2020年河北中考数学复习课件§2.1　一元一次方程及一元二次方程.pptx

1、A组 河北中考题组,1.(2019河北,15,2分)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他 核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是( ) A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是x=-1 D.有两个相等的实数根,答案 A 只抄对了a=1,b=4,即x2+4x+c=0,把x=-1代入得c=3,因为所抄的c比原方程的c值小2,所以c值应该 为5,原方程为x2+4x+5=0,=42-415=-40,所以原方程不存在实数根,故选A.,2.(2015河北,12,2分)若关于x的方程x2+2x+a=0不

2、存在实数根,则a的取值范围是 ( ) A.a1 C.a1 D.a1,答案 B 由题意知=4-4a1,故选B.,3.(2016河北,14,2分)a,b,c为常数,且(a-c)2a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.有一根为0,答案 B 由(a-c)2a2+c2,得a2-2ac+c2a2+c2,即-2ac0,所以-4ac0.又因为b20,所以=b2-4ac0,所以方程有 两个不相等的实数根.,4.(2019河北,18,4分)如图,约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数. 示例: 即4+3=

3、7. 则(1)用含x的式子表示m= ; (2)当y=-2时,n的值为 .,答案 (1)3x (2)1,解析 (1)根据约定可得x+2x=m,即m=3x. (2)根据约定及(1)可得n=2x+3,y=m+n=3x+2x+3=5x+3,当y=-2时,5x+3=-2,解得x=-1.所以n=2x+3=2(-1)+3=1.,5.(2014河北,21,10分)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式时,对于b2-4ac0的 情况,她是这样做的: (1)嘉淇的解法从第 步开始出现错误;事实上,当b2-4ac0时,方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是 ;,(2)用配方法解

4、方程:x2-2x-24=0.,解析 (1)四; (2分) x= . (4分) (2)由x2-2x-24=0, 得x2-2x=24, x2-2x+ =24+ , 即(x-1)2=25, (8分) 故x-1=5, x1=6,x2=-4. (10分),方法总结 用配方法解一元二次方程的步骤: (1)形如x2+px+q=0型: 第一步,移项,把常数项移到右边; 第二步,配方,左右两边同时加上一次项系数一半的平方; 第三步,左边写成完全平方式; 第四步,左右两边同时开方,求出x. (2)形如ax2+bx+c=0型:方程两边同时除以二次项系数,即化成x2+px+q=0的形式,然后按照(1)中的步骤进行求

5、解.,考点一 一元一次方程及其应用 1.(2018山东济南,7,4分)关于x的方程3x-2m=1的解为正数,则m的取值范围是 ( ) A.m- C.m D.m,B组 20152019年全国中考题组,答案 B 解方程3x-2m=1得x= .方程的解为正数, 0,解得m- .故选B.,2.(2017山东滨州,9,3分)某车间有27名工人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品,每人每天生产螺母16 个或螺栓22个.若分配x名工人生产螺栓,其他工人生产螺母,恰好使每天生产的螺栓和螺母配套,则下面所 列方程中正确的是 ( ) A.22x=16(27-x) B.16x=22(27-x) C.216x=22(

6、27-x) D.222x=16(27-x),答案 D x名工人可生产螺栓22x个,(27-x)名工人可生产螺母16(27-x)个,由于螺栓数目的2倍与螺母数目 相等,因此222x=16(27-x).,3.(2019内蒙古呼和浩特,14,3分)如果关于x的方程mx2m-1+(m-1)x-2=0是一元一次方程,则其解为 .,答案 -3或-2或2,解析 因为关于x的方程mx2m-1+(m-1)x-2=0是一元一次方程,所以分情况讨论:当m=0时,-x-2=0,解得x=-2; 当2m-1=1,即m=1时,x-2=0,解得x=2;当2m-1=0,即m= 时, - x-2=0,解得x=-3.综上所述,方程

7、的解为-3或-2 或2.,解后反思 当方程含未知数的项的系数或指数含参数,且其为一元一次方程时,需分类讨论使其符合ax+b= 0(a0)的形式,再求出参数的值或者方程的解.,4.(2018内蒙古呼和浩特,13,3分)文具店销售某种笔袋,每个18元,小华去购买这种笔袋,结账时店员说:“如 果你再多买一个就可以打九折,价钱比现在便宜36元.”小华说:“那就多买一个吧,谢谢.”根据两人的对话 可知,小华结账时实际付款 元.,答案 486,解析 设小华计划买x个笔袋,则可列方程为18x-180.9(x+1)=36,解得x=29.故小华结账时实际付款180.9 30=486(元).,5.(2016江苏常

8、州,13,2分)若代数式x-5与2x-1的值相等,则x的值是 .,答案 -4,解析 根据题意得x-5=2x-1,解得x=-4.,考点二 一元二次方程 1.(2019山西,8,3分)一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为 ( ) A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=5 C.(x-2)2=3 D.(x-2)2=5,答案 D x2-4x-1=0,(x2-4x+4)-4-1=0,(x-2)2=5,故选D.,2.(2019湖北黄冈,4,3分)若x1,x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两根,则x1x2的值为 ( ) A.-5 B.5 C.-4 D.4,答案 A 由根与系数的关系可得x1x2=-

9、5,故选A.,3.(2018山东临沂,4,3分)一元二次方程y2-y- =0配方后可化为 ( ) A. =1 B. =1 C. = D. =,答案 B 由y2-y- =0得y2-y= ,配方得y2-y+ = + , =1.故选B.,4.(2016山东青岛,8,3分)输入一组数据,按下列程序进行计算,输出结果如下表:,分析表格中的数据,估计方程(x+8)2-826=0的一个正数解x的大致范围为 ( ) A.20.5x20.6 B.20.6x20.7 C.20.7x20.8 D.20.8x20.9,答案 C 根据程序及输出结果可知当x=20.7时,(x+8)2-826=-2.310,(x+8)2

10、-826=0的一个正数解x的大致范围为20.7x20.8,故选C.,5.(2018江苏扬州,12,3分)若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则6m2-9m+2 015的值为 .,答案 2 018,解析 由题意可知2m2-3m-1=0, 2m2-3m=1 原式=3(2m2-3m)+2 015=2 018.,6.(2018湖南长沙,17,3分)已知关于x的方程x2-3x+a=0有一个根为1,则方程的另一个根为 .,答案 2,解析 设方程的另一个根为x1,由根与系数的关系知1+x1=3,则x1=2.,7.(2018江西,11,3分)一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1,x2,则 -4x1+

11、2x1x2的值为 .,答案 2,解析 一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1、x2, -4x1=-2,x1x2=2, -4x1+2x1x2=-2+22=2.,考点三 根的判别式 1.(2018福建,10,4分)已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,下列判断正确的 是( ) A.1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根 B.0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根 C.1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根 D.1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根,答案 D 由=(2b)2-4(a+1)2=0得b=(a+1), 因为a+

12、10,所以b0. 当b=-(a+1)时,x=1是方程x2+bx+a=0的根; a+10,a可以取0,故x=0可能是方程x2+bx+a=0的根; 当b=a+1时,x=-1是方程x2+bx+a=0的根. 因为b=-(a+1)和b=a+1不能同时成立,所以x=1和x=-1不能同时为方程x2+bx+a=0的根,故选D.,2.(2016福建福州,12,3分)下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有实数根的是 ( ) A.a0 B.a=0 C.c0 D.c=0,答案 D 若一元二次方程ax2-4x+c=0有实数根, 则=(-4)2-4ac=16-4ac0,且a0. ac4,且a0.

13、A.若a0,则当a=1,c=5时,ac=54,故此选项错误; B.a=0不符合一元二次方程的定义,故此选项错误; C.若c0,则当a=1,c=5时,ac=54,故此选项错误; D.若c=0,则ac=04,故此选项正确.故选D.,评析 本题主要考查一元二次方程根的情况与判别式的关系:(1)0方程有两个不相等的实数根;(2) =0方程有两个相等的实数根;(3)0方程没有实数根.,3.(2019吉林,10,3分)若关于x的一元二次方程(x+3)2=c有实数根,则c的值可以为 (写出一个即可).,答案 0(任意一个非负数皆可),解析 因为一个数的平方为非负数,所以只要c0,一元二次方程就有实数根,答案

14、不唯一,例如c=0.,4.(2018吉林,10,3分)若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根,则m的值为 .,答案 -1,解析 方程有两个相等的实数根,=4+4m=0, 解得m=-1.,5.(2018北京,20,5分)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0. (1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况; (2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.,解析 (1)依题意,得=(a+2)2-4a=a2+40. 故方程有两个不相等的实数根. (2)由题意可知,a0,=b2-4a=0. 答案不唯一,如:当b=2,a=1时,方程为x2+

15、2x+1=0, (x+1)2=0,x1=x2=-1.,6.(2015河南,19,9分)已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|. (1)求证:对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.,解析 (1)证明:原方程可化为x2-5x+6-|m|=0, (1分) =(-5)2-41(6-|m|)=25-24+4|m|=1+4|m|. (3分) |m|0,1+4|m|0, 对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根. (4分) (2)把x=1代入原方程,得|m|=2,m=2. (6分) 把|m|=2代入原方程,得x2-5x+4=0,x1

16、=1,x2=4. m的值为2,方程的另一个根是4. (9分),考点四 一元二次方程的应用 1.(2019新疆,7,5分)在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛36场.设有x个队参赛,根 据题意,可列方程为 ( ) A. x(x-1)=36 B. x(x+1)=36 C.x(x-1)=36 D.x(x+1)=36,答案 A 根据题意可列方程为 x(x-1)=36,故选A.,2.(2017甘肃兰州,10,4分)王叔叔从市场上买了一块长80 cm,宽70 cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱.如 图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面

17、积为3 000 cm2的无盖长方体工具箱.根据题意可列方程为 ( ) A.(80-x)(70-x)=3 000 B.8070-4x2=3 000 C.(80-2x)(70-2x)=3 000 D.8070-4x2-(70+80)x=3 000,答案 C 长方体工具箱的底面是一个长为(80-2x)cm,宽为(70-2x)cm的矩形,由题意可得方程(80-2x)(70- 2x)=3 000.,3.(2016浙江台州,8,4分)有x支球队参加篮球比赛,共比赛了45场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合 题意的是 ( ) A. x(x-1)=45 B. x(x+1)=45 C.x(x-1)=45

18、D.x(x+1)=45,答案 A 由题意,每队与其他的(x-1)队比赛一场,则每队比赛(x-1)场,又任何两队只比赛一场,故总比赛场 数为 x(x-1), x(x-1)=45.故选A.,4.(2019安徽,17,8分)为实施乡村振兴战略,解决某山区老百姓出行难问题,当地政府决定修建一条高速公路. 其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后,乙工程队 加入,两工程队又联合工作了1天,这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米,按此速度完 成这项隧道贯穿工程,甲乙两个工程队还需联合工作多少天?,解析 设甲工程队每天掘进x米,乙工程队每天掘进

19、y米,根据题意有 解得 所以(146-26)(7+5)=10(天). 答:甲乙两个工程队还需联合工作10天. (8分),一题多解 设乙工程队每天掘进x米,则甲工程队每天掘进(x+2)米,由题意可得2(x+2)+(x+x+2)=26, 解得x=5. 所以乙工程队每天掘进5米,甲工程队每天掘进7米. 因为剩下的工程还有146-26=120(米), 所以甲乙还需要联合工作 =10(天). 答:甲乙两个工程队还需联合工作10天.,5.(2016重庆,23,10分)近期猪肉价格不断走高,引起了民众与政府的高度关注.当市场猪肉的平均价格达到 一定的单价时,政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格. (1)从今年年

20、初至5月20日,猪肉价格不断走高,5月20日比年初价格上涨了60%.某市民在今年5月20日购买 2.5千克猪肉至少要花100元钱,那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元? (2)5月20日猪肉价格为每千克40元.5月21日,某市决定投入储备猪肉,并规定其销售价在5月20日每千克40 元的基础上下调a%出售.某超市按规定价出售一批储备猪肉,该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元 的情况下,该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%,且储备猪肉的销量占总销量的 ,两种猪肉销售的 总金额比5月20日提高了 a%,求a的值.,解析 (1)设今年年初的猪肉价格为每千克x元. 根据题意,得2.5(1+

21、60%)x100. (3分) 解这个不等式,得x25. 今年年初猪肉的最低价格为每千克25元. (4分) (2)设5月20日该超市两种猪肉的销售量为1,根据题意,得 40 (1+a%)+40(1-a%) (1+a%)=40 . 令a%=y, 原方程可化为40 (1+y)+40(1-y) (1+y) =40 . (7分) 整理这个方程,得5y2-y=0.解这个方程,得y1=0,y2=0.2. a1=0(不合题意,舍去),a2=20. (9分),a的值是20. (10分),思路分析 (1)设今年年初的猪肉价格为每千克x元,根据题意列出一元一次不等式,解不等式即可;(2)设5月 20日两种猪肉的总销

22、量为1,根据题意列出方程,解方程即可.,解题关键 根据题意列出不等式和方程是解决问题的关键.,考点一 一元一次方程及其应用 1.(2019福建,8,4分)增删算法统宗记载:“有个学生资性好,一部孟子三日了,每日增添一倍多,问君每日 读多少?”其大意是:有个学生天资聪慧,三天读完一部孟子,每天阅读的字数是前一天的两倍,问他每 天各读多少个字?已知孟子一书共有34 685个字,设他第一天读x个字,则下面所列方程正确的是 ( ) A.x+2x+4x=34 685 B.x+2x+3x=34 685 C.x+2x+2x=34 685 D.x+ x+ x=34 685,C组 教师专用题组,答案 A 由题意

23、知第二天读2x个字,第三天读4x个字, 则x+2x+4x=34 685.故选A.,解题关键 本题考查了一元一次方程的应用.解题的关键是找出等量关系,并能用含未知数的代数式表示 出第二天,第三天的读字量.,2.(2016浙江杭州,6,3分)已知甲煤场有煤518吨,乙煤场有煤106吨,为了使甲煤场存煤数是乙煤场的2倍,需要 从甲煤场运煤到乙煤场.设从甲煤场运x吨煤到乙煤场,则可列方程为( ) A.518=2(106+x) B.518-x=2106 C.518-x=2(106+x) D.518+x=2(106-x),答案 C 首先表示出甲、乙煤场变化后煤的吨数,再找到等量关系:甲煤场现有煤吨数=乙煤

24、场现有煤吨 数2,所以列方程为518-x=2(106+x),故选C.,评析 本题考查列一元一次方程解应用题,关键是找准等量关系,可以列表来分析数量关系.,3.(2018湖北武汉,9,3分)将正整数1至2 018按一定规律排列如下表:,平移表中带阴影的方框,方框中三个数的和可能是 ( ) A.2 019 B.2 018 C.2 016 D.2 013,答案 D 设方框中间的数为x,则另外两个数分别为x-1、x+1,这三个数之和为(x-1)+x+(x+1)=3x. 四个选项中,2 018不是3的倍数,舍去;令3x=2 019,解得x=673,但673=848+1,阴影方框中间的数不可能出现 在最左

25、侧,2 019不符合题意,舍去;令3x=2 016,解得x=672,但672=848,阴影方框中间的数不可能出现在最 右侧,2 016不符合题意,舍去;令3x=2 013,解得x=671,671=838+7,可以通过平移阴影方框得到,方框 中三个数的和可能为2 013.故选D.,4.(2017湖南长沙,11,3分)中国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载:“三百七十八里关,初日健步 不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意是:有人要去某关口,路程为378里,第一天健步行走,从第 二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到达目的地,则此人第六天走的路程为 ( ) A

26、.24里 B.12里 C.6里 D.3里,答案 C 设第一天走了x里,根据题意可得x =378,解得x=192,故第六天走的路程为 192=6里.,解题关键 解决此类问题的关键是读懂题意,从题中找出等量关系,列出方程,求解即可.,5.(2018湖北襄阳,13,3分)我国古代数学著作九章算术中有一道阐述“盈不足术”的问题,译文为:“现 有几个人共同购买一个物品,每人出8元,则多3元;每人出7元,则差4元.问这个物品的价格是多少元?”该物 品的价格是 元.,答案 53,解析 采用间接设元的方法求解,设共同购买该物品的有x个人,则根据物品价格不变,列得方程8x-3=7x+4, 解得x=7,故该物品的

27、价格是87-3=53(元).,6.(2018山东菏泽,14,3分)一组“数值转换机”按下面的程序计算,如果输入的数是36,则输出的结果为106, 要使输出的结果为127,则输入的最小正整数是 .,答案 15,解析 当3x-2=127时,x=43;当3x-2=43时,x=15; 当3x-2=15时,x= ,不是整数.所以输入的最小正整数为15.,7.(2018安徽,16,8分)孙子算经中有这样一道题,原文如下: 今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽.问:城中家几何? 大意为: 今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完.问:城中有多少户人家? 请解答

28、上述问题.,解析 设城中有x户人家,根据题意得, x+ =100, 解得x=75. 答:城中有75户人家. (8分),考点二 一元二次方程 1.(2019内蒙古呼和浩特,8,3分)若x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根,则 -4 +17的值为 ( ) A.-2 B.6 C.-4 D.4,答案 A x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根,x1+x2=-1, =-x1+3, =-x2+3. -4 +17=x2(-x2+ 3)-4(-x1+3)+17=- +3x2+4x1-12+17=4(x1+x2)+2=-4+2=-2,故选A.,2.(2017四川绵阳,7,3分)关于

29、x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则nm的值为 ( ) A.-8 B.8 C.16 D.-16,答案 C 由一元二次方程根与系数的关系得 解得m=2,n=-4,故nm=(-4)2=16,故选C.,3.(2015甘肃兰州,6,4分)一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为 ( ) A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x-4)2=17 D.(x-4)2=15,答案 C 变形得x2-8x=1,配方得x2-8x+16=1+16,即(x-4)2=17,故选C.,4.(2016内蒙古呼和浩特,10,3分)已知a2,m2-2am+2=0,n2-2an+2=0,则(m-1)

30、2+(n-1)2的最小值是 ( ) A.6 B.3 C.-3 D.0,答案 A 由题意知m,n可看作一元二次方程x2-2ax+2=0的两个实数根,所以m+n=2a,mn=2. 则(m-1)2+(n-1)2=m2+n2-2(m+n)+2 =(m+n)2-2(mn+m+n)+2 =4a2-4a-2 =4 -3. 因为a2,所以当a=2时,4 -3有最小值6, 即(m-1)2+(n-1)2的最小值是6.故选A.,思路分析 根据已知条件得到m,n是关于x的方程x2-2ax+2=0的两个根,根据根与系数的关系得到m+n=2a, mn=2,于是得到(m-1)2+(n-1)2=4 -3,又a2,故当a=2时

31、,(m-1)2+(n-1)2有最小值,代入即可得到结论.,解题关键 本题考查了根与系数的关系,二次函数的最值.熟练掌握根与系数的关系是解题的关键.,5.(2019内蒙古呼和浩特,19,6分)用配方法求一元二次方程(2x+3)(x-6)=16的实数根.,解析 原方程可化为2x2-9x-34=0, x2- x-17=0, x2- x=17, x2- x+ =17+ , = , x- = , x1= ,x2= .,6.(2018内蒙古呼和浩特,23,7分)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个实数根x1,x2,请你用配方 法探索有实数根的条件,并推导出求根公式,证明x1x2= .

32、,解析 ax2+bx+c=0(a0),x2+ x=- , x2+ x+ =- + , = , 4a20,当b2-4ac0时,方程有实数根. x+ = . 当b2-4ac0时,x1= ,x2= , x1x2= = = = ; 当b2-4ac=0时,x1=x2=- , x1x2= = = = .,综上,证得x1x2= .,考点三 根的判别式 1.(2019河南,6,3分)一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根,答案 A 将一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3整理得,x2-2x-4=0

33、,=b2-4ac=200,所以此一元二次方程有两个 不相等的实数根,故选A.,2.(2018河南,7,3分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是 ( ) A.x2+6x+9=0 B.x2-x=0 C.x2-2x+3=0 D.(x-1)2+1=0,答案 B 选项A,=0,方程有两个相等的实数根;选项B,=10,方程有两个不相等的实数根;选项C,=-8 0,方程无实数根;选项D,(x-1)2=-1无实数根.故选B.,3.(2018云南昆明,8,4分)关于x的一元二次方程x2-2 x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 ( ) A.m3 C.m3 D.m3,答案 A 由题意知=b

34、2-4ac=12-4m0,解得m3,故选A.,4.(2018内蒙古包头,9,3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根 都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3,答案 B 关于x的方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,=b2-4ac=4-4(m-2)0,m3. m为正整数,m=1或2或3. 当m=1时,方程x2+2x-1=0的两根不是整数,不满足题意. 当m=2或3时,满足题意,2+3=5.故选B.,5.(2016湖南长沙,14,3分)若关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根,则实数m

35、的取值范围是 .,答案 m-4,解析 一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根,0,即 b2-4ac=(-4)2-41(-m)=16+4m0,解得m -4.,6.(2017北京,21,5分)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0. (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若方程有一个根小于1,求k的取值范围.,解析 (1)证明:依题意,得=-(k+3)2-4(2k+2)=(k-1)2. (k-1)20, 方程总有两个实数根. (2)由求根公式,得x= , x1=2,x2=k+1. 方程有一个根小于1,k+11,k0, 即k的取值范围是k0.,考点四 一元二次方程的应用

36、1.(2018四川绵阳,8,3分)在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,则参加酒会的人数为 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12,答案 C 设参加酒会的人数为x,依题意可得 x(x-1)=55,化简得x2-x-110=0,解得x1=11,x2=-10(舍去),故选C.,2.(2017安徽,8,4分)一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x,则x满足 ( ) A.16(1+2x)=25 B.25(1-2x)=16 C.16(1+x)2=25 D.25(1-x)2=16,答案 D 第一次降价后的单价为25(1-x)元,第二次降价后的单价为2

37、5(1-x)2元,25(1-x)2=16,故选D.,3.(2018新疆乌鲁木齐,9,4分)宾馆有50间房供游客居住.当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房 每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用. 当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10 890元?设房价定为x元,则有 ( ) A.(180+x-20) =10 890 B.(x-20) =10 890 C.x -5020=10 890 D.(x+180) -5020=10 890,答案 B 当房价定为x元时,空闲的房间有 个,所以有游客居住的房间有 个,则宾馆当天 的利润

38、为 (x-20)元,故B正确.,思路分析 先求出房价定为x元时有游客居住的房间数,而每间房的利润就是房价减去支出的20元,从而得 出宾馆当天的利润并列出等式.,4.(2019山西,13,3分)如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路 各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意,可列 方程为 .,答案 (12-x)(8-x)=77(或x2-20x+19=0),解析 由题意得(12-x)(8-x)=77,变形可得x2-20x+19=0.,思路分析 把两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩

39、下的部分为一个长方形,根据长方形的面 积公式列出方程.,5.(2019重庆A卷,24,10分)某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅,50平方米住宅套数是80平方 米住宅套数的2倍.物管公司每月底按每平方米2元收取当月物管费,该小区全部住宅都入住且每户均按时 全额缴纳物管费. (1)该小区每月可收取物管费90 000元,问该小区共有多少套80平方米的住宅? (2)为建设“资源节约型社会”,该小区物管公司5月初推出活动一:“垃圾分类送礼物”,50平方米和80平 方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动.为提高大家的积极性,6月份准备把活动一升级为活动二: “垃圾分类抵扣物管费”,同

40、时终止活动一.经调查与测算,参加活动一的住户会全部参加活动二,参加活动 二的住户会大幅增加,这样,6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上 将增加2a%,每户物管费将会减少 a%;6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户 数的基础上将增加6a%,每户物管费将会减少 a%.这样,参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比 他们按原方式共缴纳的物管费将减少 a%,求a的值.,解析 (1)设该小区共有x套80平方米的住宅,则有2x套50平方米的住宅,根据题意, 得280x+2502x=90 000, 解这个方程,得x=250. 答:该小区共有250

41、套80平方米的住宅. (4分) (2)6月份参加活动的50平方米这部分住户将减少的物管费是 50040%(1+2a%)502 a%=20 000(1+2a%) a%(元), 6月份参加活动的80平方米这部分住户将减少的物管费是 25020%(1+6a%)802 a%=8 000(1+6a%) a%(元), 6月份参加活动的这部分住户将减少的物管费是 50040%(1+2a%)502+25020%(1+6a%)802 a%(元), 即20 000(1+2a%)+8 000(1+6a%) a%(元).,根据题意,得20 000(1+2a%) a%+8 000(1+6a%) a%=20 000(1+

42、2a%)+8 000(1+6a%) a%. (8分) 设a%=m, 化简,得2m2-m=0. 解这个方程,得m1= ,m2=0(舍).a=50. 答:a的值是50. (10分),解题关键 本题数据较多,分清楚题目中的数量关系,根据等量关系列出方程是解题的关键.,6.(2018重庆,23,10分)在美丽乡村建设中,某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造. (1)原计划今年1至5月,村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米,其中道路硬化的里程数至少是道路拓 宽的里程数的4倍,那么,原计划今年1至5月,道路硬化的里程数至少是多少千米? (2)到今年5月底,道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计

43、划完成,且道路硬化的里程数正好是原计划的最 小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米,每千米的道路硬化和 道路拓宽的经费之比为12,且里程数之比为21.为加快美丽乡村建设,政府决定加大投入.经测算:从今年 6月起至年底,如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%(a0),并全部用于道路硬化和道路拓宽,而每 千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%,5a%,那么道路硬化和道路拓宽的里程 数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%,8a%,求a的值.,解析 (1)设今年1至5月道路硬化的里程数为x千米, 根据题意,得x4(50-

44、x). (2分) 解得x40. 答:今年1至5月道路硬化的里程数至少为40千米. (4分) (2)因为2017年道路硬化与道路拓宽的里程数共45千米,它们的里程数之比为21,所以,道路硬化的里程数 为30千米,道路拓宽的里程数为15千米. 设2017年道路硬化每千米的经费为y万元,则道路拓宽每千米的经费为2y万元. 由题意,得30y+152y=780, 解得y=13. 所以,2017年每千米道路硬化的经费为13万元,每千米道路拓宽的经费为26万元. (5分) 根据题意,得 13(1+a%)40(1+5a%)+26(1+5a%)10(1+8a%)=780(1+10a%). (8分) 令a%=t,

45、原方程可化为,520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t). 整理得10t2-t=0. 解得t1=0,t2=0.1. a%=0(舍去)或a%=0.1. a=10. 答:a的值是10. (10分),25分钟 50分,一、选择题(每小题3分,共24分),1.(2019唐山古冶一模,10)已知关于x的方程x2+mx+1=0的根的判别式的值为5,则m的值为 ( ) A.3 B.3 C.1 D.1,答案 A 关于x的方程x2+mx+1=0的根的判别式的值为5, =m2-411=5,解得m=3.故选A.,2.(2019保定南市一模,4)若关于x的一元二次方程x2-2x

46、+m=0有两个不相等的实数根,则m的值可以是 ( ) A.-1 B.1 C.3 D.5,答案 A 关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根, =(-2)2-41m=4-4m0,解得m1.故选A.,3.(2019石家庄十八县二模,13)某市在城区内某一段道路的一侧全部栽上梧桐树,要求路的两端各栽一棵,并 且每相邻两棵树的间隔相等,若每隔4米栽1棵,则树苗缺21棵;若每隔5米栽一棵,则树苗正好用完.设原有树 苗x棵,根据题意列方程,正确的是 ( ) A.4(x+21-1)=5(x-1) B.4(x+21)=5(x-1) C.4(x+21-1)=5x D.4(x+21)=5x,答案

47、 A 根据题意可得4(x+21-1)=5(x-1),故选A.,4.(2019唐山路北一模,14)某药品经过两次降价,每瓶零售价由168元降为108元,已知两次降价的百分率相 同.设每次降价的百分率为x,根据题意列方程得 ( ) A.168(1+x)2=108 B.168(1-x)2=108 C.168(1-2x)=108 D.168(1-x2)=108,答案 B 根据题意得168(1-x)2=108.故选B.,5.(2019保定竞秀一模,4)下列方程中,没有实数根的是 ( ) A.x2-6x+9=0 B.x2-2x+3=0 C.x2-x=0 D.(x+2)(x-1)=0,答案 B 选项A,=(

48、-6)2-49=0,所以方程有两个相等的实数根;选项B,=(-2)2-430,所以方程有两个不相等的实数根;选项D,方程的两个实数根为x1=-2,x2=1.故选B.,6.(2018邯郸一模,8)用配方法解一元二次方程2x2-4x-2=1的过程中,变形正确的是 ( ) A.2(x-1)2=1 B.2(x-2)2=5 C.(x-1)2= D.(x-2)2=,答案 C 2x2-4x-2=1,2x2-4x=3,2x2-4x+2=5,2(x-1)2=5,(x-1)2= ,故选C.,7.(2018承德兴隆期末,12)如图,某小区有一块长为18 m,宽为6 m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩 形绿地,绿地的面积之和为60 m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若设人行道的宽度为x m, 则可以列关于x的方程是