2020年浙江中考数学复习课件§4.2 三角形.pptx

1、A组 20152019年浙江中考题组,考点一 三角形相关概念与性质,1.(2019杭州,7,3分)在ABC中,若一个内角等于另两个内角的差,则 ( ) A.必有一个内角等于30 B.必有一个内角等于45 C.必有一个内角等于60 D.必有一个内角等于90,答案 D 不妨设A=B-C(BC). ABC的内角和为180, A+B+C=180, B-C+B+C=180,B=90.故选D.,思路分析 解题时根据三角形内角和为180,及一个内角等于另两个内角的差列出方程,解方程可得一个 角为90.,2.(2017金华,3,4分)下列各组数中,不可能成为一个三角形三边长的是 ( ) A.2,3,4 B.5

2、,7,7 C.5,6,12 D.6,8,10,答案 C A.2+34,故能组成三角形;B.5+77,故能组成三角形;C.5+610,故 能组成三角形.故选C.,3.(2015湖州,6,3分)如图,已知在ABC中,CD是AB边上的高,BE平分ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则 BCE的面积等于 ( ) A.10 B.7 C.5 D.4,答案 C 作EFBC于点F,由角平分线上的点到角的两边距离相等得EF=DE=2,所以BCE的面积等于 25=5,故选C.,思路分析 已知BC的长度,由三角形的面积公式可知只需求出BC边上的高即可,故作出BC边上的高线EF, 由角平分线的性质可得EF=DE

3、,这样问题就解决了.,4.(2019湖州,16,4分)七巧板是我国祖先的一项卓越创造,被誉为“东方魔板”.由边长为4 的正方形 ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板,现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔” 造型(其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合,点P在边EH上),则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是 .,答案 4,解析 如图,连接EG,作GMEN交EN的延长线于M, 在RtEMG中,GM=4,EM=2+2+4+4=12, EG= = =4 , EH= =4 .,5.(2019杭州,19,8分)如图,在ABC中,ACABBC. (1)如图1,已知线段AB的垂直平分线

4、与BC边交于点P,连接AP,求证:APC=2B; (2)如图2,以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连接AQ.若AQC=3B,求B的度数. 图1 图2,解析 (1)证明:因为点P在AB的垂直平分线上, 所以PA=PB,所以PAB=B, 所以APC=PAB+B=2B. (2)根据题意,得BQ=BA,所以BAQ=BQA. 设B=x,所以AQC=B+BAQ=3x, 所以BAQ=BQA=2x. 在ABQ中,x+2x+2x=180, 解得x=36,即B=36.,6.(2019温州,20,8分)如图,在75的方格纸ABCD中,请按要求画图,且所画格点三角形与格点四边形的顶点 均不与点A

5、,B,C,D重合. (1)在图1中画一个格点EFG,使点E,F,G分别落在边AB,BC,CD上,且EFG=90; (2)在图2中画一个格点四边形MNPQ,使点M,N,P,Q分别落在边AB,BC,CD,DA上,且MP=NQ. 图1 图2,7.(2015杭州,21,10分)“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三边分别为a,b,c,并 且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度. (1)用记号(a,b,c)(abc)表示一个满足条件的三角形,如(2,3,3)表示边长分别为2,3,3个单位长度的一个三 角形,请列举出所有满足条件的三角形; (2)用直尺和圆规作出三边满足

6、abc的三角形(用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹).,解析 (1)共九种:(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4). (2)只有a=2,b=3,c=4的一个三角形.如图的ABC即为满足条件的三角形.,8.(2018嘉兴,24,12分)我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高 底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”. (1)概念理解 如图1,在ABC中, AC=6, BC=3,ACB=30,试判断ABC是不是“等高底”三角形,请说明理由; (2)问题探

7、究 如图2,ABC是“等高底”三角形,BC是“等底”,作ABC关于BC所在直线的对称图形得到ABC,连接 AA交直线BC于点D.若点B是AAC的重心,求 的值; (3)应用拓展 如图3,已知l1l2,l1与l2之间的距离为2.“等高底”ABC的“等底”BC在直线l1上,点A在直线l2上,有一边的 长是BC的 倍.将ABC绕点C按顺时针方向旋转45得到ABC,AC所在直线交l2于点D,求CD的值.,BC=AE=2,AB=2 , BE=2,即EC=4,AC=2 . ABC绕点C按顺时针方向旋转45得到ABC, DCF=45. 设DF=CF=x, l1l2,ACE=DAF, = = ,即AF=2x.

8、 AC=3x=2 ,可得x= , CD= x= .,考点二 全等三角形,1.(2016金华,6,3分)如图,已知ABC=BAD,添加下列条件还不能判定ABCBAD的是 ( ) A.AC=BD B.CAB=DBA C.C=D D.BC=AD,答案 A 已知ABC=BAD,由题图知AB为ABC与BAD的公共边,对于A项,由边边角不能判定ABC BAD;对于B项,利用角边角能判定ABCBAD;对于C项,利用角角边能判定ABCBAD;对于D 项,利用边角边能判定ABCBAD.故选A.,2.(2015绍兴,7,4分)如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与PRQ的

9、顶 点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是PRQ的平分线.此角 平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得ABCADC,这样就有QAE=PAE.则说明这两个三角形全 等的依据是 ( ) A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS,答案 D 因为在ABC和ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以ABCADC(SSS),故选D.,3.(2019温州,18,8分)如图,在ABC中,AD是BC边上的中线,E是AB边上一点,过点C作CFAB交ED的延长线 于点F. (1)求证:BDECDF; (2)当ADBC,AE=1,CF=2时,求AC的长.,

10、解析 (1)证明:CFAB, B=FCD,BED=F. AD是BC边上的中线, BD=CD, BDECDF. (2)BDECDF,BE=CF=2, AB=AE+BE=1+2=3. ADBC,BD=CD,AC=AB=3.,4.(2018温州,18,10分)如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,ADEC,AED=B. (1)求证:AEDEBC; (2)当AB=6时,求CD的长.,解析 (1)证明:ADEC,A=BEC. E是AB的中点,AE=EB. AED=B,AEDEBC(ASA). (2)AEDEBC,AD=EC. ADEC,四边形AECD是平行四边形, CD=AE.AB=6,CD=AE=

11、 AB=3.,方法总结 本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是正确利用 全等三角形的判定定理解决问题,属于中考常考题型.,思路分析 (1)利用ASA证明即可;(2)证明四边形AECD是平行四边形,推出CD=AE= AB即可解决问题.,5.(2015湖州,23,10分) 问题背景: 已知在ABC中,AB边上的动点D由A向B运动(与A,B不重合),点E与点D同时出发,由点C沿BC的延长线方向 运动(E不与C重合),连接DE交AC于点F,点H是线段AF上一点. (1)初步尝试 如图1,若ABC是等边三角形,DHAC,且点D,E的运动速度相等. 求证:HF=AH+C

12、F. 小王同学发现可以由以下两种思路解决问题: 思路一:过点D作DGBC,交AC于点G,先证GH=AH,再证GF=CF,从而证得结论成立; 思路二:过点E作EMAC,交AC的延长线于点M,先证CM=AH,再证HF=MF,从而证得结论成立. 请你任选一种思路,完整地书写本小题的证明过程; (2)类比探究,如图2,若在ABC中,ABC=90,ADH=BAC=30,且点D,E的运动速度之比是 1,求 的值; (3)延伸拓展 如图3,若在ABC中,AB=AC,ADH=BAC=36,记 =m,且点D,E的运动速度相等,试用含m的代数式表 示 (直接写出结果,不必写解答过程).,解析 (1)证明:证法一(

13、选择思路一): 如题图1, ABC是等边三角形,ADG=B=60,A=60, ADG是等边三角形, (1分) GD=AD=CE, DHAC,GH=AH, (2分) DGBC,GDF=CEF,DGF=ECF, GDFCEF,GF=CF, (3分) GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF. (4分) 证法二(选择思路二): 如题图1, ABC是等边三角形,A=ACB=ECM=60, DHAC,EMAC,AHD=CME=90, AD=CE,ADHCEM, AH=CM,DH=EM, (2分) 又DHF=EMF=90,DFH=EFM, DFHEFM, HF=MF=CM+CF=AH+CF. (4分)

14、(2)过点D作DGBC,交AC于点G,如图, 则ADG=B=90, BAC=ADH=30, HGD=HDG=60,AH=HD=GH=GD,AD= GD, 又由题意可知,AD= CE, GD=CE, (5分) DGBC,GDF=CEF,DGF=ECF, GDFCEF,GF=CF, (6分) GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF, =2. (8分) (3) = . (10分),B组 20152019年全国中考题组,考点一 三角形相关概念与性质,1.(2019内蒙古包头,7,3分)如图,在RtABC中,B=90,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB、AC于 点D、E,再分别以点D、E为圆

15、心,大于 DE的长为半径画弧,两弧交于点F,作射线AF交边BC于点G,若BG= 1,AC=4,则ACG的面积是 ( ) A.1 B. C.2 D.,思路分析 先判断AF是BAC的平分线,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求点G到AC的距 离,最后根据三角形面积公式求解即可.,答案 C 由作图可知AF是BAC的平分线,B=90,BG=1,点G到AC的距离等于1,ACG的面积是 14=2.故选C.,2.(2018山东聊城,10,3分)如图,将一张三角形纸片ABC的一角折叠,使点A落在ABC外的A处,折痕为DE.如 果A=,CEA=,BDA=,那么下列式子中正确的是 ( ) A.=2+ B.=

16、+2 C.=+ D.=180-,答案 A 设DA交AC于点F,经过折叠,A=A=,由三角形的外角定理,AFC=CEA+A=+, BDF=A+AFD=+,即=2+,故选A.,3.(2019江西,10,3分)如图,在ABC中,点D是BC上的点,BAD=ABC=40,将ABD沿着AD翻折得到 AED,则CDE= .,答案 20,解析 BAD=ABD=40,ADB=180-BAD-ABD=180-40-40=100, ADC=180-100=80. AED是由ABD翻折所得的,AEDABD,ADE=ADB=100. CDE=ADE-ADC=100-80=20,即CDE=20.,4.(2017福建,12

17、,4分)如图,ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE,若DE=3,则线段BC的长等于 .,解析 D,E分别是边AB,AC的中点, DE是ABC的中位线,BC=2DE, DE=3,BC=6.,答案 6,5.(2018湖北武汉,16,3分)如图,在ABC中,ACB=60,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE平分 ABC的周长,则DE的长是 .,答案,解析 延长BC至点F,使CF=AC,连接AF,D是AB的中点,AD=DB.DE平分ABC的周长,AC+CE+AD =DB+BE,AC+CE=BE,BE=CF+CE=EF,DE是ABF的中位线,DEAF,ACB=60,ACF=

18、120, 又AC=CF=1,FAC=AFC=30,作CHAF,则AH= AC, 所以AF= AC= ,DE= AF= .,思路分析 延长BC至点F,使CF=AC,利用已知条件证明DE为ABF的中位线,由已知条件求得AF的长,从 而求得DE的长.,解题技巧 对于求线段长度的问题,若条件涉及三角形边的中点,可以考虑运用中位线性质来解答.,6.(2019内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,在ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c. (1)若a=6,b=8,c=12,请直接写出A与B的和与C的大小关系; (2)求证:ABC的内角和等于180; (3)若 = ,求证:ABC是直角三角形.,考点二

19、 全等三角形,1.(2018山东临沂,11,3分)如图,ACB=90,AC=BC,ADCE,BECE,垂足分别是点D,E,AD=3,BE=1,则DE的 长是 ( ) A. B.2 C.2 D.,答案 B ADCE,BECE,ADC=CEB=90,DAC+DCA=90,ACB=90,ECB+ DCA=90,DAC=ECB,AC=CB,ACDCBE,AD=CE=3,CD=BE=1,DE=CE-CD=3-1=2.,思路分析 通过证明ACD与CBE全等,得到AD=CE,CD=BE,然后计算DE的长.,2.(2019四川成都,12,4分)如图,在ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,BAD=CAE

20、,若BD=9,则CE的长为 .,答案 9,解析 AB=AC,B=C. 又BAD=CAE,BADCAE(ASA),CE=BD=9.,3.(2019内蒙古呼和浩特,12,3分)下面三个命题:底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;两边及其 中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.其 中正确的命题的序号为 .,答案 ,解析 等腰三角形的顶角相等,则它们的底角也相等,又因为底边对应相等,所以由AAS或ASA判定两等腰 三角形全等,命题正确;先由SSS证明两三角形中线同侧的三角形全等,得两边的夹角对应相等,再由SAS 证得原两三角形全等,命题正确;直角三角

21、形斜边上的中线等于斜边的一半,所以仅有斜边相等不能证得 两个直角三角形全等,命题错误.故正确的命题是.,4.(2019湖北黄冈,16,3分)如图,AC,BD在AB的同侧,AC=2,BD=8,AB=8.点M为AB的中点.若CMD=120,则 CD的最大值为 .,答案 14,解析 如图,设点A关于CM的对称点为A,点B关于DM的对称点为B,当A,B都在CD上时,CD有最大值.连接 MA,MB,则MACMAC,MBDMBD,CA=CA=2,BD=BD=8,AMC=AMC,BMD=BMD, M为AB的中点,MA=MA=MB=MB=4,CMD=120,AMC+BMD=60,AMC+BMD=60, AMB

22、=60,AB=4,CD=CA+AB+BD=14.,难点突破 考虑到点A与点B是定点,点C与点D是动点,所以想到轴对称,当点A关于CM的对称点A与点B关 于DM的对称点B都在CD上时,CD有最大值,从而找到本题的突破口.,5.(2017内蒙古包头,20,3分)如图,在ABC与ADE中,AB=AC,AD=AE,BAC=DAE,且点D在AB上,点E与 点C在AB的两侧,连接BE,CD.点M、N分别是BE、CD的中点,连接MN,AM,AN. 下列结论: ACDABE; ABCAMN; AMN是等边三角形; 若点D是AB的中点,则SACD=2SADE. 其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号),解

23、析 AB=AC,CAB=DAE,AD=AE,ACDABE,正确;由ACDABE得CD=BE,ACD =ABE,又点M、N分别是BE、CD的中点,CN=BM,ACNABM,AN=AM,CAN=BAM, CAN+BAN=BAM+BAN,即BAC=MAN,又 = ,ABCAMN,正确;AN= AM,AMN是等腰三角形,由已知条件不能得出AMN是等边三角形,错误;若点D是AB的中点,则SABE =2SADE,又ACDABE,SABE=SACD,SACD=2SADE,正确.,答案 ,6.(2016河北,21,9分)如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=D

24、E,AC=DF, BF=EC. (1)求证:ABCDEF; (2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.,解析 (1)证明:BF=EC, BF+FC=EC+CF,即BC=EF. (3分) 又AB=DE,AC=DF, ABCDEF. (5分) (2)ABDE,ACDF. (7分) 理由:ABCDEF, ABC=DEF,ACB=DFE. ABDE,ACDF. (9分),思路分析 本题考查全等三角形的判定与性质,根据条件用“SSS”判定三角形全等,再由全等三角形的性 质得到对应角相等,然后由角相等得到边之间的位置关系.,C组 教师专用题组,考点一 三角形相关概念与性质,1.(2017湖南株洲,5,3分

25、)如图,在ABC中,BAC=x,B=2x,C=3x,则BAD= ( ) A.145 B.150 C.155 D.160,答案 B B+C+BAC=180,BAC=x,B=2x,C=3x,6x=180,解得x=30,BAD=B+C= 5x=150.,答案 D 如图所示: 易知a= BC=1.5,b= AC=2,c= ABtan A= AB = 5 =1.875,所以bca,故选D.,关键提示 本题考查了三角形中位线的性质及线段垂直平分线的性质,解题的关键是找出折痕,进而比较 大小.,3.(2016丽水,9,3分)用直尺和圆规作RtABC斜边AB上的高CD,以下四个作图中,作法错误的是 ( ),答

26、案 D A.利用作线段垂直平分线的方法得出CDAB,从而CD是RtABC斜边AB上的高. B.根据圆中直径所对的圆周角是直角知CD是RtABC斜边AB上的高. C.根据相交圆的两圆心连线垂直平分公共弦知CD是RtABC斜边AB上的高. D.无法证明CD是RtABC斜边AB上的高.故选D.,评析 本题考查了作图复杂作图,关键是掌握过直线外一点作已知直线垂线的方法.,答案 A BD平分ABC,CD平分ACE, DBE= ABC,DCE= ACE,又DCE-DBE=D,ACE-ABC=A,D= A= 30= 15,故选择A.,审题技巧 在求与三角形有关的角度问题时,常常要用到三角形的内角和等于180

27、,或三角形的外角等于 与它不相邻的两个内角的和.,5.(2015贵州遵义,11,3分)如图,四边形ABCD中,C=50,B=D=90,E、F分别是BC、DC上的点,当 AEF的周长最小时,EAF的度数为 ( ) A.50 B.60 C.70 D.80,答案 D 如图,作点A关于BC所在直线的对称点M,及关于CD所在直线的对称点N,连接MN,分别交BC、 DC于点E、F,此时AEF的周长最小.易知M=BAE,N=DAF.在四边形ABCD中,BAD=360-90-90 -50=130,在AMN中,M+N=180-MAN=180-130=50,所以BAE+DAF=50.所以EAF=130- 50=8

28、0.故选D.,评析 本题考查了轴对称、四边形内角和、三角形内角和等知识,属中档题.,6.(2016丽水,12,4分)如图,在ABC中,A=63,直线MNBC,且分别与AB,AC相交于点D,E,若AEN=133, 则B的度数为 .,答案 70,解析 AEN=A+ADE,AEN=133,A=63, ADE=70.又MNBC,B=ADE=70.,7.(2015衢州,12,4分)如图,小聪与小慧玩跷跷板,跷跷板支架高EF为0.6米,E是AB的中点,那么小聪能将小慧 翘起的最大高度BC等于 米.,答案 1.2,解析 EFAC,BCAC,EFBC, 又E是AB的中点,EF是ABC的中位线, BC=2EF,

29、EF=0.6米,BC=1.2米.,8.(2016温州,14,5分)如图,将ABC绕点C按顺时针方向旋转至ABC,使点A落在BC的延长线上.已知A= 27,B=40,则ACB= 度.,答案 46,解析 A=27,B=40,ACB=113,ACA=67. ABC绕点C按顺时针方向旋转得到ABC, ACB=ACB=113. ACB=ACB-ACA=46.,关键提示 ACB=ACB-ACA.,9.(2018云南,6,3分)在ABC中,AB= ,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为 .,答案 1或9,解析 分两种情况讨论: BC边上的高在ABC内时,如图,过A作ADBC于点D. 在RtABD中

30、,AB= ,AD=3,BD= =5. 在RtACD中,AC=5,AD=3,CD= =4.BC=BD+CD=9. BC边上的高位于ABC外时,如图,同可求得BD=5,CD=4,BC=1. 综上,BC的长为1或9.,易错警示 本题容易只考虑BC边上的高在ABC内的情况而导致漏解.,思路分析 根据题意画图,要考虑全面,利用勾股定理解直角三角形即可.,10.(2016四川内江,26,12分)问题引入: (1)如图,在ABC中,点O是ABC和ACB平分线的交点,若A=,则BOC= (用表示);如图 ,CBO= ABC,BCO= ACB,A=,则BOC= (用表示); 拓展研究: (2)如图,CBO= D

31、BC,BCO= ECB,A=,猜想BOC= (用表示),并说明理由; (3)BO、CO分别是ABC的外角DBC、ECB的n等分线,它们交于点O,CBO= DBC,BCO= ECB,A=,请猜想BOC= .,解析 (1)90+ ;120+ . 在ABC中,点O是ABC和ACB平分线的交点, CBO= ABC,BCO= ACB. A=,BOC=180-(CBO+BCO) =180- (ABC+ACB) =180- (180-A) =180- (180-) =180-90+ =90+ . CBO= ABC,BCO= ACB,A=,BOC=180- (ABC+ACB) =180- (180-A) =1

32、80- (180-) =180-60+ =120+ . (2)120- . 理由:CBO= DBC,BCO= ECB,A=, BOC=180- (DBC+ECB) =180-360-(ABC+ACB) =180-360-(180-A),考点二 全等三角形,1.(2016山东淄博,11,4分)如图,直线l1l2l3,一等腰直角三角形ABC的三个顶点A,B,C分别在l1,l2,l3上,ACB =90,AC交l2于点D.已知l1与l2的距离为1.l2与l3的距离为3.则 的值为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 如图,作BFl3,AEl3交l2于点G. ACB=90,BCF+ACE=90.

33、BCF+CBF=90,ACE=CBF. 又BFC=CEA=90,BC=CA,ACECBF. CE=BF=3,CF=AE=4.BG=EF=CF+CE=7.AB= =5 . l2l3, = = .DG= . BD=BG-DG=7- = ., = = .故选择A.,解题关键 添加辅助线构造全等三角形是解题关键.,2.(2015宁波,7,4分)如图,ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件,使ABECDF,则添 加的条件不能为 ( ) A.BE=DF B.BF=DE C.AE=CF D.1=2,答案 C 四边形ABCD是平行四边形,ABCD,AB=CD,ABE=CDF. 若添加BE=D

34、F,则根据SAS可判定ABECDF; 若添加BF=DE,易得BE=DF,则根据SAS可判定ABECDF; 若添加AE=CF,则为SSA,不可判定ABECDF; 若添加1=2,则根据ASA可判定ABECDF. 故选C.,方法指导 先由已知得出两三角形中对应边、角的相等关系,再结合全等三角形的判定定理进行分析.,3.(2019黑龙江齐齐哈尔,12,3分)如图,已知在ABC和DEF中,B=E,BF=CE,点B、F、C、E在同一条 直线上,若使ABCDEF,则还需添加的一个条件是 (只填一个即可).,答案 AB=DE(或A=D或ACB=DFE或ACDF),解析 由BF=CE可得BC=EF,又B=E,

35、此时可选择的判定方法有“SAS”“AAS”或“ASA”. (1)根据“SAS”,可添加AB=DE. (2)根据“AAS”,可添加A=D. (3)根据“ASA”,可添加ACB=DFE或ACDF.,方法点拨 本题属于条件开放题,属于中考常见类型,根据隐含条件(FC为公共线段)把已知条件转化为一 边一角对应相等,所以可以根据“SAS”“AAS”或“ASA”添加不同的条件,需要注意的是不能根据 “SSA”添加条件.,4.(2015江西南昌,9,3分)如图,OP平分MON,PEOM于E,PFON于F,OA=OB,则图中有 对全等 三角形.,答案 3,解析 根据题图的特征以及角平分线的性质可以得到AOPB

36、OP,EOPFOP,AEPBFP,所 以题图中有3对全等三角形.,5.(2019安徽,20,10分)如图,点E在ABCD内部,AFBE,DFCE. (1)求证:BCEADF; (2)设ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求 的值.,解析 (1)证明:如图1,延长FA与CB的延长线交于点M, ADBC,FAD=M, 又AFBE,M=EBC,FAD=EBC. 同理得FDA=ECB. 在BCE和ADF中,EBC=FAD, BC=AD,ECB=FDA,BCEADF. (5分) (2)解法一:如图1,连接EF,由(1)知BCEADF,AF=BE,又AFBE, 四边形ABEF为平行四边形,SAE

37、F=SAEB. 同理SDEF=SDEC,T=SAEB+SDEC, 又T=SAED+SADF=SAED+SBCE,S=SAEB+SDEC+SAED+SBCE=2T. =2. (10分) 解法二:BCEADF,T=SAED+SBCE. 如图2,过点E作HGBC交BC于G,交AD于H,则EGBC,EHAD.于是,T=SAED+SBCE= BC(EG+EH)= BC,思路分析 (1)延长FA与CB的延长线交于M,根据平行四边形ABCD的性质可以证明EBC=FAD,ECB =FDA,从而证明BCEADF(ASA);(2)解法一:连接EF,易证四边形ABEF、CDFE都是平行四边形,从 而得T=S四边形A

38、EDF=SAEF+SDEF=SAEB+SDEC,再证得T=SAED+SBCE,即可得出结果.解法二:利用BCEADF可 证T=SAED+SBCE,然后作HG垂直BC,由三角形的面积公式及AD=BC得出结果.,方法总结 求不规则四边形的面积常将不规则四边形分割成三角形,求三角形的面积和或转化成求熟悉易 求的图形面积.,6.(2015重庆,20,7分)如图,在ABD和FEC中,点B,C,D,E在同一直线上,且AB=FE,BC=DE,B=E. 求证:ADB=FCE.,证明 BC=DE, BC+CD=DE+CD,即DB=CE. (3分) 又AB=FE,B=E, ABDFEC. (6分) ADB=FCE

39、. (7分),7.(2017湖北孝感,18,8分)如图,已知AB=CD,AEBD,CFBD,垂足分别为E、F,BF=DE.求证ABCD.,证明 AEBD,CFBD,AEB=CFD=90. BF=DE,BF+FE=DE+EF,即EB=DF. 在RtDCF和RtBAE中, RtDCFRtBAE(HL), D=B,DCAB.,8.(2017湖南郴州,19,6分)已知ABC中,ABC=ACB,点D,E分别为边AB,AC的中点,求证:BE=CD.,证明 ABC=ACB,AB=AC, 又D、E分别为边AB、AC的中点,AD=AE, 在ADC和AEB中, ADCAEB(SAS). BE=CD.,9.(201

40、8河北,23,9分)如图,A=B=50,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,并 使MP的延长线交射线BD于点N,设BPN=. (1)求证:APMBPN; (2)当MN=2BN时,求的度数; (3)若BPN的外心在该三角形的内部,直接写出的取值范围.,解析 (1)证明:P为AB中点,PA=PB. 又A=B,MPA=NPB,APMBPN. (2)由(1)得PM=PN,MN=2PN, MN=2BN,PN=BN,=B=50. (3)4090. 详解:BPN的外心在该三角形的内部, BPN是锐角三角形, BPN和BNP都为锐角,又B=50, 40BPN90,即4090.,

41、思路分析 (1)根据ASA可证明:APMBPN; (2)根据APMBPN得MN=2PN,结合MN=2BN得出PN=BN,由等边对等角可得结果; (3)只有锐角三角形的外心在三角形的内部,根据BPN和BNP都为锐角及B=50可得的取值范围.,方法归纳 证明三角形全等的一般思路:,1.如果已知两边:(1)找夹角,利用SAS求解;(2)找直角,利用HL或SAS求解;(3)找另一条边,利用SSS求解.,2.已知一边和一角:(1)边为角的对边,则找任一角,利用AAS求解;(2)边为角的一条边:找角的另一边,利用 SAS求解,找边的另一角,利用ASA求解,找边的对角,利用AAS求解.,3.已知两角:(1)

42、找夹边,利用ASA求解;(2)找两角中任意一角的对边,利用AAS求解.,解析 (1)证明:CA=CB,BN=AM, CB-BN=CA-AM,即CN=CM, BC=AC,MCB=ACN,CM=CN, BCMACN. BCMACN,MBC=NAC, EA=ED,EAD=EDA, AGBC, GAC=ACB=90,ADB=DBC, ADB=NAC, ADB+EDA=NAC+EAD=180-90=90, BDE=90. (2)或180-.,11.(2017温州,18,8分)如图,在五边形ABCDE中,BCD=EDC=90,BC=ED,AC=AD. (1)求证:ABCAED; (2)当B=140时,求B

43、AE的度数.,解析 (1)证明:AC=AD,ACD=ADC. BCD=EDC=90,ACB=ADE. BC=ED,ABCAED(SAS). (2)由(1)得ABCAED,B=E, B=140,E=140. 五边形ABCDE的内角和为540, BAE=540-2(140+90)=80.,12.(2015杭州,18,8分)如图,在ABC中,已知AB=AC,AD平分BAC,点M,N分别在AB,AC边上,AM=2MB,AN= 2NC.求证:DM=DN.,证明 因为AM=2MB,所以AM= AB,同理, AN= AC, 又因为AB=AC,所以AM=AN. 因为AD平分BAC,所以MAD=NAD. 在AM

44、D和AND中, 所以AMDAND,所以DM=DN.,13.(2015江苏苏州,24,8分)如图,在ABC中,AB=AC.分别以B、C为圆心,BC长为半径在BC下方画弧,设两弧 交于点D,与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD、BD、CD. (1)求证:AD平分BAC; (2)若BC=6,BAC=50,求 、 的长度之和(结果保留).,一、选择题(每小题3分,共9分),50分钟 60分,1.(2018下沙二模,2)长度分别为2,7,x的三条线段能组成一个三角形,x的值可能是 ( ) A.4 B.5 C.7 D.9,答案 C 由三角形三边关系可知x的取值范围为5x9. 故选C.,2.(2018滨江二模,9)四根长度分别为3,4,6,x(x为整数)的木棒,从中任取三根,首尾顺次相接都能组成一个三 角形,则 ( ) A.组成的三角形中周长最小为9 B.组成的三角形中周长最小为10 C.组成的三角形中周长最大为19 D.组成的三角形中周长最大为16,答案 D 若组成的三角形中周长最小为9,则x=9-3-4=2,但2+36,A错误. 若组成的三角形中周长最小为10,则x=10-3