2020年江苏中考数学复习课件§6.2 图形的相似.pptx

1、考点1 相似的基本概念,A组 20152019年江苏中考题组,1.(2017连云港,4,3分)如图,已知ABCDEF,ABDE=12,则下列等式一定成立的是 ( ) A. = B. = C. = D. =,答案 D ABCDEF, = ,A不一定成立; =1,B不成立; = ,C不成立; = ,D成立,故选D.,2.(2019淮安,15,3分)如图,l1l2l3,直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F.若AB=3,DE= 2,BC=6,则EF= .,答案 4,解析 l1l2l3, = ,即 = , EF=4.,3.(2019扬州,16,3分)如图,已知点E在正方形AB

2、CD的边AB上,以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG, 连接DF,M、N分别是DC、DF的中点,连接MN.若AB=7,BE=5,则MN= .,答案,解析 连接CF. 正方形ABCD和正方形BEFG中,AB=7,BE=5, GF=GB=5,BC=7, GC=GB+BC=5+7=12, CF= = =13, M、N分别是DC、DF的中点,MN= CF= .,4.(2019扬州,18,3分)如图,在ABC中,AB=5,AC=4,若进行以下操作,在边BC上从左到右依次取点D1、D2、 D3、D4、,过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F1;过点D2作AB、AC的平行线分别交

3、AC、 AB于点E2、F2;过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3;,则4(D1E1+D2E2+D2 019E2 019)+5 (D1F1+D2F2+D2 019F2 019)= .,答案 40 380,解析 D1F1AC,D1E1AB, 四边形AF1D1E1为平行四边形, AF1=D1E1.D1F1AC, = ,即 = , AB=5,AC=4, 4D1E1+5D1F1=20, 同理4D2E2+5D2F2=20,4D2 019E2 019+5D2 019F2 019=20, 4(D1E1+D2E2+D2 019E2 019)+5(D1F1+D2F2+D2 019F2 019

4、)=202 019=40 380.,解题关键 本题考查平行线分线段成比例定理,探索规律;能够根据平行线分线段成比例定理和等量代换 得到4D1E1+5D1F1=20是解决问题的关键.,5.(2016宿迁,11,3分)若两个相似三角形的面积比为14,则这两个相似三角形的周长比是 .,答案 12,解析 因为两个相似三角形的面积比为14,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,所以这两个三 角形的相似比为12,又相似三角形的周长比等于相似比,所以这两个相似三角形的周长比为12.故答案 为12.,考点2 相似三角形的性质与判定,1.(2019苏州,10,3分)如图,在ABC中,点D为BC边上的一点,且A

5、D=AB=2,ADAB.过点D作DEAD,DE交 AC于点E.若DE=1,则ABC的面积为 ( ) A.4 B.4 C.2 D.8,答案 B ABAD,DEAD, BAD=ADE=90.又AB=AD=2, ABD为等腰直角三角形,则BD=2 ,BD边上的高为 . 易知ABDE, CDECBA. = = ,即 = . 解得DC=2 . BC=4 , SABC= BC = 4 =4. 故选B.,2.(2019连云港,6,3分)在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,“马” 应落在下列哪个位置处,能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所

6、在位置的格点构成的三角形相似 ( ) A.处 B.处 C.处 D.处,答案 B “帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为2、2 、4 , “车”与“炮”之间的距离为1, “炮”与之间的距离为 ,“车”与之间的距离为2 , = = , “马”应该落在的位置处. 故选B.,3.(2018扬州,8,3分)如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰RtABC和等腰RtADE,CD与BE、AE分别 交于点P,M.对于下列结论: BAECAD;MPMD=MAME;2CB2=CPCM.其中正确的是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 由已知易得AC= AB,AD= AE, = = ,

7、 BAC=EAD=45, BAE=CAD, BAECAD, 所以正确; BAECAD, BEA=CDA, PME=AMD, PMEAMD, = , MPMD=MAME,所以正确; 易证P、E、D、A四点共圆, APD=AED=90, CAE=180-BAC-EAD=90, 又ACM=PCA, CAPCMA, AC2=CPCM, AC= AB,AB=BC, 2CB2=CPCM, 所以正确.故选A.,疑难突破 本题考查了相似三角形的性质和判断.在乘积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找 相似三角形进行证明,采用逐项分析法,判断选项的正确性.,4.(2019常州,18,2分)如图,在矩形ABC

8、D中,AD=3AB=3 ,点P是AD的中点,点E在BC上,EC=2BE,点M,N在线 段BD上,若PMN是等腰三角形且底角与DEC相等,则MN= .,答案 6,解析 作PFMN于F,如图所示. 则PFM=PFN=90. 四边形ABCD是矩形, AB=CD,BC=AD=3AB=3 ,A=C=90, AB=CD= ,BD= =10, 点P是AD的中点, PD= AD= . PDF=BDA,A=PFD=90,解题关键 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识.熟 练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质,证明三角形相似是解题的关键.,5.(2018连云港,11,3分)

9、如图,ABC中,点D、E分别在AB、AC上,DEBC,ADDB=12,则ADE与ABC 的面积的比为 .,答案 19,解析 DEBC, ADEABC, ADDB=12, ADAB=13, SADESABC=19. 故答案为19.,6.(2016南京,15,2分)如图,AB、CD相交于点O,OC=2,OD=3,ACBD.EF是ODB的中位线,且EF=2,则AC的 长为 .,答案,解析 EF是ODB的中位线, OE= OD= ,EFBD, ACBD,EFBD,ACEF, = , = , AC= .,7.(2016苏州,18,3分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B的坐标分别为(8,0)、(0,

10、2 ),C是AB的中点,过 点C作y轴的垂线,垂足为D,动点P从点D出发,沿DC向点C匀速运动,过点P作x轴的垂线,垂足为E,连接BP、 EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时,点P的坐标为 .,答案 (1, ),解析 延长BP交CE于点F, 当BFEC时,BFC=90, 由题意知CDAO, C是AB的中点, D是BO的中点, CD= AO=4, 易知四边形DOEP为矩形, PE=DO=BD= BO= ,设DP=x,则CP=4-x, BPD=FPC,DBP=PCE, 又BDP=CPE=90,BDPCPE, = , = , 即( )2=x(4-x), x1=1,x2=3, 当直线BP与直

11、线EC第一次垂直时,x=1,即点P的坐标为(1, ).,解题关键 解决问题的关键是掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质.解题时注意: 有两个角对应相等的两个三角形相似.,8.(2015南京,20,8分)如图,ABC中,CD是边AB上的高,且 = . (1)求证:ACDCBD; (2)求ACB的大小.,解析 (1)证明:CD是边AB上的高, ADC=CDB=90. 又 = , ACDCBD. (4分) (2)ACDCBD,A=BCD. 在ACD中,ADC=90,A+ACD=90, BCD+ACD=90,即ACB=90. (8分),9.(2017宿迁,24,8分)如图,在ABC中,

12、AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足DEF=B,且 点D、F分别在边AB、AC上. (1)求证:BDECEF; (2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分DFC.,10.(2015连云港,25,10分)如图,在ABC中,ABC=90,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD.过点D作DH AB,交BC的延长线于点H. (1)求BDcosHBD的值; (2)若CBD=A,求AB的长.,解析 (1)DHAB, BHD=ABC=90, ACB=DCH, ABCDHC, = . AC=3CD,BC=3, CH=1. BH=BC+CH=4. 在RtBHD中,cosHBD=

13、 , BDcosHBD=BH=4. (4分) (2)解法一:A=CBD,ABC=BHD, ABCBHD. (6分),B组 20152019年全国中考题组,考点1 相似的基本概念,1.(2017黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DEBC,点F为BC边上一点, 连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是 ( ) A. = B. = C. = D. =,答案 C 根据平行线分线段成比例定理可知 = , = , = , = ,所以选项A、B、D错 误,选项C正确.故选C.,2.(2018四川成都,13,4分)已知 = = ,且a+b-2c=6,则a的值为 .

14、,答案 12,解析 设 = = =k(k0), 则a=6k,b=5k,c=4k, a+b-2c=6,6k+5k-8k=6. 解得k=2.a=6k=12.,考点2 相似三角形的性质与判定,1.(2019重庆A卷,3,4分)如图,ABOCDO,若BO=6,DO=3,CD=2,则AB的长是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,答案 C ABOCDO, = . OB=6,OD=3,CD=2, = ,AB=4,故选C.,2.(2019杭州,6,3分)如图,在ABC中,点D,E分别在AB和AC边上,DEBC,M为BC边上一点(不与点B,C重合), 连接AM交DE于点N,则 ( ) A. = B. =

15、C. = D. =,答案 C DEBC,ADNABM,ANEAMC, = , = , = ,故选C.,3.(2019安徽,7,4分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=12.点D在边BC上,点E在线段AD上,EFAC于 点F,EGEF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为 ( ) A.3.6 B.4 C.4.8 D.5,答案 B 解法一:如图,作DNCA交AB于点N, ACB=90,EFEG,EFAC,EGDN,EFBC. = = . EF=EG,DN=DC. DNCA, = , = , 解得DC=4,故选B. 解法二:过点G作GMAC,垂足为M,交AD于点N. 易知四边形E

16、FMG为正方形,设EG为x,则GM为x. tanBAC= = =2,AM= x, EGAC, EGNAMN, = = =2. GN= x,MN= x, 易证AMNACD, = = = , CD=4.,解题关键 作平行线,利用对应线段成比例或相似比建立等式是解答本题的关键.,4.(2015四川绵阳,12,3分)如图,D是等边ABC边AB上的一点,且ADDB=12,现将ABC折叠,使点C与D 重合,折痕为EF,点E、F分别在AC和BC上,则CECF= ( ) A. B. C. D.,5.(2017北京,13,3分)如图,在ABC中,M,N分别为AC,BC的中点.若SCMN=1,则S四边形ABNM=

17、 .,答案 3,解析 M,N分别为AC,BC的中点, MNAB,且MN= AB, CMNCAB,且相似比为12, SCMN=1,SCAB=4, S四边形ABNM=SCAB-SCMN=4-1=3.,6.(2017甘肃兰州,17,4分)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是点O, = ,则 = .,答案,解析 四边形ABCD与四边形EFGH位似, OEFOAB,OFGOBC, = = , = = .,7.(2015山东临沂,18,3分)如图,在ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD与CE相交于点O,则 = .,答案 2,解析 连接DE,BD,CE分别是边AC,AB上的中

18、线,DE为ABC的中位线,DE= BC,DEBC,OBC ODE, = =2.,8.(2016安徽,14,5分)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10.点E在CD上,将BCE沿BE折叠,点C恰落在边 AD上的点F处;点G在AF上,将ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处.有下列结论: EBG=45;DEFABG;SABG= SFGH;AG+DF=FG. 其中正确的是 .(把所有正确结论的序号都选上),答案 ,解析 ABG=HBG,FBE=CBE,ABC=90, EBG=45,故正确; AB=6,BF=BC=10,AF=8, FD=AD-AF=10-8=2, 设DE=x,则EF

19、=CE=6-x,在RtDEF中, DF2+DE2=EF2,22+x2=(6-x)2,x= , 即DE= ,EF= ,BH=AB=6, HF=BF-BH=10-6=4, 又易知RtDEFRtHFG, = ,即 = , GF=5,AG=3,若DEFABG,则 = ,但 ,故不正确; BH=6,HF=4,SBGH= SFGH, ABGHBG,SABG= SFGH,故正确; FHGEDF, = , = ,FG=5, AG+DF=5,AG+DF=FG,正确.,9.(2019安徽,23,14分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=BC.P为ABC内部一点,且APB=BPC=135. (1)求证:PA

20、BPBC; (2)求证:PA=2PC; (3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证: =h2h3.,证明 (1)在ABP中,APB=135,ABP+BAP=45, 又ABC为等腰直角三角形,ABC=45, 即ABP+CBP=45,BAP=CBP. 又APB=BPC=135,PABPBC. (4分) (2)证法一:由(1)知PABPBC, = = = . 于是, = =2,即PA=2PC. (9分) 证法二:APB=BPC=135,APC=90,CAP45,故APCP.如图,在线段AP上取 点D,使AD=CP. 又CAD+PAB=45,且PBA+PAB=45,CA

21、D=PBA, 又CBP+BCP=CBP+PBA=45,PBA=BCP,CAD=BCP.AC=CB,ADCCPB, ADC=CPB=135,CDP=45,PDC为等腰直角三角形,CP=PD,又AD=CP,PA=2PC. (9分),(3)如图,过点P作边AB,BC,CA的垂线,垂足分别为Q,R,S,则PQ=h1,PR=h2,PS=h3,在RtCPR中, =tanPCR= tanCAP= = , = ,即h3=2h2.又PABPBC,且 = , = ,即h1= h2,于是 =h2h3. (14分),思路分析 (1)结合题意易求ABC=45,从而得出PBA+PBC=45,进而求出PAB=PBC,结合A

22、PB =BPC=135,即可证明;(2)证法一:由ABC是等腰直角三角形,即可得出AB和BC之间的关系,再利用(1)中 的相似得到 = = = ,问题解决;证法二:由已知易推APC=90,在线段AP上取点D,使得AD=CP, 然后证明CAD=BCP,从而证明ADCCPB,进一步得出PDC是等腰直角三角形,问题解决;(3)h1,h2 分别为第(1)问中的两个相似三角形中AB和BC边上的高,根据相似三角形的性质可得h1= h2.在RtCPR 中,CR=h3, =tanPCR=tanCAP= = .易证 =h2h3.,难点突破 第(3)问的突破口是h2h3=tanPCR=tanCAP= ,结合APB

23、BPC可证 =h2h3.,10.(2018福建,20,8分)求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比. 要求:根据给出的ABC及线段AB,A(A=A),以线段AB为一边,在给出的图形上用尺规作出AB C,使得ABCABC,不写作法,保留作图痕迹; 在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知,求证和证明过程.,解析 如图, ABC即为所求作的三角形. 已知:如图,ABCABC, = = =k,AD=DB,AD=DB.求证: =k.,证明:AD=DB,AD=DB,AD= AB,AD= AB, = = , 又 = , = , ABCABC,A=A, CADCAD, = =k.,解后反思 本题

24、考查尺规作图、相似三角形的性质与判定等基础知识,考查推理能力、化归与转化思想.,11.(2018湖北武汉,23,10分)在ABC中,ABC=90. (1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:ABMBCN; (2)如图2,P是边BC上一点,BAP=C,tanPAC= ,求tan C的值; (3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,DEB=90,sinBAC= , = ,直接写出tanCEB的值.,解析 (1)证明:M=N=ABC=90, MAB+MBA=NBC+MBA=90, MAB=NBC, ABMBCN. (2)过点P作PMAP交AC于点M,过点M

25、作MNPC交BC于点N, 则PMNAPB. = =tanPAC= ,设PN=2t,则AB= t. BAP+APB=MPC+APB=90,BAP=C, MPC=C,CN=PN=2t. 易得ABPCBA, AB2=BPBC,( t)2=BP(BP+4t), BP=t,BC=5t,tan C= . (3)在RtABC中,sinBAC= = ,tanBAC= = . 过点A作AGBE于点G,过点C作CHBE交EB的延长线于点H, DEB=90,CHAGDE, = = , 同(1)的方法得,ABGBCH, = = = , 设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,GH=BG+BH=4m+3n,

26、AB=AE,AGBE,EG=BG=4m, = = ,n=2m,EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m, 在RtCEH中,tanCEB= = .,思路分析 (1)利用同角的余角相等判断出MAB=NBC,即可得出结论; (2)作PMAP,MNPC,先判断出PMNAPB,得出 = = ,设PN=2t,则AB= t,再判断出ABP CBA,根据相似三角形的性质可求得BP=t,则BC=5t,即可得出结论; (3)作AGBE,CHBE,先判断出 = = ,同(1)的方法得,ABGBCH,所以 = = = ,设BG =4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,进一步得出关于m,n

27、的等式,解得n=2m,最后得出结论.,方法指导 几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法,本题涉及的相似三角形,要寻找的比例关 系或添加的辅助线均类似.同时要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻找方法.,C组 教师专用题组 考点1 相似的基本概念,1.(2019甘肃兰州,8,4分)已知ABCABC,AB=8,AB=6,则 = ( ) A.2 B. C.3 D.,答案 B 由相似三角形的性质可得 = = = ,故选B.,2.(2016黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DEBC,BE与CD相交于点F, 则下列结论一定正确的是 ( ) A. = B.

28、= C. = D. =,答案 A DEBC,ADEABC, = = ,故选A.,3.(2019吉林,13,3分)在某一时刻,测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m,同时同地测得一栋楼的影长为90 m, 则这栋楼的高度为 m.,答案 54,解析 因为时刻相同,所以光线是平行的.设这栋楼的高度为x m,则 = ,解得x=54.,4.(2018云南,5,3分)如图,已知ABCD,若 = ,则 = .,答案,解析 ABCD, A=C,B=D, AOBCOD. = = .,考点2 相似三角形的性质与判定 1.(2015山东聊城,7,3分)下列命题中的真命题是 ( ) A.两边和一角分别相等的两个三角

29、形全等 B.相似三角形的面积比等于相似比 C.正方形不是中心对称图形 D.圆内接四边形的对角互补,答案 D A项,在两边和一角中,当角为两边中一边的对角时,这两个三角形不一定全等,故本选项错误;B 项,相似三角形面积比等于相似比的平方,故本选项错误;C项,正方形是中心对称图形,故本选项错误;D项,圆 内接四边形对角互补,故本选项正确.故选D.,2.(2018湖北黄冈,5,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5, 则CD= ( ) A.2 B.3 C.4 D.2,答案 C 在RtABC中,因为CE为AB边上的中线,所以AB=2CE=

30、25=10,又AD=2,所以BD=8,易证ACD CBD,则CD2=ADDB=28=16,所以CD=4,故选C.,3.(2016安徽,8,4分)如图,ABC中,AD是中线,BC=8,B=DAC,则线段AC的长为 ( ) A.4 B.4 C.6 D.4,答案 B 由AD是中线可得DC= BC=4. B=DAC,C=C, ADCBAC, = ,AC2=BCDC=84=32, AC=4 ,故选B.,评析 本题考查了相似三角形的判定与性质,三角形的中线,属容易题.,4.(2016河北,15,2分)如图,ABC中,A=78,AB=4,AC=6.将ABC沿图示中的虚线剪下,剪下的阴影三角形 与原三角形 的

31、是 ( ),答案 C 选项A与B中剪下的阴影三角形分别与原三角形有两组角对应相等,可得阴影三角形与原三角形 相似;选项D中剪下的阴影三角形与原三角形有两边之比都是23,且两边的夹角相等,所以两个三角形也 是相似的,故选C.,评析 本题考查相似三角形的判定,熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键.,5.(2015内蒙古呼和浩特,7,3分)如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边 上,折痕为AE,再将AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则CEF的面积为 ( ) A. B. C.2 D.4,答案 C 在题中的第三个图中,AD=6,AB=4,DE

32、=6,因为BFDE,所以ABFADE,所以 = ,即 = ,解得BF=4,所以CF=2,所以SCEF= CECF=2.,6.(2016河南,15,3分)如图,已知ADBC,ABBC,AB=3.点E为射线BC上一个动点,连接AE,将ABE沿AE折 叠,点B落在点B处,过点B作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B为线段MN的三等分点时,BE的长为 .,答案 或,解析 ADBC,ABBC,MNAD, 四边形ABNM为矩形, MN=AB=3,B为线段MN的三等分点,BM=1或2, ABE=ABC=90,ABM+EBN=90. EBN+BEN=90,ABM=BEN. 又AMB=ENB=90,

33、AMBBNE, = ,设BE=BE=x. 当BM=1时,BN=2,在RtAMB中,AM= = =2 ,所以 = ,即x= ; 当BM=2时,BN=1,在RtAMB中,AM= = = ,所以 = ,即x= . 综上所述,BE的长为 或 .,评析 本题考查轴对称,矩形的判定和性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理等知识,题目的计算量略大, 属中档题.,7.(2019辽宁大连,25,12分)阅读下面材料,完成(1)(3)题. 数学课上,老师出示了这样一道题: 如图1,ABC中,BAC=90,点D,E在BC上,AD=AB,AB=kBD ,ABC=ACB+BAE,EAC 的平分线与BC相交于点F,BGA

34、F,垂足为G,探究线段BG与AC的数量关系,并证明. 同学们经过思考后,交流了自己的想法: 小明:“通过观察和度量,发现BAE与DAC相等.” 小伟:“通过构造全等三角形,经过进一步推理,可以得到线段BG与AC的数量关系.” 老师:“保留原题条件,延长图1中的BG,与AC相交于点H(如图2),可以求出 的值.” ,(1)求证:BAE=DAC; (2)探究线段BG与AC的数量关系(用含k的代数式表示),并证明; (3)直接写出 的值(用含k的代数式表示).,解析 (1)证明:AB=AD, ABD=ADB. ADB=DAC+ACB,ABC=BAE+ACB, BAE=DAC. (2)BG= AC.

35、证明:如图,延长AE到M,使AM=AC,连接BM,CM,延长AF交CM于点N, AB=AD,BAM=DAC,AM=AC, ABMADC.,AMB=ACD. BAE=DAC, EAC=BAD. AB=AD,AM=AC, ABD=ADB= (180-BAD),AMC=ACM= (180-EAC). ABD=ADB=AMC=ACM. BAC=90, ACB+ABD=90. BMC=AMB+AMC=ACB+ABD=90. AM=AC,AF平分MAC, ANMC,MN=NC, BGAF,BGN=90=BMN=ANM. 四边形BMNG为矩形. MN=BG. ACM=ABD,AMC=ADB, ACMABD.

36、 = , AC= =kCM=2kBG,即BG= AC. (3) = . 详解:如图,过A作APBD交BD于P, 设BP=DP=a(a0),AB=AD=2ka,AP= = a, 由题易知ABPCBA, = = = , AC=2ka . AB=AD,BAP= BAD. BAE=DAC, BAE+EAD=DAC+EAD, BAD=EAC,8.(2018陕西,20,7分)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸 岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆 BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点

37、E与点C、A共线. 已知:CBAD,EDAD,测得BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m.测量示意图如图所示. 请根据相关测量信息,求河宽AB.,解析 CBAD,EDAD, ABC=ADE=90. BAC=DAE, ABCADE, (3分) = . (5分) BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m. = , AB=17 m. 河宽AB为17 m. (7分),思路分析 首先根据ABC=ADE,BAC=DAE判定ABCADE,再根据相似三角形的性质得出 = ,进而可求得AB的值.,方法指导 解与三角形有关的实际应用题时应注意的事项.审题:结合图形通读题干,第一时间锁定采用 的知

38、识点,如:观察题图是否含有已知度数的角,如果含有,考虑利用锐角三角函数解题.如果仅涉及三角形的 边长,则采用相似三角形的性质解题.筛选信息:由于实际问题文字阅读量较大,因此筛选有效信息尤为关 键.构造图形:只要是与三角形有关的实际问题都会涉及图形的构造,如果题干中给出了相应的图形,则可 直接利用所给图形进行计算,必要时可添加辅助线;若未给出图形,则需要通过中获取的信息构造几何图 形进行解题.,9.(2016浙江杭州,19,4分)如图,在ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,AED=B.射线AG分别交线段DE,BC 于点F,G,且 = . (1)求证:ADFACG; (2)若 = ,求 的值.

39、,解析 (1)证明:因为AED=B,DAE=CAB, 所以ADF=C, 又因为 = , 所以ADFACG. (2)因为ADFACG, 所以 = , 又因为 = ,所以 = , 所以 =1.,10.(2015安徽,23,14分)如图1,在四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点.过点E作AB的垂线,过点F作 CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA、GB、GC、GD、EF,若AGD=BGC. (1)求证:AD=BC; (2)求证:AGDEGF; (3)如图2,若AD、BC所在直线互相垂直,求 的值.,解析 (1)证明:由题意知直线GE是AB的垂直平分线, GA=GB. 同理GD=GC. 在A

40、GD和BGC中, GA=GB,AGD=BGC,GD=GC, AGDBGC. AD=BC. (5分) (2)证明:AGD=BGC, AGB=DGC. 在AGB和DGC中, = ,AGB=DGC, AGBDGC. = . (8分) 又AGE=DGF,AGD=EGF, AGDEGF. (10分) (3)如图,延长AD交GB于点M,交BC的延长线于点H,则AHBH. 图 由AGDBGC,知GAD=GBC. 在GAM和HBM中,GAD=GBC,GMA=HMB, AGB=AHB=90, (12分),AGE= AGB=45, = . 又AGDEGF, = = . (14分) (本题解法有多种,如可按图2和图

41、3作辅助线求解,过程略) 图 图,评析 本题综合考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线、三角形全等和相似的判定方法和 性质,属于拓展探索型题,学生要有较强的基本功和综合分析问题的能力.,一、选择题(共2分),15分钟 8分,1.(2019淮安淮阴一模,6)如图,点D、E分别在AB、AC上,DEBC.若AD=2,AB=6,DE=1.2,则BC的长为 ( ) A.2.8 B.3 C.3.6 D.4,答案 C DEBC,ADEABC, = ,即 = ,BC=3.6.故选C.,二、填空题(每小题2分,共6分) 2.(2018宿迁宿豫一模,12)已知ABCDEF,且SABC=4,SDEF=9,则

42、 = .,答案,解析 ABCDEF,SABC=4,SDEF=9, = = , = .,3.(2018淮安一模,13)为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度,学校数学兴趣小组进行了如下探索: 根据光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺,设计如图所示的测量方案:把一面很小的镜子放在离树底(B) 8.4米的点E处,然后沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.4米,观 察者目高CD=1.6米,则树(AB)的高度为 米.,答案 5.6,解析 根据题意,得CDE=ABE=90,CED=AEB, 则ABECDE,则 = ,即 = ,解得AB=5.6. 故树(AB)的高

43、度为5.6米.,4.(2017扬州一模,18)如图所示的平面直角坐标系中,O(0,0),A(6,6 ),B(12,0).将OAB沿直线CD折叠,使点 A恰好落在线段OB上的点E处,若OE= ,则CEDE的值是 .,答案,解析 如图,过点A作AFOB于F, A(6,6 ),B(12,0), AF=6 ,OF=6,OB=12, BF=6, OF=BF, AO=AB. tanAOB= = ,一、选择题(共2分),50分钟 40分,1.(2019南通玄武一模)如图,四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形,连接CF,DG,则 = ( ) A. B. C. D.,答案 B 连接AC和AF, 四边形 AB

44、CD和四边形 AEFG均为正方形, = = , DAG=45-GAC,CAF=45-GAC, DAG=CAF. DAGCAF, = = . 故选B.,解题关键 本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质,解题的关键是构造相似三角形.,二、解答题(共38分) 2.(2019盐城滨海一模)已知:如图,ABCADE,BAC=DAE=90,AB=3,AC=4,点D在线段BC上运动. (1)如图,求证:ABDACE; (2)如图,当ADBC时,判断四边形ADCE的形状,并说明理由; (3)当点D从点B运动到点C时,设P为线段DE的中点,求在点D的运动过程中,点P经过的路径长(直接写出结论).,解析 (1)证明:ABCADE, = , = , BAC=DAE=90, BAD+DAC=DAC+CAE, BAD=CAE, ABDACE. (2)四边形ADCE为矩形. 理由如下:DAE=90,ADBC,AEDC, ABCADE, AED=DCA, 在AED和DCA中,3.(2019无锡一模,28)某校机器人兴趣小组在如图所示的矩形场地上开展训练.机器人从点A出发,在矩形 ABCD边上沿着ABCD的方向匀速移动,到达点D时停止移动.已知机器人的速度为每秒1个单位长度, 移动至拐角处调整方向需要1 s(即在B