福建省福州市2022年高二上学期数学期中联考试卷及答案.pdf

1、 高二上学期数学期中联考试卷 高二上学期数学期中联考试卷一、单选题一、单选题1直线的倾斜角为（）ABCD2椭圆的离心率是（）ABCD3已知向量，并且，则实数 x 的值为（）A10B-10CD4圆与圆的位置关系是（）A相切B内含C相交D外离5如图，在直三棱柱中，则与所成的角的余弦值为（）ABCD6已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）ABCD7平面的一个法向量，在内，则到的距离为（）A10B3CD8直线 与曲线 有且仅有一个公共点，则实数 的取值范围是（）ABC 或 D 或 二、多选题二、多选题9已知直线与直线垂直，则实数的值是（）A0BCD10已知空间中三点，则下列说法不正确的是（）A与是共

2、线向量B与同向的单位向量是C与夹角的余弦值是D平面的一个法向量是11已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（）A圆的圆心为B圆被轴截得的弦长为 8C圆的半径为 5D圆被轴截得的弦长为 912已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（）A的最小值为 2B面积的最大值为C直线的斜率为D为钝角三、填空题三、填空题13过点 且与直线 平行的直线方程为 14若，且共面，则 .15已知点 P(1，0)与圆 C：，设 Q 为圆 C 上的动点，则线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程为 .16设 O(0，0，0)，A(0，1，1)，B(1，0，1)，点 P 是线段 AB

3、上的一个动点，且满足，若，则实数的取值范围是 四、解答题四、解答题17已知的顶点.（1）求边所在直线的方程；（2）求的面积.18如图，在四棱锥中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，侧棱 PA 的长为 2，且 PA 与 AB、AD的夹角都等于 60，M 是 PC 的中点，设，.（1）试用表示向量；（2）求 BM 的长.19已知圆心为 的圆经过点 和 ，且圆心 在直线 上 （1）求圆 的方程；（2）若过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程 20如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面平面.（1）证明：；（2）若，设为中点，求直线与平面所成角的余弦值.21如图，在四棱锥 中，底面 是直角

4、梯形，侧棱 底面 ，垂直于 和 ，M 是棱 的中点 （1）求证：面 ；（2）求二面角 的正弦值；（3）在线段 上是否存在一点 使得 与平面 所成角的正弦值为 若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由.22已知椭圆 的右焦点为 F，上顶点为 B，离心率为 ，且 （1）求椭圆的方程；（2）直线 l 与椭圆有唯一的公共点 M，与 y 轴的正半轴交于点 N，过 N 与 BF 垂直的直线交 x 轴于点P若 ，求直线 l 的方程 答案解析部分答案解析部分1【答案】A【解析】【解答】由题意直线斜率为 1，而倾斜角大于或等于且不大于，所以倾斜角为故答案为：A【分析】先由直线的方程求出直线的斜率，根据斜率与倾

5、斜角的关系及倾斜角的范围，求出直线的倾斜角.2【答案】C【解析】【解答】因为椭圆，所以，即.故答案为：C【分析】直接利用椭圆的方程，求出 a，c，即可得到椭圆的离心率.3【答案】B【解析】【解答】解：，解得.故答案为：B.【分析】由 可得，求解可得实数 x 的值.4【答案】B【解析】【解答】因为两圆的圆心距，所以两圆内含.故答案为：B【分析】根据两点间距离公式求出两圆的圆心距 d 与两圆半径差之间的关系，即可判断两圆的位置关系.5【答案】A【解析】【解答】如图，以为坐标原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以直线与所成角的余弦值为故答案为：A.【分析】以为坐标原点，分别为，轴建

6、立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求解出直线与所成角的余弦值.6【答案】D【解析】【解答】设圆心关于直线直线的对称点的坐标为，则线段 C1C2的中点为，且.于是，易知圆的半径长度不变，所以圆的方程为.故答案为：D.【分析】由圆 C2的方程求得圆心坐标与半径，再求出圆心 C2关于直线 y=x 的对称点 C1的坐标，即可求得圆C1的方程.7【答案】D【解析】【解答】，则点到平面的距离.故答案为：D【分析】由题意算出，根据向量 是平面 a 的一个法向量，可得点到平面的距离，计算可得答案.8【答案】C【解析】【解答】根据直线和曲线方程可得如下图象，要使它们有且仅有一个公共点，则 在第二象限与曲线相切或

7、直线截距在 ，当 在第二象限与曲线相切时，可得 ，综上所述，实数 的取值范围 或 。故答案为：C【分析】根据直线和曲线方程可得二者图象，要使它们有且仅有一个公共点，则 在第二象限与曲线相切或直线截距的取值范围，当 在第二象限与曲线相切时，从而求出实数 的取值范围。9【答案】A,B【解析】【解答】因为直线与直线垂直，则，解得或.故答案为：AB.【分析】由直线的垂直关系可得 a 的方程，解方程可得实数的值.10【答案】A,B,C【解析】【解答】对于 A，所以不存在实数，使得，则与不是共线向量，所以 A 不符合题意；对于 B，因为，所以与同向的单位向量为，所以 B 不符合题意；对于 C，向量，所以，

8、所以 C 不符合题意；对于 D 项，设平面的一个法向量是，所以，则，令，则平面的一个法向量为，所以 D 符合题意.故答案为：ABC.【分析】根据向量共线的坐标表示，可判断 A、B；根据向量夹角公式，可判断 C；根据平面法向量的求法，即可判断 D.11【答案】A,B,C【解析】【解答】解：由圆 M 的一般方程为，则圆 M 的标准方程为，故圆心为，半径为 5，则 AC 符合题意；令，得或，则圆 M 被 y 轴截得的弦长为 6，D 不符合题意；令，得或，则圆 M 被 x 轴截得的弦长为 8，B 符合题意故答案为：ABC.【分析】求出圆的圆心与半径，然后求解弦长，逐项进行判断，可得答案.12【答案】B

9、,C【解析】【解答】对于 A，设椭圆的右焦点为，连接，则四边形为平行四边形，当且仅当时等号成立，A 不符合题意；对于 B，由得，的面积，当且仅当时等号成立，B 符合题意；对于 C，设，则，故直线的斜率，C 符合题意；对于 D，设，直线的斜率额为，直线的斜率为，则，又点和点在椭圆上，得，易知，则，得，D 不符合题意.故答案为：BC.【分析】根据题意可得四边形为平行四边形，则，又，结合基本不等式，即判断 A；由得，利用基本不等式可判断 B；设，则，故直线的斜率，即可判断 C；设，直线的斜率额为，直线的斜率为，则，即可判断 D.13【答案】【解析】【解答】解：与直线 平行的直线方程可设为：2x-y+

10、c=0，将点(0，1)代入 2x-y+c=0，得 20-1+c=0，解得 c=1，故所求直线方程为：【分析】根据两直线平行的充要条件，结合直线方程求解即可.14【答案】1【解析】【解答】由于共面，故存在不同时为零的实数，使得，即，解得，故答案为：1【分析】根据共面向量定理得到，由此得到关于 m，n，的方程组，求解可得求的值.15【答案】【解析】【解答】设，因为线段 PQ 的中点为 M，点 P(1，0)，所以.因为 Q 为圆 C 上的动点，所以，即，即 M 的轨迹方程.故答案为：【分析】设，因为线段 PQ 的中点为 M，故，代入圆的方程求解可得线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程.16【答案】【解

11、析】【解答】O(0，0，0)，A(0，1，1)，B(1，0，1).设 P(x，y，z).，整理可得：，解得：.又点 P 是线段 AB 上的一个动点，且满足，.故答案为：【分析】先设 P(x，y，z)，然后表示出已知点的坐标，进而表示向量的坐标，根据向量数量积的运算代入即可求解出实数的取值范围.17【答案】（1）解：直线的斜率为，直线的方程为：，即.（2）解：点到直线的距离，故的面积为.【解析】【分析】(1)利用点斜式即可得求出 边所在直线的方程；(2)利用两点之间的距离公式可得|AB|，利用点到直线距离公式可得点 C 到直线 AB 的距离 d，即可求出 的面积.18【答案】（1）解：（2）解：

12、，所以，则 BM 的长为.【解析】【分析】(1)根据向量加法法则得 ，代入化简即得用 表示向量 的式子；(2)由题意得的模长分别为 1、1、2，利用数量积公式求得 BM 的长.19【答案】（1）解：因为 ，所以线段 的中点坐标为 ，直线 的斜率 ，因此线段 的垂直平分线方程是：，即 圆心 的坐标是方程组 的解解此方程组得：，所以圆心 的坐标是 圆 的半径长 ，所以圆心为 的圆的标准方程是 （2）解：因为 ，所以 在圆内.又因为直线 被圆 截得的弦长为 ，所以圆心 到直线 的距离 当直线 的斜率不存在时，到 的距离为 ，符合题意当直线 的斜率存在时，设 ，即 所以 ，解得 ，直线 为：，即：综上

13、：直线 的方程为 或 【解析】【分析】（1）由圆的性质可得：的垂直平分线方程与直线 联立方程组求得圆心为 ，用两点之间距离公式求得 ，即可求出圆的标准方差.（2）由圆的半径，弦长，利用垂径定理和勾股定理求出弦心距 ，再利用圆心到直线的距离为 求出直线方程即可，需注意斜率不存在的情况.20【答案】（1）证明：依题意，面面，面，面面，面.又面，.（2）解：解法一：向量法 在中，取中点，面，以为坐标原点，分别以为轴，过点且平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，设，.设面法向量为，则，解得.设直线与平面所成角为，则，因为，.所以直线与平面所成角的余弦值为.解法二：几何法过作交于点，

14、则为中点，过作的平行线，过作的平行线，交点为，连结，过作交于点，连结，连结，取中点，连结，四边形为矩形，所以面，所以，又，所以面，所以为线与面所成的角.令，则，由同一个三角形面积相等可得，为直角三角形，由勾股定理可得，所以，又因为为锐角，所以，所以直线与平面所成角的余弦值为.【解析】【分析】(1)先根据面面 得到 面，进而证得；(2)以为坐标原点，分别以为轴，过点且平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系，求出直线的方向向量以及平面的法向量即可求出直线与平面所成角的余弦值.21【答案】（1）解：以点 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，则 ，设平面 的法向量是 ，则 ，即 令 ，则

15、 ，于是 ，又 平面 ，平面 （2）解：设平面 的法向量为 则 ，即 据此可得平面 的一个法向量 ,设二面角 的平面角大小为 ，易知：则 ，即 二面角 的正弦值为 （3）解：假设存在满足题意的点 N，且：，设点 N 的坐标为 ，据此可得：，由对应坐标相等可得 ，故 ，由于平面 的一个法向量 ，由题意可得：解得：，据此可得存在满足题意的点 N，且 的值为 .【解析】【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用平面 的法向量 即可证明 平面 ；（2）分别求出平面 与平面 的法向量，利用法向量的夹角即可得出；（3）假设存在，利用线面角的夹角公式即可得出表达式，解方程即可。22【答案】（1）易知点 、，

16、故 ，因为椭圆的离心率为 ，故 ，因此，椭圆的方程为 ；（2）设点 为椭圆 上一点，先证明直线 的方程为 ，联立 ，消去 并整理得 ，因此，椭圆 在点 处的切线方程为 .在直线 的方程中，令 ，可得 ，由题意可知 ，即点 ，直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，因为 ，则 ，即 ，整理可得 ，所以，因为 ，故 ，所以，直线 的方程为 ，即 .【解析】【分析】（1）先求出 a 值，结合 a，b，c 的关系求得 b，从而求得椭圆的方程；（2）设 M(x0，y0)，可得直线 l 的方程，求出点 P 的坐标，再根据 MP/BF 得 KMP=KBF，求得x0，y0的值，即可得出直线 l 的方程