2020年山东中考数学复习课件16-§4-5　特殊的平行四边形.pptx

1、A组 20152019年山东中考题组题组,考点一 矩形,1.(2019临沂,13,3分)如图,在平行四边形ABCD中,M、N是BD上两点,BM=DN,连接AM、MC、CN、NA,添加 一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是 ( ) A.OM= AC B.MB=MO C.BDAC D.AMB=CND,答案 A 对于A,四边形ABCD是平行四边形, OA=OC,OB=OD, 对角线BD上的两点M、N满足BM=DN, OB-BM=OD-DN,即OM=ON, 四边形AMCN是平行四边形, OM= AC, MN=AC, 四边形AMCN是矩形.,2.(2018威海,11,3分)矩形ABCD与CEFG

2、如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连接 GH,若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH= ( ) A.1 B. C. D.,答案 C 如图,过点H作HM垂直CG于点M,设AF交CG于点O. 根据题意可知GOFDOA,所以 = = = ,所以OF= OA= AF,即AF=3OF,因为点H是AF的中 点,所以OH= AF- AF= AF,即AF=6OH,所以OH= OF.根据已知条件可知HOMFOG,可以推出HM = GF= ;同理,通过HOMAOD,可以推出DM= DG,即GM= DG= .在RtGHM中,GH= = .,3.(2016威海,12,3分)如图

3、,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点.将ABE沿AE折叠,使点B落在矩形 内点F处,连接CF.则CF的长为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 连接BF,交AE于H,则AE垂直平分BF, BC=6,点E为BC的中点,BE=3, 又AB=4,ABC=90,AE=5, BH= ,则BF= ,FE=BE=EC,BFC=90, CF= = ,故选D.,4.(2019滨州,24,13分)如图,矩形ABCD中,点E在边CD上,将BCE沿BE折叠,点C落在AD边上的点F处,过点F 作FGCD交BE于点G,连接CG. (1)求证:四边形CEFG是菱形; (2)若AB=6,AD=10,

4、求四边形CEFG的面积.,解析 (1)证明:由题意可得,BCEBFE, BEC=BEF,FE=CE, FGCE, FGE=CEB, FGE=FEG, FG=FE, FG=EC, 四边形CEFG是平行四边形, 又CE=FE, 四边形CEFG是菱形. (2)在矩形ABCD中,AB=6,AD=10,BC=BF, BAF=90,AD=BC=BF=10, AF=8,DF=2, 设EF=x,则CE=x,DE=6-x, FDE=90, 22+(6-x)2=x2, 解得x= , CE= , 四边形CEFG的面积是CEDF= 2= .,思路分析 (1)根据题意和翻折的性质,可以得到BCEBFE,再根据全等三角形

5、的性质和菱形的判定 方法即可证明结论成立; (2)根据题意和勾股定理,可以求得AF的长,进而求得EF和DF的长,从而可以得到四边形CEFG的面积.,5.(2017济南,23,7分)如图,在矩形ABCD中,AD=AE,DFAE于点F,求证:AB=DF.,证明 四边形ABCD是矩形, B=90,ADBC, DAF=AEB. DFAE, AFD=90=B, 又AD=AE, ABEDFA. AB=DF.,思路分析 首先由矩形的性质,得B=90,其次由垂直定义得AFD=90=B,再由平行线的性质,得 DAF=AEB,最后由“AAS”证明两个三角形全等即可得到AB=DF.,一题多解 本题还可以连接DE,通

6、过证明DEFDEC得到要求证的结论. 连接DE,如图: 四边形ABCD是矩形, AB=CD,C=90,ADBC, ADE=DEC. AD=AE, AED=ADE,DEF=DEC, DFAE, DFE=90=C, 又DE=DE, DEFDEC. DC=DF, AB=DF.,6.(2018临沂,25,11分)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转(0360),得到矩形AEFG. (1)如图,当点E在BD上时,求证:FD=CD; (2)当为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由.,解析 (1)证明:如图1,连接AF. 四边形ABCD是矩形,结合旋转可得BD=AF,EAF=ABD,AB=AE,ABD=AEB

7、,EAF=AEB, BDAF,四边形BDFA是平行四边形,FD=AB,AB=CD,FD=CD. 图1 (2)如图2,当点G位于BC的垂直平分线上,且在BC的右边时.,易知点G也是AD的垂直平分线上的点,DG=AG, 又AG=AD, ADG是等边三角形, DAG=60,=60. 如图3,当点G位于BC的垂直平分线上,且在BC的右边时. 同理,ADG是等边三角形,DAG=60. 此时=300. 综上所述,当为60或300时,GC=GB.,思路分析 (1)连接AF,结合旋转和矩形的性质证得BDAF,且BD=AF,得到四边形BDFA是平行四边形,得 到DF=AB,进而证得的结论;(2)当GC=GB时,

8、点G位于BC或AD的垂直平分线上,分点G位于BC所在直线的左 边或右边两种情况讨论.,考点二 菱形,1.(2019烟台,10,3分)如图,面积为24的ABCD中,对角线BD平分ABC,过点D作DEBD交BC的延长线于 点E,DE=6.则sinDCE的值为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 如图,连接AC交BD于点O,过点D作DFBE于点F. BD平分ABC,ABD=CBD. 四边形ABCD是平行四边形,BCAD. ADB=CBD. ABD=ADB.AB=AD.ABCD是菱形. AO垂直平分BD. DEBD,OCDE. OC= DE= 6=3.,菱形ABCD的面积为24,BD=8. BO

9、=4. BC=DC=5. 由平行四边形面积公式可得SABCD=DFBC=24, DF= . 在RtDCF中,sinDCF= = ,即sinDCE= .,2.(2018日照,1,3分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,添加下列条件,不能判 定四边形ABCD是菱形的是 ( ) A.AB=AD B.AC=BD C.ACBD D.ABO=CBO,答案 B AO=CO,BO=DO,四边形ABCD是平行四边形. 当AB=AD时,根据邻边相等的平行四边形是菱形,能判定四边形ABCD是菱形; 当AC=BD时,根据对角线相等的平行四边形是矩形,不能判定四边形ABCD是

10、菱形; 当ACBD时,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,能判定四边形ABCD是菱形; 当ABO=CBO时, 由ADBC知ADB=DBC, ABO=ADO, AB=AD,四边形ABCD是菱形.故选B.,3.(2017聊城,4,3分)如图,ABC中,DEBC,EFAB,要判定四边形DBFE是菱形,还需要添加的条件是 ( ) A.AB=AC B.AD=BD C.BEAC D.BE平分ABC,答案 D 菱形是特殊的平行四边形,因而在判定一个四边形是菱形时,应先判定这个四边形是平行四边 形,然后在平行四边形的基础上增加条件(边或角)判定是菱形.DEBC,EFAB,四边形DBFE是平行四 边形,要使四

11、边形DBFE是菱形,则添加邻边相等即可,由BE平分ABC得,DBE=EBF,又DEBC, DEB=EBF,DBE=DEB, DB=DE,四边形DBFE是菱形.,思路分析 先由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形DBFE是平行四边形,然后由对 角线平分一个内角得到平行四边形的一组邻边相等,即可由菱形的定义得到需要添加的条件.,4.(2017莱芜,9,3分)如图,菱形ABCD的边长为6,ABC=120,M是BC边的一个三等分点,P是对角线AC上的 动点,当PB+PM的值最小时,PM的长是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 连接BD、DM,DM交AC于点P,则此时PB+PM的值

12、最小. 过点D作DFBC于点F,过点M作MEBD交AC于点E. ABC=120,BCD=60. 易知CM=2,DC=BC,BCD是等边三角形.BF=CF= BC=3. MF=CF-CM=3-2=1,DF= CF=3 . DM= =2 . MEBD,CEMCOB, = = = .,又OB=OD, = . MEBD,PEMPOD, = = . PM= DM= 2 = .故选A.,解题关键 本题考查了菱形的性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形.解题的关键是确定“动点P 在什么位置时,PB+PM的值最小”.,一题多解 作点M关于AC的对称点M,连接BM交AC于点P,此时PB+PM的值最小. 过点

13、B作BECD于E.可求得CE=3,则EM=1.利用勾股定理可得BM=2 .利用相似三角形的性质可得PM= ,则PM= .,5.(2019聊城,21,8分)在菱形ABCD中,点P是BC边上一点,连接AP,点E,F是AP上的两点,连接DE,BF,使得 AED=ABC,ABF=BPF. 求证:(1)ABFDAE; (2)DE=BF+EF.,证明 (1)四边形ABCD是菱形, AB=AD,ADBC, BPA=DAE, ABC=AED, BAF=ADE, ABF=BPF,BPA=DAE, ABF=DAE, AB=DA, ABFDAE(ASA). (2)ABFDAE, AE=BF,DE=AF, AF=AE

14、+EF=BF+EF, DE=BF+EF.,6.(2018枣庄,24,10分)如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边上的点E处,过点E作EGCD交AF于点 G,连接DG. (1)求证:四边形EFDG是菱形; (2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系,并说明理由; (3)若AG=6,EG=2 ,求BE的长.,解析 (1)证明:GEDF,EGF=DFG.由翻折的性质可知GD=GE,DF=EF,DGF=EGF,DGF =DFG, GD=DF,DG=GE=DF=EF,四边形EFDG是菱形. (2)EG2= GFAF.理由:如图1所示:连接DE,交AF于点O. 图1 四边形EFDG为菱形,G

15、FDE,OG=OF= GF. DOF=ADF=90,OFD=DFA,DOFADF, = ,DF2=FOAF. FO= GF,DF=EG,EG2= GFAF. (3)如图2所示,过点G作GHDC,垂足为H. 图2 EG2= GFAF, AG=6,EG=2 ,20= FG(FG+6),整理得FG2+6FG-40=0, 解得FG=4或FG=-10(舍去). 在RtADF中,DF=GE=2 ,AF=10,AD= =4 .,GHDC,ADDC, GHAD,FGHFAD, = ,即 = ,GH= ,BE=BC-CE=AD-GH=4 - = .,思路分析 (1)先依据翻折的性质和平行线的性质证明DGF=DF

16、G,从而得到GD=DF,然后依据翻折的 性质可证明DG=GE=DF=EF,最后证明四边形EFDG是菱形. (2)连接DE,交AF于点O.由菱形的性质可知GFDE,OG=OF= GF,易证DOFADF,由相似三角形的 性质可证DF2=FOAF可得到EG、GF、AF的数量关系. (3)过点G作GHDC,垂足为H.利用(2)的结论可求得FG=4,然后在ADF中依据勾股定理可求得AD的长,再 证明FGHFAD,利用相似三角形的性质可求得GH的长,最后依据BE=BC-CE=AD-GH求解即可.,7.(2018泰安,23,11分)如图,ABC中,D是AB上一点,DEAC于点E,F是AD的中点,FGBC于点

17、G,与DE交于 点H,若FG=AF,AG平分CAB,连接GE,GD. (1)求证:ECGGHD; (2)小亮同学经过探究发现:AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论; (3)若B=30,判定四边形AEGF是不是菱形,并说明理由.,解析 (1)证明:AF=FG,FAG=FGA.AG平分CAB,CAG=FAG,CAG=FGA,AC FG.DEAC,FGDE.FGBC,DEBC,ACBC,C=DHG=90,CGE=GED. F是AD的中点,FGAE,H是ED的中点,FG是线段ED的垂直平分线,GE=GD,GDE=GED, CGE=GDE,ECGGHD. (2)证明:如图,过点G作GPAB于点

18、P,GC=GP,CAGPAG,AC=AP. 由(1)得EG=DG,RtECGRtPDG,EC=PD,AD=AP+PD=AC+EC. (3)四边形AEGF是菱形,理由如下:,B=30,ADE=30,AE= AD,AE=AF=FG. 由(1)得AEFG,四边形AEGF是菱形.,考点三 正方形,1.(2017济南,13,3分)如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AD=3 ,E为OC上一点,OE=1.连接BE, 过点A作AFBE于点F,与BD交于点G,则BF的长为 ( ) A. B.2 C. D.,答案 A 四边形ABCD是正方形, OA=OB,AOB=BOC=90. AFBE, BFG

19、=AOG=90, 又BGF=AGO, OAG=OBE, AOGBOE. OG=OE=1. AD=3 , AC= AD=6,AO=3,AE=4,BG=2. 在RtAOG中,由勾股定理,得AG= . BFG=AOG,AGO=BGF, AGOBGF, = , = ,解得BF= .,思路分析 由正方形的性质得OA=OB,AOB=BOC=90,从而由垂直定义得BFG=AOG=90,从而 OAG=OBE,于是AOGBOE,得到OG=OE=1;由勾股定理,得AC= AD=6,从而AO=3,AE=4,BG=2;由 相似三角形的判定和性质,得AGOBGF,从而 = ,解得BF= .,易错警示 本题易错点:一是不

20、能从复杂的图形中寻找到全等三角形和相似三角形,导致无法切入解答过 程;二是对正方形的性质运用不够好,求不出相关线段的长;三是因粗心大意,计算上出错.,方法规律 正方形具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质;正方形四边相等,对边平行,邻边垂直;四个角 都是直角;对角线互相垂直平分且相等,且每一条对角线平分一组对角.,2.(2016淄博,8,4分)如图,正方形ABCD的边长为10,AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH.则线段GH的长为 ( ) A. B.2 C. D.10-5,答案 B 如图,延长BG交CH于点E, AG=CH=8,BG=DH=6,AB=CD=10, ABGCDH(SSS). A

21、G2+BG2=82+62=102=AB2, ABG是直角三角形,且AGB=90. 同理,DHC是直角三角形,且DHC=90. 1=5,2=6,AGB=CHD=90, 1+2=90,5+6=90,又2+3=90,4+5=90, 1=3=5,2=4=6, AB=BC,ABGBCE(ASA). BE=AG=8,CE=BG=6,BEC=AGB=90. GE=BE-BG=8-6=2.同理可得HE=2. 在RtGHE中,GH= = =2 .故选择B.,一题多解 过点G作EFAB,过点H作HFAB交EF于F. AG2+BG2=82+62=102=AB2, ABG是直角三角形,且AGB=90. 同理,DHC是

22、直角三角形,且DHC=90. EG= =4.8,GF=10-24.8=0.4. 又易求得BE= =3.6,HF=10-23.6=2.8. HG= =2 .故选择B.,3.(2017东营,10,3分)如图,在正方形ABCD中,BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连 接BD、DP,BD与CF相交于点H.给出下列结论:BE=2AE;DFPBPH;PFDPDB;DP2= PHPC.其中正确的是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 在正方形ABCD中,A=CBA=90. 由BPC是等边三角形,可得CBP=60, ABP=30,BE=2AE,即正确; 由BD是正方形ABCD的

23、对角线,可得BCD是等腰直角三角形,CBD=CDB=45,可得PBD=15, CD=CP=CB,PCD=30,CPD=CDP=75, BPD=75+60=135,FDP=90-75=15,PFD=90-PCD=90-30=60,FPD=180-PDF- PFD=180-15-60=105,PBD=PDF,BPH=DFP, DFPBPH,即正确;BPDDPF,PFDPDB错误;由PDH=PDC-CDB=75-45 =30=PCD,CPD=DPH,可得PDCPHD, = ,即DP2=PHPC,即正确.,思路分析 利用BPC是等边三角形得到CBP=60,又ABC=90,ABE=30,即可得到BE=2

24、AE; 利用ADBC,得到PFD=HPB=60,然后利用CP=CD和PCD=30,得到PDC=75,又PDF= CDA-CDP=90-75=15,HBP=ABD-ABE=45-30=15,PDF=HBP,即可证明DFP BPH;HDP=PDC-BDC=75-45=30,HDP=DCP,又HPD=DPC,DPHCPD, = ,即DP2=PHPC.,易错警示 此类问题的易错点:无法充分利用正方形中的45和等边三角形中的60,从而无法推导角相 等,也就无法证明三角形相似.不会将乘积式转化成比例式,逆推三角形相似.,4.(2019菏泽,13,3分)如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC

25、=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长 是 .,答案 8,解析 如图,连接BD交AC于点O, 四边形ABCD为正方形, BDAC,OD=OB=OA=OC, AE=CF=2, OA-AE=OC-CF,即OE=OF, 四边形BEDF为平行四边形,且BDEF, 四边形BEDF为菱形, DE=DF=BE=BF, AC=BD=8,OE=OF= =2, 在RtDOE中,由勾股定理得DE= = =2 , 四边形BEDF的周长=4DE=42 =8 .,5.(2018青岛,12,3分)已知正方形ABCD的边长为5,点E、F分别在AD、DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G, 点H为BF的中点,连接G

26、H,则GH的长为 .,答案,解析 四边形ABCD是正方形,BAD=D=90,AB=AD. 又AE=DF,ABEDAF,ABE=DAF. ABE+AEB=180-BAE=180-90=90, DAF+AEB=90,AGE=BGF=90.在RtBGF中,点H为BF的中点,GH= BF.在RtBFC中, BC=5,CF=CD-DF=5-2=3,根据勾股定理得BF= = ,GH= .,疑难突破 判断BE和AF的位置关系是解题的关键.,6.(2016青岛,13,3分)如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点. 若CEF的周长为18,则OF的长为 .,

27、答案,解析 四边形ABCD是正方形,BO=DO,BC=CD,BCD=90.在RtDCE中,F为DE的中点,CF= DE=EF=DF.CEF的周长为18,CE+CF+EF=18,又CE=5, CF+EF=18-5=13,DE=DF+EF=13,DC= =12,BC=12,BE=12-5=7.在BDE中,BO=DO,F 为DE的中点,OF为BDE的中位线,OF= BE= .,7.(2019临沂,25,11分)如图,在正方形ABCD中,E是DC边上一点(与D、C不重合),连接AE,将ADE沿AE所在 的直线折叠得到AFE,延长EF交BC于G,连接AG,作GHAG,与AE的延长线交于点H,连接CH.显

28、然AE是 DAF的平分线,EA是DEF的平分线.仔细观察,请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180的角平分 线),并说明理由.,解析 过点H作HNBM于N, 则HNC=90, 四边形ABCD为正方形, AD=AB=BC,D=DAB=B=DCB=DCM=90. 将ADE沿AE所在的直线折叠得到AFE, ADEAFE, D=AFE=AFG=90,AD=AF,DAE=FAE, AF=AB, 又AG=AG, RtABGRtAFG(HL), BAG=FAG,AGB=AGF, AG是BAF的平分线,GA是BGF的平分线. 由知,DAE=FAE,BAG=FAG,又BAD=90, GAF+EAF= 90

29、=45, 即GAH=45, GHAG, GHA=90-GAH=45, AGH为等腰直角三角形,AG=GH, AGB+BAG=90,AGB+HGN=90, BAG=NGH, 又B=HNG=90,AG=GH, ABGGNH(AAS), BG=NH,AB=GN, BC=GN,BC-CG=GN-CG, BG=CN, CN=HN, DCM=90, NCH=NHC= 90=45, DCH=DCM-NCH=45, DCH=NCH, CH是DCN的平分线. AGB+HGN=90,AGF+EGH=90, 且由知,AGB=AGF, HGN=EGH, GH是EGM的平分线.,综上所述,AG是BAF的平分线,GA是B

30、GF的平分线,CH是DCN的平分线,GH是EGM的平分线.,思路分析 过点H作HNBM于N,利用正方形的性质及轴对称的性质,证明ABGAFG,可推出AG是 BAF的平分线,GA是BGF的平分线;证明ABGGNH,推出HN=CN,得到DCH=NCH,推出CH是 DCN的平分线;再证HGN=EGH,可知GH是EGM的平分线.,8.(2018聊城,20,8分)如图,正方形ABCD中, E是BC上的一点,连接AE,过B点作BHAE,垂足为点H,延长BH交 CD于点F,连接AF. (1)求证:AE=BF. (2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.,解析 (1)证明:四边形ABCD是正方形, AB=

31、BC,ABE=BCF=90, BAE+AEB=90, BHAE, BHE=90, AEB+EBH=90, BAE=EBH, 在ABE和BCF中, ABEBCF(ASA), AE=BF.,(2)由(1)得ABEBCF,BE=CF, 正方形边长是5,BE=2,DF=CD-CF=CD-BE=5-2=3. 在RtADF中,由勾股定理,得AF= = = = .,思路分析 (1)根据ASA证明ABEBCF,可得AE=BF;(2)根据(1),得ABEBCF,得CF=BE=2,最后 利用勾股定理可得AF的长.,9.(2018潍坊,20,8分)如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DEAM于点E,

32、BFAM于点F,连接 BE. (1)求证:AE=BF; (2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求EBF的正弦值.,解析 (1)证明:BAF+DAE=90, ADE+DAE=90, BAF=ADE, (1分) 在RtDEA和RtAFB中, RtDEARtAFB, (2分) AE=BF. (3分) (2)设AE=x(x0),则BF=x, 四边形ABED的面积为24,DE=AF=2, S四边形ABED=SABE+SAED= x2+ 2x=24, (4分) 解得x1=6,x2=-8(舍), (5分),EF=AE-AF=6-2=4, (6分) 在RtEFB中, BE= =2 , (7分) si

33、nEBF= = = . (8分),思路分析 (1)利用“AAS”证明RtDEARtAFB,即得AE=BF;(2)利用S四边形ABED=SABE+SAED,求出AE的 长,即得BF的长,从而求出EF的长,即可求出EBF的正弦值.,一题多解 本题第(2)问也可把四边形ABED的面积分成BEF的面积、ABF的面积和ADE的面积三 部分来处理,方法如下: 设EF=x(x0),则AE=x+2, BF=AE=x+2, 由(1)知RtAFBRtDEA, S四边形ABED=SBEF+SABF+SADE =SBEF+2SABF=24, 即 x(x+2)+2 (x+2)2=24, 解得x1=4,x2=-10(舍去

34、). EF=4,BF=6. BE= =2 . sinEBF= = = .,知识归纳 一条直线(不与三角形的边重合)过等腰直角三角形的直角顶点. 类型一:分别以原等腰直角三角形的两直角边为斜边,必定可以构造一对全等的直角三角形. 类型二:分别以原等腰直角三角形的两直角边为直角边,必定可以构造一对全等的直角三角形.,10.(2017青岛,21,8分)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OE,OF. (1)求证:BCEDCF; (2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形?请说明理由.,解析 (1)证明:四边形ABCD是菱形, AB=B

35、C=CD=DA,B=D, 点E,F分别为AB,AD的中点, BE= AB,DF= AD,BE=DF. 在BCE和DCF中, BCEDCF(SAS). (2)ABBC.理由如下: E,O分别是AB,AC的中点,OE是ABC的中位线, OE= BC,同理,OF= CD, E,F分别是AB,AD的中点,AE= AB,AF= AD,又AB=BC=CD=AD,OE=OF=AF=AE, 四边形AEOF是菱形,ABBC,OEBC,AEOE, 四边形AEOF是正方形.,思路分析 (1)要证明BCEDCF,需构造全等的三个条件,根据菱形的性质和线段中点的意义求得边 角角对应相等,即可根据SAS得证;(2)要证明

36、四边形AEOF是正方形,先证明四边形AEOF为平行四边形,再证 明一组邻边相等,且有一个角为直角.,B组 20152019年全国中考题组,考点一 矩形,1.(2019重庆A卷,5,4分)下列命题正确的是 ( ) A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是矩形 C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D.对角线相等的四边形是矩形,答案 A 有一个角是直角的平行四边形是矩形,A选项正确; 四条边相等的四边形是菱形,B选项错误; 有一组邻边相等的平行四边形是菱形,C选项错误; 对角线相等的平行四边形是矩形,D选项错误.故选A.,2.(2019陕西,8,3分)如图,在矩形ABCD中,

37、AB=3,BC=6.若点E、F分别在AB、CD上,且BE=2AE,DF=2FC,G、 H分别是AC的三等分点,则四边形EHFG的面积为 ( ) A.1 B. C.2 D.4,答案 C 在矩形ABCD中,AD=BC=6,AB=CD=3, BE=2AE,E是AB的三等分点(靠近点A), G是AC的三等分点(靠近点A), EGBC且EG= BC=2. 同理可得HFAD且HF= AD=2. 四边形EHFG为平行四边形. 又EG与HF间的距离为 AB, S四边形EHFG=2 AB=2.,思路分析 首先证明EGBC,EG= BC,同理可得FHAD,FH= AD,进而可得四边形EHFG为平行四边形, 然后求

38、出平行四边形的底和高即可得解.,3.(2017浙江绍兴,8,4分)在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中,曾利用了下图,该图中,四边形 ABCD是矩形,E是BA延长线上一点,F是CE上一点,ACF=AFC,FAE=FEA.若ACB=21,则ECD 的度数是 ( ) A.7 B.21 C.23 D.24,答案 C 设E=EAF=x,则AFC=ACF=2x,BAC=E+ECA=3x,在ABC中,BAC+ACB=9 0,即3x+21=90,x=23,即E=23,又ABCD,ECD=E=23.,4.(2018四川凉山,9,3分)如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使C落在C处,BC交AD于E,则

39、下列结论不一定 成立的是( ) A.AD= BC B.EBD=EDB C.ABECBD D.sinABE=,答案 C 由折叠知,BC=BC,AD=BC,故A中结论成立;ADBC,EDB=DBC,由折叠知EBD= DBC, EBD=EDB,故B中结论成立;没有足够的条件证明ABECBD,故C中结论不一定成立;EBD= EDB,BE=ED,在RtABE中,A=90,sinABE= = ,故D中结论成立.故选C.,5.(2017安徽,10,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.动点P满足SPAB= S矩形ABCD.则点P到A,B两点距离之和 PA+PB的最小值为 ( ) A. B. C.

40、5 D.,答案 D 如图,过P点作MN,使MNAB,作A点关于MN的对称点A1,连接PA1,A1B,则PA1=PA,设点P到AB的距 离为h,由AB=5,AD=3,SPAB= S矩形ABCD可得h=2,则AA1=4,因为PA+PB=PA1+PBA1B,所以当P为A1B与MN的交 点时,PA+PB最小,其最小值为 = ,故选D.,疑难突破 本题的突破口是根据SPAB= S矩形ABCD推出P点是在平行于AB的线段上运动,从而想到利用轴对称 的性质将问题转化.,6.(2018四川成都,14,4分)如图,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:分别以点A和C为圆心,以大于 AC的长 为半径作弧,两弧相交于点

41、M和N;作直线MN交CD于点E.若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为 .,答案,解析 如图,连接AE,由作图方法得MN垂直平分AC, EA=EC=3. 在RtADE中,AD= = = . 在RtADC中,AC= = = .,思路分析 连接AE,根据题中的作图方法,可得MN垂直平分AC,则EA=EC=3,用勾股定理先计算出AD,再计 算出AC,得解.,解题关键 本题考查了矩形的性质,基本作图方法(作已知线段的垂直平分线),勾股定理.掌握基本作图方 法并熟练应用勾股定理计算是解题的关键.,7.(2018湖北襄阳,16,3分)如图,将面积为32 的矩形ABCD沿对角线BD折叠,点A的对应点

42、为点P,连接AP交 BC于点E.若BE= ,则AP的长为 .,答案,解析 设AP与BD的交点为F点,由折叠知AFBD,AP=2AF,所以ADB+DAF=90.由四边形ABCD是矩 形,可得BAE+DAF=DAB=90,所以ADB=BAE.而DAB=ABE=90,所以DABABE,则 = ,即AB2=BEAD= AD.又因为矩形ABCD的面积为32 ,所以ABAD=32 ,AD= ,则AB2= ,解得AB=4,所以AD=8 .在RtBAD中,由勾股定理得BD= = =12,再根据SBAD= ADAB= BDAF,得AF= = = ,所以AP=2AF= .,8.(2019新疆,19,10分)如图,

43、在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是CD中点,连接OE.过点C作CFBD 交OE的延长线于点F,连接DF. 求证:(1)ODEFCE; (2)四边形OCFD是矩形.,证明 (1)CFBD,DOE=CFE, (1分) E是CD的中点,DE=CE, (2分) 又DEO=CEF, ODEFCE. (4分) (2)ODEFCE,OD=FC, (5分) CFBD,四边形OCFD是平行四边形, (7分) 四边形ABCD是菱形,DOC=90, (9分) 平行四边形OCFD是矩形. (10分),解题关键 本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定,平行四边形的判定,熟练掌握菱 形的

44、性质,证明三角形全等是解题的关键.,9.(2018江苏连云港,22,10分)如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE、BA交于点F,连接AC、DF. (1)求证:四边形ACDF是平行四边形; (2)当CF平分BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.,解析 (1)证明:因为四边形ABCD是矩形,所以ABCD, 所以FAE=CDE. 因为E是AD的中点,所以AE=DE. 又因为FEA=CED,所以FAECDE, 所以CD=FA. 又因为CDFA,所以四边形ACDF是平行四边形. (2)BC=2CD. 因为CF平分BCD,所以DCE=45. 因为CDE=90,所以CDE是等腰直角三角形

45、,所以CD=DE. 因为E是AD的中点,所以AD=2CD. 因为AD=BC,所以BC=2CD.,思路分析 (1)由题意知AFDC,AE=ED,根据平行四边形的判定条件,证明FAECDE即可;(2)因为CF 平分BCD,所以DCE=45,可得CDE是等腰直角三角形,从而BC=AD=2ED=2CD.,10.(2017四川达州,20,7分)如图,在ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线EFBC分别交ACB、 外角ACD的平分线于点E、F. (1)若CE=8,CF=6,求OC的长; (2)连接AE、AF.问:当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.,解析 (1)CE、CF分别是ACB、ACD的平分线,ACB+ACD=180, BCE=ECA= ACB,ACF=FCD= ACD, E