2020年河北中考数学复习课件§6.2　解直角三角形.pptx

1、A组 河北中考题组,1.(2017河北,11,2分)如图是边长为10 cm的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁剪 线长度所标的数据(单位:cm)不正确的是 ( ),答案 A 由勾股定理得正方形的对角线的长是10 ,因为10 15,所以正方形内部的每一个点到正方 形的顶点的距离都小于15,故选A.,2.(2015河北,16,2分)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片,将它们分别沿着虚线剪开后,各自要拼一个与原来 面积相等的正方形,则 ( ) A.甲、乙都可以 B.甲、乙都不可以 C.甲不可以,乙可以 D.甲可以,乙不可以,答案 A 将甲纸片拼成如图1所示的正方形,其面积与原来矩形

2、的面积相等,将乙纸片拼成如图2所示的正 方形,其面积与原来矩形的面积相等,故选A. 图1 图2,思路分析 根据图形可得题图甲中的图形可以拼成一个边长为 的正方形,题图乙中的图形可以拼成一 个边长为 的正方形.,解题关键 本题考查了图形的剪拼,解答本题的关键是根据题意作出图形.,3.(2014河北,8,3分)如图,将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后,拼成面积为2的正方形,则n ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,答案 A 若n=2,则只能沿矩形的对角线剪开,这样每个三角形的三边长分别为1,2, ,显然不能拼成面积 为2的正方形,故选A.,4.(2019河北,19,4分)勘测队按实际

3、需要构建了平面直角坐标系,并标示了A,B,C三地的坐标,数据如图(单位: km).笔直铁路经过A,B两地. (1)A,B间的距离为 km; (2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l,并在l上建一个维修站D,使D到A,C的距离相等,则C,D间的距离为 km.,答案 (1)20 (2)13,解析 (1)由点A和点B的坐标可知,ABx轴,A,B间的距离=12-(-8)=20 km. (2)如图,由点C的坐标可知点C在y轴的负半轴上且OC=17 km,设y轴与直线AB的交点为E,易得AE=12 km, OE=1 km,所以CE=18 km,设CD=AD=x km,则DE=(18-x)km,在RtAD

4、E中,AD2=DE2+AE2,即x2=(18-x)2+122,解 得x=13,所以C,D间的距离为13 km.,思路分析 (1)根据点A与点B的坐标特点求出A,B间的距离;(2)首先确定直角坐标系,设y轴与直线AB的交点 为E,易得AE=12 km,CE=18 km,设CD=AD=x km,根据勾股定理列出含x的方程,求解即可.,解题关键 正确画出平面直角坐标系,准确运用勾股定理得出方程是解决本题的关键.,5.(2013河北,26,14分)一透明的敞口正方体容器ABCD-ABCD装有一些液体,棱AB始终在水平桌面上,容器 底部的倾斜角为(CBE=,如图1所示). 图1 探究 如图1,液面刚好过

5、棱CD,并与棱BB交于点Q,此时液体的形状为直三棱柱,其三视图及尺寸如图2所 示.解决问题:,图2 (1)CQ与BE的位置关系是 ,BQ的长是 dm; (2)求液体的体积;(参考算法:直棱柱体积V液=底面积SBCQ高AB) (3)求的度数. 拓展 在图1的基础上,以棱AB为轴将容器向左或向右旋转,但不能使液体溢出,图3或图4是其正面示意图. 若液面与棱CC或CB交于点P,设PC=x,BQ=y.分别就图3和图4,求y与x的函数关系式,并写出相应的的范围.,图3 图4 延伸 在图4的基础上,于容器底部正中间位置,嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计),得到图5, 隔板高NM=1 dm,BM=

6、CM,NMBC.继续向右缓慢旋转,当=60时,通过计算,判断溢出容器的液体能否达到 4 dm3.,图5 备用图,解析 探究 (1)CQBE;3. (2)V液= 344=24(dm3). (3)在RtBCQ中,tanBCQ= , =BCQ=37. 拓展 当容器向左旋转时,如图1,037. 图1 液体体积不变, (x+y)44=24.y=-x+3.,当容器向右旋转时,如图2,同理得y= . 图2 当液面恰好到达容器口沿,即点Q与点B重合时,如图3,由BB=4,且 PBBB4=24,得PB=3.,图3,由tanPBB= ,得PBB=37,=BPB=53, 此时3753. 注:本问的范围中,“”为“”

7、不影响得分 延伸 当=60时,如图4所示,设FNEB,GBEB. 过点G作GHBB于点H. 在RtBGH中,GH=MB=2,GBB=30,HB=2 . MG=BH=4-2 MN.,图4,此时容器内液体形成两层液面,液体的形状分别是以RtNFM和直角梯形MBBG为底面的直棱柱. SNFM+S梯形MBBG= 1+ (4-2 +4)2=8- , V溢出=24-4 = -84(dm3). 溢出的液体可以达到4 dm3.,考点一 勾股定理 1.(2019辽宁大连,9,3分)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,折痕为EF.若AB=4,BC=8,则DF的长 为 ( ) A.2 B.4 C.3 D

8、.2,B组 20152019年全国中考题组,答案 C 四边形ABCD为矩形,AB=4,BC=8, AD=BC=8,CD=AB=4,D=90, 由折叠可得AD=CD=4,D=D=90,FD=FD, 设FD=x,则FD=FD=x,AF=AD-FD=8-x, 在RtADF中,AD2+FD2=AF2, 即42+x2=(8-x)2,解得x=3. FD=3,故选C.,2.(2018山东青岛,6,3分)如图,三角形纸片ABC,AB=AC,BAC=90,点E为AB中点.沿过点E的直线折叠,使点B 与点A重合,折痕EF交BC于点F,已知EF= ,则BC的长是 ( ),A. B.3 C.3 D.3,答案 B 沿过

9、点E的直线折叠,使点B与点A重合,B=EAF=45,AFB=90,点E为AB中点, EF= AB,EF= ,AB=AC=3,BAC=90,BC= =3 ,故选B.,3.(2017陕西,6,3分)如图,将两个大小、形状完全相同的ABC和ABC拼在一起,其中点A与点A重合,点C 落在边AB上,连接BC.若ACB=ACB=90,AC=BC=3,则BC的长为( ) A.3 B.6 C.3 D.,答案 A 由题意得ABC与ABC全等且均为等腰直角三角形,AC=BC=3,AB=3 ,AB=3 ,在 ABC中,易知CAB=90,ABC是直角三角形,BC= =3 .,4.(2017吉林长春,13,3分)如图,

10、这个图案是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的,人们称它为 “赵爽弦图”.此图案的示意图如图,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,ABF、BCG、 CDH、DAE是四个全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,则AB的长为 .,答案 10,解析 四边形EFGH为正方形,EH=EF=2, 又DE=8,DH=6, DHCBFAAED, AF=DE=8,BF=DH=6, AB= = =10.,思路分析 利用正方形和全等三角形的性质求出RtABF的边AF和BF的长,再利用勾股定理求得AB的长.,5.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFA

11、C于点F,G为EF的中 点,连接DG,则DG的长为 .,答案,解析 连接DE,在等边ABC中, D、E分别是AB、BC的中点, DEAC,DE=EC= AC=2. DEB=C=60. EFAC,EFC=90. FEC=30,EF= . DEG=180-60-30=90.,G是EF的中点,EG= . 在RtDEG中,DG= = = .,6.(2018湖北黄冈,13,3分)如图,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32 cm,在杯内壁离杯底5 cm的点B处有 一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的 最短距离为 cm(杯壁厚度不计).,

12、答案 20,解析 如图,将圆柱侧面展开,延长AC至A,使AC=AC,连接AB,则线段AB的长为蚂蚁到蜂蜜的最短距离.过 B作BBAD,垂足为B.在RtABB中,BB=16,AB=14-5+3=12,所以AB= = =20,即蚂蚁 从外壁A处到内壁B处的最短距离为20 cm.,考点二 锐角三角函数 1.(2018云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为 ( ) A.3 B. C. D.,答案 A AC=1,BC=3,C=90,tan A= =3.,2.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长都为1,则tanBAC的

13、值为 ( ) A. B.1 C. D.,答案 B 如图,连接BC. 在ABD和BCE中, ABDBCE(SAS),AB=BC,ABD=BCE. BCE+CBE=90, ABD+CBE=90,即ABC=90, tanBAC= =1,故选B.,3.(2016福建福州,9,3分)如图,以O为圆心,1为半径的弧交坐标轴于A,B两点,P是 上一点(不与A,B重合),连 接OP,设POB=,则点P的坐标是 ( ) A.(sin ,sin ) B.(cos ,cos ) C.(cos ,sin ) D.(sin ,cos ),答案 C 过P作PQOB,交OB于点Q, 在RtOPQ中,OP=1,POQ=, s

14、in = ,cos = ,即PQ=sin ,OQ=cos , 点P的坐标为(cos ,sin ).故选C.,评析 熟练掌握锐角三角函数的定义是解本题的关键.,4.(2017广东广州,14,3分)如图,RtABC中,C=90,BC=15,tan A= ,则AB= .,答案 17,解析 在RtABC中,tan A= = ,BC=15, AC=8,AB= = =17.,5.(2018山东泰安,15,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在A处,若EA的 延长线恰好过点C,则sinABE的值为 .,答案,解析 由折叠知BAE=A=90,AE=AE,AB=A

15、B=6,故在RtABC中,由勾股定理,得AC= = =8,设AE=AE=x,则CE=x+8,DE=10-x,在RtCDE中,由勾股定理,得(x+8)2=62+(10-x)2,解得x=2.在Rt ABE中,BE= =2 ,所以sinABE= = = .,考点三 解直角三角形 1.(2018江苏苏州,8,3分)如图,某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行 至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30方向,保持 航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为 ( ) A.40海里 B.60海里

16、C.20 海里 D.40 海里,答案 D 由题意可知APB=30,A=90,AB=20,BC=40, 在RtPAB中,PB=2AB=40,PBA=60,PA=20 , PB=BC,BPC=C=30,PC=2PA=40 , 海监船与岛屿P之间的距离是40 海里. 故选D.,2.(2016重庆,11,4分)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动.如图,在点A处测得直立于 地面的大树顶端C的仰角为36.然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处,再沿水平方向行走6米至 大树底端D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=12.4,那么大树CD的高度约为(参考数据:sin 360.59,cos

17、 36 0.81,tan 360.73) ( ) A.8.1米 B.17.2米 C.19.7米 D.25.5米,答案 A 作BFAE于F,如图所示, 易知四边形BDEF为矩形,则FE=BD=6米,DE=BF, 斜面AB的坡度i=12.4,AF=2.4BF, 设BF=x米,则AF=2.4x米, 在RtABF中,x2+(2.4x)2=132,解得x=5, DE=BF=5米,AF=12米, AE=AF+FE=18米, 在RtACE中,CE=AEtan 36180.73=13.14米,CD=CE-DE=13.14-58.1米,故选A.,3.(2019辽宁大连,15,3分)如图,建筑物BC上有一旗杆AB

18、,从与BC相距10 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53, 观测旗杆底部B的仰角为45,则旗杆AB的高度约为 m.(结果取整数.参考数据:sin 530.80,cos 53 0.60,tan 531.33),答案 3,解析 BDC=45,BCD=90, DBC=180-BCD-BDC =180-90-45 =45, BDC=DBC,BC=DC=10 m. 在RtADC中, tanADC= , tan 53= , AC=10tan 53101.33=13.3 m. AB=AC-BC=13.3-10=3.33 m. 故答案为3.,思路分析 因为BDC=45,BCD=90,所以可得BC=DC=10 m

19、,解直角三角形可求出AC13.3 m,进一步 可求出AB的长度.,4.(2018广西,16,3分)如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处 的俯角是45.已知甲楼的高AB是120 m,则乙楼的高CD是 m(结果保留根号).,答案 40,解析 由题意知BDA=45,AB=AD=120 m, 又CAD=30,在RtADC中,tanCAD=tan 30= = ,CD=40 m.,5.(2019江西,20,8分)图1是一台实物投影仪,图2是它的示意图,折线BAO表示固定支架,AO垂直水平桌 面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探

20、头CD始终垂直于水平桌面OE,经测 量:AO=6.8 cm,CD=8 cm,AB=30 cm,BC=35 cm.(结果精确到0.1) (1)如图2,ABC=70,BCOE. 填空:BAO= ; 求投影探头的端点D到桌面OE的距离; (2)如图3,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时,求ABC的大小. (参考数据:sin 700.94,cos 200.94,sin 36.80.60,cos 53.20.60),解析 (1)160. 如图1,延长OA交BC于点F, 图1 AOOE,AOE=90. BCOE,AOE=BFO=90, 在RtABF中,AB=30 cm

21、, sinB= , AF=ABsinB=30sin 70300.94=28.20(cm).,AF-CD+AO=28.20-8+6.8=27.0(cm). 答:投影探头的端点D到桌面OE的距离为27.0 cm. (2)如图2,过点B作DC的垂线,交DC的延长线于点H. 图2 在RtBCH中,HC=28.2+6.8-6-8=21(cm). sinHBC= , sinHBC= =0.6. sin 36.80.60,HBC36.8,ABC=70-36.8=33.2. 答:当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时,ABC为33.2.,解后反思 解决此类解直角三角形问题的一般思路:将实际问题抽象成解

22、直角三角形问题.弄清题目中各 量之间的关系,如果题目中有直角三角形,则根据边角的关系进行计算,若图中没有直角三角形,可通过添加 辅助线构造直角三角形来解决.,6.(2018江西,19,8分)图1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门的右轴固定 在门框上,通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图,已知轨道AB=120 cm,两扇活页门的宽OC= OB=60 cm,点B固定,当点C在AB上左右运动时,OC与OB的长度不变(所有结果保留小数点后一位). (1)若OBC=50,求AC的长; (2)当点C从点A向右运动60 cm时,求O在此过程中运动的路径长. 参考数据:s

23、in 500.77,cos 500.64,tan 501.19,取3.14.,解析 (1)如图,过点O作ODAB于点D, 在RtOBD中, BD=OBcosOBD=60cos 50600.64=38.4(cm). OC=OB,BC=2BD. AC=AB-BC=120-238.4=43.2(cm). (2)如图,AB=120 cm,AC=60 cm, BC=AB-AC=60 cm. OC=OB=60 cm,BC=OC=OB, OBC为等边三角形,OBC=60. 点O的运动路径为 , 点O运动的路径长为 =20=62.8(cm).,思路分析 (1)过点O作ODAB于点D,先根据OBC的余弦求出BD

24、,然后根据等腰三角形的性质求得BC, 进而求得AC的长;(2)点O的运动路径是以点B为圆心,OB为半径的圆弧,先确定当点C从点A向右运动60 cm 时OBC的大小,进而利用弧长公式求出结果.,解题关键 解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确理解点O的运 动路径.,7.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干 支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低 杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答. 如图所示,底座上A,B两点间的距离为90 cm.低

25、杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm,高杠上点D到直 线AB的距离DF的长为234 cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4,高杠的支架BD与直线AB 的夹角DBF为80.3.求高、低杠间的水平距离CH的长. (结果精确到1 cm.参考数据:sin 82.40.991,cos 82.40.132,tan 82.47.500,sin 80.30.983,cos 80.3 0.168,tan 80.35.850),解析 在RtCAE中,AE= = 20.7. (3分) 在RtDBF中,BF= = =40. (6分) EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7

26、151. 四边形CEFH为矩形,CH=EF=151. 即高、低杠间的水平距离CH的长约是151 cm. (9分),考点一 勾股定理 1.(2019贵州贵阳,9,3分)如图,在ABC中,AB=AC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交AB于点B和点D,再分别 以点B,D为圆心,大于 BD长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线CM交AB于点E,若AE=2,BE=1,则EC的长度 是 ( ) A.2 B.3 C. D.,C组 教师专用题组,答案 D 由作图叙述可知CEAB,AE=2,BE=1,AB=AC=3,在RtACE中,CE= = ,故选D.,2.(2019陕西,6,3分)如图,在ABC中,B=30

27、,C=45,AD平分BAC,交BC于点D,DEAB,垂足为E.若DE= 1,则BC的长为 ( ) A.2+ B. + C.2+ D.3,答案 A 过点D作DFAC,垂足为F.AD平分BAC,DEAB,DE=DF=1.B=30,BD=2DE=2. C=45,DC= DF= ,BC=BD+CD=2+ ,故选A.,3.(2017浙江绍兴,6,3分)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离 为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米.则小巷的 宽度为 ( ) A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米,

28、答案 C 设梯子斜靠在右墙时,底端到右墙角的距离为x米, 由勾股定理可得:梯子的长度= = , 可解得x=1.5,则小巷的宽度为0.7+1.5=2.2(米).故选C.,4.(2016湖南株洲,8,3分)如图,以直角三角形a、b、c为边,向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正 方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 D (1)S1= a2,S2= b2,S3= c2, a2+b2=c2, a2+ b2= c2, S1+S2=S3. (2)S1= a2,S2= b2,S3= c2, a2+b2=c2, a2+ b2= c2,S

29、1+S2=S3. (3)S1= a2,S2= b2,S3= c2, a2+b2=c2, a2+ b2= c2,S1+S2=S3.,(4)S1=a2,S2=b2,S3=c2, a2+b2=c2,S1+S2=S3. 综上,面积关系满足S1+S2=S3的图形有4个.故选D.,5.(2017浙江杭州,10,3分)如图,在ABC中,AB=AC,BC=12,E为AC边的中点,线段BE的垂直平分线交边BC于 点D.设BD=x,tanACB=y,则 ( ) A.x-y2=3 B.2x-y2=9 C.3x-y2=15 D.4x-y2=21,答案 B 如图,过A作AMBC于M,过E作ENBC于N,连接ED. E为

30、AC的中点,AMEN,EN= ,MN= , AB=AC,AMBC, CM= =6,MN=3, tanACB= =y, AM=6y,EN=3y, 直线DF是线段BE的垂直平分线, ED=BD=x,DE2=DN2+EN2, x2=(9-x)2+(3y)2,即2x-y2=9,此题选B.,6.(2018湖南湘潭,15,3分)九章算术是我国古代最重要的数学著作之一,在“匀股”章中记载了一道 “折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示, ABC中,ACB=90,AC+AB=10,BC=3,求AC的长,如果设AC=x,则可列方程为 .,答案 x2+32=

31、(10-x)2,解析 AC=x,AC+AB=10, AB=10-x. 在RtABC中,ACB=90, AC2+BC2=AB2, 即x2+32=(10-x)2. 故可列方程为x2+32=(10-x)2.,7.(2018云南,6,3分)在ABC中,AB= ,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为 .,答案 1或9,解析 分两种情况讨论: BC边上的高在ABC内时,如图,过A作ADBC于点D. 在RtABD中,AB= ,AD=3,BD= =5. 在RtACD中,AC=5,AD=3,CD= =4.BC=BD+CD=9. BC边上的高位于ABC外时,如图,同可求得BD=5,CD=4,BC=1.

32、综上,BC的长为1或9.,思路分析 根据题意画图,要考虑全面,利用勾股定理解直角三角形即可.,易错警示 本题容易只考虑BC边上的高在ABC内的情况而导致漏解.,8.(2018福建,15,4分)把两个同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶 点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB= ,则CD= .,答案 -1,解析 由题意知ABC,ADE均为等腰直角三角形,且AB=AC=AE=ED= ,由勾股定理得BC=AD=2.过A 作AFBC于F,则FC=AF=1,在RtAFD中,由勾股定理得FD= ,故CD=FD-FC= -1.,考点二

33、 锐角三角函数 1.(2018陕西,6,3分)如图,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交AD于 点E,则AE的长为 ( ) A.2 B.3 C. D.,答案 D AC=8,C=45,ADBC,AD=ACsin 45=4 ,过点E作EFAB于点F,BE是ABC的平分 线,DE=EF,ABC=60,ADBC,BAE=30,在RtAEF中,EF= AE,又AD=4 ,DE=EF, AE= AD= ,故选D.,思路分析 首先利用AC的长及C的正弦求出AD的长,进而通过角平分线的性质及含30角的直角三角形 的性质确定DE和AE的数量关系,最后求出AE的长.,

34、2.(2017山东滨州,7,3分)如图,在ABC中,ACBC,ABC=30,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tan DAC的值为 ( ) A.2+ B.2 C.3+ D.3,答案 A 设AC=a,则AB= =2a,BC= = a,BD=AB=2a,tanDAC= =2+ .,3.(2019内蒙古包头,17,3分)如图,在ABC中,CAB=55,ABC=25.在同一平面内,将ABC绕点A逆时针 旋转70得到ADE,连接EC,则tanDEC的值是 .,答案 1,解析 在ACB中,ACB=180-55-25=100,由旋转的性质可得AED=ACB =100,CAE=70,AE= AC,AE

35、C= =55,DEC=100-55=45,tanDEC=1.,解题关键 抓住旋转的性质得出AEC是等腰三角形且CAE=70是解答本题的关键.,4.(2018浙江宁波,18,4分)如图,在菱形ABCD中,AB=2,B是锐角,AEBC于点E,M是AB的中点,连接MD,ME. 若EMD=90,则cos B的值为 .,答案,解析 延长DM交CB的延长线于点H,连接DE. 四边形ABCD是菱形,AB=BC=AD=2,ADCH,ADM=H, AM=BM,AMD=HMB,ADMBHM,DM=HM,AD=HB=2, EMDH,EH=ED,设BE=x, AEBC,AEAD,AEB=EAD=90, AE2=AB2

36、-BE2=DE2-AD2, 22-x2=(2+x)2-22,x= -1或- -1(舍去), cos B= = .,5.(2018黑龙江齐齐哈尔,16,3分)四边形ABCD中,BD是对角线,ABC=90,tanABD= ,AB=20,BC=10,AD= 13,则线段CD= .,答案 或17,解析 如图1,作AE直线BD于点E,CF直线BD于点F, 图1 ABD+DBC=90,BCF+DBC=90, ABD=BCF, tanABD= , tanBCF= .,在RtAEB中,设AE=3x,BE=4x, 则(3x)2+(4x)2=202,解得x=4, AE=12,BE=16, 在RtBCF中, 设BF

37、=3y,CF=4y, 则(3y)2+(4y)2=102,解得y=2, BF=6,CF=8, 在RtADE中,DE= =5, BD=BE-DE=11, FD=BD-BF=5, 在RtDCF中,CD= = . 如图2,同理,BE=16,ED=5,BF=6,CF=8.,图2 BD=BE+ED=21, FD=BD-BF=15, 在RtDCF中,CD= =17. 综上所述,线段CD的长为 或17.,解题关键 考虑问题要全面,正确画出图形,通过作垂线,构造直角三角形,然后利用勾股定理求出线段BD、 FD的长度是关键.,6.(2016江苏盐城,17,3分)已知ABC中,tan B= ,BC=6,过点A作BC

38、边上的高,垂足为点D,且满足BDCD= 21,则ABC面积的所有可能值为 .,答案 8或24,解析 如图1所示,BC=6,BDCD=21,BD=4, 图1 ADBC,tan B= , = ,AD= BD= , SABC= BCAD= 6 =8. 如图2所示,图2 BC=6,BDCD=21,BD=12, ADBC,tan B= , = ,AD= BD=8, SABC= BCAD= 68=24. 综上,ABC面积的所有可能值为8或24.,考点三 解直角三角形,1.(2019吉林长春,6,3分)如图,一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上,梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹 角为,则梯子顶端到地面的距离

39、BC为 ( ) A.3sin 米 B.3cos 米 C. 米 D. 米,答案 A 因为sin = ,所以BC=ABsin =3sin (米).,2.(2019重庆A卷,10,4分)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想,某森林保护区开展了寻找古树活 动.如图,在一个坡度(或坡比)i=12.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC =26米,在距山脚点A水平距离6米的点E处,测得古树顶端D的仰角AED=48(古树CD与山坡AB的剖面、 点E在同一平面上,古树CD与直线AE垂直),则古树CD的高度约为 ( ) (参考数据:sin 480.74,cos 480.67,t

40、an 481.11) A.17.0米 B.21.9米 C.23.3米 D.33.3米,答案 C 延长DC交EA于点F. i= = = , 设CF=5x米,AF=12x米,且x0. 在RtACF中,AC= =13x=26, x=2,CF=10米,AF=24米. AE=6米,EF=EA+AF=6+24=30米. 在RtEDF中,tanAED=tan 48= , DF=EFtan 48301.11=33.3米,CD=DF-CF=33.3-10=23.3米,故选C.,思路分析 延长DC交EA于点F.由题意可得 = ,则设CF=5x米,AF=12x米.在RtACF中,由勾股定理得 AC= =13x=26

41、,求得CF=10米,AF=24米,从而可得EF=30米.在RtDEF中,由tanAED= ,可求 出DF的长,从而进一步求出DC的长.,3.(2018重庆,10,4分)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底 部E点处测得旗杆顶端的仰角AED=58,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD的坡度i =10.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米,则旗杆AB的高度约为 ( ) (参考数据:sin 580.85,cos 580.53,tan 581.6) A.12.6米 B.13.1米 C.14.7米 D.16.3米,答案

42、 B 如图,延长AB交ED的延长线于M,作CJDM于J.则四边形BMJC是矩形. 在RtCJD中, = = ,设CJ=4k,DJ=3k,k0,已知CD=2, 则有9k2+16k2=4, 解得k= , BM=CJ= ,DJ= , 又BC=MJ=1, EM=MJ+DJ+DE= ,在RtAEM中,tanAEM= , tan 58= 1.6, 解得AB13.1(米),故选B.,4.(2018山东潍坊,18,3分)如图,一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东北 方向上,继续航行1.5小时后到达B处,此时测得岛礁P在北偏东30方向,同时测得岛礁P正东方向上的避风港 M在北偏东

43、60方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速,若以75海里/小时的速度继续 航行,则 小时即可到达.(结果保留根号),答案,解析 过点P作PQAB,垂足为Q,过点M作MNAB,垂足为N. AB=601.5=90海里, 设PQ=MN=x海里,由点P在点A的东北方向可知,PAQ=45, AQ=PQ=x海里,BQ=(x-90)海里, 在RtPBQ中,PBQ=90-30=60,tan 60= = , 解得x=135+45 . 经检验,x=135+45 是分式方程的解,且符合题意. 在RtBMN中,MBN=90-60=30, BM=2MN=2x=2(135+45 )=(270+90 )海

44、里, 航行时间为 = 小时.,5.(2019山西,20,9分)某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案,并 利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,分别测量了该旗杆顶 端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距 离时,都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整).,任务一:两次测量A,B之间的距离的平均值是 m; 任务二:根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度; (参考数据:sin 25.70.43,cos 25.70.9

45、0,tan 25.70.48,sin 310.52,cos 310.86,tan 310.60) 任务三:该“综合与实践”小组在制订方案时,讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方 案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可),解析 任务一:5.5. (1分) 任务二:由题意可得四边形ACDB,四边形ACEH都是矩形, EH=AC=1.5,CD=AB=5.5. (2分) 设EG=x m. 在RtDEG中,DEG=90,GDE=31, tan 31= , DE= . (3分) 在RtCEG中,CEG=90,GCE=25.7, tan 25.7= ,CE= . (4分) CD

46、=CE-DE, - =5.5. (5分) x=13.2. (6分),GH=GE+EH=13.2+1.5=14.7. (7分) 答:旗杆GH的高度为14.7 m. (8分) 任务三:答案不唯一:没有太阳光,旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等. (9分),解题关键 解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立教学模型.,6.(2018安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面 上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测 到旗杆顶A(此时AEB=FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3,平面镜E的俯角为45,FD=1.8米,问旗杆 AB的高度约为多少