2020年广东中考数学复习课件§4.3　等腰三角形与直角三角形.pptx

1、考点一 等腰三角形,A组 20152019年广东中考题组,1.(2019深圳,8,3分)如图,已知AB=AC,AB=5,BC=3,以A,B两点为圆心,大于 AB的长为半径画圆,两弧相交于 点M,N,连接MN与AC相交于点D,则BDC的周长为( ) A.8 B.10 C.11 D.13,思路分析 由题得MN是AB的垂直平分线,根据垂直平分线的性质得CBDC=BC+CA,即可求出BDC的周长.,答案 A 由题可知,MN垂直平分AB,BD=AD,CBDC=BC+CD+DB=BC+CD+DA=BC+AC,AC=AB=5, BC=3,CBDC=3+5=8,故选A.,2.(2017深圳,8,3分)如图,已

2、知线段AB,分别以A,B为圆心,大于 AB为半径作弧,连接弧的交点得到直线l,在直 线l上取一点C,使得CAB=25,延长AC至M,则BCM的度数为( ) A.40 B.50 C.60 D.70,答案 B 由作法知直线l是线段AB的垂直平分线,点C在直线l上,AC=BC,B=CAB=25,BCM= 50,故选B.,3.(2015广州,10,3分)已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形 ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为 ( ) A.10 B.14 C.10或14 D.8或10,答案 B 把x=2代入方程得m=4,解方程x2-8x+12=0

3、得x1=2,x2=6.当6是腰长,2是底边长时,周长是6+6+2=14; 当2是腰长,6是底边长时,2+26,不能构成三角形, ABC的周长是14,故选B.,思路分析 先利用方程的根x=2求m的值,再解方程求另一根,最后分类讨论求三角形的周长.,易错警示 不考虑三角形的三边关系,错选C.,4.(2019广州,24,14分),如图,等边ABC中,AB=6,点D在BC上,BD=4.点E为边AC上一动点(不与点C重合),CDE关于DE对称的图 形为FDE. (1)当点F在AC上时,求证:DFAB; (2)设ACD的面积为S1,ABF的面积为S2,记S=S1-S2,S是否存在最大值?若存在,求出S的最

4、大值;若不存在,请说明理由; (3)当B,F,E三点共线时,求AE的长.,解析 (1)证明:ABC是等边三角形, A=B=C=60, 由CDE关于DE对称的图形为FDE可知DF=DC,又点F在AC上,DFC=C=60,DFC=A,DF AB. (2)存在. 如图,过点D作DMAB,交AB于点M, BC=AB=6,BD=4,CD=2,DF=2, 点F在以D为圆心,DF为半径的圆上, 当点F在DM上时,S2最小, BD=4,DMAB,ABC=60,MD=2 ,S2的最小值= 6(2 -2)=6 -6, S1= 23 =3 , S最大值=3 -(6 -6)=6-3 .,(3)如图,过点D作DGEF于

5、点G,过点E作EHCD于点H, CDE关于DE的轴对称图形为FDE, DF=DC=2,EFD=C=60, GDEF,FG=1,DG= ,BD2=BG2+DG2,16=BG2+3,BG= , EHBC,C=60,CH= ,EH= EC, GBD=EBH,BGD=BHE=90, BGDBHE, = , = , EC= -1,AE=AC-EC=7- .,思路分析 (1)由对称的性质和等边三角形的性质可得DFC=A,可证DFAB. (2)过点D作DMAB,交AB于点M,由题意可得点F在以D为圆心,DF为半径的圆上,由ACD的面积S1的值是 定值,可得当点F在DM上时,SABF最小,S最大. (3)过点

6、D作DGEF于点G,过点E作EHCD于点H,由勾股定理可求BG的长,通过证明BGDBHE,可 求EC的长,即可求AE的长.,5.(2018广东,19,6分)如图,BD是菱形ABCD的对角线,CBD=75. (1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不要求写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,连接BF,求DBF的度数.,解析 (1)如图所示,直线EF即为所求. (2)BD是菱形ABCD的对角线, ABD=CBD=75,A=30, 由(1)知EF是线段AB的垂直平分线, FBA=A=30, DBF=DBA-FBA=75-30=45.,解后反思 本题考查了线段垂

7、直平分线的尺规作图,菱形的性质,等腰三角形的性质及三角形内角和定理 的综合运用.,6.(2017广东,20,7分)如图,在ABC中,AB. (1)作边AB的垂直平分线DE,与AB、BC分别相交于点D、E(用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法); (2)在(1)的条件下,连接AE,若B=50,求AEC的度数.,解析 (1)如图所示,直线DE即为所求. (2)直线ED是线段AB的垂直平分线, AE=BE,EAB=B.B=50,EAB=50. AEC=EAB+B,AEC=100.,7.(2018广州,23,12分)如图,在四边形ABCD中,B=C=90,ABCD,AD=AB+CD. (1)利用尺规

8、作ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法); (2)在(1)的条件下, 证明:AEDE; 若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.,解析 (1)如图所示. (2)证明:如图,延长DE、AB相交于点F. ABC=C=90,ABC+C=180.ABCD.CDE=F.DE平分ADC,ADE=CDE. ADE=F.AD=AF=AB+BF.又AD=AB+CD,AB+BF=AB+CD.BF=CD. 在CED和BEF中,CEDBEF.DE=EF.又AD=AF,AEDE.,如图,作DHAB于点H,作点N关于AE的对称点N,连接MN,BM,则MN

9、=MN.BM+MN=BM+MN.由可得,AD=AF,DE=EF,AE平分DAB. 点N在AD上.当点B,M,N共线且BNAD时,BM+MN有最小值,即BM+MN有最小值. 在RtADH中,AD=AB+CD=6,AH=AB-BH=2,由勾股定理可得,DH= = =4 . DHA=BNA=90,DAH=BAN,DAHBAN. = . = .BN= ,BM+MN的最小值为 .,思路分析 (1)利用基本作图“作已知角的平分线”,按照题目的作图要求作图; (2)延长DE、AB相交于点F,由“角平分线、平行线”可以得出“等腰三角形ADF”,再结合“AD=AB+ CD”,利用全等证得DE=EF,然后由“等腰

10、三角形三线合一”证得AEDE;利用轴对称转化BM+MN,再 利用垂线段最短分析得出BN的长即为所求,利用相似三角形求出BN的长.,考点二 直角三角形,1.(2017广州,20,10分),如图,在RtABC中,B=90,A=30,AC=2 . (1)利用尺规作线段AC的垂直平分线DE,垂足为E,交AB于点D;(保留作图痕迹,不写作法) (2)若ADE的周长为a,先化简T=(a+1)2-a(a-1),再求T的值.,解析 (1)如图. (2)T=(a+1)2-a(a-1)=a2+2a+1-a2+a=3a+1, AE= AC= 2 = ,AD= = =2, DE=ADsin A=2 =1,a= +1+

11、2=3+ , T=3(3+ )+1=3 +10.,2.(2016广东,21,7分)如图,RtABC中,B=30,ACB=90,CDAB交AB于D.以CD为较短的直角边向 CDB的同侧作RtDEC,满足E=30,DCE=90,再用同样的方法作RtFGC,FCG=90,继续用同 样的方法作RtHIC,HCI=90.若AC=a,求CI的长.,解析 RtABC中,B=30,ACB=90,A=60. CDAB,ADC=90,ACD=30. AC=a, RtADC中,AD= AC= , CD= AD= a. 同理可得,RtDFC中,DF= CD= a, CF= DF= a. RtFHC中,FH= CF=

12、a, CH= FH= a, RtCHI中,CI= CH= a.,评析 本题考查直角三角形的基本性质与运算.,考点一 等腰三角形,B组 20152019年全国中考题组,1.(2017内蒙古包头,6,3分)若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为 ( ) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm,答案 A 当腰长为2 cm时,底边长为6 cm,但是2+2=46,即两边之和小于第三边,不合题意;当底边长 2 cm时,腰长为4 cm,符合题意,故选A.,2.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂

13、直平分线上.在证明该结论 时,需添加辅助线,则作法不正确的是 ( ) A.作APB的平分线PC交AB于点C B.过点P作PCAB于点C且AC=BC C.取AB中点C,连接PC D.过点P作PCAB,垂足为C,答案 B 无论作APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PCAB,垂足为C,都 可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B.,3.(2017天津,11,3分)如图,在ABC中,AB=AC,AD,CE是ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线 段的长等于BP+EP最小值的是 ( ) A.BC B.CE C.AD D.AC,答案 B

14、 如图,连接PC,AB=AC,BD=CD,ADBC, PB=PC, PB+PE=PC+PE,PE+PCCE, 当P、C、E三点共线时,PB+PE的值最小,最小值为CE,故选B.,思路分析 先证PB=PC,从而可得当P、C、E三点共线时,PB+PE的值最小,最小值为CE.,4.(2019辽宁大连,13,3分)如图,ABC是等边三角形,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD.AB=2,则AD的长为 .,答案 2,解析 ABC是等边三角形,AB=2, BC=CA=AB=2,ABC=BCA=BAC=60. CA=CD=2,CAD=D,BD=CB+CD=4, ACB=CAD+D,2D=ACB=60, D

15、=60 =30, BAD=180-B-D=180-60-30=90. 在RtABD中, AD= = =2 , 故答案为2 .,5.(2019黑龙江齐齐哈尔,16,3分)等腰ABC中,BDAC,垂足为点D,且BD= AC,则等腰ABC底角的度数 为 .,答案 15或45或75,解析 如图,当BA=BC时, BDAC,AD=CD= AC, BD= AC,AD=BD=CD, A=C= (180-90)=45. 如图,当AB=AC且A为锐角时,BD= AC= AB,A=30,ABC=ACB=75.,如图,当AB=AC且BAC为钝角时,BD= AC= AB, BAD=30, ABC=ACB= 30=15

16、. 同理,当BC=AC时,可求得CBA=CAB=75或15. 故答案为15或45或75.,方法点拨 等腰三角形中没有指明顶角、底角或者没有指明底边、腰的都需要分类讨论.,6.(2017北京,19,5分)如图,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于点D. 求证:AD=BC.,证明 AB=AC,A=36,ABC=C=72. BD平分ABC,ABD=36,ABD=A, AD=BD. BDC=A+ABD=72,BDC=C, BD=BC,AD=BC.,考点二 直角三角形,1.(2019湖北黄冈,7,3分),如图,一条公路的转弯处是一段圆弧( ),点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40 m

17、,点C是 的中点,点D是AB 的中点,且CD=10 m.则这段弯路所在圆的半径为 ( ) A.25 m B.24 m C.30 m D.60 m,答案 A 连接OD,因为点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点,所以O、D、C三点共线.BD= AB=20 m, 设OB=x m,则OD=(x-10)m,在RtOBD中,OD2+BD2=OB2,即(x-10)2+202=x2,解得x=25,故选A.,思路分析 连接OD,利用点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点及弦心距的性质将问题转化到直角三角 形中,然后由勾股定理求出.,2.(2018内蒙古包头,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点

18、D,E分别在BC,AC上,且DAE=90,AD= AE.若C+BAC=145,则EDC的度数为 ( ) A.17.5 B.12.5 C.12 D.10,答案 D AB=AC,B=C.B=180-(C+BAC)=35,C=35.DAE=90,AD=AE, AED=ADE=45,EDC=AED-C=45-35=10.故选D.,3.(2017陕西,6,3分)如图,将两个大小、形状完全相同的ABC和ABC拼在一起,其中点A与点A重合,点C 落在边AB上,连接BC.若ACB=ACB=90,AC=BC=3,则BC的长为( ) A.3 B.6 C.3 D.,答案 A 由题意得ABC与ABC全等且均为等腰直角

19、三角形,AC=BC=3,AB=3 ,AB=3 ,在 ABC中,易知CAB=90,ABC是直角三角形,BC= =3 .,4.(2015北京,6,3分)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2 km,则 M,C两点间的距离为 ( ) A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km,答案 D ACBC,M是AB的中点,MC= AB=AM=1.2 km.故选D.,5.(2019北京,12,2分)如图所示的网格是正方形网格,则PAB+PBA= (点A,B,P是网格线交点).,答案 45,解析 如图,延长AP到C,连接BC.易证PBC是等

20、腰直角三角形.CPB=45.PAB+PBA=45.,6.(2016北京,23,5分)如图,在四边形ABCD中,ABC=90,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN. (1)求证:BM=MN; (2)若BAD=60,AC平分BAD,AC=2,求BN的长.,解析 (1)证明:在ABC中,ABC=90,M为AC的中点, BM= AC. N为CD的中点,MN= AD. AC=AD,BM=MN. (2)BAD=60,AC平分BAD, BAC=CAD=30. 由BM=AM,可得BMC=2BAC=60. 由题意得MNAD,可得CMN=CAD=30. BMN=BMC+CMN=90. A

21、D=AC=2, BM= AC=1,MN= AD=1. 在RtBMN中,BN= = .,考点一 等腰三角形,C组 教师专用题组,1.(2019吉林长春,7,3分)如图,在ABC中,ACB为钝角,用直尺和圆规在边AB上确定一点D,使ADC= 2B,则符合要求的作图痕迹是 ( ),答案 B 选项B中作的是线段BC的垂直平分线,则DB=DC,B=DCB,ADC=B+DCB=2B.,思路分析 利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,找出与B相等的角,利用三角形外角 与内角的关系分析.,2.(2015福建龙岩,8,4分)如图,在边长为 的等边三角形ABC中,过点C垂直于BC的直线交ABC的平分线

22、 于点P,则点P到边AB所在直线的距离为 ( ) A. B. C. D.1,答案 D 由题意可得,PBC=30,在RtPBC中,PC=BCtan 30=1,因为BP是ABC的平分线,所以点P到 AB的距离等于点P到BC的距离,即为1,故选D.,3.(2015江苏苏州,7,3分)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC中点,BAD=35,则C的度数为 ( ) A.35 B.45 C.55 D.60,答案 C AB=AC,D为BC的中点,CAD=BAD=35,ADDC,在ADC中,C=90-DAC=55, 故选C.,4.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,B

23、C的中点,EFAC于点F,G为EF的中 点,连接DG,则DG的长为 .,答案,解析 连接DE,在等边ABC中, D、E分别是AB、BC的中点, DEAC,DE=EC= AC=2.DEB=C=60. EFAC,EFC=90. FEC=30,EF= .DEG=180-60-30=90. G是EF的中点,EG= . 在RtDEG中,DG= = = .,疑难突破 本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线定理求线段DG的长,DG与图中 的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股定理求出DG的长.,思路分析 连接DE,根据题意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的

24、度数,判断出DEG是直角三角形, 再根据勾股定理即可求解DG的长.,5.(2016黑龙江哈尔滨,17,3分)在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,AC=3,点P为边BC的三等分点,连接AP, 则AP的长为 .,答案 或,解析 当CP=1时,根据勾股定理得AP= = = ;当CP=2时,根据勾股定理得AP= = = ,故AP的长为 或 .,6.(2015福建龙岩,16,3分)我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四 边形的腰点(如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点),则正方形的腰点共有 个.,答案 9,解析 如图,(1)连接两条对角线,对角线的交点是正方形的一个腰点;

25、(2)分别以四个顶点为圆心,以正方形 的边长为半径画圆,除顶点外,共有8个交点,这8个点也是腰点.综上,正方形共有9个腰点.,7.(2017湖北武汉,15,3分)如图,在ABC中,AB=AC=2 ,BAC=120,点D,E都在边BC上,DAE=60.若BD= 2CE,则DE的长为 .,答案 3 -3,解析 如图,将ABD沿AD翻折得AFD,连接EF, AB=AF=AC,BD=DF,AFD=B=30, BAC=120,DAE=60,BAD+CAE=60, 又BAD=FAD,FAD+CAE=60,CAE=FAE, ACEAFE(SAS),CE=EF,AFE=C=30, DFE=60. 过点E作EH

26、DF,交DF于点H,过点A作AMBC,交BC于点M. 设CE=2x(x0), 则BD=2CE=4x,EF=2x,DF=4x,FH=x,EH= x,DH=3x, 又BC=2BM=2ABcos 30=6,DE=6-6x, 在RtDEH中,DE2=DH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+( x)2, 解得x1= ,x2= (舍去).DE=6-6x=3 -3.,一题多解 将ABD绕点A逆时针旋转120得ACF,连接EF,CF=BD.可证ADEAFE,DE=EF. ACD=B=30,FCE=60. 过点E作EHCF,交CF于点H,设CE=2x, 则BD=4x,CH=x,CF=4x,FH=3x,EH

27、= x. 过点A作AMBC,交BC于点M, 则BC=2CM=2ACcos 30=22 =6, FE=DE=6-6x, 在RtEFH中,FE2=FH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+( x)2, 解得x1= ,x2= (舍去).DE=6-6x=3 -3.,8.(2019重庆A卷,20,10分)如图,在ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD.BE平分ABC交AC于点E, 过点E作EFBC交AB于点F. (1)若C=36,求BAD的度数; (2)求证:FB=FE.,解析 (1)AB=AC,ABC=C.又D是BC的中点, AD平分BAC,即BAD= BAC. C=36,BAC=18

28、0-2C=180-236=108. BAD=54. (2)证明:BE平分ABC,FBE=EBD. EFBC,FEB=EBD, FBE=FEB.FB=FE.,9.(2019河南,22,10分)在ABC中,CA=CB,ACB=.点P是平面内不与点A、C重合的任意一点,连接AP,将 线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP,连接AD,BD,CP. (1)观察猜想 如图1,当=60时, 的值是 ,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 . (2)类比探究 如图2,当=90时,请写出 的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数,并就图2的情形说明理由. (3)解决问题 当=90时,若点E、F分别是C

29、A、CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时 的值.,解析 (1)1;60.(注:若填为60,不扣分) 如图,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O. 由题意得PAD=CAB=60,CAP=BAD, CA=BA,PA=DA,CAPBAD(SAS), PC=BD,ACP=ABD, AOC=BOE,BEO=CAO=60, =1,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60. (2) ,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45.,(注:若没写出,但后续证明正确,不扣分) 理由如下: ACB=90,CA=CB,CAB=45, = . 同理可得:PAD=45,

30、= . = ,CAB=PAD. CAB+DAC=PAD+DAC,即DAB=PAC. DABPAC. = = ,DBA=PCA. 设BD交CP于点G,BD交CA于点H. BHA=CHG,CGH=BAH=45. (3) 的值为2+ 或2- . 注:若把2- 写为 ,不扣分 提示:分两种情况.如图,可设CP=a,则BD= a.设CD与AB交于点Q,则PQ=CP=a.可证DQB=DBQ=,67. 5,则DQ=BD= a,易得AD= PD=2a+ a,所以 =2+ . 如图,可设AP=DP=b,则AD= b.由EFAB,得PEA=CAB=45,可证ECD=EAD=22.5,CD=AD = b,CP= b

31、+b,所以 =2- . 图,图,思路分析 (1)当=60时,可得ABC、APD为等边三角形,由旋转证得APCADB,可得结论;(2)当 =90时,在RtPAD,RtCAB中, = = ,DAB=PAC,可证DABPAC,可得结论;(3)以AC为直 径作圆交直线EF于点P,则点P即为所求作的点,分情况画出图形,可求出答案.,10.(2019吉林,24,8分)性质探究 如图,在等腰三角形ABC中,ACB=120,则底边AB与腰AC的长度之比为 . 理解运用 (1)若顶角为120的等腰三角形的周长为8+4 ,则它的面积为 ; (2)如图,在四边形EFGH中,EF=EG=EH. 求证:EFG+EHG=

32、FGH;,在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN.若FGH=120,EF=10,直接写出线段MN的长. 类比拓展 顶角为2的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 (用含的式子表示).,解析 性质探究 .,理解运用 (1)4 . (2)证明:EF=EG=EH, EFG=EGF,EGH=EHG. EFG+EHG=EGF+EGH=FGH. 5 . 提示:由可知EFG+EHG=FGH. FGH=120,EFG+EHG=120. FEH+EFG+EHG+FGH=360,FEH=120. 连接FH. EF=EH, EFH是顶角为120的等腰三角形,由性质探究可知FH= EF.,又EF=10,FH=10

33、. M,N为FG和GH的中点, MN为FHG的中位线, MN= FH=5 .,类比拓展 2sin . 提示:如图,作ADBC于点D,BAD=,BD=ABsin , BC=2ABsin ,底边BC与腰AB的长度之比为2sin . 评分说明:结果写成 1,2sin 1不扣分.,11.(2015北京,20,5分)如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BEAC于点E. 求证:CBE=BAD.,证明 AB=AC,AD是BC边上的中线, ADBC,BAD=CAD. BEAC,BEC=ADC=90. CBE=90-C,CAD=90-C. CBE=CAD.CBE=BAD.,12.(2017北京,

34、28,7分)在等腰直角ABC中,ACB=90,P是线段BC上一动点(与点B,C不重合),连接AP,延长 BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QHAP于点H,延长交AB于点M. (1)若PAC=,求AMQ的大小(用含的式子表示); (2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明.,解析 (1)ACB是等腰直角三角形, CAB=45,PAB=45-. QHAP,AMQ=90-PAB=45+. (2)线段MB与PQ之间的数量关系为PQ= MB. 证明:连接AQ,过点M作MNBQ于点N,如图. 则MNB为等腰直角三角形,MB= MN. MQN+APQ=PAC+APQ=90, MQN=PAC,MQ

35、N=QAC, ACBQ,CQ=CP,AP=AQ,QAC=PAC. QAM=BAC+QAC=45+QAC=45+PAC=AMQ,QA=QM. RtQACRtMQN,QC=MN, PQ=2QC=2MN= MB.,解题关键 解决本题第(2)问的关键是要通过添加辅助线构造全等三角形,从而找出边与边之间的数量关 系.,13.(2015福建龙岩,24,13分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,点D以每秒1个单位长度的速度由点 A向点B匀速运动,到达B点即停止运动.M,N分别是AD,CD的中点,连接MN.设点D运动的时间为t. (1)判断MN与AC的位置关系; (2)求点D由点A向点B

36、匀速运动的过程中,线段MN所扫过区域的面积; (3)若DMN是等腰三角形,求t的值.,解析 (1)在ADC中,M是AD的中点,N是DC的中点, MNAC. (2)如图,分别取ABC三边中点E,F,G,并连接EG,FG. 根据题意可知线段MN扫过区域的面积就是AFGE的面积. AC=6,BC=8,AE=3,GC=4, ACB=90,SAFGE=AEGC=12, 线段MN所扫过区域的面积为12. (3)解法一:依题意可知,MD= AD,DN= DC,MN= AC=3. (i)当MD=MN=3时,DMN为等腰三角形,此时AD=AC=6,t=6. (ii)当MD=DN时,AD=DC,过D作DHAC交A

37、C于H, 则AH= AC=3, cos A= = ,AD=t=5. (iii)当DN=MN=3时,AC=DC.连接MC,则CMAD. cos A= = ,即 = , AM= ,AD=t=2AM= .,综上所述,当t=5或6或 时,DMN为等腰三角形. 解法二:依题意可知,MD= AD,DN= DC,MN= AC=3. (i)当MD=MN=3时,DMN为等腰三角形,此时AD=AC=6,t=6. (ii)当MD=DN时,AD=DC,DAC=ACD, ACB=90,BCD+ACD=90,B+BAC=90, B=BCD,BD=CD=AD, 在RtABC中,AB= =10, t=AD= AB=5. (i

38、ii)当DN=MN=3时,AC=DC,连接MC,则CMAB.,SACB= BCAC= ABMC,CM= . 在RtAMC中,AM= = .t=AD=2AM= . 综上所述,当t=5或6或 时,DMN为等腰三角形.,考点二 直角三角形,1.(2019贵州贵阳,9,3分)如图,在ABC中,AB=AC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交AB于点B和点D,再分别 以点B,D为圆心,大于 BD长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线CM交AB于点E,若AE=2,BE=1,则EC的长度 是 ( ) A.2 B.3 C. D.,答案 D 由作图叙述可知CEAB,AE=2,BE=1,AB=AC=3,在RtACE中

39、,CE= = ,故选D.,2.(2019山西,15,3分)如图,在ABC中,BAC=90,AB=AC=10 cm,点D为ABC内一点,BAD=15,AD= 6 cm,连接BD,将ABD绕点A按逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点为点E,连接DE,DE交AC 于点F,则CF的长为 cm.,答案 (10-2 ),解析 过点A作AGDE于点G, 由旋转的性质知AD=AE,DAE=90,CAE=BAD=15, AED=45,AFD=AED+CAE=60, 在RtADG中,AG=DG= =3 , 在RtAFG中,GF= = ,AF=2FG=2 , CF=AC-AF=10-2 .故CF的长为(1

40、0-2 )cm.,方法指导 我们经常通过观察图形将所求的角或者线段转化到直角三角形中(没有直角三角形时,设法构 造直角三角形),再利用锐角三角函数得到所求结果.,3.(2015贵州遵义,16,4分)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽 弦图”(如图(1),图(2)由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正 方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2,则S1+S2+S3= .,答案 12,解析 设AH=a,AE=b,EH=c,则c=2,所以S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a-b

41、)2=2(a2+b2)+c2=3c2=322=12.,4.(2016宁夏,14,3分)如图,RtAOB中,AOB=90,OA在x轴上,OB在y轴上,点A,B的坐标分别为( ,0),(0,1). 把RtAOB沿着AB对折得到AOB,则点O的坐标为 .,答案,解析 如图,作OCOA,垂足为C,在RtAOB中,OA= ,OB=1,AOB=90,tanBAO= ,BAO= 30,由题意可得AO=AO= ,OAB=OAB=30,OAO=60.在RtOAC中,AC=AOcos 60= , OC=AOsin 60= .OC=AO-AC= .O .,5.(2015江西南昌,14,3分)如图,在ABC中,AB=

42、BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,AOC=60,则当 PAB为直角三角形时,AP的长为 .,答案 2或2 或2 (每答对1个得1分,每答错一个扣1分,扣完为止),解析 由题意知,满足条件的点P有三个位置.如图,APB=90,因为OA=OB=2,所以OP=OA=2,又因为 AOC=60,所以POA为等边三角形,所以AP=2. 如图,APB=90,因为OA=OB=2,所以OP=OA=OB=2,又BOP=AOC=60,所以OBP为等边三角形,所 以OBP=60,所以OAP=30,所以AP=ABcosOAP=4 =2 . 如图,ABP=90,因为BOP=AOC=60, 所以BP=OBta

43、n 60=2 . 在RtABP中,AP= = = =2 . 综上所述,AP的长为2或2 或2 .,6.(2017湖南常德,14,3分)如图,已知RtABE中A=90,B=60,BE=10,D是线段AE上一动点,过D作CD交 BE于C,并使得CDE=30,则CD长度的取值范围是 .,答案 0CD5,解析 当点D与点E重合时,CD=0,当点D与点A重合时,A=90,B=60,E=30,CDE=E, CDB=B,CE=CD,CD=CB,CD= BE=5,0CD5.,7.(2018安徽,23,14分)如图1,RtABC中,ACB=90.点D为边AC上一点,DEAB于点E.点M为BD的中点, CM的延长

44、线交AB于点F. (1)求证:CM=EM; (2)若BAC=50,求EMF的大小; (3)如图2,若DAECEM,点N为CM的中点.求证:ANEM. 图1 图2,解析 (1)证明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M为斜边BD的中点,CM= BD. 又DEAB,同理,EM= BD,CM=EM. (2)由已知得,CBA=90-50=40. 又由(1)知CM=BM=EM, CME=CMD+DME=2(CBM+EBM)=2CBA=240=80,EMF=180-CME=100. (3)证明:DAECEM, CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM. 又CM=DM=EM,DM=DE=EM,DEM

45、是等边三角形, MEF=DEF-DEM=30. 证法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30, = ,又NM= CM= EM= AE, FN=FM+NM= EF+ AE= (AE+EF)= AF., = = . 又AFN=EFM,AFNEFM,NAF=MEF, ANEM. 证法二:连接AM,则EAM=EMA= MEF=15, AMC=EMC-EMA=75, 又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD, ACM= (180-30)=75.,由可知AC=AM,又N为CM的中点, ANCM,又EMCF,ANEM.,思路分析 (1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;(2)由直角三角形中两锐角互余求出 CBA,由等腰三角形的性质可得MEB=MBE,MCB=MBC,从而可得CME=DME+CMD=