广东省八校2022年高二上学期数学期中调研试卷及答案.pdf

1、 高二上学期数学期中调研试卷 高二上学期数学期中调研试卷一、单选题一、单选题1设 ，且 ，则 等于（）A-1B1C-2D22已知点 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹是（）A椭圆B直线C线段D圆3已知一直线经过点 ，下列向量中不是该直线的方向向量的为（）ABCD4圆 ：和圆 ：的公切线的条数为（）A1B2C3D45已知直线 ：过定点 ，直线 过点 且与直线 垂直，则直线 的方程为（）ABCD6已知向量 ，的夹角为钝角，则实数 的取值范围为（）ABCD7已知点 是椭圆 的左焦点，直线 与椭圆交于 ，两点，且 ，则该椭圆的离心率为（）ABCD8已知直线 与圆 交于 两点，过 分别作 的垂线与 轴交于

2、两点，则（）A2B3CD4二、多选题二、多选题9已知直线 ，则下列结论正确的是（）A直线 l 恒过定点 B当 时，直线 l 的斜率不存在C当 时，直线 l 的倾斜角为 D当 时，直线 l 与直线 垂直10以下四个命题中错误的是（）A空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B若 为空间向量的一组基底，则 构成空间向量的另一组基底C对空间任意一点 和不共线的三点 、，若 ，则 、四点共面D任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底11已知点 均在圆 外，则下列表述正确的有（）A实数 的取值范围是 BC直线 与圆 不可能相切D若圆 上存在唯一点 满足 ，则 的值是 12已知椭圆 的左右焦点为 点

3、 P 在椭圆上，且不与椭圆的左右顶点重合，则下列关于 的说法正确的有（）A 的周长为 4+B当 时，的边 C当 时，的面积为 D椭圆上有且仅有 6 个点 P，使得 为直角三角形三、填空题三、填空题13若方程 表示椭圆，则实数 的取值范围是 .14已知直线 3x2y30 和 6xmy10 互相平行，则它们之间的距离是 15已知 ，方程 表示圆，则圆心坐标是 .16如图，在正方体 中，点 为 的重心，若 ，则 .四、解答题四、解答题17若点 A 与点 B 到直线 的距离相等，求 a 的值 18已知空间三点 ，.（1）求以 、为边的平行四边形的面积；（2）若 ，且 分别与 、垂直，求向量 的坐标.1

4、9在平面直角坐标 中，点 是平面上一点，使 的周长为 .（1）求点 的轨迹方程；（2）求 的最大值.20已知圆 的圆心在坐标原点 ，直线 的方程为 .（1）若圆 与直线 相切，求圆 的标准方程；（2）若圆 上恰有两个点到直线 的距离是 1，求圆 的半径的取值范围.21在如图所示的四棱锥 中，四边形 为矩形，平面 ，为 的中点.（1）证明：平面 ；（2）若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.22已知椭圆 经过点 ，且离心率 .（1）求椭圆 的标准方程；（2）若斜率为 且不过点 的直线 交 于 两点，记直线 ，的斜率分别为 ，且 ，求直线 的斜率 .答案解析部分答案解析部分1【答案】A【解析】【解

5、答】，故答案为：A.【分析】由已知条件结合数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。2【答案】C【解析】【解答】因为 ，故动点 的轨迹是线段 .故答案为：C.【分析】由已知条件即可得出点 的轨迹是线段。3【答案】A【解析】【解答】由题知，则与向量 共线的非零向量均为该直线的方向向量.A 选项中的向量 与 不共线，所以不是直线 的方向向量.故答案为：A【分析】由直线的方向向量的定义，结合向量的坐标公式，对选项逐一判断即可得出答案。4【答案】C【解析】【解答】由题知圆 ：的圆心 ，半径 ，圆 ：的圆心 ，半径 ，所以 ，所以两圆外切，所以两圆共有 3 条公切线.故答案为：C【分析】根据题意求出圆心

6、坐标以及半径，然后由两点间的距离公式求出两圆的圆心距，再与两圆的半径之和进行比较，从而得出两圆的位置关系，由此即可得出公切线的条数。5【答案】A【解析】【解答】由题意，直线 ：，过定点 ，则直线 过定点 ，直线 与直线 垂直，则直线 的斜率 ，直线 的方程为 ，即 .故答案为：A.【分析】由已知条件即可得出直线过的定点，再由直线垂直的斜率之间的关系，结合点斜式即可求出直线的方程。6【答案】B【解析】【解答】解：因为向量 ，的夹角为钝角，所以 ，且 不共线，则 ，得 ，当 时，的取值范围为 .故答案为：B.【分析】根据题意由数量积的运算公式整理化简即可得到，由此得出向量不共线，结合数量积的坐标公

7、式即可得出关于 t 的不等式，由共线向量的坐标公式计算出 t 的取值，由此即可得出 t 的取值范围。7【答案】D【解析】【解答】令 中的 ，可解得 ，不妨设 ，又 根据 ，故可得 即 ，整理得 又 ，代入可得 ，故 .故答案为：D.【分析】由已知条件联立直线与椭圆的方程，计算出 x 的值，由此设出点的坐标，结合斜率坐标公式代入整理化简计算出，由椭圆的 a、b、c 三者的关系以及离心率公式，计算出 e 的取值即可。8【答案】D【解析】【解答】由题意，圆心到直线的距离 ，直线 直线 的倾斜角为 ，过 分别作 的垂线与 轴交于 两点，故答案为：D.【分析】由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离公式

8、，结合勾股定理计算出弦长的值，再由直线的斜率，结合三角形中的几何计算关系计算出结果即可。9【答案】C,D【解析】【解答】直线 ，故 时，故直线 l 恒过定点 ，A 不符合题意；当 时，直线 ，斜率 ，B 不符合题意；当 时，直线 ，斜率 ，故倾斜角为 ，C 符合题意；当 时，直线 ，斜率 ，故 ，故直线 l 与直线 垂直，D 符合题意.故答案为：CD.【分析】根据已知条件逐一判断正误即可.10【答案】A,C,D【解析】【解答】A 中忽略三个基底要求不共面的限制，A 不符合题意；若 为空间向量的一组基底，则 、互不共面，且 、均为非零向量，假设 、共面，可设 ，所以 ，该方程组无解，故 、不共面

9、，因此，可构成空间向量的一组基底，B 符合题意；由于 ，此时，、四点不共面，C 不符合题意；任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，D 不符合题意.故答案为：ACD.【分析】根据空间向量基本定理及其推论，对选项逐一判断即可得出答案。11【答案】A,B,D【解析】【解答】，；故 正确；，B 符合题意；点 到 的距离为点 C 到 轴的距离 ，当 时，直线 与圆 相切，C 不符合题意；，点 在以线段 为直径的圆上.又，点 在圆 上.又点 在圆 ：()上，点 均在圆 外，圆 与圆 外切，且点 为切点，D 符合题意.故答案为：ABD.【分析】由 A、B 均在圆外列关于

10、r 的不等式组，求得 r 的取值范围，由此判断出选项 A 正确；直接求出的值由此判断出选项 B 正确；由 r 的范围及圆心坐标即可判断出选项 C 错误；由题意可得，点 P 在以线段 AB 为直径的圆上，求出以 AB 为直径的圆的方程圆，结合点 P 在圆 C：(r0)上，可得圆与圆 C 外切，且点 P 为切点，再由圆心距与半径的关系列式求解出 r 的值，由此判断出选项 D 正确，由此即可得出答案。12【答案】A,D【解析】【解答】由椭圆的方程可得：，对于 A：的周长为 ，选项 A 正确；对于 B：当 时，轴，令 ，可得 ，所以 ，选项 B 不正确；当 时，的面积为 ，选项 C 不正确；当点 位于

11、椭圆的上下顶点时，而 ，此时 ，有 2个直角三角形，当 时，此时点 位于第二或第三象限，有 2 个直角三角形，同理可得 时，此时有 2 个直角三角形，所以共有 6 个直角三角形，选项D 符合题意，故答案为：AD【分析】利用椭圆的定义结合焦距即可判断 A；利用 时，轴，点 横坐标为 即可求出点 纵坐标，即可判断 B；利用焦点三角形面积公式求出 的面积，即可判断 C；分别讨论三个内角为直角的情况，即可判断 D.13【答案】【解析】【解答】因为方程 表示椭圆，所以 ，得 且 .所以实数 的取值范围是 ，故答案为：【分析】由椭圆方程的简单性质，结合题意即可得出关于 m 的不等式组，求解出 m 的取值范

12、围。14【答案】【解析】【解答】直线 3x2y30 变为 6x4y60，m4由两条平行线间的距离公式得 d 故答案为:.【分析】先由两直线平行求出 m=4,再由平行直线间的距离公式求解.15【答案】【解析】【解答】由题意得 ，解得 或 2.当 时，方程为 ，即 ，圆心为 ；当 时，方程为 ，即 ，不表示圆.故答案为：【分析】由圆的一般方程，计算出 m 的取值，代入即由圆的方程，即可求出圆心坐标以及半径。16【答案】1【解析】【解答】易知 为正三角形，连接 、相交于点 ，连接 ，显然点 在线段 上，且满足 ，有 ，得：有 ，可得：.故答案为：1【分析】根据题意由正方体的几何性质，结合向量的加、减

13、运算性质，由已知条件即可得出答案。17【答案】解：因为点 A 与点 B 到直线 的距离相等，所以有：或 ，解得：或 .【解析】【分析】根据题意结合点到直线的距离公式得到关于 a 的方程求解出 a 的值即可。18【答案】（1）解：因为 ，所以 ，所以 ，平行四边形面积为 .（2）解：设 ，则 ，所以 ，由解得 ，或 ，.或 .【解析】【分析】(1)由向量坐标以及向量模的公式，结合数量积的运算公式计算出夹角的余弦值，由同角三角函数的基本关系式即可求出的值，由四边形的面积公式计算出结果即可。(2)根据题意设出向量的坐标，再由数量积的坐标公式计算出 x、y、z 的值，由此得出向量的坐标。19【答案】（

14、1）解：由题知 ，由椭圆的定义可知，动点 的轨迹是以点 、为焦点的椭圆（去掉左右端点），设动点 的轨迹方程为 ，则 ，得 ，因此，动点 的轨迹方程为 ；（2）解：由（1）可知 ，由基本不等式得 ，当且仅当 时等号成立，因此，的最大值为 .【解析】【分析】（1）由题意得出 ，由椭圆的定义可知点 的轨迹是以点 、为焦点的椭圆（去掉左右端点），设点 的轨迹方程为 ，求出 、的值，可得出点 的轨迹方程；（2）利用 ，并利用基本不等式可求出 的最大值.20【答案】（1）设圆的半径为 ，圆心到直线 距离为 ，则 ，依题意 ，所以圆 的方程为 .（2）由（1）知，圆心到直线 距离为 ，又圆 上恰有两个点到直

15、线 的距离是 1，所以 ，即 ，所以 ，即圆 的半径的取值范围是 .【解析】【分析】(1)根据题意由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算出圆心到直线的距离公式，由此计算出圆的半径，从而得出圆的方程。(2)由(1)的结论，结合圆心到直线的距离，由圆的几何意义即可得到，从而得出半径的取值范围。21【答案】（1）设 交 于点 ，连接 ，为 中点，为 中点，.平面 ，平面 ，平面 .（2）如图，以 为坐标原点，所在直线分别为 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.则 ，则 ，平面 ，平面 的一个法向量 .设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，则 ，.，平面 与平面 的夹角的余弦值为 .【解析】【分

16、析】(1)根据题意做出辅助线由中点的性质，即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。(2)由(1)的结论即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 平面 与平面 的夹角的余弦值。22【答案】（1）因为 在椭圆 上，所以 ，又 ，由上述方程联立可得 ，所以椭圆的标准方程为 .（2）设直线 的方程为 ，设 ，由 消 得：，所以 ，因为 ，所以 ，同理可得 ，因为 ，所以 .【解析】【分析】(1)根据题意把点的坐标代入到椭圆的方程，整理得到再由离心率公式以及椭圆的 a、b、c 三者的关系，计算出 a 与 b 的值，由此即可得出椭圆的方程。(2)由设而不求法，设出点的坐标以及直线的方程，然后联立直线与椭圆的方程，消元后得到关于 x 的方程，再由韦达定理以及斜率的坐标公式整理化简，结合已知条件计算出 k 的取值即可。