2020年江苏中考数学复习课件§6.3 解直角三角形.pptx

1、考点1 锐角三角函数,1.(2016无锡,3,3分)sin 30的值为 ( ) A. B. C. D.,A组 20152019年江苏中考题组,答案 A sin 30= ,故选A.,2.(2016南通,14,3分)如图,在RtABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则cos A= .,答案,解析 CD为斜边AB上的中线, AB=2CD=4, 在RtABC中,cos A= = .,3.(2017无锡,18,2分)在如图的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,A,B,C,D都在格点处,AB 与CD相交于O,则tanBOD的值等于 .,答案 3,解析 如图所示,平移CD到C

2、D,交AB于O, 则BOD=BOD, tanBOD=tanBOD. 设每个小正方形的边长为a, 则OB= = a,OD= =2 a,BD=3a, 作BEOD于点E, 则BE= = = ,OE= = = a, tanBOE= = =3, tanBOD=3.,思路分析 平移CD,使BOD的顶点位于格点上,从而构造直角三角形求解.,解题关键 本题考查解直角三角形,解答本题的关键是作出合适的辅助线,构造直角三角形,利用勾股定理 和等积法求出正切值,从而解决问题.,考点2 解直角三角形,1.(2019苏州,8,3分)如图,小亮为了测量校园里教学楼AB的高度,将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离 为18

3、 m的地面上,若测角仪的高度是1.5 m,测得教学楼的顶部A处的仰角为30,则教学楼的高度是 ( ) A.55.5 m B.54 m C.19.5 m D.18 m,答案 C 过D作DEAB交AB于E,则四边形DEBC是矩形, DC=BE=1.5 m,DE=BC=18 m. 在RtADE中,tan 30= , AE=18 =18 m, AB=18+1.5=19.5 m. 故选C.,2.(2016苏州,8,3分)如图,长4 m的楼梯AB的倾斜角ABD为60,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼 梯,使其倾斜角ACD为45,则调整后的楼梯AC的长为 ( ) A.2 m B.2 m C.(2 -2

4、)m D.(2 -2)m,答案 B 因为ADCD,所以D=90,在RtABD中,AD=ABsin 60=4 =2 m,在RtACD中,AC= = =2 m,故选B.,3.(2015苏州,10,3分)如图,在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站,AB=2 km,从A测得船C在北偏东45的方 向,从B测得船C在北偏东22.5的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为 ( ) A.4 km B.(2+ )km C.2 km D.(4- )km,答案 B 如图,在RtABE中,AEB=45,AB=EB=2 km,AE=2 km,EBC=22.5,ECB= AEB-EBC=22.5,EBC=ECB,

5、EB=EC=2 km,AC=AE+EC=(2 +2)km.在RtADC中,CAD=45 ,AD=DC=(2+ )km.即船C到海岸线l的距离为(2+ )km,故选B.,4.(2019宿迁,17,3分)如图,MAN=60,若ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C在射线AN上运动,当 ABC是锐角三角形时,BC长的取值范围是 .,答案 BC2,解析 如图,过点B作BC1AN,垂足为C1,BC2AM,交AN于点C2. 在RtABC1中,AB=2,A=60, ABC1=30, AC1= AB=1,由勾股定理得BC1= , 在RtABC2中,AB=2,A=60, AC2B=30, AC2=4,由勾

6、股定理得BC2=2 . 当ABC是锐角三角形时,点C在C1C2(不包括点C1,C2)上移动,此时 BC2 .,5.(2017苏州,17,3分)如图,在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头,观光岛屿C在码头A北偏东60的方 向,在码头B北偏西45的方向,AC=4 km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码 头B,设开往码头A、B的游船速度分别为v1、v2,若回到A、B所用时间相等,则 = (结果保留根号).,答案,解析 过点C作CDAB于D,在RtACD中,CD= AC=2 km,在RtCDB中,CB= CD=2 km,因为回 到A、B所用时间相等,所以 = = = .

7、,6.(2019南京,24,8分)如图,山顶有一塔AB,塔高33 m.计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF.从与E点 相距80 m的C处测得A、B的仰角分别为27、22,从与F点相距50 m的D处测得A的仰角为45.求隧道EF的 长度. (参考数据:tan 220.40,tan 270.51),解析 如图,延长AB交CD于点H,则AHCD. 在RtACH中,ACH=27, tan 27= ,AH=CHtan 27. 在RtBCH中,BCH=22,tan 22= ,BH=CHtan 22. AB=AH-BH,CHtan 27-CHtan 22=33. CH300.AH=CHtan 2730

8、00.51=153. 在RtADH中,D=45, tan 45= ,HD=AH=153. EF=CD-CE-FD=CH+HD-CE-FD =300+153-80-50=323. 隧道EF的长度约为323 m. (8分),7.(2019泰州,21,10分)某体育看台侧面的示意图如图所示,观众区AC的坡度i为12,顶端C离水平地面AB的 高度为10 m,从顶棚的D处看E处的仰角=1830,竖直的立杆上C、D两点间的距离为4 m,E处到观众区底端 A处的水平距离AF为3 m.求: (1)观众区的水平宽度AB; (2)顶棚的E处离地面的高度EF.(参考数据:sin 18300.32,tan 18300

9、.33,结果精确到0.1 m),解析 (1)观众区AC的坡度i为12,顶端C离水平地面AB的高度为10 m, AB=2BC=20(m). 答:观众区的水平宽度AB为20 m. (2)作CMEF于M,DNEF于N, 则四边形MFBC、MCDN均为矩形, MF=BC=10 m,MN=CD=4 m,DN=MC=BF=23 m.,在RtEND中,tanEDN= , 则EN=DNtanEDN230.33=7.59 m, EF=EN+MN+MF=7.59+4+1021.6(m). 答:顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6 m.,解题关键 本题考查解直角三角形的应用仰角、坡度问题,掌握仰角和坡度的概念,熟

10、记锐角三角函 数的定义是解题的关键.,8.(2019宿迁,25,10分)宿迁市政府为了方便市民绿色出行,推出了共享单车服务.图是某品牌共享单车放 在水平地面上的实物图,图是其示意图,其中AB、CD都与地面l平行,车轮半径为32 cm,BCD=64,BC=6 0 cm,坐垫E与点B的距离BE为15 cm. (1)求坐垫E到地面的距离; (2)根据经验,当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时,坐骑比较舒适.小明的腿长约为80 cm,现将坐垫 E调整至坐骑舒适高度位置E,求EE的长.(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 640.90,cos 640.44,tan 64 2.05),解析

11、(1)如图,过点E作EMCD于点M, 由题意知BCM=64,EC=BC+BE=60+15=75 cm, EM=ECsinBCM=75sin 64750.90=67.5(cm), 则坐垫E到地面的距离为67.5+32=99.5(cm). (2)如图,过点E作EHCD于点H,由题意知EH=800.8=64 cm, 则EC= = 71.11 cm, EE=CE-CE=75-71.113.9(cm).,9.(2018南通,23,8分)如图,小明一家自驾到古镇C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏西60方向行驶12 千米至B地,再沿北偏东45方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方

12、向,求B,C两地 的距离.(结果保留根号),解析 作BHAC于H, 由题意得,CBH=45,BAH=60, 在RtBAH中,BH=ABsinBAH=6 (千米), 在RtBCH中,CBH=45, BC= =6 (千米). 答:B,C两地的距离为6 千米.,解题关键 本题考查解直角三角形的应用方向角问题,掌握锐角三角函数的定义、正确标出方向角是 解题关键.,11.(2017连云港,25,10分)如图,湿地景区岸边有三个观景台A、B、C,已知AB=1 400米,AC=1 000米,B点位于 A点的南偏西60.7方向,C点位于A点的南偏东66.1方向. (1)求ABC的面积; (2)景区规划在线段B

13、C的中点D处修建一个湖心亭,并修建观景栈道AD,试求A、D间的距离.(结果精确到0.1 米) (参考数据:sin 53.20.80,cos 53.20.60,sin 60.70.87,cos 60.70.49,sin 66.10.91,cos 66.10.41, 1.414),解析 (1)作CEBA,交BA的延长线于E. 在RtAEC中,CAE=180-60.7-66.1=53.2, CE=ACsin 53.21 0000.80=800(米). SABC= ABCE= 1 400800=560 000(平方米).,(2)连接AD,作DFAB于F, 则DFCE. BD=CD,DFCE, BF=E

14、F, DF= CE=400米. AE=ACcos 53.21 0000.60=600(米), BE=AB+AE=2 000米, AF= EB-AE=400米, 在RtADF中,AD= =400 4001.414=565.6(米). 故A、D间的距离为565.6米.,解题关键 本题考查解直角三角形、方向角、勾股定理等知识,解题的关键是合理添加辅助线,构造直角 三角形解决问题,属于常考题型.,12.(2016镇江,23,6分)公交总站(A点)与B、C两个站点的位置如图所示,已知AC=6 km,B=30,C=15.求B 站点离公交总站的距离即AB的长(结果保留根号).,B组 20152019年全国中

15、考题组,考点1 锐角三角函数,1.(2019天津,2,3分)2sin 60的值等于 ( ) A.1 B. C. D.2,答案 C 根据特殊角的三角函数值,可得sin 60= ,则2sin 60=2 = ,故选C.,2.(2015内蒙古包头,4,3分)在RtABC中,C=90,若斜边AB是直角边BC的3倍,则tan B的值是 ( ) A. B.3 C. D.2,答案 D 在RtABC中, 设BC=x(x0),则AB=3x, AC= =2 x. 则tan B= =2 .故选D.,3.(2018云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为 ( ) A.3 B. C.

16、 D.,答案 A AC=1,BC=3,C=90,tan A= =3.,4.(2017甘肃兰州,3,4分)如图,一个斜坡长130 m,坡顶离水平地面的距离为50 m,那么这个斜坡与水平地面夹 角的正切值等于 ( ) A. B. C. D.,答案 C 在直角三角形中,根据勾股定理可知水平的直角边长为120 m,故这个斜坡与水平地面夹角的正 切值等于 = ,故选C.,思路分析 先利用勾股定理求得第三边的长,再利用正切函数的定义求正切值.,5.(2017四川绵阳,18,3分)如图,过锐角ABC的顶点A作DEBC,AB恰好平分DAC,AF平分EAC交BC的 延长线于点F,在AF上取点M,使得AM= AF

17、,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,AMH的面积是 , 则 的值是 .,答案 8-,解析 过H作HGAC于点G,如图. AF平分EAC,EAF=CAF. DEBF,EAF=AFC, CAF=AFC,CF=CA=2. AM= AF,AMMF=12. DEBF, = = = ,AH=1,SAHC=3SAHM= , 2GH= ,GH= , 在RtAHG中,AG= = , GC=AC-AG=2- = , = =8- .,解题思路 过H作HGAC于点G,构造直角三角形,再分别求出相应的边即可.,考点2 解直角三角形,1.(2019杭州,9,3分)如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OCOB,

18、点A,B,C,D,O在同一平面内).已知AB=a, AD=b,BCO=x,则点A到OC的距离等于 ( ) A.asin x+bsin x B.acos x+bcos x C.asin x+bcos x D.acos x+bsin x,答案 D 过点A作AHOC于点H,过点B作BEAH于点E.四边形ABCD为矩形,AB=CD=a,AD=BC=b. OBOC,BCO=x,BO=bsin x. BEAH,OCAH,BEOC,EBC=BCO. ABE+EBC=90,BAH+ABE=90, BAH=EBC=BCO=x,AE=acos x. BEAH,AHOC,OBOC, 四边形BOHE为矩形,BO=EH

19、. AH=AE+EH=AE+BO=acos x+bsin x,故选D.,一题多解 如图,过点A作AHOC于点H,延长AD交OC于点F. 四边形ABCD为矩形, AB=CD=a,AD=BC=b,BCD=CDA=90, 2+3=90,3+4=90. 4=2=x. 在RtCDF中,CD=a,DF= ,AF=AD+DF=b+ . AH=AFsin x=bsin x+acos x,故选D.,2.(2019重庆A卷,10,4分)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想,某森林保护区开展了寻找古树活 动.如图,在一个坡度(或坡比)i=12.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC

20、 =26米,在距山脚点A水平距离6米的点E处,测得古树顶端D的仰角AED=48(古树CD与山坡AB的剖面、 点E在同一平面上,古树CD与直线AE垂直),则古树CD的高度约为 ( ) (参考数据:sin 480.74,cos 480.67,tan 481.11) A.17.0米 B.21.9米 C.23.3米 D.33.3米,答案 C 延长DC交EA于点F. i= = = , 设CF=5x米,AF=12x米,且x0. 在RtACF中,AC= =13x=26, x=2,CF=10米,AF=24米. AE=6米,EF=EA+AF=6+24=30米. 在RtEDF中,tanAED=tan 48= ,

21、DF=EFtan 48301.11=33.3米, CD=DF-CF=33.3-10=23.3米,故选C.,思路分析 延长DC交EA于点F.由题意可得 = ,则设CF=5x米,AF=12x米.在RtACF中,由勾股定理得 AC= =13x=26,求得CF=10米,AF=24米,从而可得EF=30米.在RtDEF中,由tanAED= ,可求 出DF的长,从而进一步求出DC的长.,3.(2016重庆A卷,11,4分)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动.如图,在点A处测得直 立于地面的大树顶端C的仰角为36.然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处,然后再沿水平方向 行走6米至

22、大树底端D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=12.4,那么大树CD的高度约为(参考数据:sin 360.59, cos 360.81,tan 360.73) ( ) A.8.1米 B.17.2米 C.19.7米 D.25.5米,4.(2016宁夏,14,3分)如图,RtAOB中,AOB=90,OA在x轴上,OB在y轴上,点A,B的坐标分别为( ,0),(0,1). 把RtAOB沿着AB对折得到AOB,则点O的坐标为 .,答案,解析 如图,作OCOA,垂足为C, 在RtAOB中,OA= ,OB=1,AOB=90,tanBAO= ,BAO=30,由题意可得AO=AO= ,OAB= OAB=30,OA

23、O=60.在RtOAC中,AC=AOcos 60= ,OC=AOsin 60= .OC=AO-AC= .O .,5.(2015辽宁沈阳,16,4分)如图,正方形ABCD绕点B逆时针旋转30后得到正方形GBEF,EF与AD相交于点H, 延长DA交GF于点K,若正方形ABCD的边长为 ,则AK= .,答案 2 -3,解析 如图,延长BA交GF于点N.由旋转的性质得GBN=EBC=30,GB=AB= .在RtGBN中,GB= , GBN=30,BN= = =2,AN=BN-AB=2- .NAK=G=90,KNA+NKA=90, KNA+GBN=90,NKA=GBN=30(同角的余角相等).在RtKA

24、N中,AN=2- ,NKA=30,AK= = =2 -3.,评析 本题考查正方形的性质、旋转的性质和解直角三角形的有关知识,综合性较强.,6.(2019天津,22,10分)如图,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角 为31,再向东继续航行30 m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45.根据测得的数据,计算这座灯塔的 高度CD(结果取整数). 参考数据:sin 310.52,cos 310.86,tan 310.60.,解析 根据题意,CAD=31,CBD=45,CDA=90,AB=30, 在RtACD中,tanCAD= ,AD= , 在RtBCD中,tan

25、CBD= ,BD= =CD, 又AD=AB+BD, =30+CD, CD= =45. 答:这座灯塔的高度CD约为45 m.,思路分析 在RtACD中利用CAD的三角函数表示出AD;在RtBCD中利用CBD的三角函数表示出 BD,进而根据AD=BD+30,求得CD的高度.,解题关键 解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确画出图形.,7.(2018天津,22,10分)如图,甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78 m,从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯 角为48,测得底部C处的俯角为58,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数). 参考数据:tan 481.11,t

26、an 581.60.,解析 如图,过点D作DEAB,垂足为E. 则AED=BED=90. 由题意可知,BC=78,ADE=48,ACB=58,ABC=90,DCB=90. 可得四边形BCDE为矩形. ED=BC=78,DC=EB. 在RtABC中,tanACB= , AB=BCtan 58781.60125. 在RtAED中,tanADE= ,AE=EDtan 48. DC=EB=AB-AE=BCtan 58-EDtan 48781.60-781.1138. 答:甲建筑物的高度AB约为125 m,乙建筑物的高度DC约为38 m.,思路分析 过点D作DEAB,构造直角ADE和矩形BCDE,通过解

27、直角ABC和直角ADE可求出答案.,方法总结 解直角三角形的应用,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借助角、边关系,三 角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三角形,再解直角三角形,求出实 际问题的答案.,C组 教师专用题组 考点1 锐角三角形,1.(2019吉林长春,6,3分)如图,一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上,梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹 角为,则梯子顶端到地面的距离BC为 ( ) A.3sin 米 B.3cos 米 C. 米 D. 米,答案 A 因为sin = ,所以BC=ABsin =3sin (米).,2.(2015天津,2,3分

28、)cos 45的值等于 ( ) A. B. C. D.,答案 B cos 45= .,3.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长都为1,则tanBAC的值为 ( ) A. B.1 C. D.,答案 B 如图,连接BC. 在ABD和BCE中, ABDBCE(SAS), AB=BC,ABD=BCE. BCE+CBE=90, ABD+CBE=90, 即ABC=90, tanBAC= =1,故选B.,考点2 解直角三角形,1.(2019陕西,6,3分)如图,在ABC中,B=30,C=45,AD平分BAC,交BC于点D,DEAB,垂足为E.若DE= 1,则B

29、C的长为 ( ) A.2+ B. + C.2+ D.3,答案 A 过点D作DFAC,垂足为F.AD平分BAC,DEAB,DE=DF=1.B=30,BD=2DE=2. C=45,DC= DF= ,BC=BD+CD=2+ ,故选A.,2.(2019辽宁大连,15,3分)如图,建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距10 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53,观测旗杆底部B的仰角为45,则旗杆AB的高度约为 m.(结果取整数.参考数据:sin 530.80,cos 530.60, tan 531.33),答案 3,解析 BDC=45,BCD=90, DBC=180-BCD-BDC =180-90-45=

30、45, BDC=DBC, BC=DC=10 m. 在RtADC中, tanADC= , tan 53= , AC=10tan 53101.33=13.3 m. AB=AC-BC=13.3-10=3.33 m. 故答案为3.,思路分析 因为BDC=45,BCD=90,所以可得BC=DC=10 m,解直角三角形可求出AC13.3 m,进一步 可求出AB的长度.,3.(2015连云港,16,3分)如图,在ABC中,BAC=60,ABC=90,直线l1l2l3,l1与l2之间距离是1,l2与l3之间 距离是2.且l1,l2,l3分别经过点A,B,C,则边AC的长为 .,答案,解析 过B作l1的垂线与l

31、1和l3分别相交于D、E两点,得到RtABD与RtBCE,BD=1,BE=2,DE=3. 易求得ABD=BCE, ADB=BEC=90,ABDBCE, = .在RtABC中,BAC=60, tan 60= = . = , AD= .在RtABD中,由勾股定理得AB= = = . AC= = = .,评析 本题需要构造直角三角形,综合考查了学生对平行线的性质、平行线间的距离、勾股定理的应用的 掌握程度,难度高,计算量大,逻辑思维要求高,属于较难题.,4.(2015江西南昌,12,3分)图1是小志同学书桌上的一个电子相框,将其侧面抽象为如图2所示的几何图形,已 知AB=AC=15 cm,BAC=4

32、0,则点A到BC的距离为 cm(参考数据:sin 200.342,cos 200.940,sin 400.643,cos 400.766.结果精确到0.1 cm,可用科学计算器).,答案 14.1,解析 过点A作ADBC于点D,因为AB=AC,BAC=40,所以DAC= BAC=20.在RtADC中,AD=AC cos 20150.940=14.1 cm.,5.(2019甘肃兰州,25,7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了 探究,过程如下: 问题提出: 如图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷,要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最大 限度地使

33、冬天温暖的阳光射入室内.,方案设计: 如图2,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD. 数据收集: 通过查阅相关资料和实际测量:兰州市一年中,夏至这一天的正午时刻,太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角 ADC最大(ADC=77.44);冬至这一天的正午时刻,太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角BDC最小(BDC=30. 56);窗户的高度AB=2 m. 问题解决: 根据上述方案及数据,求遮阳篷CD的长. (结果精确到0.1 m,参考数据:sin 30.560.51,cos 30.560.86,tan 30.560.59,sin 77.440.98,cos 77.44 0.22,ta

34、n 77.444.49),解析 在RtBCD中,BCD=90,BDC=30.56, tanBDC= ,BC=tanBDCCD. 在RtACD中,ACD=90,ADC=77.44, tanADC= ,AC=tanADCCD. AC-BC=AB,tanADCCD-tanBDCCD=2,代入数值可得(4.49-0.59)CD=2,CD0.5. 答:遮阳篷长度约为0.5 m.,思路分析 首先在RtBCD和RtACD中利用正切分别表示出BC和AC,再由题图可知AC-BC=AB,代入数 据即可求出CD的长.,6.(2018湖北黄冈,21,7分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角DCE=30,楼高AB

35、=60米,在斜坡下的点 C处测得楼顶B的仰角为60,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45,其中点A,C,E在同一直线上. (1)求坡底C点到大楼距离AC的值; (2)求斜坡CD的长度.,解析 (1)在RtABC中,AB=60米,ACB=60, AC= =20 米. (2)过点D作DFAB于点F,则四边形AEDF为矩形,AF=DE,DF=AE. 设CD=x米,在RtCDE中,DE= x米,CE= x米, 在RtBDF中,BDF=45,BF=DF=AB-AF= 米, DF=AE=AC+CE,20 + x=60- x, 解得x=80 -120,即CD=(80 -120)米.,7.(2016连云港,2

36、5,10分)如图,在ABC中,C=150,AC=4,tan B= . (1)求BC的长; (2)利用此图形求tan 15的值.(精确到0.1,参考数据: 1.4, 1.7, 2.2),解析 (1)如图,过A作ADBC,交BC的延长线于D, 在RtADC中,AC=4,ACD=30, AD= AC=2,CD=ACcos 30=4 =2 . (2分) 在RtABD中,tan B= = = , BD=16. (4分) BC=BD-CD=16-2 . (5分) (2)如图,在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接AM.,ACB=150,AMD=MAC=15. tan 15=tanAMD= = = 0.3

37、. (10分),8.(2016安徽,19,10分)如图,河的两岸l1与l2相互平行,A、B是l1上的两点,C、D是l2上的两点.某人在点A处测得 CAB=90,DAB=30,再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上),测得DEB=60,求C、D两点间 的距离.,9.(2016陕西,20,7分)某市为了打造森林城市,树立城市新地标,实现绿色、共享发展理念,在城南建起了“望 月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度,来检 验自己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现,观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得,因此 经过研究需要两次测量.于是他

38、们首先用平面镜进行测量,方法如下:如图,小芳在小亮和“望月阁”之间的 直线BM上平放一平面镜,在镜面上做了一个标记,这个标记在直线BM上的对应位置为点C.镜子不动,小亮 看着镜面上的标记,他来回走动,走到点D时,看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合. 这时,测得小亮眼睛与地面的距离ED=1.5米,CD=2米;然后,在阳光下,他们用测影长的方法进行了第二次测 量,方法如下:如图,小亮从D点沿DM方向走了16米,到达“望月阁”影子的末端F点处,此时,测得小亮的影 长FH=2.5米,身高FG=1.65米. 如图,已知:ABBM,EDBM,GFBM.其中,测量时所使用的平面镜的厚度忽略

39、不计.请你根据题中提供的 相关信息,求出“望月阁”的高AB的长度.,解析 由题意得ABC=EDC=GFH=90, ACB=ECD,AFB=GHF. ABCEDC,ABFGFH. (3分) = , = . 即 = , = , (5分) 解得AB=99. 所以“望月阁”的高度为99米. (7分),10.(2016天津,22,10分)小明上学途中要经过A,B两地,由于A,B两地之间有一片草坪,所以需要走路线AC,CB. 如图,在ABC中,AB=63 m,A=45,B=37,求AC,CB的长.(结果保留小数点后一位) 参考数据:sin 370.60,cos 370.80,tan 370.75, 取1.

40、414.,解析 如图,过点C作CDAB,垂足为D. 在RtACD中,tan A= ,sin A= ,A=45, AD= =CD, AC= = CD. 在RtBCD中, tan B= ,sin B= ,B=37,BD= ,CB= . AD+BD=AB,AB=63, CD+ =63. 解得CD= =27.00. AC=1.41427.00=38.17838.2,CB =45.0. 答:AC的长约等于38.2 m,CB的长约等于45.0 m.,11.(2015镇江,24,6分)某海域有A、B两个港口,B港口在A港口北偏西30的方向上,距A港口60海里.有一艘船 从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后

41、,到达位于B港口南偏东75方向的C处.求该船与B港口之间的距 离即CB的长(结果保留根号).,解析 BAE=30,BFAE, ABF=30. (1分) FBC=75,ABC=45. (2分) CAE=45,BAC=75. (3分) C=60. 过点A作ADBC,垂足为D, (4分),在RtADB中,ABD=45,AB=60海里,则BD=AD=30 海里. 在RtADC中,C=60,AD=30 海里,则CD=10 海里. BC=(30 +10 )海里. 答:该船与B港口之间的距离即CB的长为(30 +10 )海里. (6分),12.(2017河南,19,9分)如图所示,我国两艘海监船A,B在南海

42、海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前 往救援遇险抛锚的渔船C.此时,B船在A船的正南方向5海里处,A船测得渔船C在其南偏东45方向,B船测得 渔船C在其南偏东53方向.已知A船的航速为30海里/小时,B船的航速为25海里/小时,问C船至少要等待多长 时间才能得到救援? 参考数据:sin 53 ,cos 53 ,tan 53 , 1.41,解析 过点C作CDAB交AB延长线于点D,则CDA=90. (1分) 已知CAD=45,设CD=x海里,则AD=CD=x海里. BD=AD-AB=(x-5)海里. (3分) 在RtBDC中,CD=BDtan 53,即x=(x-5)tan 53, x=

43、=20. (6分) BC= = 20 =25海里. B船到达C船处约需时间:2525=1(小时). (7分) 在RtADC中,AC= x1.4120=28.2海里, A船到达C船处约需时间:28.230=0.94(小时). (8分) 而0.941,所以C船至少要等待0.94小时才能得到救援. (9分),解题技巧 本题是解三角形两种典型问题中的一种. 以下介绍两种典型问题: (1)如图,当BC=a时,设AD=x,则CD= ,BD= .CD+BD=a, + =a,x= . (2)如图,当BC=a时,设AD=x,则BD= ,CD= , CD-BD=a, - =a, x= .,13.(2015南京,2

44、3,8分)如图,轮船甲位于码头O的正西方向A处,轮船乙位于码头O的正北方向C处,测得 CAO=45.轮船甲自西向东匀速行驶,同时轮船乙沿正北方向匀速行驶,它们的速度分别为45 km/h和36 km/ h.经过0.1 h,轮船甲行驶至B处,轮船乙行驶至D处,测得DBO=58.此时B处距离码头O有多远? (参考数据:sin 580.85,cos 580.53,tan 581.60),解析 设B处距离码头Ox km. 在RtCAO中,CAO=45, tanCAO= , CO=AOtanCAO=(450.1+x)tan 45=4.5+x. (2分) 在RtDBO中,DBO=58, tanDBO= ,

45、DO=BOtanDBO=xtan 58. (4分) DC=DO-CO, 360.1=xtan 58-(4.5+x). x= =13.5. 因此,B处距离码头O大约13.5 km. (8分),14.(2015内蒙古呼和浩特,19,6分)如图,热气球的探测器显示,从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30,看 这栋高楼底部C的俯角为65,热气球与高楼的水平距离AD为120 m.求这栋高楼的高度.(结果用含非特殊角 的三角函数及根式表示即可),解析 在RtABD中, tan 30= , BD=ADtan 30=120 =40 . (2分) 在RtACD中, tan 65= , CD=120tan 65

46、, (4分) BC=BD+CD=(40 +120tan 65)m . 答:这栋高楼的高度为(40 +120tan 65)m . (6分),15.(2015贵州遵义,21,8分)如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4米,AB=6米,中间平台宽 度DE=1米,EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N、M、B,EAB=31,DFBC于F,CDF=4 5.求DM和BC的水平距离BM.(结果精确到0.1米,参考数据:sin 310.52,cos 310.86,tan 310.60),解析 设DF=x米,在RtDFC中,CDF=45, CF=tan 45DF=x米. (2分) 又CB=4米,BF=(4-x)米, (3分) AB=6米,DE