所以 .（2）解：由题意得面 的法向量为 ，设面 的法向量为 ，取 ，得 ，所以所求角余弦值为 .【解析】【分析】(1)由三棱柱的几何性质结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理即可得出 平面 ，结合线面垂直的定义即可得证出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以

22、及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式计算出，从而得出线线垂直。(2)建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面 与平面 DFE 的夹角的余弦值。22【答案】（1）解：设椭圆的左焦点为 ，由题意可知 ，根据定义，可求得 ，椭圆的标准方程为（2）解：设 ，直线 AB 的斜率为 k，则有 ，作差得：两边同除 ，可得：，即 ，所以直线 MO 的斜率为 ，MO 的方程为 所以 ，所以直线 PF 的斜率为 ，因为 ，所以 由 可求得 ，所以直线 Q

23、F 的斜率为 ，因为 ，所以 综上，O，S，F，R 四点共圆，OF 为圆的一条直径.由可知：，所以 ，由于直线 PF 的方程为 ，直线 OP 的方程为 ，由垂径定理可知，又因为 ，所以 ，综上，的取值范围为 .【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的方程求出焦点的坐标，再由椭圆的定义计算出 a 与 b 的取值，从而得出椭圆的方程。(2)根据题意设出点的坐标，然后代入由点差法结合斜率坐标公式整理计算出，从而即可得出直线 PF 的方程，结合斜率公式计算出，利用直线平行的斜率之间的关系，计算出 直线 QF 的斜率，从而得出线线垂直由此即可得证出结论。由的结论结合三角形相似的性质即可得出边之间的关系，由此得出直线的方程结合垂径定理整理化简，即可得到与从而得出答案。