安徽省十校联盟2022年高二上学期期中联考数学试题及答案.pdf

1、 高二上学期期中联考数学试题 高二上学期期中联考数学试题一、单选题一、单选题1在空间直角坐标系下，点关于轴对称的点的坐标为（）ABCD2若椭圆的一个焦点为，则的值为（）A5B3C4D23将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（）ABCD4已知实数满足方程，则的最大值为（）A3B2C-1D-25已知直线，若圆上存在两点关于直线 对称，则的值为（）ABCD56已知直线与直线平行，则等于（）A3 或 2B2C3D27在四棱锥中，则这个四棱锥的高为（）A2B3C4D58过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（）A1BCD9已知直线，若，则的倾斜角的取值范围是（）ABCD10在正方体中，棱的

2、中点分别为，则直线与所成角的正弦值为（）ABCD11已知圆，直线与圆没有公共点，斜率为的直线与直线 垂直，则的取值范围是（）ABCD12已知椭圆的离心率为，过右焦点且倾斜角为的直线与椭圆相交得到的弦长为，且椭圆上存在 4 个点构成矩形，则矩形面积的最大值为（）A4BC8D16二、填空题二、填空题13设空间向量，且，则 .14设圆，圆，则圆有公切线 条.15设是椭圆的左，右焦点，点在上，为坐标原点，且，则的面积为 .16在如图所示的实验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对角线上移动，当取最小值时，活动弹子与点之间的距离为

3、.三、解答题三、解答题17已知点.（1）若直线 与直线分别交于点，且线段的中点坐标为，求直线 的斜率；（2）若直线 过点，且原点到该直线的距离为，求直线 的方程.18已知定点，动点满足，设点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）若点分别是圆和轨迹上的点，求两点间的最大距离.19如图所示，在三棱锥中，平面，.（1）求证：平面；（2）求与平面所成的角正弦值.20设圆的圆心为，半径为，圆过点，直线交圆与两点，.（1）求圆的方程；（2）已知，过点的直线与圆相交于两点，其中，若存在，使得轴为的平分线，求正数 的值.21如图，在几何体中，底面是边长为 2 的正三角形，平面，且是的中点.（1）求证：平面；（2

4、）求二面角的余弦值.22已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过的直线 与交于两点，若 与轴垂直时，（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在椭圆上，且为坐标原点），求的取值范围.答案解析部分答案解析部分1【答案】B【解析】【解答】设点为关于 y 轴的对称点则的中点在 y 轴上，且坐标为所以，则所以点关于 y 轴的对称点的坐标为.故答案为：B.【分析】根据空间中点关于 y 轴的对称坐标的特点，可得答案.2【答案】B【解析】【解答】有题意知：焦点在轴上，则，从而，解得：.故答案为：B.【分析】由题判断焦点在轴上，结合关系式可求.3【答案】A【解析】【解答】将化为，则该直线的斜率为、倾斜角为，所以旋转后

5、新直线的倾斜角为，则新直线的斜率为.故答案为：A.【分析】先将直线化为斜截式，写出直线斜率和倾斜角，再求得新直线的倾斜角和斜率.4【答案】D【解析】【解答】将方程变形为，则圆心坐标为，半径，则圆上的点的横坐标的范围为：则 x 的最大值是-2故答案为：D.【分析】将方程化为，由圆的几何性质可得答案.5【答案】A【解析】【解答】圆：，圆的圆心坐标为，又圆：上存在两点 P，Q 关于直线 对称，直线 经过圆心，解得.故答案为：A.【分析】根据题意可知圆的圆心坐标为，又圆上存在两点 P，Q 关于直线 对称，所以直线 经过圆心，将圆心坐标代入直线方程，即可求出结果.6【答案】C【解析】【解答】由题意，解得

6、或，时，两直线方程分别为，平行，时，两直线方程分别为，两直线重合，舍去所以故答案为：C【分析】根据两条直线平行的充要条件写出关系式，得到 a 的两个数值，再检验得到结论.7【答案】D【解析】【解答】设平面 ABCD 的法向量为，则，即，取，则，这个四棱锥的高.故答案为：D.【分析】结合点面距离的向量公式求解即可.8【答案】D【解析】【解答】由题意知：，四边形 OAPB 是正方形，且，.故答案为：D.【分析】由题设易知 OAPB 是正方形且，结合两圆的位置关系画示意图，即可求参数 r.9【答案】D【解析】【解答】设的斜率分别为当时，.设直线的倾斜角为，则，；当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，的倾

7、斜角为 0.综上，.故答案为：D.【分析】设的斜率分别为，当时，根据，可知，求得的斜率为，根据正弦函数的性质可知，再结合斜率与倾斜角的关系即可求出倾斜角的范围；当时，易知的倾斜角为 0；由此即可得到结果.10【答案】B【解析】【解答】设正方体的棱长为 2，以 D 为坐标原点，DA，DC，、分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则，则，设直线 EF 与的所成角为，则，.故答案为：B【分析】以 D 为坐标原点，DA，DC，、分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积即可求解.11【答案】B【解析】【解答】由题意得，即，直线 与圆没有公

8、共点，解得，.直线与直线 垂直，当且仅当，即时取等号，又或时，的取值范围是.故答案为：B.【分析】根据直线 与圆没有公共点求得，根据垂直可得，即可求出范围.12【答案】A【解析】【解答】由题意得，故，则直线：，联立，解得，故所形成的弦长为，解得，即椭圆：.由对称性设，其中，则，则，故矩形 MNPQ 的面积，故矩形 MNPQ 面积的最大值为 4，故答案为：A.【分析】根据，故，则直线：与椭圆联立，根据与椭圆相交得到的弦长为求得椭圆方程；设，其中，得到，然后得到矩形 MNPQ 的面积求解.13【答案】1【解析】【解答】因为向量，且，所以，即，解得.故答案为：1【分析】根据，所以求解.14【答案】2

9、【解析】【解答】由题意得，圆：，圆：，与相交，有 2 条公切线.故答案为：2【分析】将圆转化成标准式，结合圆心距判断两圆位置关系，进而求解.15【答案】7【解析】【解答】由题意得，在以线段为直径的圆上，由椭圆的定义知，由，解得，.故答案为：7.【分析】根据题意可得，利用勾股定理和椭圆定义可求得，即可求出面积.16【答案】【解析】【解答】解：四边形 ABCD 为正方形，则，又平面平面 ABEF，平面平面，平面.四边形为矩形，以 B 为坐标原点，以射线 BA，BE，BC 分别为 x，y，z 轴的非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，.点 N 在 BF 上，且，又 M 在线段 AC 上移动，则有

10、，易得点，当时，取得最小值，此时点，则，活动弹子 M 与点 B 之间的距离为.故答案为：【分析】根据给定条件建立以 B 为坐标原点，以射线 BA，BE，BC 分别为 x，y，z 轴的非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量即可计算作答17【答案】（1）解：设，的中点坐标为，直线 的斜率为.（2）解：当直线 的斜率不存在时，其直线方程为，满足题意；当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为，即，原点到该直线的距离为，则直线 的方程为.综上所述，直线 的方程为或.【解析】【分析】（1）根据题意线段的中点坐标为，求出，即可求出直线的斜率；（2）当直线 的斜率不存在时，直接写出直线 的方程；当直

11、线 的斜率存在时，先用点斜式设出直线 的方程，再用原点到直线 的距离求出直线 的斜率，进而求出直线 的方程.18【答案】（1）解：设动点，则，又，化简得，即，动点的轨迹 E 的方程为.（2）解：设，圆心到轨迹 E 上的点的距离当时，.【解析】【分析】（1）设动点，根据条件列出方程，化简求解即可；（2）设，求出圆心到轨迹上点的距离，配方求最值即可得解.19【答案】（1）证明：如图所示：，以为原点建立空间直角坐标系，由题意得：，0，0，1，2，0，证明：，1，1，0，即，平面；（2）解：由（1）可得，1，为平面的一个法向量，则，设与平面所成的角为，所以，所以与平面所成的角正弦值为.【解析】【分析】

12、（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明，即可得证；（2）由（1）可得，为平面的一个法向量，求出与所成角的余弦值，即可得出答案.20【答案】（1）解：设圆 C 的方程为，由题意得，解得，或，圆 C 的方程为或.（2）解：由（1）知，圆 C 的方程为.设直线 PQ 的方程为，联立，化简得，.轴平分，则，即，解得，当时，轴为的平分线.【解析】【分析】（1）设圆 C 的方程为，根据题意，利用待定系数法，即可求出结果；（2）由（1）知，圆 C 的方程为，设直线 PQ 的方程为，联立直线与圆的方程，化简整理得到韦达定理，然后再根据轴平分，可得，化简整理可得，求解方程即可得到结果.21【答案】（1

13、）证明：取的中点 F，连接 EF，且，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面；（2）解：取 AC 的中点 O，以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量是，则，即，令，得，易知平面的一个法向量是，又二面角是钝二面角，二面角的余弦值为.【解析】【分析】（1）取的中点 F，连接，由四边形是平行四边形即可求解；（2）取 AC 的中点 O，以 O 为坐标原点，以为轴，为轴，垂直底面方向为轴，求出对应点坐标，结合二面角夹角余弦公式即可求解.22【答案】（1）解：由题意得，即，则，把代入椭圆方程可得，即，椭圆 C 的标准方程为；（2）解：由（1）知，的坐标为，当直线 的斜率不存在时，则；当直线 的斜率为 0 时，则；当直线 的斜率存在且不为 0 时，设直线 的方程为，联立，得，设，则，则，设点，则，即，代入椭圆方程得，则，又，的取值范围是，综上所述，的取值范围是.【解析】【分析】（1）由离心率得出关系，由通径得出关系，结合椭圆关系式即可求解；（2）需分类讨论，分直线 的斜率不存在、直线 的斜率为 0、直线 的斜率存在且不为 0 三种情况，对第三种情况，可联立直线与椭圆方程，结合弦长公式求出，利用求出直线方程，并将代入椭圆方程，得，化简并结合不等式即可求解.