2020年江苏中考数学复习课件§3.4.1 二次函数的图象与性质.pptx

1、考点1 二次函数的图象与性质,A组 20152019年江苏中考题组,1.(2017宿迁,4,3分)将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得抛物线相应的函数表达式是 ( ) A.y=(x+2)2+1 B.y=(x+2)2-1 C.y=(x-2)2+1 D.y=(x-2)2-1,答案 C 将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得抛物线相应的函数表达式是y=(x-2)2+1. 故选C.,思路分析 根据二次函数图象平移规律:“左加右减,上加下减”即可写出函数表达式.,2.(2017宿迁,8,3分)如图,在RtABC中,C=90,AC=6 cm,BC=2 cm,点P在

2、边AC上,从点A向点C移动,点Q在 边CB上,从点C向点B移动.若点P,Q均以1 cm/s的速度同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停止, 连接PQ,则线段PQ的最小值是 ( ) A.20 cm B.18 cm C.2 cm D.3 cm,答案 C 设P、Q运动的时间为t s,则AP=CQ=t cm, CP=(6-t)cm, PQ= = = (cm), 0t2, 当t=2时,PQ的值最小, 线段PQ的最小值是2 cm. 故选C.,3.(2019镇江,12,2分)已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a0)过点A(m,3),B(n,3)两点,若线段AB的长不大于4,则代 数式a2+a+

3、1的最小值是 .,答案,解析 y=ax2+4ax+4a+1=a(x+2)2+1, 抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a0)过点A(m,3),B(n,3)两点, a0,对称轴为直线x=- =-2. 线段AB的长不大于4,4a+13, a ,a2+a+1的最小值为 + +1= .,4.(2018镇江,8,2分)已知二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,则实数k的取值范围是 .,答案 k4,解析 二次函数y=x2-4x+k中,a=10,图象的开口向上, 又二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方, =(-4)2-41k0,解得k4.,思路分析 本题考查了二次函数的图象与系数的关

4、系和抛物线与x轴的交点情况,能根据题意得出(-4)2-41 k0是解题的关键.,5.(2018淮安,14,3分)将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是 .,答案 y=x2+2,解析 抛物线y=x2-1的顶点坐标为(0,-1),把点(0,-1)向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为(0,2),所以平 移后的抛物线解析式为y=x2+2.,方法总结 本题考查了二次函数图象的平移变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的 抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解 析式;二是只考虑平移后的顶点坐

5、标,即可求出解析式.,6.(2016镇江,10,2分)a、b、c是实数,点A(a+1,b)、B(a+2,c)在二次函数y=x2-2ax+3的图象上,则b、c的大小关 系是b c(用“”或“”填空).,答案 ,解析 抛物线y=x2-2ax+3的对称轴是直线x=a,开口向上. aa+1a+2,A、B在对称轴右侧,且B在A的右侧.根据二次函数图象的性质知bc.,7.(2016泰州,16,3分)二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示,若线段AB在x轴上,且AB为2 个单位长度,以AB为 边作等边ABC,使点C落在该函数y轴右侧的图象上,则点C的坐标为 .,答案 (1+ ,3)或(2,-3),解析 A

6、BC是等边三角形,且AB=2 , AB边上的高为3, 又点C在二次函数图象上,点C的纵坐标为3, 把y=3分别代入y=x2-2x-3, 得x=1 或0或2. 点C落在该函数y轴右侧的图象上, x0,x=2或1+ , 点C的坐标为(2,-3)或(1+ ,3).,解题关键 本题考查二次函数图象上点的特点,根据等边三角形的边长求高是解题关键.,8.(2019无锡,27,10分)已知二次函数y=ax2+bx-4(a0)的图象与x轴交于A、B两点(A在B左侧,且OAOB),与y 轴相交于点C. (1)求C点坐标,并判断b的正负性; (2)设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D,已知DCCA=1

7、2,直线BD与y轴相交于点E,连 接BC. 若BCE的面积为8,求这个二次函数的解析式; 若BCD为锐角三角形,请直接写出OA长的取值范围.,解析 (1)令x=0,则y=-4,C(0,-4), OA0. a0,b0), 则AO=2m,DM=m,B(4m,0),OC=4,CM=2, D(m,-6), DMAB, = = , OE=8,CE=4. 又SBCE= 44m=8, m=1, A(-2,0),B(4,0), 设y=a(x+2)(x-4), 将x=0代入,得y=-8a, C(0,-8a), -8a=-4,a= ,y= x2-x-4. 由知B(4m,0),C(0,-4),D(m,-6),则CB

8、D一定为锐角. 易知CB2=16m2+16,CD2=m2+4,DB2=9m2+36, 当CDB为锐角时, CD2+DB2CB2, 即m2+4+9m2+3616m2+16, 解得-20,0DB2, 即m2+4+16m2+169m2+36, 解得m 或m- (舍去). 综上, m2,则2 2m4. 故2 OA4.,9.(2019苏州,28,10分)如图,抛物线y=-x2+(a+1)x-a与x轴交于A,B两点(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C. 已知ABC的面积是6. (1)求a的值; (2)求ABC外接圆圆心的坐标; (3)如图,P是抛物线上一点,Q为射线CA上一点,且P,Q两点均在第三象限内

9、,Q,A是位于直线BP同侧的不同 两点.若点P到x轴的距离为d,QPB的面积为2d,且PAQ=AQB,求点Q的坐标.,解析 (1)抛物线解析式为y=-x2+(a+1)x-a, 令y=0,解得x=1或x=a,点A位于点B的左侧且点A在x轴负半轴上, 点A的坐标为(a,0)(a0),点B的坐标为(1,0).AB=1-a. 令x=0,解得y=-a,点C的坐标为(0,-a), SABC= (1-a)(-a)=6,即a2-a-12=0, 解得a=-3或a=4.a0,a=-3. (2)a=-3,A(-3,0),C(0,3),AO=OC=3.又AOC=90, OAC=OCA=45, 线段AC的垂直平分线与A

10、OC的平分线所在的直线y=-x重合. A(-3,0),B(1,0), 线段AB的垂直平分线是过点(-1,0)且平行于y轴的直线,即x=-1. ABC外接圆圆心在线段AB的垂直平分线上,又在线段AC的垂直平分线上,ABC外接圆圆心的坐标为(-1,1). (3)过点A作AEPB于点E,过点Q作QFPB于点F,记PA与BQ的交点为G,延长PQ与x轴交于点H. AB=4,点P到x轴的距离为d,SAPB= ABd=2d. SQPB=2d,SAPB=SQPB, PBAE= PBQF, AE=QF,AEPB,QFPB,四边形AEFQ为矩形,AQBP. PAQ=AQB,GQ=GA. AQBP,PAQ=APB,

11、AQB=QBP,APB=QBP. GB=GP,GB+GQ=GP+GA,即PA=BQ. 在APB与QBP中, APBQBP. CAO=45,且AQBP,ABP=CAO=45,又APBQBP,QPB=ABP=45, PHB=90,P,Q,H三点的横坐标相等,且BH=PH. 点P在抛物线y=-x2-2x+3上, 设点P的坐标为(t,-t2-2t+3)(t0), 点H的横坐标为t, BH=PH,1-t=-(-t2-2t+3), 解得t=-4或t=1(舍去). 点P的横坐标为-4,点Q的横坐标也是-4. 直线AC经过点A(-3,0),C(0,3), 利用待定系数法可得直线AC的表达式为y=x+3, 点Q

12、在AC上,点Q的坐标为(-4,-1).,10.(2018苏州,25,8分)如图,已知抛物线y=x2-4与x轴交于点A,B(点A位于点B的左侧),C为顶点.直线y=x+m经 过点A,与y轴交于点D. (1)求线段AD的长; (2)平移该抛物线得到一条新抛物线,设新抛物线的顶点为C.若新抛物线经过点D,并且新抛物线的顶点和 原抛物线的顶点的连线CC平行于直线AD,求新抛物线对应的函数表达式.,解析 (1)令x2-4=0,解得x1=2,x2=-2, 点A位于点B的左侧,A(-2,0),B(2,0), 直线y=x+m经过点A,-2+m=0, m=2,D(0,2), AD= =2 . (2)解法一:根据

13、题意可设新抛物线对应的函数表达式为y=x2+bx+2, y=x2+bx+2= +2- ,C . 直线CC平行于直线AD,并且经过点C(0,-4), 直线CC对应的函数表达式为y=x-4, 2- =- -4, 整理得b2-2b-24=0, 解得b1=-4,b2=6,新抛物线对应的函数表达式为y=x2-4x+2或y=x2+6x+2. 解法二:直线CC平行于直线AD,并且经过点C(0,-4), 直线CC对应的函数表达式为y=x-4, 新抛物线的顶点C在直线y=x-4上, 设顶点C的坐标为(n,n-4), 新抛物线对应的函数表达式为y=(x-n)2+n-4, 新抛物线经过点D(0,2), n2+n-4

14、=2,解得n1=-3,n2=2, 新抛物线对应的函数表达式为y=(x+3)2-7或y=(x-2)2-2,即y=x2+6x+2或y=x2-4x+2.,解题关键 本题是一道二次函数综合题,主要考查二次函数图象与x轴的交点、二次函数图象的顶点坐 标、待定系数法求二次函数的解析式以及图象的平移.运用一元二次方程求图象的交点,运用二次函数的 顶点坐标求函数解析式是解题关键.,11.(2018常州,28,10分)如图,二次函数y=- x2+bx+2的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为(- 4,0),P是抛物线上一点(点P与点A、B、C不重合). (1)b= ,点B的坐标是 ; (2)设直

15、线PB与直线AC相交于点M,是否存在这样的点P,使得PMMB=12?若存在,求出点P的横坐标;若 不存在,请说明理由; (3)连接AC、BC,判断CAB和CBA的数量关系,并说明理由.,解析 (1)点A(-4,0)在二次函数y=- x2+bx+2的图象上, - -4b+2=0,b=- . 当y=0时,有- x2- x+2=0, 解得x1=-4,x2= , 点B的坐标为 . (2)解法一:当x=0时,y=- x2- x+2=2, 点C的坐标为(0,2). 设直线AC的解析式为y=kx+c(k0), 将A(-4,0)、C(0,2)代入y=kx+c中, 得 解得,直线AC的解析式为y= x+2. 假

16、设存在,设点M的坐标为 . 当点P、B在直线AC的异侧时,点P的坐标为 , 点P在抛物线y=- x2- x+2上, m+3=- - +2, 整理,得12m2+20m+9=0. =202-4129=-320, 方程无解,即不存在符合题意的点P. 当点P、B在直线AC的同侧时,点P的坐标为 , 点P在抛物线y=- x2- x+2上, m+1=- - +2, 整理,得4m2+44m-9=0, 解得m1=- ,m2= , 点P的横坐标为-2- 或-2+ . 综上所述,存在点P,使得PMMB=12,点P的横坐标为-2- 或-2+ . 解法二:当x=0时,y=- x2- x+2=2, 点C的坐标为(0,2

17、). 设直线AC的解析式为y=kx+c(k0), 将A(-4,0)、C(0,2)代入y=kx+c中, 得 解得,直线AC的解析式为y= x+2. 过点B作BBy轴交直线AC于点B,过点P作PPy轴交直线AC于点P,如图所示. 点B的坐标为 , 点B的坐标为 , BB= . BBPP,PPMBBM, = = ,PP= . 设点P的坐标为 , 则点P的坐标为 , PP= = = , 解得x1=-2- ,x2=-2+ , 存在点P,使得PMMB=12,点P的横坐标为-2- 或-2+ . (3)CBA=2CAB. 解法一:作CBA的平分线,交y轴于点E,过点E作EFBC于点F,如图所示.,点B ,点C

18、(0,2), OB= ,OC=2,BC= . 设OE=n,则CE=2-n,EF=n, 由等面积法,可知 OBCE= BCEF, 即 (2-n)= n, 解得n= . = = ,AOC=BOE=90,AOCBOE, CAO=EBO, CBA=2EBO=2CAB. 解法二:将BC沿y轴对折,交x轴于点B,如图所示. 点B ,点C(0,2),点A(-4,0), 点B , AB=- -(-4)= ,BC= = , AB=BC=BC,CAB=ACB,CBA=CBB. CBB=CAB+ACB, CBA=2CAB.,解后反思 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、

19、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质.解第(3)问的关键是构造相似三 角形找出角的关系,或根据等腰三角形的性质结合三角形的外角性质得出CBA=2CAB.,考点2 二次函数与一元二次方程之间的联系,1.(2017徐州,8,3分)若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是 ( ) A.b1 C.0b1 D.b1,答案 A 函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点, 解得b1且b0.故选A.,2.(2017苏州,8,3分)若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为 ( ) A.x1=0,x2

20、=4 B.x1=-2,x2=6 C.x1= ,x2= D.x1=-4,x2=0,答案 A 把(-2,0)代入二次函数解析式y=ax2+1中,解得a=- ,把a=- 代入a(x-2)2+1=0,解得x1=0,x2=4.,思路分析 根据函数图象上的点满足函数解析式求出二次项系数,然后解方程即可.,一题多解 本题还可以利用二次函数图象的对称性来解决.因为二次函数y=ax2+1的图象关于y轴对称,且过 点(-2,0),所以过点(2,0),因为y=a(x-2)2+1的图象是由二次函数y=ax2+1的图象向右平移两个单位得到的,故函 数y=a(x-2)2+1的图象过点(0,0)、(4,0),所以方程a(x

21、-2)2+1=0的解是x1=0,x2=4.,3.(2015苏州,8,3分)若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2 +bx=5的解为 ( ) A.x1=0,x2=4 B.x1=1,x2=5 C.x1=1,x2=-5 D.x1=-1,x2=5,答案 D 设二次函数y=x2+bx的图象与x轴交点的横坐标为x1、x2,则x1+x2=-b,由题意知函数图象的对称轴 为直线x=2,则 =2,所以x1+x2=4,得b=-4.代入方程得x2-4x-5=0,解得x1=-1,x2=5,故选D.,4.(2017镇江,8,2分)若二次函数y=x2-4x+n的图象

22、与x轴只有一个公共点,则实数n= .,答案 4,解析 二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个交点,=b2-4ac=(-4)2-4n=0,则n=4.,5.(2017南京,26,8分)已知函数y=-x2+(m-1)x+m(m为常数). (1)该函数的图象与x轴公共点的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.1或2 (2)求证:无论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上; (3)当-2m3时,求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.,解析 (1)D. =(m-1)2+4m=(m+1)20, 该函数的图象与x轴公共点的个数是1或2. (2)证明:y=-x2+(m-1)x

23、+m=- + , 所以该函数的图象的顶点坐标为 . 把x= 代入y=(x+1)2, 得y= = . 因此,无论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上. (3)由(2)知,该函数的图象的顶点的纵坐标为 ,设z= ,由二次函数的性质可知, 当m=-1时,z有最小值0;,当m-1时,z随m的增大而增大. 又当m=-2时,z= = ; 当m=3时,z= =4. 因此,当-2m3时,该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围是0z4.,思路分析 (1)根据根的判别式=b2-4ac判断函数图象与x轴公共点的个数;(2)先求顶点坐标,将该点横坐标 代入y=(x+1)2得到纵坐标,从而得到结论;

24、(3)根据二次函数性质进行分类讨论,进而求出顶点纵坐标的取值 范围.,解后反思 这是一道二次函数的综合题,主要考查二次函数的图象和性质,二次函数与一元二次方程的关 系,点是否在二次函数图象上等知识点,属于难题.,B组 20152019年全国中考题组,考点1 二次函数的图象与性质,1.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是 ( ) A.c0 B.b2-4ac0 C.a-b+c0 D.图象的对称轴是直线x=3,答案 D 抛物线与y轴的正半轴相交,所以c0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0;当x=-1时,y

25、=a-b+c, 由题图可知a-b+c0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x= =3,选项D正确,故选D.,2.(2019天津,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:,且当x=- 时,与其对应的函数值y0.有下列结论: abc0; -2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根; 0m+n . 其中,正确结论的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,答案 C 由题表可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(0,-2),(1,-2),对称轴为直线x= = ,c=-2,由题意 可知,a0,b0,正确.根据

26、二次函数的对称性可知(-2,t)关于对称轴x= 的对称点为(3,t),即-2 和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根,正确.对称轴为直线x= ,- = ,b=-a,当x=- 时,y0, a- b-20,即 a+ a-20,a .对称轴为直线x= ,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,m),(2,n),m =n,当x=-1时,m=a-b+c=a+a-2=2a-2,m+n=4a-4,a ,4a-4 ,错误.故选C.,方法指导 本题考查了抛物线与y轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特 征以及二次函数的性质,逐一分析三个结论的正误是解题的关键.,3.(2018

27、湖北黄冈,6,3分)当axa+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为 ( ) A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2,答案 D y=x2-2x+1=(x-1)2,当a1时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而增大,其最小值为a2-2a+1, 则a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);当a+11,即a0时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而减小,其 最小值为(a+1)2-2(a+1)+1=a2,则a2=1,解得a=-1或a=1(舍去).当0a1时,函数y=x2-2x+1在x=1处取得最小值,最 小值为0,不合题意.综上,a的值为-1或2

28、,故选D.,4.(2018天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有下列 结论: 抛物线经过点(1,0); 方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根; -3a+b3. 其中,正确结论的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,答案 C 抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),其对称轴在y轴右侧,抛物线不经过点(1, 0),错误.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧,抛物线开口向 下,与直线y=2有两个交

29、点,方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根,故正确.抛物线的对称轴在y轴右 侧,- 0.a0.把点(-1,0),(0,3)分别代入y=ax2+bx+c得a-b=-3,b=a+3,a=b-3.-3a0,0b3. -3a+b3.故正确.故选C.,思路分析 抛物线经过点(-1,0),其对称轴在y轴右侧,由对称性可以判断错误;由条件得抛物线开口向下, 作直线y=2,直线与抛物线有两个交点,可判断正确;根据抛物线所经过的点及对称轴的位置,可判断正 确,从而得结论.,解后反思 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象与系数的关系,二次函数与一元二次 方程的关系,不等式的性质等知识,a的符号

30、决定抛物线的开口方向,- 的符号决定抛物线对称轴的位置,c 的值决定了抛物线与y轴的交点的纵坐标.,5.(2017安徽,9,4分)已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y= 的图象在第一象限有一个公共点,其横坐标为 1.则一次函数y=bx+ac的图象可能是 ( ),答案 B 因为抛物线与反比例函数的图象在第一象限有一个公共点,所以b0,a0,且公共点的坐标为(1, b),代入抛物线方程可得b=a+b+c,所以c=-a,所以一次函数为y=bx-a2,其图象过第一、三、四象限,故选B.,思路分析 由抛物线与反比例函数的图象在第一象限有一个公共点可判断b0,a0,由公共点的横坐标为 1可得公共点

31、坐标为(1,b),代入抛物线解析式可得a,c的关系,从而判断一次函数的图象.,6.(2019安徽,14,5分)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P, Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是 .,答案 a1或a-1,解析 解法一:函数y=x2-2ax的图象与x轴的交点为(0,0),(2a,0),函数y=x-a+1的图象与x轴的交点为(a-1,0),与y 轴的交点为(0,1-a). 分两种情况:当a2a,可得a0时,如图(2),要满足题意,则需a-10,可得a1. 综上,实数a的取值范围是a1或a-1.,解法

32、二:直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P、Q两点,且都在x轴的下方, 令y=x-a+10时,解得00时,若 有解,则a-10,解得a1; 当a1或a-1.,思路分析 考虑到二次函数图象的对称轴方程是x=a,故分a0两种情况,解法一:由于二次函数的图 象过原点,结合图象知只需满足直线y=x-a+1与二次函数图象相交的最左边交点在x轴的下方即可,从而得出 关于a的不等式;解法二:分别在a0两种情况下满足 有解,解之即可.,难点突破 根据二次函数图象的特点分a0两种情况考虑是解答本题的突破口.,7.(2015山东聊城,16,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如

33、图所示,下列结论:2a+b=0;a+cb;抛物 线与x轴的另一个交点为(3,0);abc0.其中正确的结论是 (填写序号).,答案 ,解析 因为抛物线的对称轴是直线x=1,所以- =1,-b=2a,2a+b=0,故正确.由题中图象知,当x=-1时,y= a-b+c0,又- 0,所以b0,故正确.,方法指导 由抛物线在直角坐标系中的位置确定a、b、c的符号:抛物线的开口方向决定了a的符号,当开 口向上时,a0,当开口向下时,a0,当交点在y轴负半轴上时,c0,当交 点为坐标原点时,c=0.,8.(2019安徽,22,12分)一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,

34、2),另一个交点是该二 次函数图象的顶点. (1)求k,a,c的值; (2)过点A(0,m)(0m4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B,C两点,点O为坐标原点,记W= OA2+BC2.求W关于m的函数解析式,并求W的最小值.,解析 (1)因为点(1,2)在一次函数y=kx+4的图象上,所以2=k+4,即k=-2,因为一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2 +c图象的另一个交点是该二次函数图象的顶点,所以(0,c)在一次函数y=kx+4的图象上,即c=4.又点(1,2)也在 二次函数y=ax2+c的图象上,所以2=a+c,从而a=-2. (6分) (2)解法一:因为点A

35、的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=-2x2+4的图象交于点B,C, 所以可设点B的坐标为(x0,m),由对称性得点C的坐标为(-x0,m),故BC=2|x0|.又点B在二次函数y=-2x2+4的图象 上,所以-2 +4=m,即 =2- ,从而BC2=4 =8-2m.又OA=m,所以W=OA2+BC2=m2-2m+8=(m-1)2+7(0m4),所 以m=1时,W有最小值7. (12分) 解法二:由(1)得二次函数的解析式为y=-2x2+4,因为点A的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线与 二次函数y=-2x2+4的图象交于点B,C,所以令-2x

36、2+4=m,解得x1= ,x2=- .所以BC=2 ,又OA=m, 从而W=OA2+BC2=m2+ =m2-2m+8=(m-1)2+7(0m4).所以m=1时,W有最小值7. (12分),思路分析 (1)将(1,2)代入一次函数解析式求出k,代入二次函数解析式得a+c=2,由题意可判断点(0,c)也在 一次函数图象上,从而求得a,c.(2)解法一:由题意可设点B(x0,m),由二次函数的对称性可得点C(-x0,m),可得BC =2|x0|,依据B点在二次函数的图象上,得出 =2- ,从而求出W关于m的函数解析式,最后根据二次函数的性 质求出最值.解法二:由(1)可令-2x2+4=m,求出两根,

37、从而得BC的长,从而求出W关于m的函数解析式,最后根据 二次函数的性质求出最值.,9.(2019杭州,22,12分)设二次函数y=(x-x1)(x-x2)(x1,x2是实数). (1)甲求得当x=0时,y=0;当x=1时,y=0;乙求得当x= 时,y=- .若甲求得的结果都正确,你认为乙求得的结果正 确吗?说明理由; (2)写出二次函数图象的对称轴,并求该函数的最小值(用含x1,x2的代数式表示); (3)已知二次函数的图象经过(0,m)和(1,n)两点(m,n是实数),当0x1x21时,求证:0mn .,解析 (1)乙求得的结果不正确,理由如下: 根据题意,知图象经过点(0,0),(1,0)

38、. 所以y=x(x-1). 当x= 时,y= =- - , 所以乙求得的结果不正确. (2)函数图象的对称轴为直线x= . 当x= 时,函数有最小值M, M= =- . (3)证明:因为y=(x-x1)(x-x2), 所以m=x1x2,n=(1-x1)(1-x2), 所以mn=x1x2(1-x1)(1-x2)=(x1- )(x2- ),= . 因为0x1x21, 所以结合y=x(1-x)的图象可知0- + ,0- + , 所以0mn , 因为x1x2,所以0mn .,10.(2019重庆A卷,26,8分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),

39、交 y轴于点C,点D为抛物线的顶点,对称轴与x轴交于点E. (1)连接BD,点M是线段BD上一动点(点M不与端点B,D重合),过点M作MNBD,交抛物线于点N(点N在对称 轴的右侧),过点N作NHx轴,垂足为H,交BD于点F.点P是线段OC上一动点,当MN取得最大值时,求HF+FP+ PC的最小值; (2)在(1)中,当MN取得最大值,HF+FP+ PC取得最小值时,把点P向上平移 个单位得到点Q,连接AQ,把 AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度(0360),得到AOQ,其中边AQ交坐标轴于点G,在旋转过程中,是 否存在一点G,使得Q=QOG?若存在,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在

40、,请说明理由.,备用图,解析 (1)点A,B(点A在点B的左侧)是抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点,点D是抛物线的顶点, 点A(-1,0),点B(3,0),点D(1,-4). 可求得直线BD的表达式是y=2x-6. 点N在抛物线y=x2-2x-3上,可设点N的坐标为(t,t2-2t-3), 则点F的坐标为(t,2t-6). FN=(2t-6)-(t2-2t-3)=-t2+4t-3. 根据已知条件,可得MNFEBD. = . EB=2,DE=4,DB=2 . MN= FN=- (t-2)2+ . 当t=2时,MN取得最大值,此时,点F(2,-2),HF=2. (2分) 如图,以CP为斜边,以

41、 CP的长为直角边,作RtCRP,当点F,P,R在一条直线上时,PF+ CP取得最小值,此时,PF+ CP=RF,过点F作FSy轴,垂足为S. 点F,P,R在一条直线上, CPRFPS. 则 = =3. 在RtSPF中,SF=2,FP=3SP, SP= ,FP= .,CP=CS-PS=1- = . RP= CP= . RF=RP+PF= + = . HF=2, HF+PF+ CP的最小值为2+ = . (4分) (2)满足条件的点Q的坐标为 , , , . (8分) 详解:由(1)可得点P . 把点P向上平移 个单位得到点Q,点Q(0,-2). 在RtAOQ中,AOQ=90,AQ= ,取AQ的

42、中点G,连接OG, 则OG=GQ= AQ= ,此时,AQO=GOQ. 把AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度(0360), 得到AOQ,其中边AQ交坐标轴于点G. 如图.,当G点落在y轴的负半轴上时,G ,过点Q作QIx轴于点I,且GOQ=Q,则IOQ=OAQ= OAQ. sinOAQ= = = , sinIOQ= = = , 解得IQ= . 在RtOIQ中,根据勾股定理可得OI= . 点Q的坐标为 ; 如图.,当G点落在x轴的正半轴上时,同理可得Q . 如图.,当G点落在y轴的正半轴上时,同理可得Q . 如图.,当G点落在x轴的负半轴上时, 同理可得Q . 综上所述,所有满足条件的点Q的坐标为

43、, , , .,11.(2018北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a 经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C. (1)求点C的坐标; (2)求抛物线的对称轴; (3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.,解析 (1)将x=0代入y=4x+4得y=4, B(0,4). 点B向右平移5个单位长度得到点C, C(5,4). (2)将y=0代入y=4x+4得x=-1, A(-1,0). 将点A(-1,0)代入抛物线解析式y=ax2+bx-3a得0=a-b-3a,即b=-2a, 抛物线的

44、对称轴为直线x=- =- =1. (3)抛物线始终过点A(-1,0),且对称轴为直线x=1, 由抛物线的对称性可知抛物线也过点A关于直线x=1的对称点(3,0). a0时,如图1.,图1 将x=5代入抛物线的解析式得y=12a, 12a4,a . a0,且抛物线顶点不在线段BC上时,如图2.,图2 将x=0代入抛物线得y=-3a, 抛物线与线段BC恰有一个公共点, -3a4,a- . 若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点为(1,4),如图3.,图3 将点(1,4)代入抛物线的解析式得4=a-2a-3a,a=-1. 综上所述,a 或a- 或a=-1.,思路分析 (1)先求B点坐标,由B点向右平移5

45、个单位长度确定C点坐标. (2)确定A点坐标,代入抛物线的解析式,利用公式确定对称轴. (3)结合图象和抛物线的对称性解答.,解题关键 解决本题第(3)问的关键是要先确定题目中抛物线所过的定点,进而通过临界点求出a的取值范 围.同时不要忽略抛物线顶点是公共点的情况.,考点2 二次函数与一元二次方程之间的联系,1.(2019杭州,10,3分)在平面直角坐标系中,已知ab,设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点,函数y=(ax +1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点,则 ( ) A.M=N-1或M=N+1 B.M=N-1或M=N+2 C.M=N或M=N+1 D.M=N或M=N-1,

46、答案 C 对于函数y=(x+a)(x+b), 当y=0时,函数图象与x轴的交点为(-a,0),(-b,0), 故M=2. 对于函数y=(ax+1)(bx+1), 当y=0时,有以下3种情况: ab0时,图象与x轴的交点为 , ,此时N=2,M=N; a=0时,图象与x轴的交点为 ,此时N=1,M=N+1; b=0时,图象与x轴的交点为 ,此时N=1,M=N+1. 综上所述,M=N或M=N+1.故选C.,思路分析 由y=(x+a)(x+b)=0得到函数图象与x轴有两个交点,则M=2.当y=(ax+1)(bx+1)=0时,对a,b的取值进 行分类讨论,从而确定M,N的值,即可得M与N的关系.,2.

47、(2017甘肃兰州,5,4分)下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:,那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是 ( ) A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3,答案 C 由题表中的数据可以看出最接近于0的数是0.04,它对应的x的值是1.2,故方程x2+3x-5=0的一个近 似根是1.2,故选C.,3.(2016广西南宁,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)和正比例函数y= x的图象如图所示,则方程ax2+ x+c=0(a0)的两根之和 ( ) A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能确定,答案 A 根据题图可知a0,b0. 在方程ax2+ x+c=0(a0)中,= -4ac=b2- b+ -4ac=b2-4ac- b+ 0,设此方程的两根分别为x1, x2,则x1+x2=- =- + 0,故选A.,4.(2019湖北武汉,15,3分)抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx 的解是 .,答案 x1=-2,x2=5,解析 解法一:将方程整理可得a(x-1)2+b(x-1)+