浙江省杭州市2022年高二上学期数学期中联考试卷及答案.pdf

1、 高二上学期数学期中联考试卷 高二上学期数学期中联考试卷一、单选题一、单选题1若直线的斜率是 1，则其倾斜角为（）ABCD2已知，且，则的值为（）ABC6D-63已知一组数据为 20，30，40，50，50，50，70，80，其平均数、第 60 百分位数和众数的大小关系是（）A平均数第 60 百分位数众数B平均数第 60 百分位数众数C第 60 百分位数众数平均数D平均数第 60 百分位数众数4为了解人们对环保知识的认知情况，某调查机构对地区随机选取个居民进行了环保知识问卷调查（满分为 100 分），并根据问卷成绩（不低于 60 分记为及格）绘制成如图所示的频率分布直方图（分为，六组），若问卷

2、成绩最后三组频数之和为 360，则下面结论中不正确的是（）AB问卷成绩在内的频率为 0.3CD以样本估计总体，若对地区 5000 人进行问卷调查，则约有 1250 人不及格5甲、乙两人独立地破译一份密码，设事件“甲成功破译”，事件“乙成功破译”，则表示“密码被成功破译”的事件为（）ABCD6直线与（其中，），在同一坐标系中的图象是下图中的（）ABCD7在二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则这个二面角的大小为（）ABCD8如图，已知电路中有 5 个开关，开关闭合的概率为，其它开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（）ABCD二、多选题二、多

3、选题9已知直线：，则下列说法正确的是（）A直线 过定点B直线 与直线：一定平行C直线 一定不与坐标轴垂直D直线 与直线：一定垂直10下面四个结论正确的是（）A向量，若，则B若空间四个点，则，三点共线C已知向量，若，则为钝角D任意向量，满足11甲、乙两台机床同时生产一种零件，在 10 天中，两台机床每天生产的次品数分别为：甲0102203124乙2311021101则下列叙述正确的是（）A甲机床出现的次品数较少B乙机床出现的次品数较少C甲机床性能更好D乙机床性能更好12如图，在平行六面体中，点，是棱，的中点，则下列说法中正确的是（）AB向量，共面C平面D与平面所成角的正弦值为三、填空题三、填空题

4、13某中学高一年级有 420 人，高二年级有 460 人，高三年级有 500 人，用分层抽样的方法抽取部分样本，若从高一年级抽取 21 人，则从高三年级抽取的人数是 14直线在轴上的截距是 15若、互为对立事件，其概率分别为，且，则的取值范围为 16在三棱锥中，点是的中点，点是线段的一个三等分点（靠近点），则 四、解答题四、解答题17抛掷三枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况（1）写出试验的样本空间；（2）若正面朝上时得 2 分，反面朝上时得 1 分，求一次试验中总得分为 4 分的概率18从高三年级抽出 50 名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图由于一些数据丢失，试利用频率分

5、布直方图估计：（1）这 50 名学生成绩的众数与中位数；（2）这 50 名学生的平均成绩19的三个顶点是，求：（1）直线的方程；（2）边上的高所在直线的方程（3）求一点，使得四边形为平行四边形20在正四面体中，分别是，的中点设，（1）用，表示，；（2）求证：；（3）求证：，四点共面 21甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 .每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响，“星队”共参加两轮猜成语活动.（1）求“星队”在第一轮活动中只猜对 1 个成语的概率；（2）求“星队”在两轮活动中至少猜对 3 个成语的概率.

6、22如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且平面，分别为，的中点（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求三棱锥的体积；（3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？答案解析部分答案解析部分1【答案】C【解析】【解答】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率是 1，可得，又因为，所以，即直线的倾斜角为.故答案为：C.【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系求出答案.2【答案】D【解析】【解答】由，则，则故答案为：D【分析】利用向量平行的性质列出等式，求解可得答案.3【答案】B【解析】【解答】解：平均数为，第 5 个数 50 即为第 60 百分位数.又众数为 50，它们的大小关系是平均数第

7、 60 百分位数众数.故答案为：B.【分析】分别根据平均数、众数、以及分位数的计算公式，即可求解出答案.4【答案】A【解析】【解答】由，得，A 不正确，C 符合题意；成绩在内的频率为，B 符合题意.若对 A 地区 5000 人进行问卷调查，则约有人不及格，D 符合题意.故答案为：A【分析】利用频率分布直方图中的数据直接求解，逐项进行判断，可得答案.5【答案】A【解析】【解答】“密码被成功破译”是指甲、乙两人至少有一个成功破译密码，而事件指的就是至少有一人破译密码.故答案为：A.【分析】当甲、乙两人中至少一个能破译为份密码，则密码被成功破译，由此能求出表示“密码被成功破译”的事件.6【答案】B【

8、解析】【解答】由题得，.所以直线的斜率为，纵截距为；直线的斜率为，纵截距为；对于选项，斜率，纵截距，所以该选项错误；对于选项，斜率纵截距，所以该选项正确；对于选项，斜率，纵截距，所以该选项错误；对于选项，斜率，纵截距，所以该选项错误；故答案为：B【分析】数形结合，看直线的斜率的大小关系和在 y 轴上的截距的大小关系是否矛盾，从而得出答案.7【答案】C【解析】【解答】设这个二面角的度数为，由题意得，解得，这个二面角的度数为，故答案为：C.【分析】由，两边平方后展开整理，结合 CD 的长，转化求解出二面角的大小.8【答案】A【解析】【解答】设开关 闭合为事件，则事件灯不亮可表示为，由已知，事件灯亮

9、的概率，故答案为：A.【分析】设开关 闭合为事件，由题意可得灯不亮可表示为，进而由独立事件概率计算公式即可求解。9【答案】A,B,D【解析】【解答】A.将点代入直线：得，即点满足直线方程，所以直线 过定点，A 符合题意.B.当时，直线：；直线：，直线当时，斜率 且在轴上截距满足，故直线，所以 B 符合题意.C.当时，直线：与轴垂直，C 不正确.D.由，可得直线与垂直，D 符合题意.故答案为：ABD【分析】取 y=0，求出 x 的值，即可得定点坐标可判断 A；分 a=0 和 a0 两种情况，结合直线平行的条件，即可判断 B；当时，直线：与轴垂直可判断 C；结合直线垂直的条件，即可判断 D.10【

10、答案】A,B【解析】【解答】对于 A，因，则，A 符合题意；对于 B，因，则，即，即 A、B、C 三点共线，B符合题意；对于 C，若为钝角，则，且与不共线，由得，当时，即，由与不共线得，于是得当且时，为钝角，C 不符合题意；对于 D，是的共线向量，而是的共线向量，D 不符合题意，故答案为：AB【分析】由两向量垂直，则夹角为 90，代入数量积可得数量积为 0，可判断 A；由条件得出，可得 A、B、C 三点共线，可判断 B；举反例可判断 C；由于数量积的运算不满足结合律，可判断 D.11【答案】B,D【解析】【解答】甲机床每天生产的次品的平均数：方差为：乙机床每天生产的次品的平均数：方差为：由，所

11、以乙机床出现的次品数较少，乙机床的性能较好.故答案为：BD【分析】分别求出甲、乙两机床每天出次品数的平均数和方差，由此能求出答案.12【答案】A,D【解析】【解答】设，则，对于，所以，故正确；对于，若向量共面，则存在唯一一对实数，使得，则，则有，显然不成立，所以向量不共面，故错误；对于，所以，所以不垂直于，所以错误；对于：设平面的一个法向量为，则有，即有，解得，所以平面的一个法向量为，又，设与平面所成角为，则，；故正确故答案为：AD【分析】设，用基底向量表示，求其数量积可判断 A；若向量共面，则存在唯一一对实数，使得，则，无解可判断 B；以可判断 C；平面的一个法向量为，又，利用向量法可求线面

12、角的正弦值，可判断 D.13【答案】25【解析】【解答】由题意抽样比例为：则从高三年级抽取的人数是人故答案为：25【分析】先求出抽取样本的比例是多少，再计算出从高三年级抽取的人数.14【答案】-4【解析】【解答】直线，令可得所以直线在轴上的截距是-4 故答案为：-4【分析】令可得，由此能求出直线在轴上的截距.15【答案】（0，1）【解析】【解答】若、互为对立事件，其概率分别为，则，且，由即的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）.【分析】由对立事件概率计算公式得，从而，由，由此能求出 的取值范围.16【答案】【解析】【解答】取的中点，连结，又点是的中点，则，所以由，则与全等.所以，由点为的中

13、点，则，则则，所以，在直角三角形中，故答案为：【分析】利用等腰三角形性质，把问题转化为解直角三角形问题，即可求解出 的值.17【答案】（1）解：抛掷三枚硬币，其试验的样本空间是：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）（2）解：总得分为 4 分的情形为“一正两反”，包含 3 个样本点所以总得分为 4 分的概率为【解析】【分析】(1)利用列举法能求出试验的样本空间；(2)利用列举法求出一次试验中总得分为 4 分的情况有 3 种，由此能求出一次试验中总得分为 4 分的概率.18【答案】（1）解：由频率分布直方图可

14、得这 50 名学生成绩的众数为，因为前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，所以中位数在内，设为，则，解得，所以这 50 名学生成绩的众数为 75，中位数为 76.67；（2）解：根据频率分布直方图可得这 50 名学生成绩的平均数为.【解析】【分析】(1)由频率分布直方图，得数学竞赛成绩在70，80)的小矩形最高，由此能求出众数；数学竞赛成绩在40，70)的频率为 0.3，数学竞赛成绩在70，80)的频率为 0.3，由此能求出中位数；(2)利用频率分布直方图能求出这 50 名学生的平均成绩.19【答案】（1）解：由截距式方程得直线的方程为：，即（2）解：，所以上的高所在直线的斜率为上的高所在直

15、线的方程为，即（3）解：设，由，得，解得，从而的坐标为【解析】【分析】(1)由直线的截距式，即可求出直线的方程；(2)先求得直线 BC 的斜率，从而得高线的斜率，再结合点 A 的坐标，由点斜式即可求解出边上的高所在直线的方程；(3)设，由，得，求解可得点 的坐标.20【答案】（1）解：，分别是，的中点，则且所以，分别是，的中点，则且（2）证明：设四面体的棱长为，则向量两两之间的夹角均为则，故；（3）证明：，从而，四点共面【解析】【分析】(1)利用空间向量的线性运算求解即可得出用，表示，；(2)设四面体的棱长为 a，则，然后利用空间向量数量积的运算律，得到，即可证明出；(3)利用空间向量共面定理

16、证明出，四点共面21【答案】（1）记事件 “甲第 i 轮猜对”，事件 “乙第 i 轮猜对”，(i=1，2)，事件 “星队在第一轮活动中只猜对 1 个成语”，事件 “星队在两轮活动中至少猜对 3 个成语”，由题意得，由事件的独立性与互斥性可得：，所以“星队”在第一轮活动中只猜对 1 个成语的概率为 ；（2）由题意得 由事件的独立性与互斥性可得：，所以“星队”在两轮活动中至少猜对 3 个成语的概率为 .【解析】【分析】(1)设事件 A=“甲第一轮猜对”，事件 B=“乙第一轮猜对”，事件 C=“甲第一轮猜对”，事件 D=“乙第一轮猜对”，事件 E=按“星队在第一轮活动中只猜对 1 个成语”事件 F=

17、按“星队在第一-轮活动中只猜对 3 个成语”，则 ，利用事件的独立性与互斥性，能求出“星队”参加一轮活动只猜对 1 个成语的概率；(2)由题意得，利用事件的独立性与互斥性，能求出“星队”在两轮活动中至少猜对 3 个成语的概率.22【答案】（1）解：作于点以为原点，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，如图，则，所以，设平面的法向量为，则，取，则，所以取平面的法向量为，设直线与平面成角为，则（2）解：，由（1）得平面的法向量为，点到平面的距离为，（3）解：令，则，设平面的法向量为，则，取，则，所以取平面的法向量为，平面的法向量为，由已知得，解得，故存在这样的点使得原结论成立【解析】【分析】(1)以为原点，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，求出平面AMN 的法向量及 的坐标，再利用向量的夹角公式即可求解出直线与平面所成角的正弦值；(2)利用空间向量，求出点 D 到平面 AMN 的距离及AMN 的边长，进而求得三棱锥的体积；(3)令，求出平面 QMN 的法向量，利用向量夹角公式及已知条件，建立关于的方程组，求解可得的值.