辽宁省沈阳市2022年高二上学期数学期中试卷及答案.pdf

1、 高二上学期数学期中考试试卷 高二上学期数学期中考试试卷一、单选题一、单选题1已知点 与圆 :,则()A点 与点 都在圆 外B点 在圆 外,点 在圆 内C点 在圆 内,点 在圆 外D点 与点 都在圆 内2已知双曲线 上一点 到 的距离为 ，为坐标原点，且 ，则 ()ABC 或 D 或 3已知点 A(1，3)，B(2，1)若直线 l：yk(x2)1 与线段 AB 相交，则 k 的取值范围是（）ABC或D4如图，把椭圆的长轴分成 8 等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，是椭圆的左焦点，则（）A35B30C25D205已知圆的半径为 2，椭圆的左焦点为，若垂直于轴且经过点的直线 与圆相切

2、，则椭圆的长轴长为（）AB2C4D86唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）AB5CD107已知圆 ：，定点 ，是圆 上的一动点，线段 的垂直平分线交 于点 ，则 点的轨迹 的方程是（）ABCD8定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体 中，则异面直线 与 之间的距离是（）

3、ABCD二、多选题二、多选题9已知向量 ，则下列结论不正确的是（）ABCD10设定点，动点满足，则点的轨迹可能是（）A圆B线段C椭圆D直线11已知圆 和圆 的公共点为 ，则（）AB直线 的方程是 CD12数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线 就是其中之一（如图）给出下列四个结论，其中正确结论是（）A图形关于 轴对称B曲线 恰好经过 6 个整点（即横纵坐标均为整数的点）C曲线 上存在到原点的距离超过 的点D曲线 所围成的“心形”区域的面积大于 3三、填空题三、填空题13已知异面直线 a，b 的方向向量分别为，则 a，b 所成角的余弦值为 .14如图，二面角 等于 ，A、B 是棱 l 上两点

4、，、分别在半平面 、内，且 ，则 的长等于 15已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一个动点，为圆上一个动点，则的最大值为 16双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为 ，若 E 上的点 A 满足，其中、分别是 E 的左，右点，则 .四、解答题四、解答题17在平行六面体中，点为与的交点，点在线段上，且.（1）求的长；（2）设，求的值.18在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为，（1）求对角线所在直线一般形式方程；（2）求所在直线一般形式方程19如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，底面，设点是的中点（1）直线与平面 BDM 所成角的正弦值（2）点 A 到平面 BD

5、M 的距离20已知椭圆经过（1）求椭圆的方程；（2）若直线交椭圆于不同两点是坐标原点，求的面积.21在四棱锥中，平面平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，为线段 AD 的中点，过的平面与线段 PD，分别交于点，.（1）求证：；（2）若，是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.22已知直线 l：4x3y100，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的右上方（1）求圆 C 的方程；（2）过点 M(1，0)的直线与圆 C 交于 A，B 两点(A 在 x 轴上方)，问在 x 轴正半轴上是否存在定点 N，使得 x 轴平分AN

6、B？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 答案解析部分答案解析部分1【答案】C【解析】【解答】因为点 将 的坐标代入圆 的方程,可得 ,所以点 A 在圆 内将 的坐标代入圆 的方程,可得 ,所以点 在圆 外故答案为：C【分析】将点代入圆的方程,根据点与圆位置关系的判断方法,即可得解.2【答案】D【解析】【解答】设双曲线另个焦点为 ，因为 所以 是 的中点，由中位线定理知 .当 在右支时，由双曲线定义可知：当 在右支时，由双曲线定义可知：故答案为：D.【分析】设双曲线另个焦点为 ，因为 所以 是 的中点，由中位线定理知 ，再对点 P 在双曲线的左右支进行分类讨论，结合双曲线定义求出

7、3【答案】D【解析】【解答】解：直线经过定点，又直线与线段相交，故答案为：D【分析】由直线系方程求出直线 l 所过定点，由两点求斜率公式求得连接定点与线段 AB 上点的斜率的最小值和最大值，求得 k 的取值范围.4【答案】A【解析】【解答】设椭圆的右焦点为，由椭圆的对称性，知，故答案为：A【分析】设椭圆的右焦点为，由椭圆的对称性，可得，求解可得答案.5【答案】C【解析】【解答】圆的标准方程为，因为圆的半径为，则，因为，解得，圆的标准方程为，圆心为，由题意可知，直线与圆相切，则，解得，则，因此，椭圆的长轴长为.故答案为：C.【分析】由圆，化成标准方程为，结合题意得出 m的值，再根据条件垂直于 x

8、 轴且经过 F 点的直线与圆 M 相切，利用直线与圆的相切的位置关系得出 c值，求出 a 值，即可得椭圆的长轴长.6【答案】D【解析】【解答】如图，点关于直线的对称点为，则即为“将军饮马”的最短总路程，设，则，解得，则，故“将军饮马”的最短总路程为 10.故答案为：D.【分析】直接利用点关于线的对称的应用和两点间的距离公式的应用，求出“将军饮马”的最短总路程.7【答案】B【解析】【解答】由题可得圆心 ，半径为 6，是垂直平分线上的点，点的轨迹是以 为焦点的椭圆，且 ，故 点的轨迹方程为 。故答案为：B.【分析】由题可得圆心 ，半径为 6，再利用点 P 是垂直平分线上的点，所以 ，所以，再利用题

9、意的定义得出点 的轨迹是以 为焦点的椭圆且 ，从而求出 a 的值，再利用椭圆中 a，b，c 三者的关系式，从而求出 b 的值，进而求出点 的轨迹方程。8【答案】D【解析】【解答】如图，以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，则 ，设 和 的公垂线的方向向量 ，则 ，即 ，令 ，则 ，.故答案为：D.【分析】根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出 和 的公垂线的方向向量的坐标，结合空间向量数量积的运算公式根据题意即可求出异面直线之间的距离。9【答案】B,C【解析】【解答】向量 ，故 A 正确；，1，故 B 错误；，故 C 错误；，故 D 正确故

10、答案为：BC【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算、数量积的坐标运算和向量的模的坐标表示，从而找出结论不正确的选项。10【答案】B,C【解析】【解答】由题意知，定点，可得，因为，可得，当且仅当，即时等号成立当时，可得的，此时点的轨迹是线段；当时，可得，此时点的轨迹是椭圆故答案为：BC【分析】由基本不等式可得，可得或，即可判断出点的轨迹.11【答案】A,B,D【解析】【解答】圆 的圆心是 ，半径 ，圆 ，圆心 ，A 符合题意；两圆相减就是直线 的方程，两圆相减得 ，B 符合题意；，所以 不正确，C 不正确；圆心 到直线 的距离 ，D 符合题意.故答案为：ABD【分析】根据题意求出两个圆的圆心坐标

11、和半径，再把两个圆的方程相减即可得出直线的方程结合点到直线的距离公式对选项逐一判断即可得出答案。12【答案】A,B,D【解析】【解答】对于 A，将 换成 方程不变，所以图形关于 轴对称，A 符合题意；对于 B，当 时，代入可得 ，解得 ，即曲线经过点 ，当 时，方程变换为 ，由 ，解得 ，所以 只能取整数 1，当 时，解得 或 ，即曲线经过 ，根据对称性可得曲线还经过 ，故曲线一共经过 6 个整点，B 符合题意；对于 C，当 时，由 可得 ，（当 时取等号），即曲线 上 轴右边的点到原点的距离不超过 ，根据对称性可得：曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 ，C 不符合题意；对于 D，如图所示，

12、在 轴上图形的面积大于矩形 的面积：，轴下方的面积大于等腰三角形 的面积：，所以曲线 C 所围成的“心形”区域的面积大于 ，D 符合题意；故答案为：ABD【分析】将 换成 方程不变，再结合图形关于 y 轴对称，从而得出图形关于 轴对称；当 时，代入可得 ，解得 ，即曲线经过点 ，当 时，方程变换为 ，由判别式法得出 x 的取值范围，所以 只能取整数 1，当 时，得出 ，解得 或 ，即曲线经过 ，根据对称性可得曲线还经过 ，故曲线一共经过 6 个整点；当 时，由 结合均值不等式求最值的方法，可得 ，（当 时取等号），所以 ，即曲线 上 轴右边的点到原点的距离不超过 ，根据对称性可得曲线 上任意一

13、点到原点的距离都不超过 ；在 轴上图形的面积大于矩形 的面积，再利用矩形的面积公式得出，轴下方的面积大于等腰三角形 的面积，再利用等腰三角形面积公式得出 ，所以曲线 C 所围成的“心形”区域的面积大于 ，从而选出结论正确的选项。13【答案】【解析】【解答】依题意 a，b 所成角的余弦值为.故答案为：【分析】由已知直接利用数量积求夹角公式，即可求出 a，b 所成角的余弦值.14【答案】2【解析】【解答】A、B 是棱 l 上两点，AC、BD 分别在半平面、内，ACl，BDl，又二面角 l 的平面角 等于 120，且 ABACBD1，60，故答案为 2【分析】由已知中二面角 l 等于 120，A、B

14、 是棱 l 上两点，AC、BD 分别在半平面、内，ACl，BDl，且 ABACBD1，由 ，结合向量数量积的运算，即可求出 CD 的长15【答案】12【解析】【解答】由题意得：，根据椭圆的定义得，圆变形得，即圆心，半径，要使最大，即最大，又，使最大即可.如图所示：当共线时，有最大值为，的最大值为，的最大值，即的最大值为 11+1=12，故答案为：12【分析】由椭圆的方程可得 a，b，c 的值，由圆的方程可得圆心的坐标及半径，再由椭圆的定义可得|PF1|=2a-|PF2|，然后由三点共线可知线段之差求出 的最大值.16【答案】；【解析】【解答】双曲线的渐近线方程为，离心率不妨取点在第一象限，且，

15、故答案为：；【分析】由双曲线的渐近线方程为，可知，再结合与，可求得离心率；不妨取点在第一象限，第一象限与第四象限计算结果相同，写出点 A 的坐标后，由三角函数的知识可求得 的值.17【答案】（1）解：因为，即；（2）解：.【解析】【分析】(1)可得，利用数量积运算性质即可求出 的长；(2)易得，再利用平行六面体、空间向量基本定理即可得出 的值.18【答案】（1）解：如图所示，菱形的顶点和，所以的中点，直线的斜率为的斜率为，所以直线的方程为：，即；（2）解：由直线的方程和直线的方程联立，得，解得，即点；设点，则，解得，所以点；又，则的直线方程为，化为一般形式是【解析】【分析】(1)根据题意画出图

16、形，结合图形求出 AC 的中点和斜率，从而求得 BD 的斜率和直线的方程；(2)由直线 AB 和 BD 求点 B 的坐标，再根据对称求出点 D 的坐标，利用直线 AC 和 AB 求得点 A，再写出直线 所在直线一般形式方程19【答案】（1）解：四边形为菱形，又面 ABCD，OB，OP 两两垂直，以为轴，为轴，OP 为轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据题可知，且为中点，设面 BDM 的法向量为，令，则，直线与平面 BDM 所成角的正弦值为；（2）解：由（1）可知，面 BDM 的一个法向量为，点到平面 BDM 的距离，点到平面 BDM 的距离为【解析】【分析】(1)根据题意可知，OB，OP 两两

17、垂直，以为轴，为轴，OP 为轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据题所给的长度可算出面 BDM 的法向量和 的坐标，再根据线面夹角的向量法，求出直线与平面 BDM 所成角的正弦值(2)根据(1)可知 的坐标和面 BDM 的一个法向量 坐标，根据公式，即可求出点 A 到平面 BDM 的距离20【答案】（1）解：由题意得：，解得：即轨迹 E 的方程为（2）解：记，的方程为由消去得，所以设直线 与轴交于点【解析】【分析】(1)根据题意，将两个点的坐标代入椭圆的方程，可得，解可得 a、b 的值，即可得椭圆 E 的方程；(2)记，联立直线与椭圆的方程，解可得 y 的值，即可得 直线 与轴交点的坐标，结合三

18、角形面积公式计算可得 的面积.21【答案】（1）证明：因为，且为线段的中点，所以，又，所以四边形 BCDE 为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又 BE平面 BEGF，平面平面，所以.又平面平面 ABCD，BE平面，平面平面，所以平面 PAD，所以平面 PAD，又平面 PAD，所以；（2）解：存在，为棱上靠近点的三等分点；因为，为线段的中点，所以，又平面平面 ABCD，所以平面 ABCD.如图，以为坐标原点，的方向为，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设，得，所以，设平面的法向量为，则即令，可得，平面 EBP 的一个法向量，则；解得或(舍去)，故为棱上靠近点的三等分点.

19、【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定定理与性质定理证得，再利用面面垂直及线面垂直的性质即可证得；(2)以为坐标原点，的方向为，轴正方向，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面的法向量和平面 EBP 的一个法向量，再由向量夹角公式求出的值，进而得 为棱上靠近点的三等分点.22【答案】（1）解：设圆心 C(a，0)，则 或 a5(舍)，所以圆 C：x2y24 （2）解：当直线 ABx 轴时，x 轴平分ANB，当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得(k21)x22k2xk240，所以 ，若 x 轴平分ANB，则 2x1x2(t1)(x1x2)2t0 ，所以当点 N 为(4，0)时，能使得ANMBNM 总成立 【解析】【分析】（1）设出圆心 坐标，根据直线 与圆 相切，得到圆心到直线 的距离 ，确定出圆心 坐标，即可得出圆 方程；（2）当直线 轴，则 轴平分 ，当直线 斜率存在时，设直线 方程为 ，联立圆与直线方程，消去 得到关于 的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若 轴平分 ，则 ，求出 的值，确定出此时 坐标即可