安徽省2022年高二上学期数学期中联考试卷及答案.pdf

1、 高二上学期数学期中联考试卷 高二上学期数学期中联考试卷一、单选题一、单选题1已知向量，则等于（）ABCD2如图，平行六面体中，与交于点，设，则等于（）ABCD3与直线关于轴对称的直线的方程为（）ABCD4与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的方程是（）ABCD5给出以下命题，其中正确的是（）A直线 的方向向量为，直线的方向向量为，则 与垂直B直线 的方向向量为，平面的法向量为，则C平面的法向量分别为，则D平面经过三个点，向量是平面的法向量，则6正四面体棱长为 2，分别是，的中点，则的值为（）AB1C2D4719 世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著

2、名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，则的值为（）A1B5CD8在棱长为 2 的正方体中，点在棱上，点是棱的中点，点满足，则直线与直线所成角的余弦值为（）ABCD9如图，在三棱锥中，平面，点在三棱锥的表面上运动，则的取值范围是（）ABCD10椭圆的左右焦点分别为，直线与交于 A两点，若，当时，的离心率的最小值为（）ABCD11点是圆上的任一点，圆是过点且半径为 1 的动圆，点是圆上的任一点，则长度的最小值为（）A1B2C3D412如图，矩形的顶点

3、在以为圆心，半径为的圆上，当时，的取值范围是（）ABCD二、填空题二、填空题13若直线与直线平行，则的值为 .14直线与圆交于两点，为坐标原点，则的面积为 .15是椭圆的一个焦点，不过点的直线 交椭圆于、两点，则的周长的最大值为 .16如图，正三棱柱的各棱长均为 1，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则以下结论正确的是 （填入正确结论对应的序号）.设向量旋转后的向量为，则点的轨迹是以为半径的圆设中的在平面上的投影向量为，则的取值范围是直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是三、解答题三、解答题17已知向量，求：（1）向量的坐标；（2）与夹角的余弦值1

4、8已知点，将直线绕着点逆时针旋转得到直线，（1）求直线 的方程；（2）若点是直线 上一点，当的面积等于 5 时，求点的坐标.19如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，是的中点，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角.20点是圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，当点在圆上运动时，记点的轨迹为（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）.（1）求的方程；（2）若曲线与轴交于两点，过点的直线（不与轴重合）与曲线交于两点，记的面积分别为，求的最大值.212021 年我国某海滨城市经常遭遇东偏南某方位的台风的侵袭，对居民的生产和生活产生巨大影响.如图，据 10 月 13 日午时监测，当前台风中心位于

5、城市的东偏南方向的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围是半径为的圆形区域，位于城市的东偏南方向有一条自城市通向远海的航线，当前该航线的至段正遭受台风侵袭.（1）求当前该航线正被台风侵袭的至段的距离；（距离精确到）（2）经过多长时间后该航线将不受台风侵袭？（时间精确到）（参考数据：）22如图，已知圆柱，点 A 是圆上的动点，为圆上的两个定点，且满足.（1）当或时，求证：平面；（2）当直线与平面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积.答案解析部分答案解析部分1【答案】A【解析】【解答】向量，.故答案为：A.【分析】直接利用空间向量的坐标运算求解可得答案.2【答案】B【解析】【解答】

6、由已知可得，故答案为：B.【分析】由已知结合向量加法的三角形法则整理计算，可得答案.3【答案】D【解析】【解答】直线的斜率为，与 x 轴交于点，直线关于轴对称的直线的斜率为，并且过点 A，由直线的点斜式方程得：，即，所以所求直线的方程为：.故答案为：D【分析】先根据对称性求出所求直线经过的点及斜率，然后结合点斜式即可求解出答案.4【答案】C【解析】【解答】椭圆方程化为标准形式，设要求解的椭圆方程为：，将点代入得，解得：，所以，C 符合题意.故答案为：C【分析】由已知椭圆的方程可知 c 的值，再由焦点相同设所求的椭圆的方程，将过的点(4，0)代入椭圆的方程，可知参数的值，进而求出椭圆的方程.5【

7、答案】D【解析】【解答】对于 A，因为，所以 与不垂直，A 不符合题意；对于 B，因为，不成立，所以 B 不符合题意；对于 C，因为与不平行，所以不成立，C 不符合题意；对于 D，由，解得，所以，D 符合题意.故答案为：D.【分析】由两直线的方向向量数量积为 0 可得两直线垂直判断 A；由数量积为 0 可得或判断 B；由平面法向量不共线判断 C；求出，的坐标，再由数量积为 0 列关于 p 和 q 的方程组，求得 判断 D.6【答案】B【解析】【解答】如图，设，则，又，.故答案为：B.【分析】设，画出图形，结合图形及数量积的运算可求出 的值.7【答案】C【解析】【解答】解：根据题意，椭圆的蒙日圆

8、方程为，因为圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，所以该圆与已知圆相切，又两圆圆心间距离为，所以或（无解，舍去），解得故答案为：C.【分析】由所给信息可得蒙日圆的方程，再由两圆只有一个交点可知两圆相切，由题意可得 b 的值.8【答案】B【解析】【解答】解：如图，以为坐标原点，分别以，所在的直线为，轴，建立空间直角坐标系，则，所以，由题知，所以直线与直线所成角的余弦值为故答案为：B 【分析】以为坐标原点，分别以，所在的直线为，轴，建立空间直角坐标系，由空间向量夹角可求出直线与直线所成角的余弦值.9【答案】D【解析】【解答】如图，取中点，连接，则，又因为平面，平面，平面，所以，又，由勾股定理得：，且

9、在以 O 为球心，半径为的球上，故，则的取值范围是，D 符合题意.故答案为：D【分析】取 CD 的中点 O，连接 PC，PO，PD，利用向量的线性运算，将问题转化为求解|PO|的取值范围，即可求出 的取值范围.10【答案】D【解析】【解答】连接，由题知点 A关于原点对称，则，又，即，由得，所以，D 符合题意.故答案为：D【分析】连接，由题知点 A关于原点对称可得，再由，当可得 2a 的范围，进而求出离心率的范围，即可得答案.11【答案】B【解析】【解答】由题可知点的轨迹方程是，即得点是圆上的动点，又由题知点是圆上的动点，如图可得则.故答案为：B.【分析】由题意求出圆 C2圆心的轨迹，画出图形，

10、数形结合求得 长度的最小值.12【答案】A【解析】【解答】由，可以所在直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，由矩形的性质可知，、两点关于原点对称，不妨设，则，为直角三角形，为的中点，又，即，即，故答案为：A.【分析】以所在直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，不妨设，则，可得，结合，得，求得，再求出|QA|2的范围，开方得 的取值范围.13【答案】1【解析】【解答】，得，求得，经检验，符合题意.故答案为：1【分析】由两直线平行的性质列方程，求解可得出 m 的值.14【答案】12【解析】【解答】圆心到直线 的距离，的面积为.故答案为：12.【分析】首先求得圆心到直线的距离，然后求得弦

11、长，最后求解三角形的面积即可得 的面积.15【答案】8【解析】【解答】由已知得，即，取椭圆另一焦点为，的周长为，当且仅当，三点共线时取得等号.故答案为：8.【分析】由椭圆的方程可知 a 的值，再由三角形的周长表达式及椭圆的定义转化，可知周长为当且仅当，三点共线时取到 的周长的最大值.16【答案】【解析】【解答】如图，取棱的中点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，绕着旋转即绕着轴旋转，设旋转后的向量为，则，正确；设，则，点的轨迹是以为半径的圆，正确；由题知，在平面上的投影向量即为其在平面上的投影向量，正确；设直线在平面内的投影与直线所成的角为，则，错误.故答案为：.【分析】取棱的中点，

12、以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出向量 的坐标，即可判断选项；设，求出 y 和 z 满足的关系，得点的轨迹是以为半径的圆即可判断选项；由可得，结合在平面上的投影向量，即可判断选项；利用向量的夹角公式，即可判断选项.17【答案】（1）解：，存在，使得，即，则，解得，又，可得，所以；（2）解：可得，设与的夹角为，则.【解析】【分析】(1)由向量的平行和垂直可得关于 x，y，z 的关系式，求解出 x，y，z，可得向量的坐标；(2)由(1)可得向量 与 的坐标，进而由夹角公式可得 与夹角的余弦值18【答案】（1）解：设直线的倾斜角为，直线 的倾斜角为，则，则，又直线 过点，则直线 的方程为，

13、即.（2）解：设，解得或，故点坐标为或.【解析】【分析】(1)由已知得直线 的倾斜角等于直线 AB 倾斜角和旋转角的和，即可利用两角和的正切公式求出直线 的斜率，然后利用点斜式即可求出直线 的方程；(2)设出点 C 的坐标，利用三角形的面积公式即可求解出点的坐标.19【答案】（1）证明：因为底面和侧面都是矩形，所以，又因为，平面，所以平面，因为平面，所以，又由题知，所以，又，所以平面.（2）解：设为的中点，以为原点，所在直线分别为轴轴轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则得点，设平面的一个法向量为，又，则，令，则取，设平面的一个法向量为，又，则，令，则取，设平面与平面的夹角为，则，所以，即得平面

14、与平面的夹角为.【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明 平面，从而得到，由勾股定理证明，即可证明出 平面；(2)以为原点，所在直线分别为轴轴轴，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出两个平面的法向量，由向量的夹角公式求解出平面与平面的夹角.20【答案】（1）解：设，则，由得是的中点，得，又点在圆上，代入得曲线的方程为.（2）解：解法一：设直线 的方程为，由得，由于点在椭圆内部，所以该方程一定有两个不同实数解，且，因为，所以，当时，当时，当且仅当时等号成立.综上所述，的最大值为 1.解法二：当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为，不妨设，；当直线 的斜

15、率存在时，设直线 的方程为，由得，由于点在椭圆内部，所以该方程一定有两个不同实数解，且，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立.综上所述，的最大值为 1.【解析】【分析】(1)由题意利用相关点法求解曲线 C 的方程；(2)设直线 的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理和基本不等式求解面积之差的最大值.21【答案】（1）解：由题得当前台风中心所处位置点坐标为，即点，又至段所在直线的方程为，则点到该直线的距离为，则，即得当前该航线正被台风侵袭的至段的距离为.（2）解：由题知，当该航线不受台风侵袭时，城市也恰好结束遭受台风侵袭.设经过 小时后台风中心所处位置为点，则得坐标为，即点，又圆的方程为，则由，

16、得，其中分别表示城市开始和结束遭受台风侵袭所需要经历的时间，则易得经过后该航线将不受台风侵袭.【解析】【分析】(1)求出 P 点坐标，得到 P 到直线 AB 的距离即可得当前该航线正被台风侵袭的至段的距离；(2)设经过 t 小时后点的坐标，结合圆 P 的方程，解出 t，即可得城市开始和结束遭受台风侵袭所需要经历的时间.22【答案】（1）证明：如图，当时，易知四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面，同理可证，当时，有平面，故证得当或时，平面.（2）解：取中点，则，以点为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，则取，设，则得直线的方向向量，设直线与平面所成的角为，则，则当时取最大值，此时点 A 的坐标为，则点 A 到平面的距离为，又由题知，则三角形的面积为，故当直线与平面所成角的正弦值取最大值时，三棱锥的体积为.【解析】【分析】(1)当时，易知四边形为平行四边形，则，同理当时，有平面；(2)以点为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量及直线AO 的方向向量，可求得直线 AO 与平面 的所成角的正弦最大值，再利用距离公式求得点 A 到平面 的距离，根据题设条件求得三角形 的面积，由此可得三棱锥的体积.