2020年湖南中考数学复习课件§６.３ 解直角三角形.pptx

1、考点一 锐角三角函数,A组 20152019年湖南中考题组,1.(2019湖南怀化,8,4分)已知为锐角,且sin = ,则= ( ) A.30 B.45 C.60 D.90,答案 A 为锐角,且sin = , =30.故选A.,思路分析 根据特殊角的三角函数值解答.,2.(2017湖南怀化,6,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sin 的值是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 作AB x轴于B,如图, 点A的坐标为(3,4), OB=3,AB=4, OA= =5, 在RtAOB中,sin = = .故选C.,3.(2018湖南娄底,11,3分)如图,由四个全

2、等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积是 49,则sin -cos = ( ) A. B.- C. D.-,答案 D 如图,小正方形的面积为49,大正方形的面积为169, 小正方形的边长是7,大正方形的边长是13, 在RtABC中,AC2+BC2=AB2,即AC2+(7+AC)2=132, 整理得,AC2+7AC-60=0,解得AC=5或AC=-12(舍去), 在RtABC中,AC=5,BC=12,AB=13, sin -cos = - =- .,4.(2018湖南益阳,8,4分)如图,小刚从山脚A出发,沿坡角为的山坡向上走了300米到达B点,则小刚上升了 ( ) A.30

3、0sin 米 B.300cos 米 C.300tan 米 D. 米,答案 A 根据三角函数的定义得,sin = , 得BO=ABsin ,又AB=300米, 所以BO=300sin 米,故选A.,考点二 解直角三角形,1.(2019湖南益阳,8,4分)南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校外实践活动中对此开展测 量活动.如图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为,大桥主架的顶端D的仰角为,已知测 量点与大桥主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高CD为 ( ) A.asin +asin B.acos +acos C.atan +atan D. +,答案 C

4、在RtABD和RtABC中,AB=a, tan = ,tan = , BC=atan ,BD=atan , CD=BC+BD=atan +atan . 故选C.,思路分析 在RtABD和RtABC中,由三角函数得BC=atan ,BD=atan ,则CD=BC+BD=atan +atan .,2.(2018湖南常德,6,3分)如图,已知BD是ABC的角平分线,ED是BC的垂直平分线,BAC=90,AD=3,则CE 的长为 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3,答案 D ED是BC的垂直平分线, DB=DC, C=DBC, BD是ABC的角平分线, ABD=DBC,BAC=90, C=DBC=

5、ABD=30, BD=2AD=6, CE=CDcos C=3 . 故选D.,3.(2017湖南益阳,7,3分)如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,CAB=,则拉线BC的长度 为(A、D、B在同一条直线上) ( ) A. B. C. D.hcos ,答案 B 因为CDAB,ACBC,所以CAB+ACD=90,ACD+BCD=90,所以CAB=BCD=.在 RtBCD中,cos = ,故BC= ,故选B.,思路分析 利用CD与AB垂直,AC与BC垂直,得到BCD=CAB=,再根据余弦的定义即可求得BC的长度.,4.(2016湖南怀化,10,4分)在RtABC中,C=90,sin

6、 A= ,AC=6 cm,则BC的长度为 ( ) A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm,答案 C sin A= = , 设BC=4x,AB=5x(x0), 又AC2+BC2=AB2, 62+(4x)2=(5x)2, 解得x=2或x=-2(舍), 则BC=4x=8 cm, 故选C.,思路分析 先由sin A= = 设未知量,再利用勾股定理列方程求解.,解题关键 本题考查了三角函数与勾股定理,正确理解三角函数的定义是解题的关键.,5.(2016湖南长沙,11,3分)如图,热气球的探测器显示,从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30,看这栋楼 底部C处的俯角为60,热气球A处与楼的

7、水平距离为120 m,则这栋楼的高度为 ( ) A.160 m B.120 m C.300 m D.160 m,答案 A 设ADBC于点D,由题意得AD=120 m, 在RtABD中,BAD=30, BD=ADtanBAD=120tan 30=120 =40 (m). 在RtACD中,CAD=60, CD=ADtanCAD=120tan 60=120 =120 (m). BC=BD+CD=40 +120 =160 (m),故选A.,评析 本题考查了解直角三角形,解答本题的关键是构造直角三角形,利用锐角三角函数求解.,6.(2019湖南衡阳,17,3分)已知圆的半径是6,则圆内接正三角形的边长是

8、 .,答案 6,解析 如图,ABD为圆内接正三角形,O的半径为6, 连接OA,OB,作OCAB于点C, AOB=2D=120. OA=OB, AB=2AC,AOC=60, AC=OAsin 60=6 =3 , AB=2AC=6 .,即该圆的内接正三角形的边长是6 .,思路分析 易得AOB为120,利用60角的正弦值和垂径定理可得正三角形边长的一半AC的长,乘2即为 正三角形的边长.,7.(2019湖南怀化,20,8分)如图,为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度,小明在南岸B处测得对岸A处一 棵柳树位于北偏东60方向,他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处,此时测得柳树位于北

9、偏东30方向,试计算此段河面的宽度.,解析 如图,作ADBC于D. 由题意知BC=1.540=60(米),ABD=30,ACD=60, BAC=ACD-ABC=30, ABC=BAC, BC=AC=60米. 在RtACD中,AD=ACsin 60=60 =30 (米). 答:这条河的宽度为30 米.,思路分析 作ADBC于D.由题意得到BC=1.540=60米,ABD=30,ACD=60,根据三角形的外角的性 质得到BAC=ACD-ABC=30,则ABC=BAC,即BC=AC=60米.在RtACD中,根据三角函数的定义 即可得到结论.,8.(2019湖南衡阳,22,8分)如图,在一次综合实践活

10、动中,小亮要测量一楼房的高度,先在坡面D处测得楼房顶 部A的仰角为30,沿坡面向下走到坡脚C处,然后向楼房方向继续行走10米到达E处,测得楼房顶部A的仰角 为60.已知坡面CD=10米,山坡的坡度i=1 (坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比),求楼房AB高度. (结果精确到0.1米)(参考数据: 1.73, 1.41),解析 设AB=x米,过D作DFBC于F,作DGBC交AB于G. 易知四边形DFBG是矩形, DF=BG,DG=BF. 在RtCDF中,由i=1 得 = , 设DF=k(k0)米,FC= k米,又CD=10米, k2+( k)2=102,解得k=5,DF=5米,FC=5 米.

11、 在RtABE中,AEB=60,AB=x米, BE= = x米. 在RtADG中,ADG=30,AG=AB-BG=AB-DF=(x-5)米, DG= = (x-5)米. 由FC+CE+EB=DG得5 +10+ x= (x-5), 解得x=15+5 23.7. 答:楼房AB的高度约为23.7米.,9.(2019湖南岳阳,22,8分)慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边,是湖南省保存最好的古塔建筑之一.如图,小亮的 目高CD为1.7米,他站在D处测得塔顶的仰角ACG为45,小琴的目高EF为1.5米,她站在距离塔底中心B点a 米远的F处,测得塔顶的仰角AEH为62.3.(点D、B、F在同一水平线上,参考数据

12、:sin 62.30.89,cos 62.3 0.46,tan 62.31.9) (1)求小亮与塔底中心的距离BD;(用含a的式子表示) (2)若小亮与小琴相距52米,求慈氏塔AB的高度.,解析 (1)由题意得,四边形CDBG、HBFE为矩形, GB=CD=1.7,HB=EF=1.5,GH=0.2, 在RtAHE中,tanAEH= , 则AH=HEtanAEH1.9a, AG=AH-GH=1.9a-0.2, 在RtACG中,ACG=45, CG=AG=1.9a-0.2, BD=1.9a-0.2. 答:小亮与塔底中心的距离BD(1.9a-0.2)米. (2)由题意得1.9a-0.2+a=52,解

13、得a=18, 则AG=1.9a-0.2=34,AB=AG+GB=35.7. 答:慈氏塔的高度AB为35.7米.,10.(2018湖南邵阳,24,8分)某商场为方便消费者购物,准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶 梯.如图所示,已知原阶梯式自动扶梯AB长为10 m,坡角ABD为30.改造后的斜坡式自动扶梯的坡角ACB 为15,请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度.(结果精确到0.1 m.温馨提示:sin 150.26,cos 150.97, tan 150.27),解析 在RtABD中,ABD=30,AB=10 m, AD=ABsinABD=10sin 30=5 m, 在RtACD中

14、,ACD=15,sinACD= , AC= = 19.2 m. 即改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2米.,11.(2018湖南岳阳,22,8分)图1是某小区入口实景图,图2是该入口抽象成的平面示意图,已知入口BC宽3.9米, 门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯,点O与地面BC的距离为3.3米,灯臂OM长为1.2米(灯罩长度忽略不 计),AOM=60. (1)求点M到地面的距离; (2)某搬家公司一辆总宽2.55米,总高3.5米的货车从该入口进入时,货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离, 此时,货车能否安全通过?若能,请通过计算说明;若不能,请说明理由.(参考数据: =1.73,

15、结果精确到0.01米),解析 (1)如图,过M作MNAB,交BA的延长线于N, 在RtOMN中,NOM=60,OM=1.2米, M=30, ON= OM=0.6米, NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9米,即点M到地面的距离是3.9米. (2)取CE=0.65米,EH=2.55米, HB=3.9-2.55-0.65=0.7米, 过H作GHBC,交OM于G,过O作OPGH于P, GOP=30, tan 30= = , GP= OP= 0.404米, GH=3.3+0.404=3.7043.7米3.5米, 货车能安全通过.,12.(2018湖南湘潭,19,6分)随着航母编队的成立,我国海军日益

16、强大,2018年4月12日,中央军委在南海海域隆 重举行海上阅兵,在阅兵之前我军加强了海上巡逻,如图,我军巡逻舰在某海域航行到A处时,该舰在观测点P 的南偏东45的方向上,且与观测点P的距离PA为400海里;巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后,到达位 于观测点P的北偏东30方向上的B处,问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里?(参考数据: 1.414, 1.732,结果精确到1海里),解析 在APC中,ACP=90,APC=45,则AC=PC. AP=400海里, 由勾股定理知,AP2=AC2+PC2=2PC2,即4002=2PC2, 故PC=200 海里. 在RtBPC中,PCB=90,

17、BPC=60, PB= =2PC=400 4001.414566(海里). 答:此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为566海里.,思路分析 通过勾股定理得到线段PC的长度,然后解直角BPC求得线段PB的长度即可.,13.(2017湖南长沙,22,8分)为了维护国家主权和海洋权利,海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如 图,正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方向航行,在A处测得灯塔P在北偏东60方向 上,继续航行1小时到达B处,此时测得灯塔P在北偏东30方向上. (1)求APB的度数; (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁,问海监船继续向正东方向航行是否安全?,解析 (1

18、)如图,过点B作BCAB,交AP于点C,过点A作ADBC,则ACB=CAD=60,APB=ACB- CBP=60-30=30. (2)解法一:过点P作PEAB于点E,依题意知AB=50海里, 设PE=x海里,则BE= x海里,易知APE=DAP=60, 在RtAPE中,tanAPE= , tan 60= ,解得x=25 . 25 25,海监船继续向正东方向航行是安全的. 解法二:过点P作PEAB于点E,由(1)知APB=30, PAD=60,PAB=30,APB=PAB, PB=AB=50海里. 在RtPBE中,sinPBE= , PE=PBsin 60=25 海里.,25 25, 海监船继续

19、向正东方向航行是安全的.,B组 20152019年全国中考题组,考点一 锐角三角函数,1.(2019天津,2,3分)2sin 60的值等于 ( ) A.1 B. C. D.2,答案 C 根据特殊角的三角函数值,可得sin 60= ,则2sin 60=2 = ,故选C.,2.(2019吉林长春,6,3分)如图,一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上,梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹 角为,则梯子顶端到地面的距离BC为 ( ) A.3sin 米 B.3cos 米 C. 米 D. 米,答案 A 因为sin = ,所以BC=ABsin =3sin (米).,3.(2017黑龙江哈尔滨,8,3分)在RtA

20、BC中,C=90,AB=4,AC=1,则cos B的值为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 由勾股定理可得BC= ,所以cos B= = .故选A.,4.(2018云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为 ( ) A.3 B. C. D.,答案 A AC=1,BC=3,C=90,tan A= =3.,5.(2017甘肃兰州,3,4分)如图,一个斜坡长130 m,坡顶离水平地面的距离为50 m,那么这个斜坡与水平地面夹 角的正切值等于 ( ) A. B. C. D.,答案 C 在直角三角形中,根据勾股定理可知水平的直角边长为120 m,故这个斜坡与水

21、平地面夹角的正 切值等于 = ,故选C.,思路分析 先利用勾股定理求得第三边的长,再利用正切的定义求正切值.,考点二 解直角三角形,1.(2018重庆,10,4分)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底 部E点处测得旗杆顶端的仰角AED=58,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD的坡度i =10.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米,则旗杆AB的高度约为 ( ) (参考数据:sin 580.85,cos 580.53,tan 581.6) A.12.6米 B.13.1米 C.14.7米 D.16.3米,答案 B

22、 如图,延长AB交ED的延长线于M,作CJDM于J.则四边形BMJC是矩形. 在RtCJD中, = = , 设CJ=4k,DJ=3k,k0,已知CD=2, 则有9k2+16k2=4,解得k= , BM=CJ= ,DJ= ,又BC=MJ=1, EM=MJ+DJ+DE= ,在RtAEM中,tanAEM= ,tan 58= 1.6, 解得AB13.1(米),故选B.,思路分析 延长AB交ED的延长线于M,作CJDM于J,则四边形BMJC是矩形.在RtCJD中求出CJ、DJ的 长,再根据tanAEM= 即可解决问题.,方法总结 解直角三角形的实际应用问题的关键是根据实际情况建立数学模型,正确画出图形,

23、找到直角 三角形.根据题目中的已知条件,将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题,画出平面几何图形,弄清已知 条件中各量之间的关系,若图中有直角三角形,根据边角关系进行计算即可;若图中没有直角三角形,可通过 添加辅助线构造直角三角形来解决.,2.(2019辽宁大连,15,3分)如图,建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距10 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53, 观测旗杆底部B的仰角为45,则旗杆AB的高度约为 m.(结果取整数.参考数据:sin 530.80,cos 53 0.60,tan 531.33),答案 3,解析 BDC=45,BCD=90, DBC=180-BCD-BDC =180-

24、90-45=45, BDC=DBC,BC=DC=10 m. 在RtADC中, tanADC= , tan 53= , AC=10tan 53101.33=13.3 m. AB=AC-BC=13.3-10=3.33 m. 故答案为3.,思路分析 因为BDC=45,BCD=90,所以可得BC=DC=10 m,解直角三角形可求出AC13.3 m,进一步 可求出AB的长度.,3.(2019安徽,19,10分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在农政全书 中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上 方,且圆被水面截得的弦A

25、B的长为6米,OAB=41.3.若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直于AB),求 点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据:sin 41.30.66,cos 41.30.75,tan 41.30.88) 图1,图2,解析 连接CO并延长,交AB于点D,则CDAB,所以D为AB的中点,所求运行轨道的最高点C到弦AB所在直 线的距离即为线段CD的长. 在RtAOD中,AD= AB=3,OAD=41.3, OD=ADtan 41.330.88=2.64,OA= =4, CD=CO+OD=AO+OD=4+2.64=6.64. 答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米. (10分)

26、 其他运算途径得到的正确结果也可赋分,思路分析 本题考查垂径定理和三角函数的应用,通过垂径定理求得AD的长,再通过解三角形,求得AO和 OD的长,从而求出点C到弦AB所在直线的距离.,4.(2019四川成都,18,8分)2019年,成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事,这大幅提升了成都市 的国际影响力.如图,在一场马拉松比赛中,某人在大楼A处,测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35,底部D的 俯角为45,如果A处离地面的高度AB=20米,求起点拱门CD的高度.(结果精确到1米;参考数据:sin 350.57, cos 350.82,tan 350.70),解析 如图,作CEAB于点E,A

27、EC=CEB=90, 由题意得CDB=EBD=90,1=35,2=45. 四边形CDBE为矩形. CD=BE,CE=DB. 在RtABD中,BD=AB=20米,CE=20米. 在RtACE中,AE=CEtan1. BE=AB-AE=20-20tan 356米. CD6米. 答:起点拱门CD的高度约为6米.,解题关键 本题为解直角三角形的实际问题,过点C作CEAB构造出直角三角形和矩形是解题关键.,5.(2018安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面 上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过

28、平面镜E恰好观测 到旗杆顶A(此时AEB=FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3,平面镜E的俯角为45,FD=1.8米,问旗杆 AB的高度约为多少米?(结果保留整数) (参考数据:tan 39.30.82,tan 84.310.02),解析 解法一:由题意知,AEB=FED=45,AEF=90. 在RtAEF中, =tanAFE=tan 84.3, 在ABE和FDE中,ABE=FDE=90,AEB=FED, ABEFDE, = =tan 84.3, AB=FDtan 84.31.810.02=18.03618(米). 答:旗杆AB的高度约为18米. 解法二:作FGAB于点G,由题意知,A

29、BE和FDE均为等腰直角三角形, AB=BE,DE=FD=1.8, FG=DB=DE+BE=AB+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8. 在RtAFG中, =tanAFG=tan 39.3,即 =tan 39.3,解得AB=18.218(米). 答:旗杆AB的高度约为18米.,思路分析 思路一:由题意可确定AEF=90,从而可推出ABEFDE,最后由相似三角形中对应边的 比相等求解;思路二:作FGAB于点G,由题意可推出ABE和FDE均为等腰直角三角形,在直角三角形 AFG中由锐角三角函数求出AB.,6.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器

30、材由高、低两根平行杠及若干 支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低 杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答. 如图所示,底座上A,B两点间的距离为90 cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm,高杠上点D到直 线AB的距离DF的长为234 cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4,高杠的支架BD与直线AB 的夹角DBF为80.3.求高、低杠间的水平距离CH的长. (结果精确到1 cm.参考数据:sin 82.40.991,cos 82.40.132,tan 82.47.500,sin 80.30.983

31、,cos 80.3 0.168,tan 80.35.850),解析 在RtCAE中,AE= = 20.7. (3分) 在RtDBF中,BF= = =40. (6分) EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7151. 四边形CEFH为矩形,CH=EF=151. 即高、低杠间的水平距离CH的长约是151 cm. (9分),思路分析 根据RtCAE和RtDBF中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE,BF的长度,得EF=AE+AB+ BF,由矩形的性质可知CH=EF,可以求出问题的答案.,方法总结 解直角三角形的应用问题,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借助边角关 系

32、、三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三角形,再解直角三角形, 求出实际问题的答案.,7.(2018新疆乌鲁木齐,21,10分)如图,小强想测量楼CD的高度,楼在围墙内,小强只能在围墙外测量.他无法测 得观测点到楼底的距离,于是小强在A处仰望楼顶,测得仰角为37,再往楼的方向前进30米至B处,测得楼顶 的仰角为53(A,B,C三点在一条直线上),求楼CD的高度(结果精确到0.1米,小强的身高忽略不计).,解析 设楼CD的高度为x米,依题意,有DAC=37,DBC=53, 在RtACD中,DCA=90,tanDAC= , AC= = , 同理,BC= = , (6

33、分) 又AC-BC=AB,即 - =30, 解得x52.3. 答:楼CD的高度约为52.3米. (10分),思路分析 设楼CD的高度为x米,分别在直角三角形ACD和直角三角形BCD中根据锐角三角函数求出 AC、BC,然后根据AC-BC=AB列出方程,求解即可.,8.(2018内蒙古呼和浩特,21,7分)如图,一座山的一段斜坡BD的长度为600米,且这段斜坡的坡度i=13(沿斜 坡从B到D时,其升高的高度与水平前进的距离之比).已知在地面B处测得山顶A的仰角为33,在斜坡D处测 得山顶A的仰角为45.求山顶A到地面BC的高度AC是多少米.(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即 可),解析 过点

34、D作DHBC,垂足为H. 斜坡BD的坡度i=13, DHBH=13. 在RtBDH中,BD=600, DH2+(3DH)2=6002, DH=60 ,BH=180 . 设AE=x米,在RtADE中,ADE=45,DE=AE=x, 又HC=DE,EC=DH, HC=x,EC=60 , 在RtABC中,tan 33= = , x= , AC=AE+EC= +60 = . 答:山顶A到地面BC的高度为 米.,C组 教师专用题组,考点一 锐角三角函数,1.(2019重庆A卷,10,4分)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想,某森林保护区开展了寻找古树活 动.如图,在一个坡度(或坡比)i=12.4的

35、山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC =26米,在距山脚点A水平距离6米的点E处,测得古树顶端D的仰角AED=48(古树CD与山坡AB的剖面、 点E在同一平面上,古树CD与直线AE垂直),则古树CD的高度约为 ( ) (参考数据:sin 480.74,cos 480.67,tan 481.11) A.17.0米 B.21.9米 C.23.3米 D.33.3米,答案 C 延长DC交EA于点F. i= = = , 设CF=5x米,AF=12x米,且x0. 在RtACF中,AC= =13x=26, x=2,CF=10米,AF=24米. AE=6米,EF=EA+AF=6+2

36、4=30米. 在RtEDF中,tanAED=tan 48= , DF=EFtan 48301.11=33.3米,CD=DF-CF=33.3-10=23.3米,故选C.,思路分析 延长DC交EA于点F.由题意可得 = ,则设CF=5x米,AF=12x米.在RtACF中,由勾股定理得 AC= =13x=26,求得CF=10米,AF=24米,从而可得EF=30米.在RtDEF中,由tanAED= ,可求 出DF的长,从而进一步求出DC的长.,2.(2016辽宁沈阳,9,2分)如图,在RtABC中,C=90,B=30,AB=8,则BC的长是( ) A. B.4 C.8 D.4,答案 D C=90,B=

37、30,AC=ABsin 30= AB=4,由勾股定理得BC= = =4 ,故 选D.,3.(2016湖北荆州,7,3分)如图,在44的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,ABC的顶点都在格点 上,则图中ABC的余弦值是 ( ) A.2 B. C. D.,答案 D 由题图可知,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5,AB2=32+42=25,AC2+BC2=AB2, ABC是直角三角形,且ACB=90,cosABC= = .故选D.,4.(2016甘肃定西,13,4分)如图,点A(3,t)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为,tan = ,则t的值是 .,解析 过点A作ABx轴于B

38、, 点A(3,t)在第一象限, AB=t,OB=3, tan = = = ,t= .,思路分析 过点A作ABx轴于B,根据正切等于对边比邻边列式求解即可.,评析 本题考查了锐角三角函数的定义,过点A作x轴的垂线,构造出直角三角形是利用正切列式的关键,需 要熟记正切=对边邻边.,答案,考点二 解直角三角形,1.(2017广西南宁,11,3分)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东45方向,距离灯塔 60 n mile的A处,它沿正北方 向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东30方向上的B处,这时,B处与灯塔P的距离为 ( ) A.60 n mile B.60 n mile C.30 n mile D

39、.30 n mile,答案 B 过点P作PCAB交AB于点C.依题意得APC=90-45=45,BPC=90-30=60,AP=60 n mile, PC=30 n mile,PB=2PC=60 n mile.,2.(2019新疆,20,10分)如图,一艘海轮位于灯塔P的东北方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段 时间后,到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处. (1)求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离(结果保留根号); (2)若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处,试判断海轮能否在5小时内到达B处,并说明理由. (参考数据: 1.41, 1.73, 2.45),解析

40、 (1)过点P作PCAB,垂足为点C, (1分) 由题意得,APC=45,AP=80. (2分) 在RtAPC中,PC=APcos 45=80 =40 . (4分) 海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40 海里. (5分) (2)不能.理由如下:由题意得,CPB=60. 在 RtPCB中,BC=PC tan 60=40 =40 , (6分) 在RtAPC中,AC=APsin 45=80 =40 . (7分) AB=AC+BC=40 +40 154.4, (8分) 5.155,海轮不能在5小时内到达B处. (10分),思路分析 (1)过点P作PCAB于C,构造直角三角形APC,由PA

41、=80,APC=45,求出PC= PA=40 ; (2)解RtAPC,RtPCB,求出AC,BC的长,得出AB=AC+BC=40 +40 ,除以海轮的速度,即可求得海轮从A 处到B处所用的时间,得出结论.,3.(2019内蒙古呼和浩特,24,9分)如图,以RtABC的直角边AB为直径的O交斜边AC于点D,过点D作O的 切线与BC交于点E,弦DM与AB垂直,垂足为H. (1)求证:E为BC的中点; (2)若O的面积为12,AHD和BMH的外接圆面积之比为3,求DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的 外接圆面积S2的比.,解析 (1)证明:连接OE, 在ODE和OBE中, ODEOBE, DOE

42、=BOE= DOB, 又DAB= DOB, DAB=BOE, OEAC, 又O是AB的中点, E为BC的中点.,(2)AHD与MHB都是直角三角形, 其外接圆面积的比= =3, = , 又AHDMHB, = = ,又DH=HM, = , BMH=30=DAH,C=60, 又易知O的半径为2 ,AB=4 , 在RtABC中,可求得BC=4,AC=8, 连接BD,由题意知BDC是直角三角形, 由(1)知E是斜边BC的中点,而C=60, CDE是等边三角形,且边长为2, CDE的内切圆的半径r1= , 又四边形ODEB的外接圆直径为OE,OE= AC=4, 四边形ODEB的外接圆的半径r2=2, =

43、 .,思路分析 (1)连接OE,证明ODEOBE,进一步得出OE是ABC的中位线,证得E为BC的中点;(2)根据 题意以及RtAHDRtMHB得出 = = ,则 = =tan 60,求得DAH=30,C=60,得出 CDE是边长为2的等边三角形,则内切圆半径为 ,由OE= AC=4,得四边形ODEB的外接圆半径为2,可以求 出 = .,4.(2018内蒙古包头,22,8分)如图,在四边形ABCD中,ADBC,ABC=90,AB=AD,连接BD,点E在AB上, 且BDE=15,DE=4 ,DC=2 . (1)求BE的长; (2)求四边形DEBC的面积. (注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)

44、,解析 (1)在四边形ABCD中, ADBC,ABC=90,BAD=90. AB=AD,ABD=ADB=45. BDE=15,ADE=30. 在RtADE中,DE=4 , AE=sin 304 =2 ,AD=cos 304 =6. AB=AD=6,BE=6-2 . (5分) (2)过点D作DFBC于点F, BFD=90. BAD=ABC=90, 四边形ABFD是矩形, BF=AD=6,DF=AB=6. 在RtDFC中,DC=2 ,FC=4 ,BC=6+4 . S四边形DEBC=SDEB+SBDC=36+6 . (8分),5.(2018湖北黄冈,21,7分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡

45、角DCE=30,楼高AB=60米,在斜坡下的点 C处测得楼顶B的仰角为60,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45,其中点A,C,E在同一直线上. (1)求坡底C点到大楼距离AC的值; (2)求斜坡CD的长度.,解析 (1)在RtABC中,AB=60米,ACB=60, AC= =20 米. (2)过点D作DFAB于点F,则四边形AEDF为矩形,AF=DE,DF=AE. 设CD=x米,在RtCDE中,DE= x米,CE= x米, 在RtBDF中,BDF=45,BF=DF=AB-AF= 米, DF=AE=AC+CE,20 + x=60- x, 解得x=80 -120,即CD=(80 -120)米.,

46、6.(2018甘肃兰州,23,7分)如图,斜坡BE,坡顶B到水平地面的距离AB为3米,坡底AE为18米,在B处,E处分别测 得CD顶部点D的仰角为30,60,求CD的高度.(结果保留根号),解析 过点B作BFCD,垂足为点F. ABAC,CDAC, 四边形ABFC为矩形, AB=CF=3,AC=BF. 在RtCDE中,tan 60= , CE= ,BF=AC=18+ . 在RtBDF中,tan 30= , = , 解得CD= . 答:CD的高度为 米.,思路分析 过点B作BFCD,先确定四边形ABFC为矩形,在RtCDE中,用含CD的式子表示CE,进而得出 BF=AC=18+CE,然后在RtBDF中利用30角的正切列出含有CD的等式求出CD的值.,方法指导 求角的三角函数值或求线段的长时,我们经常通过观察图形将所求的角或者线段转化到直角三 角形中(如果没有直角三角形,设法构造直角三角形),再利用锐角三角函数求出它们的解.,7.(2018江苏南京,23,8分)如图,为了测量建筑物AB的高度,在D处树立标杆CD,标杆