2020年河南中考数学复习课件§6.3 锐角三角函数.pptx
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1、1.(2019河南,19,9分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑 像DE在高55 m的小山EC上.在A处测得塑像底部E的仰角为34,再沿AC方向前进21 m到达B处,测得塑像顶 部D的仰角为60,求炎帝塑像DE的高度.(精确到1 m.参考数据:sin 340.56,cos 340.83,tan 340.67, 1.73),A组 河南中考题组,解析 在RtACE中,A=34,CE=55, AC= 82.1. BC=AC-AB=82.1-21=61.1. (4分) 在RtBCD中, CBD=60, CD=BCtan 6061.11.73105.7. (
2、7分) DE=CD-CE=105.7-5551. 所以炎帝塑像DE的高度约为51 m. (9分),思路分析 已知EC=55,A=34,先解RtACE,求得AC的长,由BC=AC-AB得BC的长,再解RtBCD,求得 CD的长,可得DE=CD-CE51 m.,2.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干 支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低 杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答. 如图所示,底座上A,B两点间的距离为90 cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155
3、 cm,高杠上点D到直 线AB的距离DF的长为234 cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4,高杠的支架BD与直线AB 的夹角DBF为80.3.求高、低杠间的水平距离CH. (结果精确到1 cm.参考数据:sin 82.40.991,cos 82.40.132,tan 82.47.500,sin 80.30.983,cos 80.3 0.168,tan 80.35.850),解析 在RtCAE中,AE= = 20.7.(3分) 在RtDBF中,BF= = =40. (6分) EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7151. 四边形CEFH为矩形, CH=EF=
4、151. 即高、低杠间的水平距离CH约是151 cm. (9分),思路分析 根据RtCAE和RtDBF中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE,BF的长度,得EF=AE+AB+ BF,由矩形的性质可知CH=EF,可以求出问题的答案.,方法总结 解直角三角形的应用问题,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借助边角关 系、三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三角形,再解直角三角形, 求出实际问题的答案.,3.(2017河南,19,9分)如图所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往 救援遇险抛锚的渔船C.此时,B船在A
5、船的正南方向5海里处,A船测得渔船C在其南偏东45方向,B船测得渔 船C在其南偏东53方向.已知A船的航速为30海里/小时,B船的航速为25海里/小时,问C船至少要等待多长时 间才能得到救援? 参考数据:sin 53 ,cos 53 ,tan 53 , 1.41,解析 过点C作CDAB交直线AB于点D, 则CDA=90. (1分) 设CD=x海里,则AD=CD=x海里. BD=AD-AB=(x-5)海里. (3分) 在RtBDC中,CD=BDtan 53,即x=(x-5)tan 53, x= =20. (6分) BC= = 20 =25海里. B船到达C船处约需2525=1(小时). (7分)
6、 在RtADC中,AC= x1.4120=28.2海里, A船到达C船处约需28.230=0.94(小时). (8分) 而0.941,所以C船至少要等待0.94小时才能得到救援. (9分),解题技巧 本题是解三角形两种典型问题中的一种. 以下介绍两种典型问题: (1)如图,当BC=a时,设AD=x,则CD= ,BD= . CD+BD=a, + =a,x= . (2)如图,当BC=a时,设AD=x,则BD= ,CD= , CD-BD=a, - =a, x= .,4.(2016河南,19,9分)如图,小东在教学楼距地面9米高的窗口C处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37,旗 杆底部B点的俯角为45
7、.升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.25米处.若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放 45秒结束时到达旗杆顶端,则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升? (参考数据:sin 370.60,cos 370.80,tan 370.75),解析 过点C作CDAB,垂足为D,则DB=9米. (1分) 在RtCBD中,BCD=45, CD= =9米. (3分) 在RtACD中,ACD=37, AD=CDtan 3790.75=6.75米. (6分) AB=AD+DB=6.75+9=15.75米. (7分) (15.75-2.25)45=0.3(米/秒). 国旗应以约0.3米/秒的速度匀速上升. (9分),5.(
8、2015河南,20,9分)如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大 树顶端B的仰角是30,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是48.若坡角 FAE=30,求大树的高度.(结果保留整数.参考数据:sin 480.74,cos 480.67,tan 481.11, 1.73),解析 延长BD交AE于点G,过点D作DHAE于点H. 由题意知,DAE=BGA=30,DA=6, GD=DA=6. GH=AH=DAcos 30=6 =3 . GA=6 . (2分) 设BC=x米.在RtGBC中,GC= = = x. (4分) 在RtABC中,
9、AC= = . (6分) GC-AC=GA, x- =6 . (8分) x13.即大树的高度约为13米. (9分),思路分析 延长BD交AE于G,构造RtGBC,根据题意得BGC=30,解RtGBC和RtABC,由GC-AC=GA, 得出BC的值.,解题关键 构造直角三角形,设BC=x米,用x表示GC、AC是关键.,B组 20152019年全国中考题组 考点一 锐角三角函数 1.(2019天津,2,3分)2sin 60的值等于 ( ) A.1 B. C. D.2,答案 C 根据特殊角的三角函数值,可得sin 60= ,则2sin 60=2 = ,故选C.,2.(2018云南,12,4分)在Rt
10、ABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为 ( ) A.3 B. C. D.,答案 A AC=1,BC=3,C=90,tan A= =3.,3.(2016福建福州,18,4分)如图,6个形状、大小完全相同的菱形组成网格,菱形的顶点称为格点.已知菱形的 一个角(O)为60,A,B,C都在格点上,则tanABC的值是 .,答案,解析 如图,连接EA,EC,易知E、C、B三点共线.设小菱形的边长为a,由题意得AEF=30,BEF=60,AE= a,EB=2a,AEB=90,tanABC= = = .,4.(2017内蒙古包头,18,3分)如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,点F是B
11、C上一点,且FC=2BF,连接AE,EF. 若AB=2,AD=3,则cosAEF的值是 .,答案,解析 连接AF. 四边形ABCD是矩形,AB=CD,B=C=90. 点E是CD的中点,AB=2,CE=1. FC=2BF,BC=3,BF=1,FC=2. 易证ABFFCE, AF=EF,AFB=FEC, FEC+EFC=90, AFB+EFC=90,AFE=90. AEF是等腰直角三角形, cosAEF=cos 45= .,考点二 解直角三角形 1.(2019河北,3,3分)如图,从点C观测点D的仰角是 ( ) A.DAB B.DCE C.DCA D.ADC,答案 B 点C观测点D的仰角是视线与过
12、点C的水平线的夹角,故选B.,2.(2016广西南宁,6,3分)如图,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10米,B=36,则中柱AD(D为底 边中点)的长是 ( ) A.5sin 36米 B.5cos 36米 C.5tan 36米 D.10tan 36米,答案 C tan B= ,AD=BDtan B=5tan 36米.故选C.,3.(2015四川绵阳,10,3分)如图,要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯,路灯的灯臂CD长2米,且与灯柱 BC成120角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直.当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线 时照明效果最佳.此时,路灯的灯柱BC高
13、度应该设计为 ( ) A.(11-2 )米 B.(11 -2 )米 C.(11-2 )米 D.(11 -4)米,答案 D 延长BC、OD交于点E,CDOD,DCB=120,E=30,B=90,OB=22 =11米, EB=11 米,在RtDCE中,CE=2DC=4米.BC=EB-CE=(11 -4)米,故选D.,4.(2017山西,14,3分)如图,创新小组要测量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组成员站在距离树10米的点 E处,测得树顶A的仰角为54.已知测角仪的架高CE=1.5米,则这棵树的高度为 米(结果保留一位小 数.参考数据:sin 54=0.809 0,cos 54=0.587 8
14、,tan 54=1.376 4).,答案 15.3,解析 由题意知BD=CE=1.5米,CD=BE=10米,在RtADC中,由锐角三角函数可得AD=CDtanACD=10tan 54 =101.376 4=13.764米,所以AB=AD+BD=13.764+1.5=15.26415.3米.,5.(2019天津,22,10分)如图,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角 为31,再向东继续航行30 m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45.根据测得的数据,计算这座灯塔的 高度CD(结果取整数). 参考数据:sin 310.52,cos 310.86,tan 3
15、10.60.,解析 根据题意,CAD=31,CBD=45,CDA=90,AB=30, 在RtACD中,tanCAD= , AD= , 在RtBCD中,tanCBD= , BD= =CD, 又AD=AB+BD, =30+CD, CD= =45. 答:这座灯塔的高度CD约为45 m.,思路分析 在RtACD中利用CAD的三角函数表示出AD;在RtBCD中利用CBD的三角函数表示出 BD,进而根据AD=BD+30,求得CD的高度.,6.(2019江西,20,8分)图1是一台实物投影仪,图2是它的示意图,折线BAO表示固定支架,AO垂直水平桌 面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针
16、旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测 量:AO=6.8 cm,CD=8 cm,AB=30 cm,BC=35 cm.(结果精确到0.1) (1)如图2,ABC=70,BCOE. 填空:BAO= ; 求投影探头的端点D到桌面OE的距离; (2)如图3,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时,求ABC的大小. (参考数据:sin 700.94,cos 200.94,sin 36.80.60,cos 53.20.60),解析 (1)160. 如图1,延长OA交BC于点F, 图1 AOOE,AOE=90. BCOE,AOE=BFO=90, 在RtABF中,A
17、B=30 cm, sinB= , AF=ABsinB=30sin 70300.94=28.20(cm). AF-CD+AO=28.20-8+6.8=27.0(cm). 答:投影探头的端点D到桌面OE的距离为27.0 cm.,(2)如图2,过点B作DC的垂线,交DC的延长线于点H. 图2 在RtBCH中,HC=28.2+6.8-6-8=21(cm). sinHBC= , sinHBC= =0.6. sin 36.80.60,HBC36.8, ABC=70-36.8=33.2. 答:当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时,ABC为33.2.,7.(2018湖北黄冈,21,7分)如图,在大楼
18、AB正前方有一斜坡CD,坡角DCE=30,楼高AB=60米,在斜坡下的点 C处测得楼顶B的仰角为60,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45,其中点A,C,E在同一直线上. (1)求坡底C点到大楼距离AC的值; (2)求斜坡CD的长度.,解析 (1)在RtABC中,AB=60米,ACB=60, AC= =20 米. (2)过点D作DFAB于点F,则四边形AEDF为矩形, AF=DE,DF=AE. 设CD=x米,在RtCDE中,DE= x米,CE= x米, 在RtBDF中,BDF=45,BF=DF=AB-AF= 米,DF=AE=AC+CE,20 + x=60- x, 解得x=80 -120,即CD
19、=(80 -120)米.,答案 A 因为sin = ,所以BC=ABsin =3sin (米).,2.(2018天津,2,3分)cos 30的值等于 ( ) A. B. C.1 D.,答案 B 根据特殊角的三角函数值可知,cos 30= ,故选B.,3.(2017甘肃兰州,3,4分)如图,一个斜坡长130 m,坡顶离水平地面的距离为50 m,那么这个斜坡与水平地面夹 角的正切值等于 ( ) A. B. C. D.,答案 C 在直角三角形中,根据勾股定理可知水平的直角边长为120 m,故这个斜坡与水平地面夹角的正 切值等于 = ,故选C.,思路分析 先利用勾股定理求得第三边的长,再利用正切的定义
20、求正切值.,4.(2017黑龙江哈尔滨,8,3分)在RtABC中,C=90,AB=4,AC=1,则cos B的值为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 由勾股定理可得BC= ,所以cos B= = .故选A.,5.(2017山东滨州,7,3分)如图,在ABC中,ACBC,ABC=30,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tanDAC 的值为 ( ) A.2+ B.2 C.3+ D.3,答案 A 设AC=a,则AB= =2a,BC= = a, BD=AB=2a,tanDAC= =2+ .,6.(2016广东,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cos 的值
21、是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 过点A作AB垂直x轴于B,则AB=3,OB=4. 由勾股定理得OA=5.cos = = .故选D.,7.(2015内蒙古包头,4,3分)在RtABC中,C=90,若斜边AB是直角边BC的3倍,则tan B的值是 ( ) A. B.3 C. D.2,答案 D 在RtABC中,设BC=x(x0),则AB=3x, AC= =2 x.则tan B= =2 .故选D.,8.(2015天津,2,3分)cos 45的值等于 ( ) A. B. C. D.,答案 B 本题考查特殊角的三角函数值.cos 45= .,9.(2015河北,9,3分)已知:岛P位于岛Q的
22、正西方,由岛P,Q分别测得船R位于南偏东30和南偏西45方向上.符 合条件的示意图是 ( ),答案 D 本题考查方向角的简单识别,选D.,10.(2015甘肃兰州,4,4分)如图,ABC中,B=90,BC=2AB,则 cos A= ( ) A. B. C. D.,答案 D 设AB=k(k0),则BC=2k, B=90,AC= = k, cos A= = = ,故选D.,11.(2017山东烟台,14,3分)在RtABC中,C=90,AB=2,BC= ,则sin = .,答案,解析 在RtABC中,C=90,AB=2,BC= , sin A= ,A=60, sin = .,12.(2017黑龙江
23、哈尔滨,22,7分)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点均在小正方形 的顶点上. (1)在图中画出以AB为底、面积为12的等腰ABC,且点C在小正方形的顶点上; (2)在图中画出平行四边形ABDE,且点D和点E均在小正方形的顶点上,tanEAB= .连接CD,请直接写出线 段CD的长.,解析 (1)正确画图. (2)正确画图. CD= .,考点二 解直角三角形 1.(2018重庆,10,4分)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底 部E点处测得旗杆顶端的仰角AED=58,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD的坡度i
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