2020年河北中考数学复习课件§8.3　几何最值问题.pptx

1、一、利用“垂线段最短”求最值 1.(2018秦皇岛海港期末,7)直线y= x-3与x轴,y轴分别交于A,B两点,P是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆上的一 动点,连接PA,PB,则PAB面积最大值是 ( ) A.8 B.12 C. D.,答案 C 当x=0时,y=-3,点B的坐标为(0,-3); 当y=0时, x-3=0,x=4,点A的坐标为(4,0). AB= =5. 过C作CDAB,垂足为D,延长DC交C于点P, 此时PAB的面积取最大值. BDC=AOB=90,ABO=CBD, CBDABO, = , = ,CD= . SPAB的最大值= 5 = ,故选C.,2.(2019石家庄十八县

2、二模改编)如图,在ABC中,ACB=90,ABC=45,BC=12 cm,半圆O的直径DE=12 cm,点E与点C重合,设点M是半圆O上一点,点N是线段AB上一点,则MN的最大值为 ;MN的最小值为 .,答案 24 cm;(9 -6)cm,解析 MN的最大值即为线段BD的长,即MN的最大值为24 cm.如图所示,过点O作ONAB于点N,垂线段的 长减去半径长,即为MN的最小值,在RtOBN中,B=45,ONB=90,OB=OC+BC=18 cm,ON=OBsin B=18sin 45=9 cm,MN的最小值=ON-OM=(9 -6)cm.,二、利用“轴对称”求最值 1.(2015辽宁营口,10

3、,3分)如图,点P是AOB内任意一点,OP=5 cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的 动点,PMN周长的最小值是5 cm,则AOB的度数是 ( ) A.25 B.30 C.35 D.40,答案 B 分别作点P关于OA所在直线、OB所在直线的对称点D、C,连接CD,分别交OA、OB于点M、N, 连接OC、OD,此时PMN的周长最小,如图所示: 点P关于OA所在直线的对称点为D,关于OB所在直线的对称点为C,PM=DM,OP=OD,DOA=POA, PN=CN,OP=OC,COB=POB,OC=OP=OD,AOB= COD, PMN周长的最小值是5 cm,CD=5 cm,OP=5 cm,

4、OC=OD=CD=5 cm,即OCD是等边三角形,COD=60,AOB=30.故选B.,2.(2019唐山丰南二模改编)如图,等腰ABC的底边BC长为4,面积是12,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB 边于E,F两点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,当CDM的周长最小时,最小值为 .,答案 8,解析 连接AD, ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点, ADBC, SABC= BCAD= 4AD=12,解得AD=6, EF是线段AC的垂直平分线, 点C关于直线EF的对称点为点A, AD的长为CM+MD的最小值,CDM的周长最小时,CM+MD+CD=AD+ BC=6+ 4=6+

5、2=8. 即CDM的周长最小值为8.,三、利用“隐形圆”求最值 1.(2018秦皇岛海港一模,13)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3 ,点P是BC边上的动点,现将PCD沿直线 PD折叠,使点C落在点C1处,则点B到点C1的最短距离为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2,答案 C 将PCD沿直线PD折叠,则DC=DC1,显然点C1在以点D为圆心,CD长为半径的圆上,连接BD交 D于一点,这个交点到点B的距离即为点B到点C1的最短距离,AB=CD=3,BC=3 ,BD= = =6,点B到点C1的最短距离=6-3=3,故选C.,2.(2015广东梅州,23,10分)在RtABC中,A=

6、90,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点.若等腰RtADE绕 点A逆时针旋转,得到等腰RtAD1E1,设旋转角为(0180),记直线BD1与CE1的交点为P. (1)如图1,当=90时,线段BD1的长等于 ,线段CE1的长等于 ;(直接填写结果) (2)如图2,当=135时,求证:BD1=CE1,且BD1CE1; (3)设BC的中点为M,则线段PM的长为 ; 点P到AB所在直线的距离的最大值为 .(直接填写结果),解析 (1)2 ;2 . (2分) (2)证明:等腰RtAD1E1是由等腰RtADE绕点A逆时针旋转135得到的, AD1=AE1,D1AB=E1AC=135, (3分)

7、 又AB=AC,D1ABE1AC. (4分) BD1=CE1,且D1BA=E1CA. (5分) 记直线BD1与AC交于点F,BFA=CFP, (6分) CPF=FAB=90,BD1CE1. (7分) (3)2 ; (8分) 1+ . (10分) (提示:点P在以BC为直径的圆上,得PM=2 ;D1,E1在以A为圆心,AD为半径的圆上,当BD1所在直线与圆 A相切时,直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大,此时四边形AD1PE1是正方形,PD1=2,PB=2+2 ,作 PGAB,交AB所在直线于点G,则PG=1+ 为所求),四、数形结合法求最值 1.(2015吉林长春,14,3分)如图,

8、在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2上运动,过点A作ACx轴于点C, 以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD.则对角线BD的最小值为 .,答案 1,解析 四边形ABCD是矩形,AC=BD. 当A在抛物线的顶点处时,AC最短, 此时A(1,1),AC=1,BD=1.即对角线BD的最小值为1.,2.(2018江苏徐州,23,8分)如图,在矩形ABCD中,AD=4,点E在边AD上,连接CE,以CE为边向右上方作正方形 CEFG,作FHAD,垂足为H,连接AF. (1)求证:FH=ED; (2)当AE为何值时,AEF的面积最大?,解析 (1)证明:四边形CEFG是正方形,CE=EF, F

9、EC=FEH+CED=90,DCE+CED=90, FEH=DCE, 在FEH和ECD中, FEHECD,FH=ED. (2)设AE=a,则ED=FH=4-a, SAEF= AEFH= a(4-a)=- (a-2)2+2, 当AE=2时,AEF的面积最大.,一、利用“垂线段最短”求最值 1.(2018秦皇岛模拟,15,3分)如图,边长为2a的等边三角形ABC中,M是高CH所在直线上的一个动点,连接MB, 将线段BM绕点B逆时针旋转60得到BN,连接HN.则在点M运动过程中,线段HN长度的最小值是 ( ) A. a B.a C. a D. a,教师专用题组,答案 D 如图,取BC的中点G,连接M

10、G, 旋转角为60,MBH+HBN=60, 又MBH+MBC=ABC=60,HBN=GBM, CH是等边ABC的高,HB= AB,HB=BG, 又MB旋转到BN,BM=BN, 在MBG和NBH中, MBGNBH(SAS),MG=NH,根据垂线段最短,即MGCH时,MG最短,即HN最短, BCH= 60=30,CG= AB= 2a=a, MG= CG= a= ,HN= ,故选D.,2.(2018江苏苏州,18,3分)如图,已知AB=8,P为线段AB上的一个动点,分别以AP,PB为边在AB的同侧作菱形 APCD和菱形PBFE,点P,C,E在一条直线上,DAP=60.M,N分别是对角线AC,BE的中

11、点.当点P在线段AB上 移动时,点M,N之间的距离最短为 (结果保留根号).,答案 2,解析 连接PD、DF、PF, 在菱形APCD和菱形PBFE中,M,N分别是对角线AC,BE的中点, PD经过点M,PF经过点N,且M,N分别是PD,PF的中点, MN是PDF的中位线, MN= FD, 当FD最短时,MN最短, 由题意可知点D在直线AD上,根据垂线段最短可知当FDAD时,FD最短. ADBF,DAP=60,AB=8, FD的最小值为ABsin 60=8 =4 , MN的最小值为 FD=2 .,二、利用“轴对称”求最值 1.(2018新疆,9,5分)如图,点P是边长为1的菱形ABCD的对角线A

12、C上的一个动点,点M,N分别是AB,BC边的中 点,则MP+PN的最小值是 ( ) A. B.1 C. D.2,答案 B 如图,取AD的中点M,连接MN,MP,则有MP=MP.MP+PN的最小值为线段MN的长,即菱形边长1. 故选B.,2.(2019陕西,14,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=8,AC与BD交于点O,N是AO的中点,点M在BC边上,且BM=6, P为对角线BD上一点,则PM-PN的最大值为 .,答案 2,解析 作点N关于直线BD的对称点G,连接MG并延长交BD于点P,此时PM-PN有最大值,最大值为线段GM 的长. 点N为OA的中点,点G为OC的中点,过点O作OHBC,由

13、正方形的性质可知OH=HC= BC=4.BM=6, CM=2,点M为CH的中点,GM为COH的中位线,GM= OH=2.,3.(2017山东泰安,24,3分)如图,BAC=30,M为AC上一点,AM=2,点P是AB上的一动点,PQAC,垂足为点Q, 则PM+PQ的最小值为 .,答案,解析 作点M关于AB的对称点N,过N作NQAC于Q,交AB于P, 则NQ 的长即为PM+PQ的最小值, 设MN与AB交于点D,则MDAB,DM=DN, NPB=APQ,NDP=PQA,N=BAC=30, AM=2,MD= AM=1,MN=2, NQ=MNcos 30=2 = .,即PM+PQ的最小值为 .,三、利用

14、“隐形圆”求最值 1.(2015湖北武汉,10,3分)如图,ABC,EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,直线AG、 FC相交于点M.当EFG绕点D旋转时,线段BM长的最小值是 ( ) A.2- B. +1 C. D. -1,答案 D 取AC的中点O,连接AD、DG、BO、OM,如图. ABC,EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,ADBC,GDEF,DA=DG,DC=DF, ADG=90-CDG=FDC, = , DAGDCF,DAG=DCF. A、D、C、M四点共圆. 根据两点之间线段最短可得BOBM+OM,即BMBO-OM,当M在线段BO与该圆的交

15、点处时,线段BM的长最小,此时,BO= = = ,OM= AC=1, 则BM=BO-OM= -1.故选D.,2.(2017 四川德阳,17,3分)如图,已知C的半径为3,圆外一定点O满足OC=5,点P为C上一动点,经过点O的 直线l上有两点A、B,且OA=OB,APB=90,l不经过点C,则AB的最小值为 .,答案 4,解析 如图,连接OP,PC,OC, OP+PCOC,当点O,P,C三点共线时,OP 最短, 如图,OA=OB,APB=90,点P在以O为圆心,AB长为直径的圆上,O 与C相切时,OP最短,即AB最短, OC=5,CP=3,OP=5-3=2,AB=2OP=4.,3.(2018江苏

16、南通,27,13分)如图,正方形ABCD中,AB=2 ,O是BC边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,连 接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90得DF,连接AE,CF. (1)求证:AE=CF; (2)若A,E,O三点共线,连接OF,求线段OF的长; (3)求线段OF长的最小值.,解析 (1)证明:如图,由旋转得EDF=90,ED=DF, 四边形ABCD是正方形, ADC=90,AD=CD,ADC=EDF, 即ADE+EDC=EDC+CDF, ADE=CDF, 在ADE和CDF中, ADECDF,AE=CF.,答案 4,(2)如图,过F作OC的垂线,交BC的延长线于P, O是BC的中点,且

17、AB=BC=2 , OB= ,A,E,O三点共线, 由勾股定理得AO=5, OE=2,AE=5-2=3, 由(1)知ADECDF, DAE=DCF,CF=AE=3, BAD=DCP,OAB=PCF,ABO=P=90,ABOCPF, = = =2,CP=2PF, 设PF=x,则CP=2x,由勾股定理得32=x2+(2x)2, 解得x= 或- (舍),CP= ,OP= + = , 由勾股定理得OF= = . (3)如图,由于OE=2,所以E点可以看作是在以O为圆心,2为半径的半圆上运动,延长BA到P点,使得AP=OC,则BP=3 ,连接PE, 由(1)知AE=CF,DAE=DCF, PAE=OCF

18、,又AP=OC, PAEOCF,PE=OF, 当OF取最小值时,PE最短,则O、E、P三点共线, OP= = =5 . OF=PE=OP-OE=5 -2,OF的最小值是5 -2.,四、数形结合法求最值 1.(2017云南,23,12分)已知AB是O的直径,PB是O的切线,C是O上的点,ACOP,M是直径AB上的动点, A与直线CM上的点连线距离的最小值为d,B与直线CM上的点连线距离的最小值为f. (1)求证:PC是O的切线; (2)设OP= AC,求CPO的正弦值; (3)设AC=9,AB=15,求d+f的取值范围.,解析 (1)证明:如图1,连接OC, OA=OC,A=OCA, ACOP,

19、A=BOP,ACO=COP, COP=BOP, PB是O的切线,OBP=90. 在POC与POB中, COPBOP,OCP=OBP=90, PC是O的切线.,图1 (2)如图1,过O作ODAC于D, 则ODC=OCP=90,CD= AC, ACOP,OCA=COP,ODCPCO, = ,CDOP=OC2, OP= AC,OP=3CD,即CD= OP, OPOP=OC2, = , sinCPO= = . (3)解法一:如图1,连接BC, AB是O的直径,ACBC, AC=9,AB=15,BC= =12, A与直线CM上的点连线距离的最小值即为点A到直线CM的垂线段的长,B与直线CM上的点连线距离

20、的最 小值即为点B到直线CM的垂线段的长. 当M与A重合时,d=0, f=BC=12,d+f=12,当CMAB时,d=AM, f=BM,d+f=AB=15, 当M与B重合时,d=9, f=0,d+f=9, d+f的取值范围是9d+f15. 解法二:如图2,过点A作AE直线MC于点E,则AE=d,过点B作BF直线MC于点F,则BF=f,延长AE交O于点 G,连接BG, AB是O的直径,AGBG, 四边形BGEF是矩形,EG=BF, d+f=AE+BF=AE+EG=AG, ACAGAB,9d+f15.,图2,2.(2015江苏徐州,25,8分)如图,平面直角坐标系中,将含30角的三角尺的直角顶点C

21、落在第二象限,其斜边两 端点A、B分别落在x轴、y轴上,且AB=12 cm. (1)若OB=6 cm. 求点C的坐标; 若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等,求滑动的距离; (2)点C与点O的距离的最大值= cm.,解析 (1)过点C作y轴的垂线,垂足为D,如图: 在RtAOB中,AB=12 cm,OB=6 cm, BAO=30,ABO=60, 则BC=6 cm, 又CBA=60,CBD=60,BCD=30, BD=3 cm,CD=3 cm,所以点C的坐标为(-3 ,9).,设点A向右滑动的距离为x cm, 根据题意得点B向上滑动的距离也为x cm,如图: 则AO=12cosBAO=1

22、2cos 30=6 cm, AO=(6 -x)cm,BO=(6+x)cm,AB=AB=12 cm, 在AOB中,由勾股定理得,(6 -x)2+(6+x)2=122, 解得x=6( -1),滑动的距离为6( -1)cm. (2)设点C的坐标为(x,y), 过C作CEx轴,CDy轴, 垂足分别为E,D,如图: 则OE=(-x)cm,OD=y cm, ACE+BCE=90,DCB+BCE=90,ACE=DCB, 又AEC=BDC=90,ACEBCD, = ,即 = = , y=- x, OC2=x2+y2=x2+(- x)2=4x2, 当|x|取最大值,即C到y轴的距离最大时,OC2有最大值, 即OC取最大值,此时(OC)max=12.,