2020年湖南中考数学复习课件§４.２ 三角形及其全等.pptx

1、考点一 三角形的相关概念,A组 20152019年湖南中考题组,1.(2018湖南常德,2,3分)已知三角形两边的长分别是3和7,则此三角形第三边的长可能是 ( ) A.1 B.2 C.8 D.11,答案 C 设三角形第三边的长为x,由题意得7-3x7+3,解得4x10.故选C.,2.(2017湖南株洲,5,3分)如图,在ABC中,BAC=x,B=2x,C=3x,则BAD= ( ) A.145 B.150 C.155 D.160,答案 B B+C+BAC=180,BAC=x,B=2x,C=3x,6x=180,解得x=30,BAD=B+C= 5x=150.,3.(2017湖南长沙,5,3分)一个

2、三角形三个内角的度数之比为123,则这个三角形一定是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形,答案 B 根据三角形的内角和为180,且三个内角的度数之比为123,可知三个内角分别为30、 60、90,因此这个三角形是直角三角形.故选B.,4.(2017湖南郴州,8,3分)小明把一副含45,30角的直角三角板如图摆放,其中C=F=90,A=45, D=30,则+等于 ( ) A.180 B.210 C.360 D.270,答案 B =1+D,=4+F,+=1+D+4+F=2+D+3+F=2+3+30 +90=210,故选B.,考点二 全等三角形的判定与性质,1

3、.(2017湖南怀化,15,3分)如图,AC=DC,BC=EC,请你添加一个适当的条件: ,使得ABC DEC.,解析 可以添加条件是AB=DE. 在ABC与DEC中, ABCDEC. 故答案为AB=DE(答案不唯一).,答案 AB=DE(答案不唯一),2.(2017湖南娄底,18,3分)如图,在等腰RtABC中,ABC=90,AB=CB=2,点D为AC的中点,点E,F分别是线段 AB,CB上的动点,且EDF=90,若ED的长为m,则BEF的周长是 .(用含m的代数式表示),答案 m+2,解析 如图,连接BD, 在等腰RtABC中,点D是AC的中点, BDAC,BD=AD=CD,DBC=A=4

4、5, EDF=90, ADE=BDF, 在ADE和BDF中, A=DBF,AD=BD,ADE=BDF,ADEBDF(ASA), AE=BF,DE=DF. 在RtDEF中,DF=DE=m, EF= DE= m, BEF的周长为BE+BF+EF=BE+AE+EF=AB+EF=2+ m, 故答案为 m+2.,3.(2019湖南长沙,22,8分)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G. (1)求证:BE=AF; (2)若AB=4,DE=1,求AG的长.,解析 (1)证明:四边形ABCD是正方形, AB=AD=CD,BAD=ADC=90, 又DE=CF,A

5、D-DE=CD-CF,即AE=DF, ABEDAF(SAS),BE=AF. (2)ABEDAF, ABE=DAF, BAG+DAF=90, BAG+ABE=90, AGB=90,即AGBE. 在RtABE中,AB=4,AE=AD-DE=4-1=3, 根据勾股定理得BE= =5.,SABE= BEAG= ABAE, AG= = = .,4.(2018湖南衡阳,20,6分)如图,已知线段AC,BD相交于点E,AE=DE,BE=CE. (1)求证:ABEDCE; (2)当AB=5时,求CD的长.,解析 (1)证明:在ABE和DCE中, ABEDCE(SAS). (2)由(1)知ABEDCE, AB=

6、CD, AB=5, CD=5.,思路分析 (1)根据SAS证两个三角形全等. (2)由全等三角形的性质可得出CD的长.,5.(2018湖南湘潭,22,6分)如图,在正方形ABCD中,AF=BE,AE与DF相交于点O. (1)求证:DAFABE; (2)求AOD的度数.,解析 (1)证明:四边形ABCD是正方形, DAB=ABC=90,AD=AB, 在DAF和ABE中, DAFABE(SAS). (2)由(1)知,DAFABE, ADF=BAE, ADF+DAO=BAE+DAO=DAB=90, AOD=180-(ADF+DAO)=90.,思路分析 (1)利用正方形的性质得DAB=ABC=90,A

7、D=AB,即可得出结论. (2)利用(1)中的结论得出ADF=BAE,进而求出ADF+DAO=90,最后用三角形内角和定理即可得出结论.,解题关键 此题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形内角和定理,判断出DAF ABE是解本题的关键.,6.(2018湖南怀化,19,10分)已知:如图,点A,F,E,C在同一直线上,ABDC,AB=CD,B=D. (1)求证:ABECDF; (2)若点E,G分别为线段FC,FD的中点,连接EG,且EG=5,求AB的长.,解析 (1)证明:ABDC, A=C, AB=CD,B=D, ABECDF. (2)点E,G分别为线段FC,FD的中点, E

8、G= CD, EG=5, CD=10, AB=CD=10.,B组 20152019年全国中考题组,考点一 三角形的相关概念,1.(2018福建,3,4分)下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是 ( ) A.1,1,2 B.1,2,4 C.2,3,4 D.2,3,5,答案 C 三角形的三边边长要满足“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,选 项A、B、D均不符合,故选C.,2.(2018贵州贵阳,2,3分)如图,在ABC中有四条线段DE,BE,EF,FG,其中有一条线段是ABC的中线,则该线 段是( ) A.线段DE B.线段BE C.线段EF D.线段FG,答案 B 连接三角形

9、一个顶点和它对边中点,所得的线段叫做三角形这条边上的中线,从图形中看出,线 段DE、EF、FG都不经过ABC的顶点,仅有线段BE经过ABC的顶点B,所以线段BE是ABC的中线,故 选B.,3.(2018内蒙古包头,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且DAE=90,AD= AE.若C+BAC=145,则EDC的度数为 ( ) A.17.5 B.12.5 C.12 D.10,答案 D AB=AC,B=C.B=180-(C+BAC)=35,C=35.DAE=90,AD=AE, AED=ADE=45,EDC=AED-C=45-35=10.故选D.,4.(20

10、19北京,12,2分)如图所示的网格是正方形网格,则PAB+PBA= (点A,B,P是网格线交点).,答案 45,解析 如图,延长AP到C,连接BC.易证PBC是等腰直角三角形.CPB=45.PAB+PBA=45.,考点二 全等三角形的判定与性质,1.(2018四川成都,6,3分)如图,已知ABC=DCB,添加以下条件,不能判定ABCDCB的是 ( ) A.A=D B.ACB=DBC C.AC=DB D.AB=DC,答案 C 根据题中已有条件,分别添加A=D,ACB=DBC,AB=DC,符合判定三角形全等的AAS, ASA,SAS定理,能推出ABCDCB,故选项A,B,D不符合题意;添加AC=

11、BD,不符合全等三角形的判定定 理,不能推出ABCDCB,选项C符合题意.故选C.,2.(2017陕西,6,3分)如图,将两个大小、形状完全相同的ABC和ABC拼在一起,其中点A与点A重合,点C 落在边AB上,连接BC.若ACB=ACB=90,AC=BC=3,则BC的长为( ) A.3 B.6 C.3 D.,答案 A 由题意得ABC与ABC全等且均为等腰直角三角形,AC=BC=3,AB=3 ,AB=3 ,在 ABC中,易知CAB=90,ABC是直角三角形,BC= =3 .,3.(2019黑龙江齐齐哈尔,12,3分)如图,已知在ABC和DEF中,B=E,BF=CE,点B、F、C、E在同一条 直线

12、上,若使ABCDEF,则还需添加的一个条件是 (只填一个即可).,答案 AB=DE(或A=D或ACB=DFE或ACDF),解析 由BF=CE可得BC=EF, 又B=E, 此时可选择的判定方法有“SAS”“AAS”或“ASA”. (1)根据“SAS”,可添加AB=DE. (2)根据“AAS”,可添加A=D. (3)根据“ASA”,可添加ACB=DFE或ACDF.,方法点拨 本题属于条件开放题,属于中考常见类型,根据隐含条件(FC为公共线段)把已知条件转化为一 边一角对应相等,所以可以根据“SAS”“AAS”或“ASA”添加不同的条件,需要注意的是不能根据 “SSA”添加条件.,4.(2019河北

13、,23,9分)如图,ABC和ADE中,AB=AD=6,BC=DE,B=D=30.边AD与边BC交于点P(不与点 B,C重合),点B,E在AD异侧.I为APC的内心. (1)求证:BAD=CAE; (2)设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值; (3)当ABAC时,AIC的取值范围为mAICn,分别直接写出m,n的值.,备用图,解析 (1)证明:AB=AD,B=D,BC=DE, ABCADE. (3分) BAC=DAE.BAC-DAC=DAE-DAC. BAD=CAE. (4分) (2)PD=6-x. (5分) 如图,当ADBC时,x最小,PD最大.,B=30,AB=6,x= AB

14、= 6=3. PD的最大值为3. (7分) (3)m=105,n=150. (9分) 提示:根据I为APC的内心可得IAC= PAC,ACI= ACP,所以AIC=180- PAC- ACP=90 + APC,所以AIC的大小取决于APC的大小.假设点P与点B重合,此时AIC=90+ B=105,随着点 P接近点C,APC的最大值接近于120,假设APC=120,此时AIC=90+ 120=150,即105AIC150, 所以m=105,n=150.,思路分析 (1)根据SAS可证明ABCADE,得出BAC=DAE,进而可得BAD=CAE;(2)易得PD=6 -x,根据x的取值判断当AP最短(

15、ADBC)时,PD取得最大值;(3)根据I为APC的内心易知AIC=90+ APC, 可得AIC的大小取决于APC的大小.根据30APC120进而确定105AIC150,所以m=105, n=150.,5.(2017湖北孝感,18,6分)如图,已知AB=CD,AEBD,CFBD,垂足分别为E,F,BF=DE,求证:ABCD.,证明 AEBD,CFBD, AEB=CFD=90, BF=DE, BF+EF=DE+EF,即BE=DF. 在RtAEB和RtCFD中, RtAEBRtCFD(HL), B=D, ABCD.,思路分析 根据全等三角形的判定与性质,可得B=D,根据平行线的判定即可得证.,解题

16、关键 本题考查了全等三角形的判定与性质,利用等式的性质得出BE=DF是解题的关键.,6.(2018陕西,18,5分)如图,ABCD,E、F分别为AB、CD上的点,且ECBF,连接AD,分别与EC、BF相交于 点G、H.若AB=CD,求证:AG=DH.,证明 ABCD,A=D. ECBF,BHA=CGD. AB=CD, ABHDCG, AH=DG, AH-GH=DG-GH,即AG=DH.,思路分析 首先利用平行线的性质得出A=D,BHA=CGD,进而判定ABHDCG,最后根据全 等三角形的性质及等量减等量差相等,得出结论.,归纳总结 全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS和HL.要

17、根据已知条件恰当选择判定定理. 当已知两边对应相等时,可考虑证夹角相等或第三边相等.当已知两角对应相等时可考虑证夹边相等或 一角对边相等.当已知角及邻边对应相等时可选用SAS或ASA或AAS.,C组 教师专用题组,考点一 三角形的相关概念,1.(2017福建,12,4分)如图,ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE,若DE=3,则线段BC的长等于 .,答案 6,解析 D,E分别是边AB,AC的中点, DE是ABC的中位线, BC=2DE, DE=3, BC=6.,2.(2017江苏宿迁,12,3分)如图,在ABC中,ACB=90,点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点.若CD=2

18、,则 线段EF的长是 .,答案 2,解析 ACB=90,D是AB的中点,AB=2CD=22=4. E,F分别是BC,CA的中点, EF是ABC的中位线,EF= AB= 4=2.,3.(2018云南,6,3分)在ABC中,AB= ,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为 .,答案 1或9,解析 分两种情况讨论: BC边上的高在ABC内时,如图,过A作ADBC于点D. 在RtABD中,AB= ,AD=3,BD= =5. 在RtACD中,AC=5,AD=3,CD= =4. BC=BD+CD=9.,BC边上的高位于ABC外时,如图,同可求得BD=5,CD=4,BC=BD-CD=1.,综上,BC

19、的长为1或9.,思路分析 根据题意画图,要考虑全面,利用勾股定理解直角三角形即可.,易错警示 本题容易只考虑BC边上的高在ABC内的情况而导致漏解.,4.(2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周 长为 .,答案 16,解析 x2-10x+21=(x-3)(x-7)=0, x1=3,x2=7, 3+3=6,3不能作为该三角形的第三边长, 三角形的第三边长为7, 三角形的周长为3+6+7=16.,5.(2019内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,在ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c. (1)若a=6,b=8,

20、c=12,请直接写出A与B的和与C的大小关系; (2)求证:ABC的内角和等于180; (3)若 = ,求证:ABC是直角三角形.,解析 (1)CA+B. (2)证明:如图,过点B作直线DEAC, A=ABD,C=CBE, 又ABD+ABC+CBE=180, A+ABC+C=180, ABC的内角和等于180.,(3)证明:原式可变形为 = , (a+c)2-b2=2ac, 即a2+2ac+c2-b2=2ac, a2+c2=b2, ABC是以B为直角的直角三角形.,考点二 全等三角形的判定与性质,1.(2016山东淄博,11,4分)如图,直线l1l2l3,一等腰直角三角形ABC的三个顶点A,B

21、,C分别在l1,l2,l3上,ACB =90,AC交l2于点D.已知l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3,则 的值为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 如图,作BFl3,AEl3交l2于点G. ACB=90,BCF+ACE=90. BCF+CBF=90,ACE=CBF. 又BFC=CEA=90,BC=CA,ACECBF. CE=BF=3,CF=AE=4.BG=EF=CF+CE=7. AB= =5 . l2l3, = = ,DG= .,BD=BG-DG=7- = . = = .故选A.,2.(2019四川成都,12,4分)如图,在ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,BAD=

22、CAE,若BD=9,则CE的长为 .,答案 9,解析 AB=AC,B=C. 又BAD=CAE,BADCAE(ASA),CE=BD=9.,3.(2017内蒙古包头,18,3分)如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC上一点,且FC=2BF,连接AE,EF. 若AB=2,AD=3,则cosAEF的值是 .,答案,解析 连接AF. 四边形ABCD是矩形,AB=CD,B=C=90. 点E是CD的中点,AB=2,CE=1. FC=2BF,BC=3,BF=1,FC=2. 易证ABFFCE, AF=EF,AFB=FEC, FEC+EFC=90,AFB+EFC=90,AFE=90. AEF是等腰直

23、角三角形,cosAEF=cos 45= .,4.(2017湖北孝感,16,3分)如图,在平面直角坐标系中,OA=AB,OAB=90,反比例函数y= (x0)的图象经 过A,B两点.若点A的坐标为(n,1),则k的值为 .,答案,解析 过点A作AEx轴于E,过点B作BFx轴于F,BCy轴于C,交AE于G,如图所示, 则AGBC, OAB=90,OAE+BAG=90, OAE+AOE=90,AOE=GAB,在AOE和BAG中, AOEBAG(AAS), OE=AG,AE=BG, 点A(n,1), AG=OE=n,BG=AE=1, B(n+1,1-n), k=n1=(n+1)(1-n), 整理得n2

24、+n-1=0, 解得n= (负值舍去), k= .,思路分析 过点A作AEx轴于E,过点B作BFx轴于F,作BCy轴于C,交AE于G,则AGBC,先证得AOE BAG,得出AG=OE=n,BG=AE=1,从而求得B(n+1,1-n),根据k=n1=(n+1)(1-n)得出方程,解方程即可.,解题关键 本题考查了全等三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解方程等知识;熟练 掌握反比例函数图象上点的坐标特征,会证明三角形全等是解决问题的关键.,5.(2017新疆,15,5分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,对角线AC,BD相交于点O.下列结论中: ABC=ADC; A

25、C与BD互相平分; AC,BD分别平分四边形ABCD的两组对角; 四边形ABCD的面积S= ACBD. 正确的是 .(填写所有正确结论的序号),答案 ,解析 在ABC和ADC中, ABCADC(SSS), ABC=ADC,正确. ABCADC,BAC=DAC, 在ABO和ADO中, ABOADO. 同理,CBOCDO. OB=OD,AOD=AOB=BOC=DOC=90, ACBD, AO与OC不一定相等,不正确.,ABCADC,BAC=DAC,ACB=ACD, ABD和CBD不一定相等, 不正确. ACBD, 四边形ABCD的面积S=SABD+SBCD= BDAO+ BDCO= BD(AO+C

26、O)= ACBD,正确.,解题关键 掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.,6.(2017湖北武汉,15,3分)如图,在ABC中,AB=AC=2 ,BAC=120,点D,E都在边BC上,DAE=60.若BD= 2CE,则DE的长为 .,答案 3 -3,解析 如图,将ABD沿AD翻折得AFD,连接EF, AB=AF=AC,BD=DF,AFD=B=30, BAC=120,DAE=FAD+FAE=60, BAD+CAE=60, 又BAD=FAD, FAD+CAE=60,CAE=FAE, ACEAFE(SAS), CE=EF,AFE=C=30, DFE=60. 过点E作EHDF,交DF于点H,过点A

27、作AMBC,交BC于点M. 设CE=2x,则BD=2CE=4x,EF=2x,DF=4x,FH=x,EH= x,DH=3x, 又BC=2BM=2ABcos 30=6,DE=6-6x,在RtDEH中,DE2=DH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+( x)2, 解得x1= ,x2= (舍去). DE=6-6x=3 -3.,一题多解 将ABD绕点A逆时针旋转120得ACF,连接EF,CF=BD.可证ADEAFE,DE=EF. ACD=B=30,FCE=60. 过点E作EHCF,交CF于点H,设CE=2x, 则BD=4x,CH=x,CF=4x,FH=3x,EH= x. 过点A作AMBC,交BC于

28、点M, 则BC=2CM=2ACcos 30=22 =6, FE=DE=6-6x, 在RtEFH中,FE2=FH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+( x)2, 解得x1= ,x2= (舍去). DE=6-6x=3 -3.,7.(2019辽宁大连,19,9分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C.求证:AF=DE.,证明 BE=CF, BE+EF=CF+EF, BF=CE. 在ABF和DCE中, ABFDCE(SAS), AF=DE.,8.(2017福建,18,8分)如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:A=D.,证明 BE=CF,

29、BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 在ABC和DEF中, ABCDEF,A=D.,9.(2017湖北武汉,18,8分)如图,点C,F,E,B在一条直线上,CFD=BEA,CE=BF,DF=AE.写出CD与AB之间的 关系,并证明你的结论.,解析 CD与AB之间的关系为CD=AB,且CDAB. 证明:CE=BF,CF=BE. 在CDF和BAE中, CDFBAE, CD=BA,C=B, CDBA.,思路分析 先证明CDFBAE,再利用全等三角形的性质得到CD与AB之间的关系.,易错警示 CD与AB之间的位置关系是平行,数量关系是相等,本题容易出现的错误是只得到CD与AB之间 的一种关系.,10

30、.(2017辽宁沈阳,18,8分)如图,在菱形ABCD中,过点D作DEAB于点E,作DFBC于点F,连接EF. 求证:(1)ADECDF; (2)BEF=BFE.,证明 (1)四边形ABCD是菱形, AD=CD,A=C, DEAB,DFCB, AED=CFD=90. ADECDF. (2)四边形ABCD是菱形, AB=CB, ADECDF, AE=CF, BE=BF,BEF=BFE.,11.(2016湖南湘西,21,8分)如图,点O是线段AB和线段CD的中点. (1)求证:AODBOC; (2)求证:ADBC.,证明 (1)点O是线段AB和线段CD的中点, AO=BO,DO=CO. 在AOD和

31、BOC中, AODBOC(SAS). (2)AODBOC, A=B,ADBC.,评析 本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定定理.(1)利用SAS证AODBOC;(2)求 出A=B,利用“内错角相等,两直线平行”证得ADBC.本题属于基础题,难度不大.,12.(2018安徽,23,14分)如图1,RtABC中,ACB=90.点D为边AC上一点,DEAB于点E.点M为BD的中点, CM的延长线交AB于点F. (1)求证:CM=EM; (2)若BAC=50,求EMF的大小; (3)如图2,若DAECEM,点N为CM的中点.求证:ANEM. 图1 图2,解析 (1)证明:由已知,在RtBC

32、D中,BCD=90,M为斜边BD的中点, CM= BD. 又DEAB,同理,EM= BD, CM=EM. (4分) (2)由已知得,CBA=90-50=40. 又由(1)知CM=BM=EM, CME=CMD+DME=2(CBM+EBM) =2CBA=240=80, EMF=180-CME=100. (9分) (3)证明:DAECEM, CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM. 又CM=DM=EM,DM=DE=EM,DEM是等边三角形, MEF=DEF-DEM=30. 证法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30, = , 又NM= CM= EM= AE, FN=FM+NM= EF+

33、 AE= (AE+EF)= AF. = = . 又AFN=EFM, AFNEFM,NAF=MEF, ANEM. (14分) 证法二:连接AM,则EAM=EMA= MEF=15,AMC=EMC-EMA=75, 又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD, ACM= (180-30)=75. 由可知AC=AM,又N为CM的中点, ANCM,又EMCF,ANEM. (14分),思路分析 (1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;(2)由直角三角形中两锐角互余求出 CBA,由等腰三角形的性质可得MEB=MBE,MCB=MBC,从而可得CME=DME+CMD= 2(CBM+EBM),最后由补

34、角性质求出EMF;(3)由DAECEM可推出DEM为等边三角形,从而可得 MEF=30,下面证ANEM有两个思路:一是根据直角三角形30角所对直角边等于斜边的一半可得 = , 又点N是CM的中点,可推出 = ,从而可证AFNEFM,进一步即可证明ANEM;二是连接AM,计算 可得AMC=ACM,而N是CM的中点,从而ANCM,进一步即可证明ANEM.,13.(2018广东,22,7分)如图,矩形ABCD中,ABAD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE交 CD于点F,连接DE. (1)求证:ADECED; (2)求证:DEF是等腰三角形.,证明 (1)ACE是由ACB折叠得到

35、的, AD=BC=EC,AE=AB=DC, DE=ED,ADECED. (2)由ADECED得AED=CDE, 即FED=FDE, FE=FD, DEF是等腰三角形.,思路分析 (1)由矩形的对边相等知AD=BC, AB=DC,由折叠可得BC=EC,AB=AE,等量代换可得AD=CE,AE= CD,又DE=ED,由“SSS”可证ADECED. (2)由ADECED可得AED=CDE,由等角对等边,可证FE=FD,即得DEF是等腰三角形.,14.(2018河北,23,9分)如图,A=B=50,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP, 并使MP的延长线交射线BD于点N,

36、设BPN=. (1)求证:APMBPN; (2)当MN=2BN时,求的度数; (3)若BPN的外心在该三角形的内部,直接写出的取值范围.,解析 (1)证明:P为AB中点, PA=PB. 又A=B,MPA=NPB, APMBPN. (2)由(1)得PM=PN, MN=2PN, MN=2BN,PN=BN,=B=50. (3)4090. 详解:BPN的外心在该三角形的内部, BPN是锐角三角形, BPN和BNP都为锐角, 又B=50, 40BPN90,即4090.,思路分析 (1)根据ASA可证明:APMBPN; (2)根据APMBPN得MN=2PN,结合MN=2BN得出PN=BN,由等边对等角可得

37、结果; (3)只有锐角三角形的外心在三角形的内部,根据BPN和BNP都为锐角及B=50可得的取值范围.,方法归纳 证明三角形全等的一般思路:,1.如果已知两边:(1)找夹角,利用SAS求解;(2)找直角,利用HL或SAS求解;(3)找另一条边,利用SSS求解.,2.已知一边和一角:(1)边为角的对边,则找任一角,利用AAS求解;(2)边为角的一条边:找角的另一边,利用 SAS求解,找边的另一角,利用ASA求解,找边的对角,利用AAS求解.,3.已知两角:(1)找夹边,利用ASA求解;(2)找两角中任意一角的对边,利用AAS求解.,15.(2016湖南常德,25,10分)已知四边形ABCD中,A

38、B=AD,ABAD,连接AC,过点A作AEAC,且使AE=AC,连 接BE,过A作AHCD于H,交BE于F. (1)如图1,当E在CD的延长线上时,求证:ABCADE;BF=EF; (2)如图2,当E不在CD的延长线上时,BF=EF还成立吗?请证明你的结论. 图1 图2,解析 (1)证明:ABAD,AEAC, BAC=90-CAD=DAE, 在ABC与ADE中, AB=AD,BAC=DAE,AC=AE, ABCADE. CAE是等腰直角三角形,AHCD, 即AHCE,CH=HE,且ACE=AEC=45, 又由知ABCADE, BCA=AEC=45, BCE=45+45=90, BCAH, 易知

39、H为CE的中点, F为BE的中点,即BF=FE.,(2)BF=EF成立. 如图,作BNAE交AH于M,交AD于N,连接EM, 在ABM与DAC中,AB=AD, 而ABAD,AEAC, ABM=ABN=90-BNA, DAC=90-EAN, 而BNAE,则EAN=BNA,ABM=DAC, ABAD,AHCD, BAM=90-HAD=ADC, ABMDAC, BM=AC,又AC=AE, BM=AE, 又BMAE, 四边形ABME为平行四边形, BF=EF.,25分钟 35分,一、选择题(每小题3分,共18分),1.(2019湖南永州零陵模考,6)一副三角板,按如图方式叠放在一起,则图中的度数是 (

40、 ) A.75 B.105 C.110 D.120,答案 B 如图,1=90-45=45, 则=60+45=105,故选B.,思路分析 根据图形求出1,根据三角形的外角性质计算,得到答案.,解题关键 本题考查的是三角形的外角性质,掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解 题的关键.,2.(2018湖南祁阳一模,3)下列四个图形中,线段BE是ABC的高的是 ( ),答案 D 三角形的高是从一个顶点出发,向对边所在直线作的垂线段,观察选项.可知选项D正确.,3.(2018湖南长沙模拟,5)如图,将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放,两个三角板的一直角 边重合,含30角的直角三

41、角板的斜边与纸条一边重合,含45角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上,则 1的度数是 ( ) A.30 B.20 C.15 D.14,答案 C 如图,易知2=30,所以1=3-2=45-30=15.,4.(2017湖南益阳一模,5)如图,在ABC中,C=90,AB=5 cm,AC=4 cm,点D在AC上,将BCD沿着BD所在直 线翻折,使点C落在斜边AB上的点E处,则DC的长为 ( ) A. cm B. cm C.2 cm D. cm,答案 B C=90,AB=5 cm,AC=4 cm, BC= =3 cm, 将BCD沿着直线BD翻折,使点C落在斜边AB上的点E处, BEDBCD, BED=C

42、=90,BE=BC=3 cm, AE=AB-BE=2 cm. 设DC=x cm,则DE=x cm,AD=(4-x)cm, AED=90, AE2+DE2=AD2,即22+x2=(4-x)2, 解得x= . DC的长为 cm.故选B.,5.(2017湖南冷水江一模,8)如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,A的坐标为(1, ),则 点C的坐标为 ( ) A.(- ,1) B.(-1, ) C.( ,1) D.(- ,-1),答案 A 如图,过点C作CEx轴于E,设ADx轴于点D. 四边形OABC是正方形, OA=OC,AOC=90,COE+AOD=90. 又OAD+AOD=9

43、0, OAD=COE, 在AOD和OCE中,AODOCE(AAS),OE=AD= ,CE=OD=1, 点C在第二象限,点C的坐标为(- ,1).故选A.,思路分析 过点C作CEx轴于E,设出点D,根据同角的余角相等得出OAD=COE,再利用“角角边”证 明AOD和OCE全等,根据全等三角形对应边相等可得OE=AD,CE=OD,然后根据点C在第二象限写出坐 标即可.,评析 应用正方形的性质确定全等三角形,从而确定点C到坐标轴的距离,即可确定C的坐标.,6.(2019湖南娄底模拟,8)将矩形ABCD沿AE折叠,得到如图所示的图形,已知CED=55,则BAD的大小是 ( ) A.30 B.35 C.

44、45 D.60,答案 B 由折叠得EDAEDA, D=D=90, CED=55,DED=125, DAD=55,BAD=90-55=35. 故选B.,二、填空题(每小题3分,共3分),7.(2019湖南湘潭雨湖二模,12)如图,在ABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2, CE=5,则CD= .,答案 4,解析 ACB=90,CE为AB边上的中线, AB=2CE=10, AE= AB=5, AD=2,DE=3, 在RtCDE中,CD= =4. 故答案为4.,三、解答题(共14分),8.(2018湖南湘潭一模,22)如图,ABC中,C=90,BAC=30,点E是AB边的中点.以ABC的边AB为边向外 作等边ABD,连接DE.求证:AC=DE.,证明 ABD是等边三角形, AB=BD=AD,ABD=60, 点E是AB边的中点,DEAB,DEB=90, C=90,DEB=C, BAC=30, ABC=60, ABD=ABC, 在ACB与DEB中, ACBDEB(AAS), AC=DE.,解题关键 本题考查了等边三角